Biến đổi Z và ứng dụng vào hệ thống LTI rời rạc

Ch Ch : BI : BI Z V Z V H H 3.1 BI 3.1 BI Z Z 3.2 BI 3.2 BI 3.3 PHÂN T 3.3 PHÂN T Í Í CH CH N N ế ế u u x(n x(n ) ) nhân nhân qu qu ả ả th th ì ì : (*) (**) : (*) (**) 3.1 BI 3.1 BI N N Z Z 3.1.1 3.1.1 Z: Z: 1 0 ( ) ( ) n n X z x n z ∞ ∞∞ ∞ − −− − = == = = == = ∑ ∑∑ ∑ →← Z      → →→ →← ←← ← − −− −1 Z ≡ Bi Bi ể ể u u th th ứ ứ c c (*) (*) còn còn g g ọ ọ i i l l à à bi bi ế ế n n đ đ ổ ổ i i Z Z hai hai bên bên Bi Bi x(n x(n ): ): (*) (*) (**) (**) đ đ ó ó ế ế n n s s ố ố ph ph ứ ứ c c ∑ ∞ −∞= − = n n znxzX )()( Mi Mi ề ề n n h h ộ ộ i i t t ụ ụ c c ủ ủ a a bi bi ế ế n n đ đ ổ ổ i i Z Z - - l l à à t t ậ ậ p p h h ợ ợ p p t t ấ ấ t t c c ả ả c c á á c c gi gi á á tr tr ị ị Z Z n n ằ ằ m m trong trong m m ặ ặ t t ph ph ẳ ẳ ng ng ph ph ứ ứ c c sao sao cho cho X(z X(z ) ) h h ộ ộ i i t t ụ ụ . . + ++ ++ ++ ++ ++ += == = ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = )2()1()0()( 0 xxxnx n 1)(lim 1 < << < ∞ ∞∞ ∞→ →→ → n n nx R x+ R x- R O C Đ Đ ể ể ủ ủ á á p p d d ụ ụ ng ng êu êu chu chu ẩ ẩ n n Ti Ti Cauchy: Cauchy: M M : : h h : : V V í í d d ụ ụ 3.1: 3.1: c c á á c c t t í í n n hi hi ệ ệ u u h h ữ ữ u u h h ạ ạ n n sau sau : : V V í í d d ụ ụ 3.2 3.2 : : Gi Gi ả ả i i : : ( (( ( ) )) ) n n az ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = − −− − = == = 0 1 1 1 1 )( − −− − − −− − = == = az zX azaz n n n > >> >⇔ ⇔⇔ ⇔< << <                   − −− − ∞ ∞∞ ∞→ →→ → 1lim 1 1 ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ −∞ −∞−∞ −∞= == = − −− − = == = n n znxzX )()( [ [[ [ ] ]] ] ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ −∞ −∞−∞ −∞= == = − −− − = == = n nn znua )( ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = − −− − = == = 0 . n nn za )()( nuanx n = == = ROC ROC /a/ êu êu ẩ ẩ ẽ ẽ ộ ộ ụ ụ ế ế u u : : V V a az zX > >> > − −− − = == = − −− − Z:ROC; 1 1 )( 1 )1()( − −− −− −− −− −− −= == = nuanx n ( (( ( ) )) ) m m za ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = − −− − − −− −= == = 1 1 az < << <⇔ ⇔⇔ ⇔ 1lim 1 1 < << <                   − −− − ∞ ∞∞ ∞→ →→ → n n n za ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ −∞ −∞−∞ −∞= == = − −− − = == = n n znxzX )()( [ [[ [ ] ]] ] ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ −∞ −∞−∞ −∞= == = − −− − − −− −− −− −− −− −= == = n nn znua )1( ∑ ∑∑ ∑ − −− − −∞ −∞−∞ −∞= == = − −− − − −− −= == = 1 . n nn za ( (( ( ) )) ) 1 0 1 + ++ +− −− −= == = ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = − −− − m m za ( (( ( ) )) ) 1)( 0 1 + ++ +− −− −= == = ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = − −− − n m zazX 1 1 1 − −− − − −− − = == = az ROC ROC /a/ T T ì ì m m bi bi ế ế n n đ đ ổ ổ i i Z & ROC Z & ROC c c ủ ủ a a : : êu êu ẩ ẩ ẽ ẽ ộ ộ ụ ụ ế ế u u : : a) a) Tuy Tuy ế ế n n t t í í nh nh RROC : )()( 222 =→← zXnx Z RROC : )()( 111 =→← zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z +→←+ )1()()( −−−= nubnuanx nn ba < Gi Gi V V í í d d ụ ụ 3.4 3.4 : : ớ ớ i i ROC ROC ứ ứ a a ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ Á Á p p d d ụ ụ ng ng t t í í nh nh ch ch ấ ấ t t tuy tuy ế ế n n t t í í nh nh , , ta ta đư đư ợ ợ c c : : 1 1 1 )( − − →← az nua Z n 1 1 1 )1( − − →←−−− bz nub Z n bzR < : 2 →←−−− Z nn nubnua )1()( 11 1 1 1 1 −− − + − bz az ROC ROC /a/ ROC ROC /b/ azR > : 1 bzaRRR < < ∩ = : 21 ROC ROC /b/ /a/ í í d d ụ ụ 3.2 3.2 v v à à 3.3, 3.3, ta ta c c ó ó : : B B à à i i t t ậ ậ p p 1. 