Phương pháp giải các dạng toán chuyên đề tam giác

CHUN ĐỀ TAM GIÁC § TỔNG BA GĨC CỦA MỘT TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác 180°  +C  = 180° ∆ ABC ⇒  A+ B Áp dụng vào tam giác vuông a) Định nghĩa: Tam giác vuông tam giác có góc vng b) Tính chất: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ ∆ ABC  = 90°  +C ⇒B   A= 90° Góc ngồi tam giác a) Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề A bù với góc tam giác b) Tính chất: • Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với   B ACD=  A+ B B C A C D • Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với  ACD >  A,   ACD > B B CÁC DẠNG TỐN Dạng TÍNH SỐ ĐO GĨC CỦA MỘT TAM GIÁC Phương pháp giải • Lập đẳng thức thể hiện: - Tổng ba góc tam giác 180° - Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ - Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với • Sau tính số đo góc phải tìm Ví dụ (Bài tr.108 SGK) = 80°, C = 30° Tia phân giác góc A cắt BC D Tính Cho tam giác ABC có B  ADC ,  ADB Hướng dẫn -180-  +C  = 180° ⇒  A + 80° + 30= ° 180° A+ B ∆ ABC :   A 70°  A= A = = = 35° ⇒ A = 70° Do  2 A + Góc ngồi  ADC= B A1 80° = 80° + 35°= 115° 30° B D (góc ngồi ∆ ABD ) Suy  ADB= 180° − 115°= 65° Ví dụ (Bài tr.109 SGK) Tìm số đo x hình 55, 56, 57, 58 (SGK) H A A K I D E x 25° x B C B Hình 55 (SGK) Hình 56 (SGK) H A x B x 55° 60° B D C A Hình 57 (SGK) K Hình 58 (SGK) Giải  + I (= 90° ) ⇒ A= B  ⇒ 40°= x A + I1= B a)   =  + A = ACE + A =( =90° ) ⇒ ABD ACE ⇒ x =25° b) ABD +M  =90° IMP    c)  ⇒ IMP = N ⇒ x = 60° +M  =90°  N  -181- E C = 90° ⇒ E = 90° −  d)  A+ E A= 90° − 55°= 35° +E = 90° + 35°= 125° x= BKE Dạng NHẬN BIẾT MỘT TAM GIÁC VNG, TÌM CÁC GĨC BẰNG NHAU TRONG HÌNH VẼ CĨ TAM GIÁC VNG Phương pháp giải Để nhận biết tam giác vng, ta chứng minh tam giác có góc 90° Trong hình vẽ có tam giác vng, cần ý hai góc nhọn tam giác vng phụ Ví dụ (Bài tr.109 SGK) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) a) Tìm cặp góc phụ hình vẽ b) Tìm cặp góc nhọn hình vẽ Hướng dẫn A   C , B a) Các cặp góc phụ nhau:  A2 , B A1     A2 A1 , C b) Các cặp góc nhọn nhau: B C H = A2 ) C A1 (cùng phụ với  = B A2 (cùng phụ với  A1 ) Dạng CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BẰNG CÁCH CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải Chứng minh hai góc cách chứng tỏ chúng bằng, phụ, bù với góc thứ ba (hoặc với hai góc nhau) Từ chứng minh hai góc nhau, ta chứng minh hai đường thẳng song song Ví dụ (Bài tr.109 SGK) = C = 40° Gọi Ax tia phân giác góc ngồi đỉnh A Cho tam giác ABC có B Hãy chứng tỏ Ax //BC D Hướng dẫn = B  +C = 40° + 40°= 80°, CAD A x -182B C 1  A1 =  A2 = CAD = 80° : = 40°  nên Ax //BC Cách 1: Hai góc so le  A2 C  nên Ax //BC Cách 2: Hai góc đồng vị  A1 B Dạng SO SÁNH CÁC GĨC DỰA VÀO TÍNH CHẤT GĨC NGỒI CỦA TAM GIÁC Phương pháp giải Dùng tính chất: Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với Ví dụ (Bài tr.108 SGK) A Cho hình 52 Hãy so sánh:  BAK  a) BIK I  BAC  b) BIC Hướng dẫn  (góc ngồi ∆ BAI ) (1)  > BAI a) BIK B K C  > CAI  (góc ngồi ∆ CAI ) ( ) b) CIK  + CIK  > BAI  + CAI  ⇒ BIC  > BAC  Từ (1) ( ) suy ra: