Bài báo này trình bày tóm lược về năng lực giải quyết vấn đề toán, một số ví dụ về việc tổ chức, hướng dẫn học sinh giải phương trình bằng phương pháp vectơ. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.
VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Ngọc Hà1, Nguyễn Văn Thái Bình2,+ Article History Received: 10/3/2020 Accepted: 20/4/2020 Published: 08/5/2020 Keywords mathematical problem solving capacity, mathematical competence, vector method, high school student Trường Trung học phổ thơng B Bình Lục, Hà Nam; Trường Đại học Sư phạm Hà Nội + Tác giả liên hệ ● Email: binhnvt@gmail.com ABSTRACT Problem-solving capacity in general and mathematical problem-solving capacity in particular are being developed by many scientists and teachers This issue is particularly meaningful in the context of curriculum and textbook innovation today The paper presents a brief overview of the concept of mathematical problem-solving capacity From there, the author offers some steps to organize teaching activities to develop mathematical problemsolving capacity for students Specific examples of teaching content belonging to the content of solving equations at high school by using the vector method were also introduced Teaching mathematics in the direction of developing mathematical problem-solving capacity will contribute to developing mathematical competence for students Mở đầu Trong công đổi giáo dục, đổi chương trình, sách giáo khoa phương pháp dạy học nay, dạy học nhằm phát triển lực (NL) người học vấn đề quan tâm nghiên cứu triển khai Trong mơn Tốn, NL giải vấn đề toán học (GQVĐTH) NL thành phần, quy định NL toán học (Bộ GD-ĐT, 2018) Việc giải tốn có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh (HS) nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, NL HS nhiều mặt Phương trình, bất phương trình hệ thống nội dung có vai trị quan trọng, xun suốt chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng Các kiến thức phương trình liên quan mật thiết tới khơng kiến thức đại số, giải tích mà cịn nội dung hình học giải tích, hay gọi phương pháp tọa độ mặt phẳng, phương pháp tọa độ không gian Bài báo trình bày tóm lược NL GQVĐTH, số ví dụ việc tổ chức, hướng dẫn học sinh (HS) giải phương trình phương pháp vectơ (PPVT) Kết nghiên cứu 2.1 Những nghiên cứu lực giải vấn đề tốn học A.N Cơnmơgơrơp (dẫn theo Phạm Văn Hoàn cộng sự, 1981, tr.128-129) xem xét GQVĐTH từ NL học toán, dựa sở thành tố có liên quan đến khả biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng suy luận logic: + NL biến đổi thành thạo biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm phương pháp xa lạ với quy tắc thơng thường để giải phương trình; + Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; + Nghệ thuật suy luận logic phân nhỏ hợp lí, Cịn V.A Krutetxki (1973, tr 168) nhìn nhận trình giải vấn đề (GQVĐ) góc độ thu nhận xử lí thơng tin để phân chia NL toán học theo thành tố: + Thu nhận thơng tin tốn học; + Chế biến thơng tin tốn học; + Lưu trữ thơng tin tốn học; + Thành phần tổng hợp chung khuynh hướng toán học trí tuệ UNESCO cơng bố 10 tiêu NL toán học sau: + NL phát biểu tái định nghĩa, kí hiệu, phép tốn, KN + NL tính nhanh cẩn thận, sử dụng kí hiệu; + NL dịch chuyển kiện thành kí hiệu; + NL biểu diễn kiện, ẩn, điều kiện ràng buộc chúng thành kí hiệu; + NL theo dõi hướng suy luận hay chứng minh; + NL xây dựng chứng minh + NL giải toán tốn học hóa; + NL giải tốn có lời văn (chưa tốn học hóa); + NL phân tích tốn xác định phép tốn áp dụng; + NL khái quát hóa (UNESCO, 