Bài giảng Xử lý tín hiệu số nâng cao Chương 4

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)BÀI 1 KHÁI NIỆM DFT X() có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: Tần số  liên tục Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên ∞ đến ∞ Biến đổi Fourier dãy x(n):     n j n X () x(n)e  Khi xử lý X() trên thiết bị, máy tính cần: Rời rạc tần số  > K Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0  N 1  Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:        0 : ( ) : 0 1 ( ) 1 0 2 k x n e k N X k N n kn N j  còn lại r N r N r mN j N r mN j WN  e  e  W      2 2 ( ) ( )       0 : ( ) : 0 1 ( ) 1 0 k x n W k N X k N n kn N còn lại N j WN e 2   W N tuần hòan với độ dài N:X(k) biểu diễn dưới dạng modun argument: X(k)  X(k)e j(k) Trong đó: X(k) phổ rời rạc biên độ (k)  argX(k) phổ rời rạc pha IDFT:       0 : 1 ( ) : 0 1 ( ) 1 0 2 n X k e n N x n N N k kn N j  còn lại                 ( ) 1 ( ) : 0 1 ( ) ( ) : 0 1 1 0 1 0 X k W n N N x n X k x n W k N N k kn N N n kn N Cặp biến đổi Fourier rời rạc:Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy: x(n)  1,2,3,4   3 0 ( ) ( ) 4 n X k x n W kn W e j W W j j        3 4 2 4 4 2 1 4 ; 1;  (0) ( ) (0) (1) (2) (3) 10 3 0 0   4       X x n W x x x x n (1) ( ) (0) (1) 41 (2) 42 (3) 43 2 2 3 0 X x n W4 x x W x W x W j n n           (2) ( ) (0) (1) 42 (2) 44 (3) 46 2 3 0 2   4        X x n W x x W x W x W n n (3) ( ) (0) (1) 43 (2) 46 (3) 49 2 2 3 0 3 X x n W4 x x W x W x W j n n          BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT a) Tuyến tính N DFT x1(n)N  X1(k) N N DFT a1x1(n)N  a2x2(n)N a1X1(k)  a2X2(k) Nếu: Thì: N DFT x2(n)N  X2(k) b) Dịch vòng: Nếu:x(n)N DFT  X(k)N Thì: x(n n0 )N DFT WNkn0 X(k)N Với: x(n n0 )N  x~(n n0 )N rectN(n) gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1, N2}Ví dụ 1: Cho: a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n2) b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n2)4 x(n)  1,2,3,4 x(n) n 0 1 2 3 4 3 2 1 a) n x(n2) 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 n x(n+3) 3 2 1 0 4 3 2 1b) x(n) n 0 1 2 3 4 3 2 1 N x(n1)4 n 0 1 2 3 4 3 2 1 x(n+1)4 n 0 1 2 3 4 3 2 1 x(n  2)4  3,4,1,2 x(n  3)4  4,1,2,3c) Chập vòng: N DFT x1(n)N  X1(k) N N DFT x1(n)N  x2(n)N  X1(k) X2(k) Nếu: Thì: N DFT x2(n)N  X2(k)     1 0 1( ) 2( ) 1( ) 2( ) N m Với: x n N x n N x m N x n m N Chập vòng 2 dãy x 1(n) x2(n) Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1, N2} Chập vòng có tính giao hóan: x1(n)N  x2(n)N  x2(n)N  x1(n)N Và: x2(n m)N  x~2(n m)N rectN (n) Dịch vòng dãy x 2(m) đi n đvịVí dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy x1(n)  2,3,4 x2(n)  1,2,3,4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 0 3 3 0 3 4  1 4  2 4   1 4 2  4    x n x n x n x m x n m n m N1  3, N2  4  N  max{ N1, N2}  4  Đổi biến n>m: x1(m)  2,3,4,0 x2(m)  1,2,3,4  Xác định x2(m)4: x2(m)4  x~2(m)4rect4(n) 1,4,3,2  Chọn độ dài N:m 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 x~2(m) x 