1. ( ) [ ( ) ( )] ( ) n n x n u n = − = −= − = −3 2 4 3 b) b) D D ị ị ch ch theo theo th th ờ ờ i i gian gian a az nua Z n > − →← − z:ROC; 1 1 )( 1 )1()( −= nuanx n )1()( −= nuanx n )1(. 1 −= − nuaa n az az az Z > − →← − − : 1 1 1 RROC : )()( =→← zXnx Z R'ROC : )()( 0 0 =→←− − zXZnnx n Z R R R'    = V V í í d d ụ ụ 3.5 3.5 : : ế ế u u : : ì ì : : ớ ớ i i : : Gi Gi ả ả i i : : í í d d ụ ụ 3.2: 3.2: ậ ậ y y : : [...]... =1 2z 2 − 5z Tìm x(n) bi t: X ( z ) = 2 z − 5z + 6 v i các mi n h i t : 2z − 5 K1 K2 X ( z) 2z − 5 = = + = 2 z z − 5 z + 6 ( z − 2)( z − 3) ( z − 2) ( z − 3) V i các h s ư c tính b i: X ( z) 2z − 5 = =1 K1 = ( z − 2) ( z − 3) Z =2 z Z =2 X ( z) 2z − 5 =1 K2 = ( z − 3) = z Z =3 ( z − 2) Z =3 1 1 X ( z) 1 1 ⇒ X ( z) = + = + −1 (1 − 2 z ) (1 − 3 z −1 ) z ( z − 2) ( z − 3) 1 1 X ( z) = + −1 (1 − 2 z )... 2) z dz = ∑ Re s  ( z − 2)  2πj C C   zn n −1 có 1 i m c c ơn p1=2 ≥ X ( z) z = ( z − 2) Th ng dư t i p1=2: ROC 2  z   z  ( z − 2) = 2n = Res   ( z − 2)  Z =2  ( z − 2)  Z =2  n n X ( z) z n −1 1 1 = = −n ( z − 2) z ( z − 2) z m C p1=2 ơn, p2=0 b i m     1 1 1 ( z − 2) = m Res  = m m  ( z − 2) z  Z =2  ( z − 2) z  Z =2 2   1 1 1 d m−1  m = Res  z  m m −1  m  ( z. .. + bN −1 z N −1 + + b 1z + b0 B( z ) B( z ) Ta ư c C (z) là a th c và phân th c A (z) /B (z) có b c N u ≤ , thì X (z) có d ng gi ng phân th c A (z) /B (z) ≤ ≤ Xét là phân th c h u t có b c ≤ X ( z ) A( z ) aM z M + aM −1 z M −1 + a1 z + a0 = = z B( z ) bN z N + bN −1 z N −1 + + b 1z + b0 Xét én các i m c c c a , hay nghi m c a B (z) là A( z ) X ( z ) A( z ) = = z B( z ) bN ( z − p1 )( z − p2 ) Theo lý thuy... X (z) ROC δ(n) 1 z u(n) 1 −1 1− z |z| >1 1 1 − az −1 |z| > |a| -u(-n-1) an u(n) -an u(-n-1) nan u(n) -nan u(-n-1) −1 az (1 − az −1 ) 2 |z| |a| |z| < |a| cos(ωon)u(n) (1 -z- 1cosωo)/(1- 2z- 1cosωo +z- 2) |z| >1 sin(ωon)u(n) (z- 1sinωo)/(1- 2z- 1cosωo +z- 2) |z| >1 3.1.4 GI N C C - KHÔNG i m c c c a X (z) là các giá tr z t i ó X (z) = ∞, i m không c a X (z) là các giá tr z t i ó X (z) = 0 L D( z) ... i Z ngư c theo tích phân vòng (*) ư c xác nh b ng t ng các th ng dư t i t t c các i m c c c a hàm : ∑ 1  X ( z ) z n−1  X ( z ) z n−1dz = Res  ∫  Z = pi 2πj C i Trong ó: – các i m c c c a X (z) zn-1 n m trong ư ng cong C x ( n) = - th ng dư c a X (z) zn-1 t i i m c c zci Tìm bi n i Z ngư c c a: z X ( z) = ( z − 2) Thay X (z) vào (*), ta ư c 1 1 z  zn  n −1 n −1 x ( n) = ∫ X ( z ) z dz = 2πj ∫ ( z. .. −1 z 1 2 −1 z 1 - 2 -2 z 2 -2 2 z 2 ⇒ X ( z) = −2 2 −∞ − 2n z −n ∑ n = −1 ⇒ x(n) = −2 n : n < 0 ≡ −2 n u (−n − 1) Xét là phân th c h u t có d ng: D( z ) d z K + d z K −1 + + d z + d 1 0 K −1 X ( z) = = K N B( z ) bN z + bN −1 z N −1 + + b 