1973) Nghiên cứu NL GQVĐ giải toán, Lê Thống Nhất (1996) theo hướng tìm hiểu, phân loại sai lầm biện pháp sửa chữa cho HS THPT, Nguyễn Thị Hương Trang (2015) tiếp cận NL từ quan điểm “phát GQVĐ cách sáng tạo”, 98 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Từ đặc điểm NL, tổng hợp mơ hình khác tập trung vào trình GQVĐ, tác giả Wu, M L cho rằng: NL GQVĐ toán học bao gồm NL thành phần: - NL đọc hiểu để lấy liệu từ câu hỏi; - NL suy luận tốn học; - NL thực tính tốn; - NL vận dụng kiến thức vào thực tiễn GQVĐ (Wu, M L., 2003, tr 35) Lấy liệu từ câu hỏi Vận dụng kiến thức thực tiễn GQVĐ Năng lực GQVĐ toán học Suy luận toán học Giải tốn Hình Mơ hình NL GQVĐ toán học (Wu M L., 2003) Vận dụng vào dạy học Toán, Nguyễn Anh Tuấn (2003) nêu quan niệm, xác định đặc trưng thành phần NL GQVĐ HS học toán tổ hợp NL thể kĩ (thao tác tư hành động) hoạt động học tập nhằm phát giải nhiệm vụ mơn tốn Tác giả tập trung vào tình DH khái niệm đại số THCS để cụ thể hóa thành tố NL trình HS nhận thức khái niệm toán học Giải pháp bồi dưỡng đề xuất với biện pháp tác động đến hoạt động phát GQVĐ HS học khái niệm đại số Đối với mơn Tốn THPT, Từ Đức Thảo (2012) chuyển sang nội dung DH hình học, kết nghiên cứu chủ yếu cụ thể hóa NL GQVĐ nhận thức hình học, sử dụng biện pháp tổ chức hoạt động phát GQVĐ cho HS Gần đây, theo định hướng giáo dục toán học tiếp cận NL, tác giả dùng biểu đạt “NL GQVĐTH” - mà thực chất NL phát GQVĐ dạy học Toán Phan Anh Tài (2014) theo hướng đánh giá NL GQVĐTH dạy học Toán lớp 11, dựa thành tố hiểu vấn đề, phát thực giải quyết, trình bày cách giải phát giải pháp Hà Xuân Thành (2017) nghiên cứu giải pháp dạy học mơn Tốn THPT theo hướng phát triển NL GQVĐ thực tiễn thông qua việc khai thác sử dụng tình thực tiễn, tập trung vào việc xây dựng sử dụng tập có nội dung thực tiễn; nhằm vào rèn luyện thành phần NL GQVĐTH Từ kết trình bày trên, thấy NL GQVĐTH tổ hợp NL thể kĩ (thao tác tư hành động) hoạt động học tập nhằm giải có hiệu nhiệm vụ toán NL GQVĐTH NL mà mơn Tốn có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, chứng minh mệnh đề toán học đặc biệt qua giải tốn 2.2 Một số ví dụ phát triển lực giải vấn đề tốn học thơng qua dạy học giải phương trình phương pháp vectơ Sau đây, chúng tơi trình bày số ví dụ, phân tích thơng qua q trình hướng dẫn HS giải phương trình nhằm phát triển NL GQVĐ cho HS PPVT PPVT hiểu phương pháp sử dụng kiến thức vectơ để giải toán Nhiều khi, việc giải toán phương pháp quen thuộc, gặp nhiều khó khăn, đó, sử dụng kiến thức đơn giản vectơ việc giải tốn trở nên đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình x x x x 1 Bước 1: Phát hiện/thâm nhập vấn đề Câu hỏi (CH) 1: Chúng ta biết cách giải số phương trình vơ tỉ thường gặp Trong phương trình phương trình có rơi vào trường hợp học hay không có giải phương trình nào? 99 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Sau nhận CH HS có nhiều hướng giải Nhưng làm nảy sinh HS vấn đề cần tư duy: Dạng toán gặp hay chưa? Phương pháp giải có giải hay khơng? Nếu khơng phải giải phương trình nào? Bước 2: Tìm tịi hướng giải tốn Sau đặt CH số 1, HS tư phân tích đầu bài, giáo viên (GV) tiếp tục đặt CH cho HS: CH 2: Trình bày hướng giải cho tối ưu theo hướng suy nghĩ em? Ở bước này, HS trình bày giải pháp thường gặp số cách sau: Dùng ẩn phụ; Biến đổi tương đương; Phương pháp đánh giá; Phương pháp nhân liên hợp để tạo nhân tử chung… Các phương pháp dẫn đến toán có độ phức tạp định - Nếu dùng ẩn phụ xuất vấn đề cần giải là: Ẩn phụ phải đặt nào? Nếu đặt có ổn khơng? Điều kiện ẩn phụ nào? - Nếu