2(m) m 0 1 2 3 4 3 2 1 x 2(m) m 3 2 1 0 4 3 2 1 m 0 1 2 3 4 3 2 1 x2(m)4  x~2(m)rect4(n)  Xác định x2(nm) là dịch vòng của x2(m) đi n đơn vị n>0: dịch vòng sang phải, n 2 DFT N2 điểm; Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ: Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ sốSau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N2 điểm thành 2 DFT của N4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẻ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại. Ví dụ X0(k) được phân chia:         ( 2) 1 r 0 2 ( 2) 1 r 0 0( ) (2 ) 2 ( ) N kr N N kr X k x r WN g r W         ( 2) 1 r 1,3,5... 2 ( 2) 1 r 0,2,4... ( ) 2 ( ) N kr N N kr g r WN g r W          ( 4) 1 l 0 2 4 ( 4) 1 l 0 (2 ) 4 (2 1) N kl N k N N kl g l WN W g l W  X00(k) WNk 2.X01(k) Phân chia DFT N2 điểm > 2 DFT N4 điểm của X0(k) DFT N4 x(0) x(4) W0 N2 W1 N2 X 00(0) X 00(1) X 0(0) X 0(1) DFT N4 x(2) x(6) X 0(2) X 0(3) X 01(0) X 01(1) W2N2 W3 N2  Phân chia X1(k) tương tự: X1(k)  X10(k) WNk 2.X11(k) DFT N4 x(1) x(5) W0 N2 W1 N2 X 10(0) X 10(1) X 1(0) X 1(1) DFT N4 x(3) x(7) X 1(2) X 1(3) X 11(0) X 11(1) W2N2 W3 N2 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8 DFT N4 x(0) x(4) x(2) x(6) X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(5) x(3) x(7) X(4) X(5) X(6) X(7) W0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 DFT N4 DFT N4 DFT N4 W0 W2 W4 W6 X 00(0) X 00(1) X 01(0) X 01(1) X 10(0) X 10(1) X 11(0) X 11(1) W0 W2 W4 W6 x(0) x(4) W0 N = 1 W N N2 =1 X 00(0) X 00(1)  Lưu đồ DFT 2 điểm: Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8 x(0) x(4) x(2) x(6) X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(5) x(3) x(7) X(4) X(5) X(6) X(7) W0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W0 W2 W4 W6 W0 W2 W4 W6 1 1 1 1 X m(p) X m(q) 1 X m+1(p) X m+1(q) Wr N X m(p) X m(q) X m+1(p) X m+1(q) Wr N W N (r+N2) = W N r Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8 x(0) x(4) x(2) x(6) X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(5) x(3) x(7) X(4) X(5) X(6) X(7) W0 W1 W2 W3 1 1 1 1 W0 W2 1 1 1 1 W0 W2 1 1 1 1 Đảo bít Với N=2M > M lần phân chia Số phép nhân = số phép cộng = NM2=(N2)log2NChæ soá töï nhieân Soá nhò phaân chöa ñaûo (n 2 ,n 1 ,n 0 ) Soá nhò phaân ñaûo (n 0 ,n 1 ,n 2 ) Chæ soá ñaûo 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 1 0 2 3 0 1 1 1 1 0 6 4 1 0 0 0 0 1 1 5 1 0 1 1 0 1 5 6 1 1 0 0 1 1 3 7 1 1 1 1 1 1 7  Bảng mô tả qui luật đảo bít:Ví dụ 1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo tg x(n)  1,2,3,4 x(0) x(2) x(1) x(3) X(0) X(1) X(2) X(3) W0 W1 1 1 1 1  k=0: X(0) = x(0) + x(2) + W0x(1) + x(3) = 10.  k=1: X(1) = x(0) x(2) + W1x(1) x(3) = 2 + j2.  k=2: X(2) = x(0) + x(2) W0x(1) + x(3) = 2.  