Phương pháp giải các dạng toán chuyên đề số nguyên

CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Bài 1: Làm quen với số nguyên âm Bài 2: Tập hợp số nguyên Bài 3: Thứ tự tập hợp số nguyên Bài 4: Cộng hai số nguyên dấu Bài 5: Cộng hai số nguyên khác dấu Bài 6: Tính chất phép cộng số nguyên Bài 7: Phép trừ hai số nguyên Bài 8: Quy tắc dấu ngoặc Bài 9: Quy tắc chuyển vế Bài 10: Nhân hai số nguyên khác dấu Bài 11: Nhân hai số nguyên dấu Bài 12: Tính chất phép nhân Bài 13: Bội ước số nguyên Bài 1: Làm quen với số nguyên âm * Tóm tắt lý thuyết: Số nguyên : – Các số tự nhiên khác gọi số ngun dương (đơi cịn viết +l, +2, +3, … dấu “+” thường bỏ đi) Các số -1 , -2 , -3 , … số nguyên âm Tập hợp {…; -3 ; -2 ; -1 ; ; ; ; ; …} gồm số’ nguyên âm, số số nguyên dương tập hợp số nguyên Kí hiệu: h = {…; -3 ; -2 ; -1 ; ; ; ; ; …} Chú ý : – Số không số nguyên âm không số nguyên dương – Điểm biểu diễn số nguyên a trục số gọi điểm a Nhận xét : Số nguyên thường sử dụng để biểu thị đại lượng có hai hướng ngược Số đối Các số -1, -2,… số đối Trên trục số, điểm biểu diễn hai số đối cách điểm nằm hai phía điểm Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy 75 Dạng 1: Hiểu ý nghĩa việc sử dụng số mang dấu “” Phương pháp giải Nắm vững quy ước ý nghĩa số mang dấu “”, ví dụ dùng để biểu thị nhiệt độ 0oC, độ sâu mực nước biển… Ví dụ: Viết đọc nhiệt độ nhiệt kế hình 35 SGK Trong hai nhiệt kế a b, nhiệt độ cao ? Nhiệt kế a) -3°c đọc âm ba độ C ; Nhiệt kế b) -2° c đọc âm hai độ C ; Nhiệt kế c) 0°c đọc không độ C ; Nhiệt kế d) 2° c đọc hai độ C ; Nhiệt kế e) 3°c đọc ba độ C Dạng 2: Ghi điểm biểu diễn số nguyên trục số Phương pháp giải Trên trục số, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm gốc; điểm biểu diễn số tự nhiên khác nằm bên phải điểm gốc Ví dụ: a) Ghi điểm gốc O vào trục số hình 36 SGK b) Hãy ghi số nguyên âm nằm số -10 -5 vào trục số hình 37 SGK Giải: a) Ghi tiếp số từ trái sang phải -2 ; -1 ; Điểm số điểm gốc trục số b) Lần lượt ghi số bên phải số -10 : -9 ; – ; -7 ; -6 Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 76 LUYỆN TẬP CHUNG: Bài 1.1.Viết nhiệt độ ghi nhiệt kế -5°c Em hiểu điều có ý nghĩa ? Bài 1.2.Nhiệt kế A nhiệt độ -3°c, nhiệt kế B nhiệt độ -5°c Nhiệt kế nhiệt độ cao cao độ ? Bài 1.3 Độ cao trung bình thềm lục địa Việt Nam – 65m Em hiểu điều có ý nghĩa ? Bài 1.4.Biểu diễn số -3, -5, 2, trục số Bài 1.5.Ghi số nguyên âm nằm số -6 -2 trục số Bài 1.6.Trên trục số có điểm biểu diễn số nguyên âm nằm số -4 -3 không ? Bài 1.7.Vẽ trục số cho biết điểm nằm cách điểm O hai đơn vị Bài 1.8 Trên trục số ghi điểm A cách điểm gốc o ba đơn vị phía bên trái, điểm B cách O hai đơn vị phía bên phải Bài 2: Tập hợp số nguyên * Tóm tắt lý thuyết: Số nguyên : – Các số tự nhiên khác gọi số ngun dương (đơi cịn viết +l, +2, +3, … dấu “+” thường bỏ đi) Các số -1 , -2 , -3 , … số nguyên âm Tập hợp {…; -3 ; -2 ; -1 ; ; ; ; ; …} gồm số’ nguyên âm, số số nguyên dương tập hợp số nguyên Chú ý : – Số không số nguyên âm không số nguyên dương – Điểm biểu diễn số nguyên a trục số gọi điểm a Nhận xét : Số nguyên thường sử dụng để biểu thị đại lượng có hai hướng ngược Số đối Các số -1, -2,… số đối Trên trục số, điểm biểu diễn hai số đối cách điểm nằm hai phía điểm Dạng 1: Đọc hiểu ý nghĩa kí hiệu , , N, Z Phương pháp giải Căn vào ý nghĩa kí hiệu, phát biểu lời xác định tính sai việc sử dụng kí hiệu Ví dụ: Đọc điều ghi sau cho biết điều có khơng ? Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy 77 -4 ∈ N, ∈ N, ∈ Z, ∈ N, -l ∈ N, l ∈ N Giải -4 ∈ N đọc âm thuộc N âm số tự nhiên (S) ∈ N đọc thuộc N số tự nhiên.(Đ) ∈ Z đọc thuộc z số nguyên.(Đ) ∈ N N đọc thuộc N số tự nhiên.(Đ) -l ∈ N đọc âm thuộc N âm số tự nhiên.(S) l ∈ N đọc thuộc N số tự nhiên (Đ) Dạng 2: Hiểu ý nghĩa việc sử dụng số mang dấu “+” số mang dấu “” để biểu thị đại số có hai hướng ngược Phương pháp giải - Trước hết cần nắm vững quy ước ý nghĩa số mang dấu “+” số mang dấu “” (quy ước thường nêu đề ) Ví dụ: Viết +50C nhiệt độ 5o 0oC, viết -5oC nhiệt độ 5o 0oC - Trên sở quy ước đó, phát biểu lời biểu diễn điểm trục số Bài tập: Bổ sung chỗ thiếu (…) câu sau: a) Nếu –50km/h biểu diễn vận tốc tàu hỏa 50km/h chạy theo hướng từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội +50km/h biểu diễn …… b) Nếu +6 bước biểu diễn bước phía trước -10 bước biểu diễn …… Đội thiếu niên Tiền Phong lớp 6B xuất phát từ trại O dọc theo đường lộ (hình sau) Hãy xác định vị trí đội a) Sau hai giờ, với vận tốc 3km/h b) Sau giờ, với vận tốc 4km/h Còn cần biết thêm điều để câu hỏi có đáp số? Trên trục số hình sau, vị trí cờ hình tam giác điểm -2, cịn vị trí cờ hình chữ nhật điểm +1 Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 78 a) Tìm điểm gốc O đoạn thẳng đơn vị trục số b) Các điểm A, B, C biểu diễn số nguyên nào? Dạng 3: Tìm số đối số cho trước Phương pháp giải Chú ý hai số đối khác dấu Số đối số Ví dụ: Số đối +7 -7 Số đối -3 Số đối -5 Số đối -2 Số đối -20 20 số đối -1 +1 Bài tập: Tìm số đối số sau: +10; - 12; - 120; +70; -1980; - 987; +150; +2020 Luyện tập chung: Bài 2.1.Đọc điều ghi sau cho biết điều có khơng ? -2 ∈ N , ∈ Z, ∉ Z, -3 ∈ Z, -5 ∉ N Bài 2.2.Trong cách viết sau, cách đúng, cách sai : a) ∈ Z ; b) 3∈ N ; d) -3 ∉ N e) N ⊂ Z; c) -l∈ N ; g) N ⊄ N Bài 2.3.