Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

-1Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ MỤC LỤC MỤC LỤC Chƣơng TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 1.1 Xử lý tương tự xử lý số 1.2 Các thành phần hệ thống xử lý số tín hiệu 1.3 Phân loại hoạt động xử lý tín hiệu số 1.3.1Phân tích tín hiệu: 1.3.2Lọc tín hiệu 1.4 Ưu điểm hệ thống xử lý số 1.5 Một số ứng dụng xử lý số tín hiệu Chƣơng 11 LẤY MẪU VÀ KHƠI PHỤC TÍN HIỆU 11 2.1Lấy mẫu tín hiệu 11 2.1.1Nguyên lý lấy mẫu 11 2.1.2Mơ tả q trình lấy mẫu 12 2.1.3 Định lý lấy mẫu 13 2.1.4 Hiện tượng chồng lấn phổ(Aliasing) 14 2.2 Bộ tiền lọc(Pre-Filter) 17 2.2.1 Bộ tiền lọc lý tưởng: 18 2.2.2 Bộ tiền lọc thực tế: 18 2.3Lượng tử hóa(Quantization) 21 2.4Khôi phục tín hiệu tương tự 24 2.4.1 Bộ khôi phục lý tưởng: 24 2.4.2 Bộ hậu lọc(Post-Filter) 26 2.5 Các biến đổi ADC DAC 27 2.5.1 Bộ chuyển đổi DAC B bit: 27 2.5.2Bộ chuyển đổi ADC 28 BÀI TẬP CHƢƠNG 2: 34 LẤY MẪU VÀ KHƠI PHỤC TÍN HIỆU 34 Chƣơng 36 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC 36 3.1 Tín hiệu rời rạc 36 KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -2Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 3.1.1 Khái niệm 36 3.1.2 Các phương pháp biểu diễn tín hiệu rời rạc 37 3.1.3 Một số tín hiệu rời rạc 38 3.1.4 Phân loại tín hiệu rời rạc 40 3.2 Hệ thống rời rạc 46 3.2.1 Khái niệm 46 3.2.2 Mô tả hệ thống rời rạc 47 3.2.3 Phân loại hệ thống rời rạc 51 BÀI TẬP CHƢƠNG 3: 54 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC 54 Chƣơng 56 XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN 56 4.1 Đáp ứng xung hệ thống rời rạc 56 4.1.1 Đáp ứng xung(Impulse Response) 56 4.1.2 Các phương pháp tích chập 57 4.1.3 Đáp ứng xung hệ thống ghép nối tiếp ghép song song : 60 4.1.4 Sự ổn định hệ thống : 61 4.2 Hệ thống FIR IIR 62 4.2.1 Khái niệm 62 4.2.2 Hệ thống FIR(Bộ lọc FIR) 62 4.2.3 Hệ thống IIR 63 4.3 Các phương pháp xử lý 64 4.3.1 Phương pháp xử lý mẫu – Phương pháp xử lý khối: 64 4.3.2 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc FIR : 65 4.3.3 Phương pháp xử lý mẫu chobộ lọc IIR : 67 4.3.4Sơ đồ thực hệ thống dạng tắc: 69 BÀI TẬP CHƢƠNG 72 XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN 72 Chƣơng 76 BIẾN ĐỔI Z 76 5.1 BIẾN ĐỔI Z 76 5.1.1Khái niệm 76 5.1.2Biến đổi z 76 5.1.3Các tính chất biến đổi z: 80 KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -3Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 5.1.4Giản đồ cực – không(Pole - Zero): 83 5.2 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 84 5.2.1 Biến đổi z ngược: 84 5.2.2 Biến đổi z ngược dùng tích phân đường: 84 5.2.3 Phương pháp khai triển thành chuỗi luỹ thừa 85 5.2.4 Phương pháp phân tích thành phân thức sơ cấp: 86 5.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z 88 5.3.1 Hàm truyền hệ thống LTI: 88 5.3.2 Giải phương trình I/O sử dụng biến đổi z: 89 5.3.3 Phân tích hệ thống LTI sử dụng biến đổi z: 90 5.3.4Tính ổn định nhân hệ thống LTI: 90 BÀI TẬP CHƢƠNG 93 BIẾN ĐỔI Z 93 Chƣơng 96 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ 96 6.1 Chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn 96 6.2Biến đổi Fourier thời gian rời rạc 98 6.2.1 Định nghĩa: 98 6.2.2 Các tính chất DTFT: 101 6.2.3 Mối quan hệ biến đổi z DTFT: 102 6.3 Biểu diễn hệ thống LTI miền tần số 103 6.3.1 Đáp ứng tần số: 103 6.3.2 Quan hệ miền tần số: 105 BÀI TẬP CHƢƠNG 108 XỬ LÝ TÍN HIỆU TRONG MIỀN TẦN SỐ 108 Chƣơng 110 PHÉP BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FOURIER NHANH 110 7.1 Biến đổi Fourier rời rạc-DFT 110 7.1.1Chuỗi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn(DFS) 110 7.1.2Chuỗi Fourier rời rạc tín hiệu khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn 111 7.1.3Lọc tuyến tính dựa vào DFT: 115 7.1.4Phân tích phổ dựa vào DFT: 116 7.2 Các giải thuật biến đổi Fourier nhanh – FFT 120 7.2.1Các tính chất WN: 121 KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -4Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 7.2.2Thuật tốn FFT số phân chia theo thời gian ( FFT – R2) 122 7.2.3Thuật toán FFT số phân chia theo tần số ( FFT – R2) 127 7.2.4Tính DFT ngược giải thuật FFT: 128 BÀI TẬP CHƢƠNG 130 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO 133 KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -5Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Chƣơng TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Mục đích:  Phân biệt xử lý tương tự xử lý số tín hiệu  Biết thành phần hệ thống xử lý số tín hiệu  Phân biệt hoạt động khác xử lý số tín hiệu  Các ưu nhược điểm hệ thống xử lý số tín hiệu so với hệ thống xử lý tương tự  Các ứng dụng xử lý số tín hiệu 1.1 XỬ LÝ TƢƠNG TỰ VÀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Xử lý tín hiệu: q trình dùng mạch điện,mạch điện tử,máy tính…tác động lên tín hiệu để tạo tín hiệu theo mong muốn(theo nhu cầu) Có hai cách xử lý tín hiệu:  Xử lý tương tự (ASP: Analog Signal Processing): Hình vẽ 1.1 Một hệ thống xử lý tương tự mơ tả theo Hình vẽ 1.1:tín hiệu vào cho hệ thống xử lý tín hiệu tương tự,bộ xử lý tín hiệu tương tự sau xử lý để tạo tín hiệu theo yêu cầu xuất tín hiệu ngõ tín hiệu tương tự Một ví dụ đơn giản cho hệ thống xử lý tương tự Âm-li,đây khuếch đại tín hiệu,tín hiệu âm từ Mi-crơ vào tín hiệu tương tự,bộ Âm-li lọc bỏ thành phần tín hiệu dư thừa sau khuếch đại tín hiệu lên mức cần thiết xuất tín hiệu loa(tín hiệu tương tự)  Xử lý số (DSP:Digital Signal Processing): Một hệ thống xử lý số mơ tả theo Hình vẽ 1.2:tín hiệu vào để xử lý trước Hình vẽ 1.2 đưa vào xử lý tín hiệu số đưa qua khối chuyển đổi tương tự - số(Khối biến đổi KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -6Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số).Tín hiệu sau xử lý xử lý tín hiệu số đưa qua khối chuyển đổi số - tương tự(Khối biến đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự) để có tín hiệu theo nhu cầu(là tín hiệu tương tự) Một ví dụ đơn giản cho hệ thống xử lý số thành phần xử lý âm máy tính(Sound Card),Hình vẽ 1.3,tín hiệu vào từ ngõ vào Sound Card tín hiệu tương tự,trên Sound card có vi mạch chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự.Ngồi Sound Card có thành phần xử lý vi mạch xử lý tín hiệu số(DSP),thành phần tiếp nhận tín hiệu số từ chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số,xử lý tín hiệu số theo u cầu sau xuất tín hiệu ra(tín hiệu số) cho chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự Hình vẽ 1.3 1.2 CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA HỆ TỐNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Sơ đồ khối tổng quát hệ thống xứ lý số tín hiệu Hình vẽ 1.4: Hình vẽ 1.4 KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -7Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ  Bộ tiền lọc(Pre-Filter hay Anti-Alias-Flter):là lọc thông thấp(LPF:Low Pass Filter),dùng để giới hạn phổ tín hiệu trước đưa vào