k=3: X(3) = x(0) x(2) W1x(1) x(3) = 2 j2.b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số.   1 0 ( ) ( ) N n kn X k x n WN         1 n 2 ( 2) 1 n 0 ( ) ( ) N N kn N N kn x n WN x n W           ( 2) 1 n 0 ( 2) ( 2) 1 n 0 ( ) ( 2) N k n N N N kn x n WN x n N W          ( 2) 1 n 0 2 ( 2) 1 n 0 ( ) ( 2) N kn N kN N N kn x n WN W x n N W         ( 2) 1 n 0 ( ) ( 1) ( 2) N kn N x n k x n N WVới k chẵn, thay k=2r:         ( 2) 1 n 0 (2 ) ( ) ( 2) 2 N rn X r x n x n N WN Với k lẻ, thay k=2r+1          ( 2) 1 n 0 (2 1) ( ) ( 2) 2 N rn N n N X r x n x n N W W Đặt: g(n)  x(n) x(n N 2); h(n)  x(n) x(n N 2)     ( 2) 1 n 0 (2 ) ( ) 2 N rn X r g n WN       ( 2) 1 n 0 (2 1) ( ) 2 N rn N n N r h n W W X(2r) – DFT của N2 điểm ứng với chỉ số k chẵn X(2r+1) – DFT của N2 điểm ứng với chỉ số k lẻ Phân chia DFT N=8 điểm > 2 DFT N2= 4 điểm k chẵn k lẽ DFT N2 điểm x(0) x(1) x(2) x(3) X(0) X(2) X(4) X(6) DFT N2 điểm x(4) x(5) x(6) x(7) X(1) X(3) X(5) X(7) W0 W1 W2 W3 g(0) g(1) g(2) g(3) h(0) h(1) h(2) h(3) 1 1 1 1Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT của N2 điểm thành 2 DFT của N4 điểm theo chỉ số k chẵn và lẻ. Tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại. Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên. Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân theo thời gian. Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8 x(0) x(1) x(2) x(3) X(0) X(4) X(2) X(6) x(4) x(5) x(6) x(7) X(1) X(5) X(3) X(7) W0 W1 W2 W3 1 1 1 1 W0 W2 1 1 1 1 W0 W2 1 1 1 1 Đảo bítk=0: X(0) = x(0) + x(2) + x(1) + x(3) = 10. k=2: X(2) = x(0) + x(2) x(1) + x(3) = 2. k=1: X(1) = x(0) x(2) + W1x(1) x(3) = 2 + j2. k=3: X(3) = x(0) x(2) W1x(1) x(3) = 2 j2. Ví dụ 2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo ts x(n)  1,2,3,4 x(0) x(1) x(2) x(3) X(0) X(2) X(1) X(3) W0 W1 1 1 1 13. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2 Giả thiết dữ liệu vào được sắp xếp vào trong mảng theo thứ tự từng cột với số cột N1 và số hàng N2: Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N1N2, nếu độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n). n 2 n1 0 1 … N11 0 x(0) x(N2) … xN2(N11) 1 x(1) x(N2+1) … xN2(N21)+1 … … … … … N 21 x(N21) x(2N21) … xN1N21Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4 n 2 n1 0 1 2 0 x(0) x(4) x(8) 1 x(1) x(5) x(9) 2 x(2) x(6) x(10) 3 x(3) x(7) x(11) Các chỉ số n của x(n), k của X(k) xác định: n = n 1N2 + n2 0  n1  N1 0  n2  N2 k = k 1 + k2N1 0  k1  N1 0  k2  N2DFT N điểm dãy x(n) được phân tích:             1 0 1 0 ( )( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 N n N n k k N n n N X k X k k N x n n N WN         1 0 1 0 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 N n N n n k N N N n k N N n k N N n k x n n N WN W W W 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 Do: ; ; 1 W W W W W N N N N N n k N n k n k N n k n k N N                 1 0 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) N n n k N n k N N n n k X k x n n N WN W W  1 0 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) N n n k X k G n k WN    1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) N n n k F n k x n n N WN G(n2,k1)  F(n2,k1).WNn2k1 Đặt: Các bước tiến hành thuật tóan: Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1) Tính