BIK C LUYỆN TẬP  C  tam giác ABC biết: 8.1 Dạng Tính B  −C  = 10°; a)  A= 70°, B  = 2C  b)  A= 60°, B = : : = C 8.2 Dạng Tính góc tam giác ABC biết  A= B 8.3 Dạng Cho tam giác ABC , tia phân giác góc B cắt tia phân giác góc C I  , biết rằng:  BKC cắt đường phân giác góc ngồi C K Tính BIC a)  A= 70°; b)  A = α  cách vẽ giao điểm K BC 8.4 Dạng Cho hình vẽ sau, AB //DE Tính BCE  DE tính CKE -183- B A 40° C 30° D E K 8.5 Dạng Cho hình vẽ Chứng minh AB //DE cách vẽ giao điểm K AC  DE tính K A B 120° C 140° 100° K D E 8.6 Dạng Cho tam giác ABC Tia phân giác góc A cắt BC D Tính  ADC biết rằng: = 70°, C = 30°; a) B  −C  = 40° b*) B  có cạnh tương 8.7 Dạng Trên hình vẽ bên, góc  A HBC  ứng vng góc ( AH ⊥ BH , AK ⊥ BC ) , góc  A HBK có cạnh tương ứng vng góc ( AH ⊥ BH , AK ⊥ BK ) C H B Hãy A tìm mối liên hệ giữa: ; a)  A HBC K  b)  A HBK  C  góc nhọn Qua B kẻ đoạn thẳng BD vng góc 8.8 Dạng Cho tam giác ABC B với AC ( D ∈ AC ) Qua C kẻ đoạn thẳng CE vng góc AB ( E ∈ AB ) Gọi H giao điểm BD CE Hãy tìm mối liên hệ giữa: a)  ABD  ACE ;  b)  A DHE 8.9 Dạng Cho góc xOy , điểm A thuộc tia Ox Kẻ AB vng góc với Ox ( B ∈ Oy ) , kẻ BC vng góc với Oy ( C ∈ Ox ) , kẻ CD vuông góc với Ox ( D ∈ Oy ) a) Tìm tam giác vng hình vẽ b) Tìm góc góc ABO -184- 8.10* Dạng Cho tam giác ABC có  A= 90° Gọi d đường thẳng qua C vng góc với BC Tia phân giác góc B cắt AC D cắt d E Kẻ CH vng góc với DE ( H ∈ DE ) Chứng minh CH tia phân giác góc DCE = 90°, gọi D điểm nằm A C Lấy điểm 8.11 Dạng Cho tam giác ABC có B E thuộc tia đối tia BD Chứng minh góc AEC góc nhọn § HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng  A=  A'  =B ' B    ∆ABC = ∆A ' B ' C ' ⇔ C = C '  AB = A ' B '   AC = A ' C '  BC = B ' C ' A A' C B B' C' B CÁC DẠNG TOÁN Dạng TỪ HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU, XÁC ĐỊNH CÁC CẠNH BẰNG NHAU, CÁC GĨC BẰNG NHAU TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, SỐ ĐO GÓC Phương pháp giải Căn vào quy ước viết đỉnh tương ứng hai tam giác theo thứ tự, ta viết góc nhau, đoạn thẳng Ví dụ (Bài 11 tr.112 SGK) Cho ∆ABC = ∆HIK a) Tìm cạnh tương ứng với cạnh BC Tìm góc tương ứng với góc H b) Tìm cạnh nhau, tìm góc Giải a) Cạnh tương ứng với cạnh BC cạnh IK góc tương ứng với góc H góc A -185-  =K , B  = I , C b) Từ ∆ABC = A=H ∆HIK ta có: AB = HI , AC = HK , BC = IK ,  Ví dụ (Bài 13 tr.112 SGK) Cho ∆ABC = ∆DEF Tính chu vi tam giác nói biết AB = 4cm , BC = 6cm , DF = 5cm Giải ∆ABC = ∆DEF suy ra: DE = AB = 4cm , EF = BC = 6cm , AC = DF = 5cm Chu vi ∆ABC bằng: AB + BC + AC = + + = 15 ( cm ) Chu vi ∆DEF bằng: DE + EF + DF = + + = 15 ( cm ) Dạng 2: VIẾT KÍ HIỆU VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Phương pháp giải Viết ba đỉnh tam giác thứ nhất, chọn đỉnh tương ứng tam giác thứ hai Ví dụ (Bài 14 tr.112 SGK) Cho hai tam giác nhau: tam giác ABC (khơng có hai góc nhau, khơng có hai cạnh nhau) tam giác có ba đỉnh H , I , K Viết kí hiệu  K  hai tam giác đó, biết rằng:= AB KI = , B Hướng dẫn =K  nên B K hai đỉnh tương ứng Do AB = KI mà B K hai đỉnh tương Do B ứng nên A I hai đỉnh tương ứng Do ∆ABC = ∆IKH C LUYỆN TẬP 9.1  