biến đổi A/D(chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số),công dụng tiền lọc lọc bỏ thành phần tín hiệu dư thừa,nhằm tránh tượng chồng lấn phổ(Aliasing) q trình chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số Ví dụ trình xử lý thoại(khác với trình xử lý Audio),tần số lấy mẫu cho q trình số hóa tín hiệu thoại 8Khz,do trước số hóa tín hiệu thoại đưa qua tiền lọc mạch lọc thơng thấp có băng thơng từ 0Khz đến 4Khz nhằm loại bỏ tất thành phần có tần số lớn 4Khz(trong truyền thông thoại ta cần thành phần tần số từ 0Khz đền 4Khz nghe hiểu,khác với xử lý Audio ta phải giữ nguyên thành phần tần số âm để âm nghe trung thực)  Bộ hậu lọc(Post Filter hay Reconstruction Filter):cũng lọc thông thấp,nhưng công dụng hậu lọc lọc bỏ thành phần phổ ảnh(Do trình lấy mẫu tạo ra:khi biểu diễn miền tần số,phổ tín hiệu sau q trình lấy mẫu phổ tín hiệu trước lấy mẫu lặp tuần hồn với chu kì lặp với chu kì lấy mẫu)  ADC(Analog Digital Convert): khối chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số,gồm có ba bước xử lý lấy mẫu,lượng tử mã hóa  DAC(Digital Analog Convert):Khối chuyển đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự Sở dĩ hệ thống xử lý tín hiệu số có hai khối ADC DAC nguồn tín hiệu nguồn gốc ban đầu tín hiệu tương tự Ví dụ trình xử lý âm thanh,âm sau qua thiết bị Mi-Crơ tạo tín hiệu tương ứng tín hiệu tín hiệu tương tự Nhân(lõi) hệ thống xử lý tín hiệu số khối DSP,khối tiếp nhận tín hiệu số từ khối ADC(khối chuyển đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số) xử lý theo yêu cầu xuất tín hiệu số đến khối DAC để khơi phục lại tín hiệu tương tự theo mong muốn 1.3 PHÂN LOẠI CÁC HOẠT ĐỘNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 1.3.1Phân tích tín hiệu: Phân tích tín hiệu q trình xử lý tín hiệu liên quan đến lĩnh vực đo lường,quan sát tính chất tín hiệu Ví dụ ta muốn đo độ ẩm khơng khí,q trình tiến hành sau:qua cảm biến độ ẩm,độ ẩm đươc cảm biến thành tín hiệu điện tương ứng,bộ xử lý tín hiệu phân tích tín hiệu điện tương ứng hiển thị hình số đo độ ẩm tương ứng.Hoặc hoạt động dự báo thời tiết,trung tâm xử lý liệu liên tục cập nhật hình ảnh gởi từ vệ tinh,trung tâm phân tích tín hiệu hình ảnh dựa vào kết phân tích trung tâm đưa dư báo thời tiết,bão… Ngồi việc phân tích tín hiệu giúp tiếp cận với việc xử lý tín hiệu miền tần số,từ đưa hướng xử lý tín hiệu cách hiệu Ngày việc phân tích tín hiệu cơng cụ hổ trợ lớn cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác y học,khoa học hình sự,viễn thơng,điện tử,khai thác tài ngun,giao thơng vận tải,đo lường… Một ví dụ đơn giản cho việc phân tích tín hiệu hình vẽ 1.5: KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -8Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Hình vẽ 1.5 Trong hình vẽ A biểu diễn tín hiệu điều hòa(Cosine) có tần số 1000Hz miền thời gian,hình vẽ B biểu diễn tín hiệu điều hòa 1000Hz miền tần số qua việc phân tích phổ(Phân tích Fourier),hình vẽ C biểu diễn tín hiệu gồm hai thành phần tần số 1000Hz 3000Hz miền thời gian,nhìn vào hình vẽ C ta không phân biệt hai thành phần 1000Hz 3000Hz,nhưng quan sát hình vẽ D ta phân biệt rõ ràng hai thành phần 1000Hz 3000Hz.Hình vẽ D biểu diễn tín hiệu gồm hai thành phần 1000Hz 3000Hz miền tần số qua việc phân tích phổ tín hiệu này(Phân tích phổ học mơn học Lý thuyết tín hiệu) 1.3.2 Lọc tín hiệu Lọc hoạt động xử lý tín hiệu nhằm loại bỏ thành phần tín hiệu khơng mong muốn.Những thành phần tín hiệu