mảng hệ số WNn2k1 Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, được G(n2,k1) Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k) Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k).Ví dụ 1: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 và N2=4 Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột như bảng: n 2 n1 0 1 2 0 x(0) x(4) x(8) 1 x(1) x(5) x(9) 2 x(2) x(6) x(10) 3 x(3) x(7) x(11)Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1): n 2 k1 0 1 2 0 F(0,0) F(0,1) F(0,2) 1 F(1,0) F(1,1) F(1,2) 2 F(2,0) F(2,1) F(2,2) 3 F(3,0) F(3,1) F(3,2)    1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) N n n k F n k x n n N WNTính mảng hệ số WNn2k1 n 2 k1 0 1 2 0 WN0 WN0 WN0 1 W N 0 W N 1 W N 2 2 W N 0 W N 2 W N 4 3 WN0 WN3 WN6Nhân các phần tử mảng F(n2,k1) với các hệ số của mảng WNn2k1 tương ứng, được G(n2,k1) : n 2 k1 0 1 2 0 G(0,0) G(0,1) G(0,2) 1 G(1,0) G(1,1) G(1,2) 2 G(2,0) G(2,1) G(2,2) 3 G(3,0) G(3,1) G(3,2) Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj). WNnikjTính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k): k 2 k1 0 1 2 0 X(0) X(1) X(2) 1 X(3) X(4) X(5) 2 X(6) X(7) X(8) 3 X(9) X(10) X(11)     1 0 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) N n n k X k X k N k G n k WN Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k) Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4: DFT N 1 điểm x(0) x(4) x(8) W0 W1 W2 DFT N 1 điểm x(1) x(5) x(9) DFT N 1 điểm x(2) x(6) x(10) DFT N 1 điểm x(3) x(7) x(11) W0 W2 W4 W0 W3 W6 DFT N 2 điểm DFT N 2 điểm DFT N 2 điểm X(0) X(3) X(6) X(9) X(1) X(4) X(7) X(10) X(2) X(5) X(8) X(11)

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC BÀI KHÁI NiỆM DFT BÀI BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) BÀI CÁC TÍNH CHẤT DFT BÀI BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) BÀI KHÁI NIỆM DFT Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( )    jn x ( n ) e  n   X() có hạn chế xử lý thiết bị, máy tính: Tần số  liên tục Độ dài x(n) vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X() thiết bị, máy tính cần: Rời rạc tần số  -> K Độ dài x(n) hữu hạn N: n =  N -1  Biến đổi Fourier dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform) BÀI BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT DFT x(n) có độ dài N định nghĩa: 2  N 1  j kn   x( n)e N :  k  N  X ( k )   n 0 : k lại  WN  e  N 1 kn x ( n ) W  N :0  k  N 1 X ( k )   n 0 : k lại  2 j N WN tuần hòan với độ dài N: W N( r  mN )  e j 2 ( r  mN ) N e j 2 r N  WNr X(k) biểu diễn dạng modun & argument: X (k )  X ( k ) e j ( k ) Trong đó: X (k ) - phổ rời rạc biên độ  (k )  arg[ X (k )] - phổ rời rạc pha 1  x ( n )  IDFT: N 0  N 1  X (k )e j 2 kn N :0  n  N 1 k 0 : n lại Cặp biến đổi Fourier rời rạc: N 1  kn X ( k )  x ( n ) W :0  k  N 1  N   n  N 1  kn  x ( n)  X ( k ) W :0  n  N 1  N  N k 0   X ( k )   x( n)W n kn W e  x( n)  1,2,3,4 Ví dụ 1: Tìm DFT dãy: j 2    j;W  1;W  j 4 X (0)   x( n)W40  x(0)  x(1)  x( 2)  x( 3)  10 n X (1)   