100° Tính góc lại tam = 35° , = Dạng Cho ∆ABC = K ∆DHK , B giác 9.2 Dạng Cho ∆ABC = ∆DEI Tính chu vi tam giác trên, biết AB = 5cm , AC = 6cm , EI = 8cm 9.3 Dạng ∆AMN = ∆DEK Hãy viết đẳng thức vài dạng khác 9.4 Dạng Cho ∆ABC (khơng có hai góc nhau, khơng có hai cạnh nhau) tam giác có ba đỉnh O, H , K Viết kí hiệu hai tam giác, biết rằng: , B =K  a)  A=O -186- b) AB OH = = , BC KO §10 TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC CẠNH-CẠNHCẠNH (C.C.C) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác AB = A ' B '   AC = A ' C ' ⇒ ∆ABC = ∆A ' B ' C ' ( c.c.c ) BC = B ' C '  B CÁC DẠNG TOÁN Dạng VẼ TAM GIÁC BIẾT ĐỘ DÀI BA CẠNH Phương pháp giải Vẽ cạnh, xác định vị trí đỉnh cịn lại tam giác Ví dụ (Bài 16 tr.114 SGK) Vẽ tam giác ABC biết độ dài cạnh 3cm Sau đo góc tam giác Hướng dẫn - Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm - Vẽ cung tâm B bán kính 3cm cung tâm C bán kính 3cm , chúng cắt A - Vẽ đoạn thẳng AB, AC = C = 60° Dùng thước đo góc, ta đo được:  A= B Dạng TÌM HOẶC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU THEO TRƯỜNG HỢP CẠNH- CẠNH- CẠNH SẮP XẾP LẠI TRÌNH TỰ LỜI GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Phương pháp giải -187- - Xét hai tam giác - Kiểm tra ba điều kiện nhau: cạnh- cạnh- cạnh - Kết luận hai tam giác Ví dụ (Bài 17 tr.114 SGK) Trên hình vẽ đây, có tam giác nhau? Vì sao? Hướng dẫn ∆ABC = ∆ABD ( c.c.c ) ; ∆MPQ = ∆QNM ( c.c.c ) ; ∆HEI = ∆KIE ( c.c.c ) ; ∆HEK = ∆KIH ( c.c.c ) Dạng SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CẠNH- CẠNH- CẠNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải - Chọn hai tam giác có góc hai góc cần chứng minh - Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh- cạnh- cạnh - Suy hai góc tương ứng Ví dụ (Bài 20 tr 115 SGK) Cho góc xOy (hình 73 SGK) Vẽ cung trịn tâm O, cung cắt Ox, Oy theo thứ tự A, B () Vẽ cung tròn tâm A tâm B có bán kính cho chúng cắt điểm C nằm góc xOy (, ) Nối O với C () Chứng minh OC tia phân giác góc xOy Giải -188- ∆OBC ∆OAC có: OB = OA (giả thiết); BC = AC (giả thiết); OC : cạnh chung Do = đó: ∆OBC = AOC (hai góc tương ứng) Vậy OC tia ∆OAC (c.c.c) Suy BOC phân giác góc xOy Ví dụ (Bài 23 tr 116 SGK) Cho đoạn thẳng AB dài 4cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính 2cm đường trịn tâm B bán kính 3cm, chúng cắt C D Chứng minh AB tia phân giác góc CAD Hướng dẫn  = BAD  (hai góc tương ứng), suy AB tia phân ∆BAC = ∆BAD (c.c.c) suy BAC giác góc CAD C LUYỆN TẬP 10.1 Dạng & a) Vẽ tam giác ABC có BC = 2cm , AB = AC = 3cm b) Gọi E trung điểm cạnh BC ∆ABC câu a) Chứng minh AE tia phân giác góc BAC 10.2 Dạng & Cho đoạn thẳng AB Vẽ điểm C, D cho ∆ABC có ba cạnh nhau, ∆ABD có ba cạnh Chứng minh CD tia phân giác góc ACB 10.3 Dạng Tìm tam giác hình 10.4 Dạng & Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn ( O ) cho AB = CD Chứng minh rằng: -250- 13.16 Dạng 6: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự điểm D, E, F cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF tam giác 13.17 Dạng 6: Cho hình vẽ bên, O tâm đường tròn Chứng minh dây BC AD C B O 13.18 Dạng 