1z + b0 N u v i: K, N > 0 , th c hi n phép chia a th c, ta ư c: D( z ) A( z ) aM z M + aM −1 z M −1 + a1 z + a0 X ( z) = = C ( z) + = C ( z) + bN z N + bN −1 z. .. thuy t hàm h u t , thành: A( z ) K1 K2 X ( z) z = V ih s = + + B( z ) ( z − p1 ) ( z − p2 ) xác : ( z − pN ) phân tích N KN Ki =∑ + ( z − pN ) i =1 ( z − zci ) nh b i: X (z) Ki = ( z − pi ) z Z = pi A( z ) Ki = B '( z ) Z = p i Suy ra có bi u th c: K1 K2 X (z) = + + −1 −1 (1 − p1 z ) (1 − p2 z ) N KN Ki + −1 = ∑ (1 − pN z ) i =1 (1 − pi z −1 ) Ki Xét: X i ( z ) = (1 − pi z −1 ) N u ROC: ⇒ xi (n) = K... ( n) ← → X ( z ) = ; ROC : z > a −1 1 − az n Z dX( z) az −1 = :z > a g(n) = nx(n) ← →G( z) = − z  −1 2 (1 − az ) dz Z e) x(n) ← Z X ( z ) : ROC = R → u: ì: x(− n) ← Z → X (z -1 ) : ROC = 1 R y(n) = (1 a ) u (−n) n Ví d 3.8: ìm í d 3.2: Gi i: 1 x ( n) = a u ( n) ← → X ( z ) = ; ROC : z > a −1 1 − az Z n ⇒ y (n) = (1 a ) u (−n) = a − nu (−n) = x(−n) n Áp d ng tính ch t −1 Y (z) = X (z ) = o bi n s... không c a X (z) là các giá tr z t i ó X (z) = 0 L D( z) G( z − z1 )( z − z2 )( z − z3 ) ( z − zL ) X ( z) = = =G B( z) ( z − p1)( z − p2 )( z − p3 ) ( z − pM ) •G là l i z1 , z2 , z3 ,… ư c g i là các i m không (zero) •p1, p2, p3,… là các i m c c (pole) •L là b c c a a th c t s ; •M là b c c a a th c m u • X (z) là hàm h u t úng khi L≤ M ∏ (z − zk ) k =1 M ∏ (z − pk ) k =1 3.1.4 GI N C C - KHÔNG Khi các tín hi... 0 < z < ∞ Khai tri n X (z) ta ư c: X ( z ) = z 2 − 2 z + 4 − 2 z −1 + 3z −2 = 2 x ( n) z − n ∑ n = −2 x(n) = {1,-2, 4,-2,3} ↑ Tìm x(n) bi t: 1 X ( z) = : z >2 −1 1 − 2z Do ROC c a X (z) là , nên s là dãy nhân qu và s ư c khai tri n thành chu i có d ng: ∞ X ( z ) = ∑ an z −n = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + n =0 (*) có d ng (*), th c hi n phép chia a th c dư i ây: 1 - 2z -1 1 1 − 2z −1 1 + 2 z −1 + 22 z −2 . ( ) ( ) L k L k M M k k z z G z z z z z z z z D z X z G B z z p z p z p z p z p = = − − − − − = = = − − − − − ∏ ∏ •G là độ lợi z1 , z2 , z3 ,… được gọi là các điểm không (zero) •p1, p2, p3,… là. é é t t à à 1:; 1 1 1 > >> > − −− − = == = − −− − zR z d) d) )()( nunang n = a az zXnuanx Z n > − =→←= − z: ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()( =→← zXnx Z RROC : )( =−→← dz dX (z) znxn Z dz zdX zzGnnxng Z )( )()()( − −− −= == =  → →→ →← ←← ←= == = az az az > − = − − : )1( 21 1 Gi Gi ả ả i i : : í í d d ụ ụ 5.1.1: 5.1.1: ế ế u u : : ì ì : : V V í í d d ụ ụ 3.7 3.7 : : ì ì m m e). ∩ ∩ R R 2 2 x x 1 1 (n)x (n)x 2 2 (n) (n) R R X* (z* ) X* (z* ) x*(n) x*(n) 1/R 1/R X (z X (z - - 1 1 ) ) x( x( - - n n ) ) R R - - z z dX (z) /dz dX (z) /dz nx(n nx(n ) ) R R X(a X(a - - 1 1 z) z) a a n n x(n x(n ) ) R R ’ ’ Z Z - - n0 n0 X (z X (z ) ) x(n x(n - - n n 0 0 ) ) Ch Ch ứ ứ a a ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ a a 1 1 X X 1 1 (z) +a (z) +a 2 2 X X 2 2 (z) (z) a a 1 1 x x 1 1 (n)+a (n)+a 2 2 x x 2 2 (n) (n) R R X (z X (z ) ) x(n x(n ) ) dvv v z XvX j C 1 21 )( 2 1 −       ∫ π (z (z - - 1 1 sin sin ω ω o o )/(1 )/(1 - - 2z 2z - - 1 1 cos cos ω ω o o + + z z - - 2 2 ) ) |z|