x( n)W4n  x(0)  x(1)W41  x( 2)W42  x( 3)W43  2  j n X ( 2)   x( n)W42 n  x(0)  x(1)W42  x( 2)W44  x( 3)W46  2 n X ( 3)   x( n)W43 n  x(0)  x(1)W43  x( 2)W46  x( 3)W49  2  j n BÀI CÁC TÍNH CHẤT DFT a) Tuyến tính Nếu: x1 (n)N  X ( k ) N x2 (n)N  X (k ) N DFT DFT  a1 X1 (k ) N  a2 X (k ) N Thì: a1 x1 (n)N  a2 x2 (n)N  DFT Nếu: Lx1  N1  N  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N } b) Dịch vòng:  X (k ) N Nếu: x( n)N  DFT WN X (k ) N Thì: x( n  n0 )N  DFT kn ~(n  n ) rect (n) Với: x( n  n0 )N  x N N gọi dịch vòng x(n)N n0 đơn vị   x( n)  1,2,3,4 Ví dụ 1: Cho:  a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2) b)Tìm dịch vịng: x(n+3)4, x(n-2)4 x(n) n x(n-2) x(n+3) a) -3 -2 -1 n n x(n-1)4 x(n) b) n N x(n+1)4 n   x( n  3)  4,1,2,3 x( n  2)4  3,4,1,2 4  n  c) Chập vòng: Nếu: x1 (n)N  X1 (k ) N DFT x2 (n)N  X (k ) N DFT Thì: x1 (n)N  x2 (n)N  X1 (k ) N X (k ) N DFT Với: x1 ( n)N  x2 ( n)N  Và: N 1  x1 (m )N x2 (n  m )N m 0 x2 (n  m )N  x~2 (n  m )N rectN (n) Chập vịng có tính giao hóan: Chập vịng dãy x1(n) & x2(n) Dịch vòng dãy x2(-m) n đ/vị x1 (n)N  x2 (n)N  x2 (n)N  x1 (n)N Nếu: Lx1  N1  N  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N }   x (n)  1,2,3,4 x1 ( n)  2,3,4 Ví dụ 1: Tìm chập vịng dãy  Chọn độ dài N:  N1  3, N   N  max{ N1 , N }  x3 ( n)4  x1 ( n)4  x2 ( n)4   Đổi biến n->m:   x1 (m )4 x2 (n  m )4 :  n  m 0   x1 ( m )  2,3,4,0    x2 ( m )  1,2,3,4    ~ ( m ) rect (n)  1,4,3,2  Xác định x2(-m)4: x2 ( m )4  x 4  Với k chẵn, thay k=2r: X ( 2r )  ( N / ) 1  x(n)  x(n  N / 2)WNrn/ n0 Với k lẻ, thay k=2r+1 X ( 2r  1)   x(n)  x(n  N / 2)W W ( N / )1 n N n0 rn N /2 Đặt: g(n)  x(n)  x(n  N / 2); h(n)  x(n)  x(n  N / 2) X ( 2r )  ( N / ) 1  n0 g( n)W Nrn/ X ( 2r  1)  ( N / ) 1  n0 h(n)W W n N X(2r) – DFT N/2 điểm ứng với số k chẵn X(2r+1) – DFT N/2 điểm ứng với số k lẻ rn N /2  Phân chia DFT N=8 điểm -> DFT N/2= điểm g(0) x(0) g(1) x(1) g(3) x(3) x(5) x(6) x(7) DFT N/2 điểm g(2) x(2) x(4) X(0) -1 -1 -1 -1 h(0) W0 h(1) W1 h(2) W2 h(3) W3 X(2) k chẵn X(4) X(6) X(1) DFT N/2 điểm X(3) X(5) X(7) k lẽ Sau đánh lại số theo thứ tự mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT N/2 điểm thành DFT N/4 điểm theo số k chẵn lẻ Tiếp tục phân chia cịn DFT điểm dừng lại Dữ liệu X(k) xếp theo thứ tự đảo bít, cịn liệu vào theo thứ tự tự nhiên Số phép nhân phép cộng lưu đồ phân theo tần số với số phép nhân cộng lưu đồ phân theo thời gian  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau lần phân chia với N=8 x(0) X(0) x(1) X(4) W0 x(2) -1 x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) -1 X(2) W2 -1 -1 W0 -1 -1 -1 -1 X(1) W1 W2 W3 X(6) W0 -1 -1 -1 X(5) X(3) W2 X(7) -1 Đảo bít Ví dụ 2: Hãy vẽ lưu đồ tính FFT số phân theo t/s   x( n)  1,2,3,4  x(0) X(0) x(1) X(2) W0 x(2) -1 x(3) -1 -1 X(1) W1 -1 X(3) k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10 k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - + j2 k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - - j2 THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2 Giả thiết độ dài dãy x(n) phân tích N=N1N2, độ dài khơng thể biểu diễn dạng thêm vài mẫu vào sau dãy x(n) Giả thiết liệu vào xếp vào mảng theo thứ tự cột với số cột N1 số hàng N2: n2 n1 … N1-1 x(0) x(N2) … x[N2(N1-1)] x(1) x(N2+1) … x[N2(N2-1)+1] … … … … … N2-1 x(N2-1) x(2N2-1) … x[N1N2-1] Lấy ví dụ xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 N2=4 n2 n1 x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) Các số n x(n), k X(k) xác định: n = n1N2 + n2  n1  N1  n2  N2 k = k1 + k2N1  k1  N1  k2  N2 DFT N điểm dãy x(n) phân tích: X ( k )  X ( k1  k2 N )   N 1 N 1   n2  n1  N 1 N    n2  n1  x( n2  n1 N )W N( k1  k2 N1 )(n2  n1 N ) x( n2  n1 N )W n2k1 N W Nn1k1 N 2W Nn2k2 N1W Nn1k2 N1 N Do:WNn1k1N2  WNn11k1 ;WNn2k2 N1  WNn22k2 ;WNn1k2 N1N2    nk   N 1 n1k1  n2 k1   X ( k )      x( n2  n1 N )W N1 W N W N 22  n2      n1   N 1 Đặt: F ( n2 , k1 )  N 1  n1  x( n2  n1 N )W Nn11k1 G(n2 , k1 )  F ( n2 , k1 ).WNn2k1 X (k )  N 1  n2  G ( n2 , k1 )W Nn22k2 Các bước tiến hành thuật tóan: Sắp xếp liệu vào theo thứ tự cột, mảng x Tính DFT theo hàng mảng x, F(n2,k1) Tính mảng hệ số WNn2k1 Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, G(n2,k1) Tính DFT theo cột mảng G(n2,k1), X(k) Đọc liệu theo thứ tự hàng X(k) Ví dụ 1: Nêu bước tính vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 N2=4 Sắp xếp liệu vào theo thứ tự cột bảng: n2 n1 x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) Tính DFT theo hàng mảng x, F(n2,k1): F ( n2 , k1 )  N 1  n1  x( n2  n1 N )W Nn11k1 n2 k1 F(0,0) F(0,1) F(0,2) F(1,0) F(1,1) F(1,2) F(2,0) F(2,1) F(2,2) F(3,0) F(3,1) F(3,2) Tính mảng hệ số WNn2k1 n2 k1 WN0 WN0 WN0 WN0 WN1 WN2 WN0 WN2 WN4 WN0 WN3 WN6 Nhân phần tử mảng F(n2,k1) với hệ số mảng WNn2k1 tương ứng, G(n2,k1) : Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj) WNnikj n2 k1 G(0,0) G(0,1) G(0,2) G(1,0) G(1,1) G(1,2) G(2,0) G(2,1) G(2,2) G(3,0) G(3,1) G(3,2) Tính DFT theo cột mảng G(n2,k1), X(k): X ( k )  X ( k1  N 1k2 )  N 1  n2  G( n2 , k1 )W Nn22k2 k2 k1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) Đọc liệu theo thứ tự hàng X(k)  Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4: x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) X(0) DFT N1 điểm W0 DFT N1 điểm W2 W2 X(6) X(1) DFT N2 điểm X(4) X(7) X(10) W4 X(2) W0 DFT N1 điểm X(3) X(9) W1 W0 DFT N1 điểm DFT N2 điểm W3 W6 DFT N2 điểm X(5) X(8) X(11) ...  x3 (3 )4   x1 (m )4 x2 (0  m )4  26 m 0  x1 (m )4 x2 (1  m )4  23 m 0  x1 (m )4 x2 (2  m )4  16 m 0  x1 (m )4 x2 (3  m )4  25 m 0   x3 (n )4  x1 (n )4  x2 (n )4  26,23,16,25... x2(-m )4 x2(1-m )4 m 3 x2(2-m )4 2 3 x2(3-m )4 m m m  Nhân mẫu x1(m) & x2(n-m) x3 ( n )4   x1 (m )4 x2 ( n  m )4 :  n  m 0 cộng lại:  n=0:  n=1:  n=2:  n=3: Vậy: x3 (0 )4  x3 (1 )4  x3 (2 )4. .. 2,3 ,4, 0    x2 ( m )  1,2,3 ,4    ~ ( m ) rect (n)  1 ,4, 3,2  Xác định x2(-m )4: x2 ( m )4  x 4  x2(m) x2(-m) 4 m ~ (m) x -3 -2 -1 m -3 -2 -1 ~ (  m )rect (n) x (  m )4  x 4 m 4 m