dùng phương pháp biến đổi tương đương thơng thường nảy sinh vấn đề cần giải sau: Vì phương trình có chứa bậc hai, ta phải làm bậc hai (phải bình phương hai vế phương trình) tốn có đơn giản hay lại phức tạp hơn? Khi bình phương có cần điều kiện khơng? Có phải chia trường hợp khơng? - Nếu dùng phương pháp đánh giá xuất vấn đề: Dùng để đánh giá? Nếu dùng bất đẳng thức cauchy vế không âm chưa? - Nếu dùng phương pháp nhân, chia liên hợp có ổn khơng, phải thêm bớt tách nào? Tất CH làm khó HS nhiều với kiến thức em giải vấn đề sao? Vì thế, GV gợi ý cho HS “quy lạ quen” cách gợi ý thêm phương pháp sử dụng PPVT giải toán GV đưa PPVT phải xác định nhiều yếu tố để định hướng làm điểm xuất phát giúp HS phát vấn đề GV phải xác định kiến thức gợi ý đưa PPVT sau: Khi sử dụng PPVT mà công thức tích vơ hướng hai vectơ phải nhìn phương trình có yếu tố về: Độ dài vectơ, tích vơ hướng thơng qua tọa độ nào? Phải để hướng HS phát phương pháp này? CH 3: Các em có nhận yếu tố liên quan đến vectơ khơng? Có độ dài khơng? Có tích vơ hướng hay không? Dự kiến HS không trả lời CH GV phải tiếp tục đưa CH mang tính gợi ý để HS phát vấn đề cần giải CH 4: Quan sát phương trình nhận xét vế trái phương trình có liên quan đến kiến thức vectơ học hay khơng? Chẳng hạn độ dài, tích vơ hướng… Ở bước này, HS có học lực giỏi em nhìn vấn đề Nhưng với HS có học lực trung bình GV phải đặt thêm vài CH để gợi ý em phát vấn đề CH 5: Cho hai vectơ u a1 ; b1 ; v a2 ; b2 viết cơng thức tích vơ hướng độ dài vectơ u , v từ tìm liên hệ vectơ phương trình ví dụ? Phân tích: Ở bước này, nhiều HS tìm mối liên hệ viết biểu thức tọa độ vectơ tốn Nhưng khó HS bước em sử dụng kiến thức để giải phương trình HS thiết lập biểu thức vectơ Để giải phương trình, HS phân tích kĩ kiến thức tổng hợp kiến thức có sẵn để giải vấn đề tìm nghiệm phương trình cho CH 6: Biến đổi vế phương trình tích vơ hướng hai vectơ, vế tích độ dài từ tìm tọa độ vectơ (HS thực thao tác tìm tọa vectơ) a) Chuyển tình ban đầu sang PPVT Điều kiện: 1 x Biến đổi phương trình dạng: x x x x 12 Đặt u x;1 ; v x 1; x b) Giải tốn dạng vectơ Theo cơng thức tích vơ hướng, ta có: u.v x x x (1) 100 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Mặt khác, u v x 1 (2) Từ (1) (2), suy phương trình cho viết lại dạng sau: u v u.v (3) Mặt khác ta có: u.v u v cos u, v (4) u.v Nên từ (3) (4) suy cos u, v 1 u.v Bước Trình bày lời giải toán Điều kiện: 1 x Biến đổi phương trình dạng: x x x x Đặt u x;1 ; v x 1; x Theo công thức tích vơ hướng ta có: u.v x x x (1) Mặt khác: u v x 1 (2) Từ (1) (2), suy phương trình cho viết lại dạng sau: u v u.v (3) Mặt khác, ta có: u.v u v cos u, v (4) Nên từ (3) (4) suy cos u, v Nên hai vectơ u v u.v 1 u.v hướng, tức là: x 1 3 x 0 x 0 x 0 x x x 0 x 2 x x x x x x 1 x 2x 1 x Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x x Bước Đánh giá trình giải nghiên cứu sâu tốn Bài tốn có cách giải khác: Cách 2: dùng phương pháp bất đẳng thức bunhiacopski (bất đẳng thức không trực tiếp giảng dạy phổ thơng); Cách 3: Nhóm dùng lượng liên hợp để làm (cách giải biểu thức liên hợp cồng kềnh dễ mắc sai lầm trình giải việc nhân chia thực liên hợp) Bài tập 2: Giải phương trình x 2x x 2x 10 29 Bước Phát hiện/ thâm nhập vấn đề CH1: Tương tự tập 1, em cho biết phương trình thuộc dạng tốn học? Cách giải nào? Sau nhận CH từ GV, HS tiếp tục suy luận để tìm hướng giải toán Các em phải trả lời CH: Dạng toán gặp hay chưa? Phương pháp giải có giải hay khơng? giải nào? Nếu khơng phải giải phương trình nào? 2 101 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Bước Tìm tịi hướng giải tốn Sau đặt CH số cho HS trả lời, GV đưa tiếp số CH khác: CH 2: Hãy trình bày phương hướng giải tốn? Và cho biết gặp khó khăn giải toán theo phương pháp nêu ra? HS: Ở CH này, sau nhận giống ví dụ HS đưa số phương pháp thường dùng như: Dùng ẩn phụ; Biến đổi tương đương; Phương pháp đánh giá; Phương pháp nhân liên hợp để tạo nhân tử chung… Tuy nhiên, có số khó khăn mà HS gặp phải: + Với phương pháp dùng ẩn phụ gặp khó khăn tìm ẩn biểu thức để đặt ẩn phụ; + Với phương pháp biến đổi tương đương việc biến đổi dẫn đến phương trình bậc (nếu khơng có nghiệm đặc biệt việc giải khó khăn; dẫn đến toán phức tạp hơn) + Với phương pháp đánh giá đánh giá nhự nào? Và dùng cơng cụ để đánh giá? + Với phương pháp liên hợp biểu thức liên hợp nào? Và phải thêm bớt thêm bớt biểu thức cho phù hợp? + Tất CH làm khó cho em nhiều với kiến thức em giải vấn đề làm sao? Đến giống Bài tập 1, GV tiếp tục dẫn dắt HS “Quy lạ quen” gợi ý sử dụng PPVT để giải toán Khi hướng dẫn định hướng cho HS sử dụng PPVT để giải tốn GV phải để từ phương trình tạo điểm xuất phát giúp HS phát vấn đề tạo kiến thức dấu hiệu để sử dụng PPVT độ dài vectơ, tích vơ hướng hai vectơ… tất nhìn nhận góc độ tọa độ? CH 3: Các em có nhận yếu tố liên quan đến vectơ khơng? Có độ dài khơng? Có tích vơ hướng hay không? Dự kiến HS không trả lời CH GV phải giúp cho HS phát cách biến đổi để đưa phương trình dạng mà nhận biết dấu hiệu vectơ giúp cho HS phát vấn đề cần giải CH 4: Hãy quan sát tạo kiến thức liên quan đến vectơ từ vế phương trình ví dụ độ dài, tích vơ hướng… Ở bước này, HS giỏi em nhìn vấn đề Nhưng với HS trung bình phải đặt thêm vài CH để gợi ý em phát vấn đề CH 5: Cho hai vectơ u a1 ; b1 ; v a2 ; b2 viết cơng thức tính tọa độ vectơ tổng u v độ dài vectơ u, v từ tìm liên hệ vectơ phương trình ví dụ? Phân tích: Ở bước này, nhiều HS tìm mối liên hệ viết biểu thức tọa độ vectơ phương trình Nhưng khó khăn em việc sử dụng phát vectơ phương trình HS thiết lập biểu thức vectơ Để giải việc này, HS cần sử dụng tính chất nêu phần lí thuyết CH 6: Các em làm xuất vectơ vế phương trình (HS suy nghĩ tìm giải pháp) Nếu HS khơng xử lí GV gợi ý biến đổi để làm xuất vectơ từ phương trình Sau đặt CH xong, GV cho HS thực phép biến đổi bước a) Chuyển tình ban đầu sang PPVT Điều kiện: x R x 1 22 x 1 u x 1;2 ; v x 1;3 ; u v 2;5 Biến đổi phương trình dạng: 2 32 29 Đặt b) Giải toán dạng vectơ Ta thấy vế trái phương trình có chứa: u v x 1 22 Cịn vế phải phương trình có chứa dạng: u v 29 Nên phương trình có dạng: u v u v Mặt khác u v u v “=“ xảy u, v hướng 102 x 1 32 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Nên phương trình u, v hướng Bước Trình bày lời giải tốn Điều kiện: x R Ta có: (1): x 1 22 x 1 32 29 u x 1; Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai vectơ v x;3 | u | x 2x Ta có: | v | x 2x 10 u v 2;5 | u v | 29 Suy 1 | u v || u | | v | u; v hướng u k.v k k x k 1 x 2 k.3 x 1 x k k 3x 2x x Bước Đánh giá trình giải nghiên cứu sâu toán a) Bài toán có cách giải khác: Biến đổi tương đương phương trình làm khó cho HS sau: + HS sau bình phương hai vế làm xuất thứ đồng thời phải tiếp tục bình phương lần làm xuất phương trình bậc Nếu khơng biết nhẩm nghiệm khó q trình giải; + Khi biến đổi tương đương biểu thức bình phương lên cồng kềnh khó biến đổi b) Gợi ý sử dụng: Sau giải tập so sánh cách giải, ta thấy số đặc điểm sau: Ưu điểm: + Phương pháp có lời giải ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu cho người đọc; + Nhận dạng tốn dễ dàng việc thiết lập vectơ đơn giản hơn; + Giải tốn theo ngơn