6: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Tia phân giác góc HAC cắt BC D A D Chứng minh tam giác ABD tam giác cân 13.19* Dạng 6: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi Ax tia phân giác góc A Qua trung điểm M BC, kẻ đường thẳng vng góc với Ax, cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự D E Chứng minh BD = CE 13.20* Dạng 6: Tam giác ABC vng A có AC = BC Chứng minh B = 300 13.21* Dạng 6: Tam giác ABC vng A có B = 300 Chứng minh AC = BC 13.22* Dạng 6: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AD ⊥ BC ( D ∈ BC), kẻ BE ⊥ AC ( E ∈ AC) Gọi H giao điểm AD BE Biết AH = BC Tính số đo góc BAC §14 ĐỊNH LÝ PY-TA-GO A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lý Py-ta-go : Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạn góc vng ∆ABC vng A ⇒ BC2 = AB + AC B Định lý Py-ta-go đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vuông ∆ABC : BC = AB + AC ⇒  BAC = 900 A B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: TÍNH ĐỘ DÀI MỘT CẠNH CỦA TAM GIÁC VNG Phương pháp giải: Sử dụng định lí Py- ta-go Có trường hợp phải kẻ thêm đường vng góc để tạo thành tam giác vng Ví dụ 1: ( Bài 53 tr.131 SGK) Tìm độ dài x hình 127 (SGK) -274- C x 29 21 x 12 x x Hình 127 ( SGK) Hướng dẫn : a) x =52 + 122 =25 + 144 =169 =132 Vậy x = 13 b) x =12 + 22 =1 + =5 = ( 5) Vậy x = c) x = 292 − 212 = 841 − 441 = 400 = 202 Vậy x = 20 d) x = ( 7) + 32 = + = 16 = 42 Vậy x = Ví dụ 2: ( Bài 58 tr.132 SGK) Đố: Trong lúc anh Nam dựng tủ cho đứng thẳng, tủ có bị vướng vào trần nhà hay khơng ? ( Hình 130 SGK) Hướng dẫn: Gọi d đường chéo tủ, h chiều cao nhà Ta thấy : d 2= 202 + 42= 416 ⇒ d= 416 h2= 212= 441 ⇒ h= 416 Suy d < h Như anh Nam đẩy tủ cho thẳng đứng, tủ khơng bị vướng vào trần nhà Ví dụ 3: ( Bài 60 tr.133 SGK) Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) Cho biết AB =13cm, AH =12 cm, HC = 16 cm Tính độ dài AC , BC Hướng dẫn: -275- ∆ABC vuông H nên theo định lí Py- ta – go có : 2 2 AC = AH + HC = 12 + 16 = 144 + 256 = 400 = 20 A Do AC = 20 cm ∆AHB vng H nên 13 12 BH =AB − AH =132 − 122 =169 − 144 =25 =52 Vậy BH = (cm) ⇒ BC = BH + HC = + 16 = 21 (cm) B H 16 C Ví dụ 4: ( Bài 61 tr.133 SGK) Trên giấy kẻ ô vuông ( độ dài cạnh ô vng 1), cho ∆ABC hình 135 ( SGK) Tính độ dài cạnh ∆ABC Hướng dẫn: AB =22 + 12 =5 ⇒ AB = BC = 32 + 52 = 34 ⇒ BC = 34 AC =32 + 42 =25 ⇒ AC =5 Ví dụ 5: ( Bài 62 tr.133 SGK) Đố: Người ta buộc Cún sợi dây có đầu buộc điểm O làm cho Cún cách điểm O nhiều 9m ( Hình 136 SGK) Con Cún tới vị trí A, B, C, D để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật ABCD hay khơng ? ( kích thước hình vẽ ) Hướng dẫn: OA2 =32 + 42 =25 ⇒ OA =5 < OC = 62 + 82 =100 ⇒ OC =10 > OD = 32 + 82 =73 ⇒ OD = 73 < OB = 42 + 62 =52 ⇒ OB = 52 < -276- Như vậy, Cún tới vị trí A, B, C khơng tới vị trí C Dạng 2: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ PY-TA-GO ĐẢO ĐỂ NHẬN BIẾT TAM GIÁC VUÔNG Phương pháp giải: - Tính bình phương độ dài ba cạnh tam giác So sánh bình phương cạnh lớn với tổng bình phương hai cạnh Nếu hai kết tam giác tam giác vuông , cạnh lớn cạnh huyền Ví dụ 6: ( Bài 56 tr.131 SGK) Tam