Để đo mức độ cận thị viễn thị mắt, người ta dùng đơn vị quang học đi-ốp với dấu “+” đằng trước viễn thị dấu “-” cận thị Hãy cho biết người sau bị cận thị, bị viễn thị : - Bạn Mai đeo kính số -2 đi-ốp ; – Cụ Thìn đeo kính số +4 đi-ốp ; – Chị Lan đeo kính số -3 đi-ốp ; – Bác Hùng đeo kính số +2 đi-ốp Bài 2.4 Để đo độ cao thấp địa điểm khác Trái Đất, người ta lấy mực nước biển làm chuẩn Độ cao mực nước biển có số đo +lm, +2m, +3m… Độ cao mực nước biển có số đo -lm, -2m Hãy xếp độ cao ợ nơi sau theo thứ tự tăng dần : a) Cao nguyên Đắc Lắc : + 600m ; Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 79 b) Vực Phi-lip-pin : -10749m ; c) Thềm lục địa Việt Nam (tính trung bình) : – 65m ; d) Núi Phan-xi-păng : + 3143m Bài 2.5.Hãy giải thích ý nghĩa câu sau : a) Bạn An đeo kính số -1 đi-ốp cịn bác Bích đeo kính số +2 đi-ốp b) Nhiệt độ Hà Nội 25° c Sapa 15° c ; c) Độ cao thành phố Đà Lạt 1500m thềm lục địa nước ta trung bình -65m Bài 2.6.Bổ sung chỗ thiếu (…) câu sau : a) Nếu +1000 000 đ biểu diễn số tiền có 1000 000 đ 000 000 đ biểu diễn ; b) Nếu -40 biểu diễn số hàng xuất 40 +60 biểu diễn … Bài 2.7.Bổ sung chỗ thiếu (…) câu sau : a) Nếu +25 độ biểu diễn 25 độ 0°c -2°c biểu diễn … ; b) Nếu + 2002 biểu diễn năm 2002 sau Cơng ngun -500 biểu diễn … Bài 2.8.Tìm số đối số nguyên sau : ; -7 ; a ; -a (a ∈ Z) Bài 2.9 Cho hai số nguyên m n Hai số hai số đối không m = n ? Bài 2.10.Trong câu sau đây, câu đúng, câu sai? a) a số tự nhiên nên a số nguyên ; b) a số nguyên nên a số tự nhiên ; c) Nếu b số nguyên không âm b số tự nhiên ; d) c số dương nên c số nguyên Bài 2.11 Trong cách viết sau, cách viết đúng, cách viết sai ? N⊂Z; N ∩Z=N; Z ∩ N=Z; Z ⊂ N Bài 3: Thứ tự tập hợp số nguyên * Tóm tắt lý thuyết: So sánh hai số nguyên : Khi biểu diễn trục số nằm ngang, điểm a nằm bên trái điểm b số nguyên a nhỏ số nguyên b, viết a < b Cũng nói số nguyên b lớn số nguyên a, viết b > a Nhận xét: Số nguyên dương > Số nguyên âm < Số nguyên âm < số nguyên dương Giá trị tuyệt đối số nguyên : Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 80 Khoảng cách từ điểm a đến điểm (không) trục số giá trị tuyệt đối số nguyên a Kí hiệu |a| (đọc “giá trị tuyệt dối a”) Nhận xét: – Giá trị tuyệt đối số – Giá trị tuyệt đối số ngun dương nó; – Giá trị tuyệt đối số nguyên âm sơ đối nó; – Trong hai số ngun âm, số có giá trị tuyệt đối nhỏ lớn – Hai số đối có giá trị tuyệt đối * Số nguyên b gọi số liền sau số nguyên a a < b khơng có số ngun nằm a, b (khi ta nói a số liền trước b) Dạng 1: So sánh số nguyên Phương pháp giải Cách 1: - Biểu diễn số nguyên cần so sánh trục số; - Giá trị số nguyên tăng dần từ trái sang phải Cách 2: Căn vào nhận xét sau: - Số nguyên dương lớn 0; - Số nguyên âm nhỏ 0; - Số nguyên dương lớn số nguyên âm; - Trong hai số nguyên dương, số có giá trị