ngữ vectơ mắc sai lầm số trường hợp xảy khơng nhiều Nhược điểm: + PPVT đòi hỏi HS phải nắm kiến thức tổng hợp vectơ; + Việc chọn lựa vectơ phát PPVT làm khó nhiều HS có lực học TB yếu; + Mặc dù sai lầm giải tập không nhiều, mắc phải khó phát c) Nghiên cứu sâu toán: GV cho HS nhận xét đưa toán tổng quát sau giải toán Chẳng hạn: Dạng tổng quát: Bài tập 1: a b2 m2 n am bn a, b, m, n số biểu thức chứa biến x dấu hiệu nhận biết từ phương trình phải quan sát biểu thức chứa tương tự độ dài vectơ Bài tập 2: a b m2 n a m b n a, b, m, n số biểu thức chứa biến x dấu hiệu nhận biết từ phương trình phải quan sát biểu thức chứa tương tự độ dài vectơ tổng vectơ Kết luận NL GQVĐTH cần hình thành thơng qua q trình giải tốn Việc tập luyện hoạt động tương ứng với quy trình trình bày giúp HS hình thành NL GQVĐTH Các tốn phương trình giải PPVT giúp GV có hội tốt để tổ chức cho HS giải, nhằm phát triển NL GQVĐTH Thời gian lớp không đủ GV tiến hành chi tiết, cặn kẽ bước, hướng dẫn HS trình bày trên, có bước cần tiến hành ngắn gọn hơn, tùy vào đối tượng HS 103 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 98-104 ISSN: 2354-0753 Tài liệu tham khảo Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) Bùi Văn Nghị (2008) Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Krutetxki V.A (1973) Tâm lí lực tốn học học sinh NXB Giáo dục Hà Xuân Thành (2017) Thiết kế tình thực tiễn dạy học mơn Tốn trung học phổ thông nhằm phát triển lực giải vấn đề học sinh Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam Lê Thống Nhất (1996) Rèn luyện lực giải toán cho học sinh phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn Luận án phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lí, Trường Đại học Sư phạm Vinh Nguyễn Đinh Hùng (1996) Bồi dưỡng tư logic cho học sinh trường trung học sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi tập đại số lớp Luận án phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lí, Trường Đại học Sư phạm Vinh Nguyễn Bá Kim (2017) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Thị Hương Trang (2002) Rèn luyện lực giải toán theo hướng phát giải vấn đề cách sáng tạo cho học sinh giỏi trường trung học phổ thông (qua dạy học giải phương trình bậc hai - phương trình lượng giác) Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam Phan Anh Tài (2014) Đánh giá lực giải vấn đề học sinh dạy học tốn 11 trung học phổ thơng Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh Phạm Văn Hồn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981) Giáo dục học mơn Tốn NXB Giáo dục Từ Đức Thảo (2012) Bồi dưỡng lực phát giải vấn đề cho học sinh trung học phổ thơng thơng qua dạy học hình học Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh UNESCO (1973) International Association for the Evaluation of Education Achievement, Paris Wu, M L (2003) The application of Item Response Theory to measureproblem-solving proficiencies The University of Melbourne, Melbourne 104 ... phát triển lực giải vấn đề tốn học thơng qua dạy học giải phương trình phương pháp vectơ Sau đây, chúng tơi trình bày số ví dụ, phân tích thơng qua trình hướng dẫn HS giải phương trình nhằm phát. .. GQVĐTH dạy học Toán lớp 11, dựa thành tố hiểu vấn đề, phát thực giải quyết, trình bày cách giải phát giải pháp Hà Xuân Thành (2017) nghiên cứu giải pháp dạy học mơn Tốn THPT theo hướng phát triển. .. Đại học Sư phạm Krutetxki V.A (1973) Tâm lí lực toán học học sinh NXB Giáo dục Hà Xuân Thành (2017) Thiết kế tình thực tiễn dạy học mơn Tốn trung học phổ thơng nhằm phát triển lực giải vấn đề học