giác tam giác vuông tam giác có độ dài ba cạnh sau : a) 9cm , 15cm, 12cm b) 5dm, 13dm, 12dm c) 7m, 7m, 10m ? Hướng dẫn: = a ) 92 81;15 = 225= ;122 144 Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác vuông = b) 52 25; = 132 169 = ;122 144 Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác vuông = c) 72 49; = 102 100 Ta thấy 100 ≠ 49 + 49 nên tam giác không vuông Ví dụ 7: ( Bài 57 tr.131 SGK) Cho tốn : “ Tam giác ABC có AB = ; AC = 17 , BC = 15 có phải tam giác vuông không ? ” Bạn Tâm giải tốn sau: AB2 + AC2 = 82 +17 = 64 + 289 = 353 BC2 = 152 = 225 Do 353 ≠ 225 ⇒ AB2 + AC2 ≠ BC2 Vậy ∆ABC tam giác vuông Lời giải hay sai ? Nếu sai, sửa lại cho Hướng dẫn: Lời giải sai Sửa lại sau : AB2 + BC2 = 82 +152 = 64 + 225 = 289 AC2 = 172 = 289 Ta thấy AB2 + BC2 = AC2 nên ∆ABC vuông B C LUYỆN TẬP 14.1 Dạng Tính độ dài cạnh huyền tam giác vng cân biết cạnh góc vng 2dm -277- 14.2 Dạng Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng cân biết cạnh huyền : a) 2m ; b) 18 m 14.3 Dạng Một tam giác vng có cạnh huyền 52cm, độ dài cạnh góc vng tỉ lệ với 12 Tính độ dài cạnh góc vng 14.4 AC Dạng Cho tam giác ABC cân B, AB = 17cm, AC = 16cm Gọi M trung điểm Tính BM 14.5 Dạng Tính cạnh tam giác vuông biết tỉ số cạnh góc vng : 4, chu vi tam giác 36cm 14.6 Dạng Tính độ dài x hình bên: A 41 15 B 12 H x C 14.7 Dạng Cho tam giác ABC cân A có AB = 9cm, BC = 15cm Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh 4,9cm < AD < 5cm 14.8 Dạng Tìm số tự nhiên a với số 24 25 làm thành độ dài ba cạnh tam giác vng 14.9* Dạng Tam giác ABC có  A = 900 ; B = 300 , AB = 3cm Tính độ dài AC , BC 14.10 Dạng Tính độ dài x hình bên 14.11 Dạng Tính độ dài x hình bên 14.12*Dạng Tính độ dài x hình sau: 14.13*Dạng Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH ⊥ BC ( H∈ BC) Biết HB = 9cm, HC = 16cm Tính độ dài AH 14.14 Dạng Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ ( 3; 5) Tính khoảng cách từ điểm A đến gốc tọa độ 14.15 Dạng Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ ( 1; 1) Đường trịn tâm O với bán kính OA cắt tia Ox, Oy theo thứ tự B C Tìm tọa độ điểm B C 14.16 Dạng Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC, CD , DA mặt phẳng tọa độ ( Hình vẽ bên, với đơn vị đơn vị dài hệ trục tọa độ ) 14.17 Dạng Bạn Mai vẽ tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 8cm, BC = 9cm đo thấy  A = 900 kết luận tam giác ABC vng Điều có khơng ? -278- 14.18 Dạng Chọn số 5, 8, 9, 12, 13, 15 ba số độ dài cạnh tam giác vuông 14.19* Dạng Cho hình vẽ bên, BC = 6cm, AD = 8cm Chứng minh AD vng góc với BC §15 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT * Ngồi trường hợp biết hai tam giác vng, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – cạnh góc vng * Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác B' B  A = A' = 900   BC = B'C'  ⇒ ΔABC = ΔA'B'C' AC = A'C'  (cạnh huyền – cạnh góc vng)  A C A' C' B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: TÌM HOẶC CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC VNG BẰNG NHAU Phương pháp giải: • Xét hai tam giác vng • Kiểm tra điều kiện cạnh – góc – cạnh , cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vng • Kết luận hai tam giác Ví dụ 1: ( Bài 66 tr.137 SGK) Tìm tam giác hình vẽ bên Hướng dẫn: ∆ADM = ∆AEM ( cạnh huyền – góc nhọn ) ⇒ MD = ME ∆MDB = ∆MEC ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Ta cịn suy AD = AE , BD = CE nên AB = AC Do ∆AMB = ∆AMC ( c – c – c ) Dạng 2: BỔ SUNG THÊM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI TAM GIÁC VNG BẰNG NHAU Phương pháp giải: -279- • Xét xem hai tam giác vng có yếu tố • Xét xem cần bổ sung thêm điều kiện để hai tam giác (dựa vào trường hợp hai tam giác) Ví dụ 2: ( Bài 64 tr.136 SGK) Các tam giác vng ABC DEF có  A = D = 900 , AC = DF Hãy bổ sung thêm điều kiện (về cạnh hay góc ) để ∆ABC = ∆DEF Hướng dẫn: Bổ sung AB = DE ∆ABC = ∆DEF (c.g.c) Bổ sung C = F E B ∆ABC = ∆DEF (g.c.g) Bổ sung BE = EF ∆ABC = ∆DEF (cạnh huyền – cạnh góc vng) C A D F Dạng 3: SỬ DỤNG CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải: • Chọn hai tam giác vng có cạnh ( góc) hai đoạn (góc) cần chứng minh • Tìm thêm hai điều kiện , có điều kiện cạnh để kết luận hai tam giác • Suy hai cạnh ( góc) tương ứng Ví dụ 3: ( Bài 63 tr.136 SGK) Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH ⊥ BC ( H∈ BC ) Chứng minh : a) HB = HC b)  BAH =  CAH Hướng dẫn: A a) ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng) ⇒ HB = HC b) ∆AHB = ∆AHC ⇒  BAH =  CAH B H C Ví dụ 4: ( Bài 65 tr.137 SGK) Cho tam giác ABC cân A Kẻ BH ⊥ AC ( H∈ AC ), CK ⊥ AB ( K∈ AB ) -280- a) Chứng minh AH = AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác góc A Hướng dẫn: a) ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AH = AK b) ∆AIH = ∆AIK (cạnh huyền – cạnh góc vng) ⇒ IAH =  IAK ⇒ AI tia phân giác góc A C LUYỆN TẬP 15.1 Dạng Tìm tam giác vng hình sau : 15.2 15.3 Dạng Chứng minh : Nếu cạnh góc vng góc nhọn đối diện với cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn đối diện với cạnh tam giác vng hai tam giác Dạng Các tam giác ABC DMN có B =  M = 900 ;  A = D Hãy bổ sung thêm điều kiện để ∆ABC = ∆DMN 15.4 Dạng Cho hình vẽ Chứng minh : a) OK tia phân giác góc O b) MN tia phân giác góc M -281- B O D K M N C A a) b) 15.5 Dạng Cho tam giác ABC cân C Các đường trung trực CA CB cắt I Chứng minh CI tia phân giác góc C 15.6 Dạng Cho tam giác ABC cân B Qua A kẻ đường vng góc với AB , qua C kẻ đường vng góc với CB , chúng cắt K Chứng minh BK tia phân giác góc B 15.7 Dạng Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID  AC  E  AC  Chứng minh AD  AE 15.8* Dạng Cho tam giác ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt đường trung trực BC I Qua I kẻ đường thẳng vng góc với hai cạnh góc A , cắt tia AB AC theo thứ tự H K Chứng minh rằng: a) AH  AK b) BH  CK c) AK  AC  AB AC  AB , CK  2 ÔN TẬP CHƯƠNG A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK Dạng CHỌN CÂU PHÁT BIỂU ĐÚNG, CHO MỘT HỆ QUẢ, TÌM ĐỊNH LÍ TRỰC TIẾP SUY RA HỆ QUẢ ĐĨ Phương pháp giải Liên hệ đến kiến thức lí thuyết tương ứng để trả lời Ví dụ 1: (Bài 67 tr.140 SGK) Điền dấu “x” vào chỗ trống (…) cách thích hợp: -282- Câu Đúng Sai Trong tam giác, góc nhỏ góc nhọn … … