Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC Bài 1 BIẾN ĐỔI Z Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z Bài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Bài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC Bài 5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍANếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) Ký hiệu: x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} BÀI 1 BIẾN ĐỔI Z 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: n 0 n X(z) x(n)z Z 1 Z Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía Biến đổi Z của dãy x(n): Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): (*) (**) Trong đó Z – biến số phức n n X(z) x(n)zMiền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. 2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) ( ) (0) (1) (2) 0 x n x x x n lim ( ) 1 1 n n x n 00 Im(Z) Re(z) R x+ R Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng xtiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu:Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: n n az 0 1 1 1 1 ( ) az X z az z a n n n lim 1 1 1 n n X(z) x(n)z n n n a u(n) z 0 . n n n a z x(n) anu(n) 0 ROC Im(z) /a/ Re(z) Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a az X z ;ROC : Z 1 1 ( ) 1x(n) anu(n 1) m m a z 1 1 lim 1 z a 1 1 n a z n n n n X(z) x(n)z n n n a u( n 1) z 1 . n n n a z 1 0 1 m m a z ( ) 1 0 1 n m X z a z 1 1 1 az 0 ROC Im(z) Re(z) /a/ Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu:BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 1) Tuyến tính x2(n)ZX2(z) :ROC R2 x1(n)ZX1(z) :ROC R1 a1x1(n) a2x2(n)Za1X1(z) a2X2(z) x(n) anu(n)bnu(n1) a b Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: với ROC chứa R1 R2Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 ( ) az a u n n Z 1 1 1 ( 1) bz bnu n Z R2 : z b anu(n)bnu(n1)Z 1 1 1 1 1 1 az bz 0 ROC Im(z) /a/ Re(z) 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ R : z a 1 R R R : a z b 1 2 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo ví dụ 1 và 2, ta có:2) Dịch theo thời gian a az a u n n Z ;ROC : z 1 1 ( ) 1 x(n) anu(n 1) x(n) anu(n 1) a.an1u(n 1) z a az Z az : 1 1 1 x(n)Z X (z) :ROC R x(n n0)ZZn0 X (z) :ROC R'' R R R'' trừ giá trị z=0, khi n0>0 trừ giá trị z=∞, khi n0∞) x 1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1 R2 v dv z v X v X j C 1 1( ) 2 2 1 BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) /z/ >1 -u(-n-1) /z/ /a/ -an u(-n-1) /z/ < /a/ nan u(n) /z/ > /a/ -nan u(-n-1) /z/ < /a/ cos( o n)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin( o n)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 1 1 1 z 1 1 1 az 1 2 1 (1 ) az azBÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC C X( z )zn dz j x( n ) 1 2 1 Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng Các phương pháp biến đổi Z ngược: Thặng dư Khai triển thành chuỗi luỹ thừa Phân tích thành tổng các phân thức tối giản (*)2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ b) Phương pháp: Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 : Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa: ci Z Zci r r ci r Z Z F z z z dz d r F z ( )( ) ( 1)! 1 Res ( ) ( 1) ( 1) Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa: Res F(z) ZZci F(z)(z zci) ZZci a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: - Khái niệm điểm cực, điểm không. C X z zn dz j x n ( ) 1 2 1 ( ) Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci Trong đó: Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) n Z Zci i X z z Res ( ) 1 Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z ngược của: ( 2) ( ) z z X z (*) Giải: C X z zn dz j x n ( ) 1 2 1 ( ) C zn dz z z j 1 2 ( 2) 1 ( 2) Res z z n Thay X(z) vào (*), ta đượcn0: ( 2) ( ) 1 z z X z z n n có 1 điểm cực đơn Zc1=2 Thặng dư tại Zc1=2: ( 2) 2 Res Z n z z 2 ( 2) ( 2) Z n z z z 2n n /zci/ xi(n) Ki(zci)nu(n) Nếu ROC: /z/ < /zci/ xi(n) Ki(zci)nu(n 1) Vậy: N i x n xi n 1 ( ) ( ) Xét:Ví dụ 5.: Tìm x(n) biết: 5 6 2 5 ( ) 2 2 z z z z X z Giải: với các miền hội tụ: a) /z/>3, b) /z/