tuyệt đối lớn số lớn hơn; - Trong hai số nguyên âm, số có giá trị tuyệt đối nhỏ số lớn Ví dụ 1:Điền dấu ( > < = ) thích hợp vào chỗ trống: 3…5 ; -3…-5 ; 4…-6 ; 10…-10 Trả lời 3< ; -3 > -5 ; > -6 ; 10 > -10 Ví dụ 2: a) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, –17, 5, 1, –2, b) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: –101, 15, 0, 7, –8, 2001 Trả lời a) -17 < -2 < < < < b) 2001 >15>7>0>-8> -101 Bài tập: Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 81 1.a) Số nguyên a lớn Số a có chắn số ngun dương khơng ? b) Số nguyên b nhỏ Số b có chắn số ngun âm khơng ? c) Số nguyên c lớn -1 Số c có chắn số nguyên dương không ? d) Số nguyên d nhỏ -5 Số d có chắn số nguyên âm không ? Điền dấu “+” “ –“ vào chỗ trống để kết đúng: a) < … ; b)… 15 < ; c)… 10 < … ; d)… < … (Chú ý : có nhiều đáp số) Dạng 2: Tìm số nguyên thuộc khoảng cho trước Phương pháp giải - Vẽ trục số thể khoảng cho trước trục số; - Tìm trục số số nguyên thuộc khoảng cho Ví dụ: Tìm x ∈ Z , biết: a) -5 < x < ; b) -3 < x < Giải a) Vẽ trục số biểu diễn điểm -5 trục số : Các điểm nguyên x thỏa mãn – < x < nằm bên phải điểm -5 bên trái điểm Vậy x < = ) thích hợp vào chỗ trống: |3| … |5|, |-3| … |-5|, |-1| … |0|, |2| … |-2| Tính giá trị biểu thức : a)|-8|-|-4| ; |-53| b) |-7|.|-3| c)|18|: |-6| ; d) |-153| + Tìm số đối số : -4 ; ; |-5| ; |3|; Dạng 4: Củng cố lại tập hợp N số tự nhiên tập hợp Z số nguyên Phương pháp giải Cần nắm vững : N = { 0; 1; 2; 3; 4; ….}; Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ….} Bài tập: Điền chữ Đ (đúng) chữ S (sai) vào ô vuông : ∈ N…; ∈ Z …; -9 ∈ Z … ; -9 ∈ N … ; 0∈N…; ∈ Z…; 11,2 ∈ Z … Có thể khẳng định tập hợp Z bao gồm hai phận số nguyên dương số nguyên âm không ? Tại ? Dạng 5: Bài tập số liền trước, số liền sau số nguyên Phương pháp giải Cần nắm vững: số nguyên b gọi số liền sau số nguyên a a < b khơng có số ngun nằm a, b; đó, ta nói a số liền trước b Bài tập: a) Tìm số liền sau số nguyên sau: ; -8 ; ; -1 b) Tìm số liền trước số nguyên sau: -4 ; ;1 ; -25 c) Tìm số nguyên a biết số liền sau a số nguyên dương số liền trước a số nguyên âm Luyện tập chung: Bài 3.1.So sánh số nguyên sau : 13 20 ; -8 ; -1 ; -1 -5 ; -27 27 Bài 3.2.So sánh số nguyên sau : 0; – 1000 000; – 200 ; -5000 -5 Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 83 Bài 3.3 a) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự tăng dần : ; -15 ; ; ; -4 ; b) Sắp xếp số nguyên sau theo thứ tự giảm dần : – 201 ; 19 ; ; ; -7 ; 2002 Bài 3.4.Điền dấu “+” vào chỗ trống để kết : a) > … ; b) < … ; c)… > … ; d)… 12 < … Bài 3.5.Tìm x ∈ Z, biết : a) -4 < x < ; b) -4 < x < Bài 3.6.Tìm x ∈ Z, biết : a) -3 ≤ x ≤ -1 ; b) -3 < x < -2 Bài 3.7.Tìm giá trị tuyệt đối số : 103 ; -597 ; Bài 3.8.Điền dấu (>, =, Bài 11.6 Có hai số nguyên nhỏ mà tích 50 khơng ? Bài 11.7 Dùng máy tính bỏ túi, tính : a) (-327) (-99) ; b) 1297.(-13) ; c) (-567).49 Bài 11.8 Tìm x, biết : a) (x + 2) = ; b) (x -1) (x – 2) = Bài 11.9 Tìm x ∈ Z cho (x + 3) (2 – x) > Bài 11.10 Tìm x ∈ Z , biết : a) (x-2)(x2 +1) = ; b) (x + l)(x2 – 4) = Bài 11.11 Tính : a) (-11).(-28)+(-9).13 ; Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy b) (-69).(-31) – (-15).12 109 Bài 11.12.Tính: a) [16 – (-5)] (-7) ; b) [(-4).(-9) r 6] [(-12)-(-7)] ; c) [1239 + (-5).367].[(-3).2+6] Bài 11.13.Tìm x, biết : a) 13.(x – 5) = -169 ; b) |4-x| = |-8| Bài 11.14 Tìm số x, y, z biết : x + y = 2, y + z = 3, z + x = – Bài 11.15 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn hai điều kiện : y = 1261 x – y = – 84 Bài 11.16 Tìm hai số nguyên biết tích chúng 4747 tổng chúng -148 Bài 11.17 Tìm x , y ∈ Z biết (y + 1).(xy -1) = Bài 12: Tính chất phép nhân * Tóm tắt lý thuyết: Tính chất giao hốn : Với a,b ∈ Z : a.b = b.a Tính chất kết hợp : Với a,b,c ∈ Z : (a.b).c = a.(b.c) Nhân với : Với a ∈ Z : a.l = l.a = a Tính chất phân phối phép nhân phép cộng : Với a,b,c ∈ Z : a.(b + c) = ab + ac; Tính chất phép trừ : a.(b – c) = ab – ac Chú ý : Khi thực phép nhân nhiều số ta thay đổi tùy ý vị trí thừa số; đặt dấu ngoặc để nhóm thừa số cách tùy ý Chú ý : – Tích số chẵn thừa số nguyên âm mang dấu “+” – Tích số lẻ thừa số nguyên âm mang dấu “-“ Dạng 1: Áp dụng tính chất phép nhân để tính tích số nguyên nhanh Phương pháp giải Áp dụng tính chất giao hốn, kết hợp tính chất phân phối phép nhan phép cộng để tính tốn thuận lợi, dễ dàng Ví dụ: Thực phép tính : Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy 110 a) 15 (-2) (-5) (-6) ; b) (-11) (-2) Giải a) (- 2).(- 5).(- 6) = [15.(- 6)].[(- 2).(- 5)] = (- 90).10 = -900 ; b) 7.(-11).(- 2) = [4.7.(- 2)].(-11) = (- 56).(-11) = 616 Bài tập: Thay thừa số tổng để tính : a) -57.11 ; b) 75.(-21) Tính : a) (37 – 17) (-5)+ (-13 – 17); b) (-57) (67 – 34) – 67(34 – 57) Tính nhanh : a) (-4) (+125) (-25) (-6M-8) ; b) (- 98) (1 – 246) – 246.98 Viết tích sau dạng lũy thừa : a) (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) ; b) (-2).(-2).(-2).(-3).(-3).(-3) Tính giá trị biểu thức : a) (-125).(-13).(-a), với a = ; b) (-l).(-2).(-3).(-4).(-5).b với b = 20 Dạng 2: Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Phương pháp giải Sử dụng công thức sau theo hai chiều: a.(b+c) = ab +ac a (b - c ) = ab –ac Ví dụ: Tính: a) (-26) + 26 137 ; b) 63 (-25) + 25.(-23) Giải a) (-26) + 26.127 = 26.137 – 26.237 = 26.(137 – 237) = 26.(-100) = -2600 b) 65.(-25) + 25.(-23) = 25.(-23) – 25.63 = 25.