khơng mong muốn thành phần tín hiệu dư thừa(Khơng cần sử dụng),các thành phần tín hiệu nhiễu thành phần tín hiệu phát sinh q trình xử lý tín hiệu.Hoạt động xử lý tín hiệu để loại bỏ tín hiệu khơng mong muốn lọc(Filter) Một ví dụ đơn giản xử lý thoại,tín hiệu âm người phát có tần số từ vài Hz đến vài chục Khz,tai người bình thường nghe tín hiệu âm từ vài Hz đến vài chục Khz.Nhưng xử lý thoại cần tín hiệu âm từ vài Hz đến vài Khz tai người nghe hiểu được(Phân biệt âm),do thành phần tín hiệu âm có tần số lớn vài Khz thành phần tín hiệu không mong muốn(Dư thừa),trong xử lý thoại thành phần bị loại bỏ tông qua xử lý lọc(LPF:Lọc thơng thấp) Hình vẽ 1.6 cho thấy rõ hoạt động lọc xử lý tín hiệu,phía tín hiệu cần thu lẫn tín hiệu nhiễu,để loại bỏ thành phần nhiễu,ta cho tín hiệu (có lẫn nhiễu) qua mạch lọc,qua mạch lọc tín hiệu mong muốn không bị suy hao(biên độ giữ nguyên),thành phần tín hiệu nhiễu bị ngăn lại(Biên độ tín hiệu nhiễu bị giảm đi-suy hao),kết ngõ mạch lọc ta thu thành phần tín hiệu mong muốn(hình dưới) KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -9Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Hình vẽ 1.6 1.4 ƢU ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG XỬ LÝ SỐ Ngày xử lý số tín hiệu trở thành cơng nghệ tiên tiến,hổ trợ cho khoa học kỹ thuật kỹ 21,thế kỹ công nghệ thông tin số.Xử lý số tín hiệu làm thay đổi có tính chất cách mạng nhiều lĩnh vực như:viễn thơng,y sinh học,thiên văn học,cơng nghệ thăm dò khai thác khống sản,khoa học hình sự… Tại DSP(Digital Signal Processing) lại áp dụng rộng rãi sâu rộng nhiều lĩnh vực kỹ thuật,cơng nghệ?Bởi xử lý số tín hiệu có nhiều ưu điểm so với xử lý tương tự.DSP toán học,là thuật toán,là kỹ thuật sử dụng để biến đổi tín hiệu,phân tích tín hiệu,xử lý tín hiệu…Vai trò DSP kỷ 21 giống cách mạng điện tử năm 80 kỷ trước Công nghệ phần cứng công nghệ phần mềm DSP phát triển vượt bậc,nó thỏa mãn nhu nhu cầu xử lý tín hiệu đa dạng phức tạp DSP công nghệ cầu nối nhiều lĩnh vực công nghệ lại với cơng nghệ giải trí,thơng tin liên lạc,khai thác thám hiểm không gian,y học,khảo cổ học… Các ưu điểm phương pháp xử lý số tín hiệu so với phương pháp xử lý tương tự:  Đáp ứng yêu cầu xử lý phức tạp,linh hoạt,mềm dẻo  Khả xử lý ổn định  Có thể phát triển dùng phần mềm chạy PC  Dễ dàng hiệu chỉnh thời gian thực  Tín hiệu số thuận lợi việc lưu trữ,truyền thông 1.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Các thuật tốn phần cứng cơng nghệ xử lý số tín hiệu ngày sử dụng rấc nhiều hệ thống,từ hệ thống cao cấp sử dụng chuyên dụng quân KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 10 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ sự,cho đến hệ thống dân dụng sử dụng rộng rãi lĩnh vực giải trí,truyền thông,y học Một vấn đề ta cần quan tâm chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào phương pháp xử lý tín hiệu Các ứng dụng phương pháp xử lý số tín hiệu:  Xử lý hình ảnh(ứng dụng cho y học,khai thác tài nguyên,khoa học hình sự,thiên văn…)  Xử lý thoại(âm thanh)  Xử lý Audio(âm thanh)  Viễn thông(lọc nhiễu,ghép kênh,nén liệu…)  Đo lường  Điều khiển tự động KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 119 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ phần tần số này,hiện tượng liên quan đến độ phân giải phép phân tích phổ dùng DFT 2  Nếu: : W( - 1) W( - 2) chồng lấn lên  không | 1  2 | L phân biệt vạch phổ 2  Nếu: | 1  2 | : W( - 1) W( - 2) hiển thị tách biệt nhau phân L biệt vạch phổ Như độ phân giải phép phân tích phổ dùng DFT liên quan đến số mẫu quan sát L thành phân tần số tín hiệu cần quan sát phổ 2  Giá trị :   gọi độ phân giải phổ Như vậy, hàm cửa sổ có chiều dài L L phân biệt thành phần tần số cách đoạn là:   2 L Ví dụ 7.4: Phổ hai thành phần tần số Ω1 = 0.2π Ω2 = 0.22π phương pháp DFT hình vẽ 7.10 Hình vẽ 7.10 Hai vấn đề tượng rò phổ độ phân giải phép phân tích phổ liên quan đến chiều dài L loại cửa sổ w(n)  W(Ω),cụ thể sau :  Độ cao búp phụ: ảnh hưởng đến mức rò phổ Muốn giảm rò phổ, chọn loại sổ có búp phụ thấp  Độ rộng búp chính: ảnh hưởng đến độ phân giải Muốn tăng độ phân giải, chọn loại sổ có độ rộng búp hẹp c Quan hệ tần số tương tự tần số số: Tín hiệu tương tự x(t) lấy mẫu tốc độ f s khoảng thời gian T0 số mẫu thu N,lúc đó: T0  N  TS  N fS fS  N  T0 f S TS Quan hệ tần số:  Xét tín hiệu tương tự: x(t) = Acos t = Acos 2ft  Lấy mẫu tín hiệu này: x(nTs)= Acos nTs = Acos n/Ts  Dạng tín hiệu rời rạc: x(n) = Acosn = Acos2Fn KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 120 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ  Đồng hai biểu thức, ta được:   TS Hay ta có biểu thức tương đương: Ví dụ7.5: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin3t + sin5t + sin5.5t (t:ms) Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz Để việc phân tích phổ dùng DFT cho đỉnh tách biệt thời gian lấy mẫu T0? Lời giải: Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =1.5 Khz; f3 =2.5 Khz; f4 =2.75 Khz Khoảng cách tần số nhỏ cần phân biệt: f = 2.75 – 2.5 = 0.25 Khz fS 10Khz   40 f 0.25Khz N 40  (ms) Thời gian lấy mẫu: T0  N  TS   f S 10000 Chú ý: Số mẫu tối thiểu cần phải lấy: N  Ví dụ 7.6: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2t + sin4t + sin2f3t ; 1Khz  f3 3Khz (t:ms) Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz khoảng thời gian 20 ms Tín hiệu sau phân tích phổ dùng DFT Xác định tầm giá trị f3 để kết cho ba đỉnh tách biệt? Lời giải: Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =2 Khz; f3 Khz Số mẫu liệu thu được: N  f S  T0  10  103  20  103  200 f S 10Khz   0.05Khz N 200 Tầm giá trị f3 : f3  [ f1  f ; f  f ]  [1  0.05;2  0.05]  [1.05Khz;1.95Khz] Khoảng cách tần số nhỏ phân biệt được: f  7.2 CÁC GIẢI THUẬT BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH – FFT Trong lĩnh vực xử lí số tín hiệu, biến đổi Fourier có vai trò quan trọng, tồn thuật tốn tính tốn DFT hiệu Từ Cooley phát thuật tốn tìm nhanh biến đổi DFT, thuật toán ngày phát triển ứng dụng nhiều xử lí số tín hiệu KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ - 121 Bài giảng: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Độ phức tạp tính tốn DFT: Trong phần trước tìm hiểu biến đổi Fourier rời rạc sau: k n  N 1  x(n).WM X (k )   n 0  k   N 1  k n  X (k ).WN x ( n)   N  n 0  n   k  N 1 (7.3) conlai  n  N 1 (7.4) conlai Nhận xét:  Từ (7.3) (7.4) ta thấy: X(k) x(n) khác hệ số tỉ lệ (1/N) dấu WN Như DFT IDFT(Biến đổi DFT ngược) gần giống nhau, thuật tốn FFT sử dụng cho DFT IDFT, nghĩa thuật tốn tính nhanh FFT áp dụng cho IFFT  Từ (7.3) ta thấy x(n) có giá trị thực phức để tìm X(k) yêu cầu thực N phép nhân phức N phép cộng phức với giá trị k Với N giá trị k việc tính DFT- N điểm u cầu N2 phép tốn nhân phức N2 phép tốn cộng phức Do N lớn số lượng phép toán lớn cần thuật tốn tìm X(k),(x(n) hiệu  Giải thuật thuật tốn tính nhanh FFT việc phân giải DFT-N điểm thành DFT-Ni nhỏ (Ni