(-23 – 63) = 25 (-86) = – 2150 Bài tập: Áp dụng tính chất a(b – c) = ab – ac, điền số thích hợp vào chỗ trống: a) … (-13) + 8.(-13) = (-7 + 8).(-13) = … ; Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 111 (-5)-4 – … ) = (-5).(-4) – (-5).(-14) = … Dạng 3: Xét dấu thừa số tích phép nhân nhiều số nguyên Phương pháp giải Sử dụng nhận xét: - Tích số chẵn thừa số nguyên âm mang dấu “+” - Tích số lẻ thừa số nguyên âm mang dấu “” Ví dụ: So sánh: a) (-16).1253.(-8).(-4).(-3) với ; b) (-24).(-15).(-8).4 với Giải a) Đặt A = (-16).1253.(-8).(-4).(-3) Tích chứa số chẵn (4) thừa số nguyên âm nên mang dấu “+” Vậy : A > b) Đặt B = 13.(-24).(-15).(-8).4 Tích chứa số lẻ (3) thừa số nguyên âm nên mang dấu “-“ Vậy : B < Bài tập: Giải thích : (-1)3 = -1 Có cịn số ngun khác mà lập phương nó ? Luyện tập chung: Bài 12.1 Tính nhanh : a) -4.2.6.25.(-7).5 ; b) 47.69-31.(-47) Bài 12.2 Thay thừa số tổng để tính : a)-18.15; b) 35.(-12) Bài 12.3 Tính: a) 16.(38 – 2) – 38(16 – 1); b) (-41).(59 + 2) + 59.(41 – 2) Bài 12.4 Tính: a) (-l)19; b)(-l)2002 ; c) (-2)5 Bài 12.5 So sánh : A = 5.73.(-8).(-9).(-697).ll.(-l); B = (-2).3942.598.(-3).(-7).87623 Bài 12.6 Cho P = a.b.c Biết p>0, a a chia hết cho c b) Nếu a bội b am bội b (với m ∈ Z): Với m ∈ Z : a chia hết cho b => am chia hết cho b c) Nếu a b bội c tổng hiệu chúng bội c : a chia hết cho c b chia hết cho c => (a + b) chia hết cho c (a – b) chia hết cho c Dạng 1: Tìm bội số nguyên cho trước Phương pháp giải Dạng tổng quát số nguyên a a.m (m  Z ) Ví dụ: Tìm năm bội : ; – Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 113 Giải Cả -3 có chung bội dạng 3.m (m ∈ Z ), nghĩa : ; – ; ; -6 ; ; -9 ; ;… Chẳng hạn, năm bội – : ; ; ; 12 ; 15 Dạng 2: Tìm tất ước số nguyên cho trước Phương pháp giải - Nếu số nguyên cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta nhẩm xem chia hết cho số tìm ước cần nêu đủ ước âm ước dương - Nếu số nguyên cho giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số thừa số ngun tố từ tìm tất ước số cho Ví dụ: Tìm tất ước – ; ; 11 ; -1 Giải Kí hiệu Ư(a) tập hợp ước số nguyên a, ta có : Ư(-3) = {-1 ; ; – ; 3} viết gọn : Ư(- 3) = {±1; ±3} ; Ư(6) = {±1; ±2; ±3; ±6 } ; Ư(11) = {±1; ±11} ; Ư(-1) = {±1} Bài tập: Tìm tất ước 36 Dạng 3: Tìm số chưa biết x đẳng thức dạng a.x = b Phương pháp giải Trong đẳng thức dang a.x = b (a, b  Z , a  0) ta tìm x sau: b - Tìm giá trị tuyệt đối x : x = - Xác định dấu x theo quy tắc đặt dấu phép nhân số nguyên Chẳng hạn: -7.x = -343 ta có : x = a 343 = 49 Vì tích -343 số âm nên x trái dấu với -7 x = 49 Ví dụ: Tìm x, biết: a) 15x = – 75 ; b) 3|x| = 18 Đáp số a) x = – ; b) |x| = => x = x = – Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 114 Dạng 4: Tìm số bị chia, số chia, thương phép chia Phương pháp giải - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b thương q viết a: b = q - Nếu a = 0, b  a :b = Ví dụ: Điền số vào trống cho : Giải: Dạng 5: Chứng minh tính chất chia hết Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa a = b.q  a  b ( a, b, q  Z, b  0) tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng) Ví dụ: Chứng minh a chia hết cho b – a chia hết cho b – b Giải a chia hết cho b => a = b.q (q ∈ Z ) => -a = b.(-q) Do -q ∈ Z nên -a chia hết cho b Ta có : -a = -b.q nên -a chia hết cho -b Bài tập: Chứng minh với số nguyên m n, a b chia hết cho c am + bn chia hết cho c Dạng 6: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện chia hết Phương pháp giải Áp dụng tính chất: Nếu a+b chia hết cho c chia hết cho c b chia hết cho c Ví dụ: Tìm x ∈ Z cho : a) 3x + chia hết cho x – ; b) x2 + 2x – chia hết cho x + Giải a) Ta có : 3x + = 3x – + = 3(x -1) + 3(x – 1) chia hết cho x – Do 3x + chia hết cho x – chia hết cho x -1, tức x – Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 115 ước Ước gồm số ±1, ± Suy x ∈ {0 ; ; – ; 6} b) x2 + 2x – = x(x + 2) – Ta tìm x để chia hết cho x + Đáp số : x ∈ {-3 ; — ; — ; 5} Bài tập: Cho hai tập hợp số : A = {2 ; ; ; ; 6}, B = {21 ; 22 ; 23} a) Có thể lập tổng dạng (a + b) với a ∈ A, b ∈ B ? b) Trong tổng có tổng chia hết cho ? Có hai số nguyên a, b khác mà chia hết cho b b chia hết cho a không ? Luyện tập chung: Bài 13.1 Tìm bội ; -7 Bài 13.2 Tìm bội -13 lớn -40 nhỏ 40 Bài 13.3 Có thể kết luận a bội b a > b khơng ? Bài 13.4 Tìm tất ưóc -1 ; ; -15 ; 54 Bài 13.5 Tìm tất ước 12 mà lớn – Bài 13.6 Tìm x, biết : a) -17x = 51 ; b) -2|x| = -18 Bài 13.7 Tìm x, biết : a) -5(x – 7) = 20 ; b) -6|x – 2| = -18 Bài 13.8 Chứng minh a chia hết cho b |a| chia hết cho |b| Bài 13.9 Cho a , b , c , m ∈ Z Chứng minh a chia hết cho m , b chia hết cho m a + b + c chia hết cho m c chia hết cho m Bài 13.10 Tìm x ∈ Z cho : a) x2 + x +1 chia hết cho x + ; b) 3x – chia hết cho x – Bài 13.11 Tìm số nguyên n biết n + chia hết cho n – Bài 13.12 Tìm số nguyên dương n cho 2n bội n -1 Bài 13.13 Có thể kết luận số nguyên b số nguyên a b thỏa mãn đẳng thức sau : a) 9a + b = – 21 ; b) 7a – 91 = b Bài 13.14 Có tồn cặp số nguyên (a ; b) thỏa mãn đẳng thức sau không ? a) 312a – 27b = 2002 ; b) -75a + 1005b = -2002 Bài 13.15 Cho A = (a + 2002)(a + 2003), B = ab(a + b) Chứng minh với số nguyên a b, A B bội Bài 13.16 Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 116 Chứng minh với số nguyên a c = a2+5a + bội CHÚC CÁC EM HỌC TỐT -THCS.TOANMATH.com Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 117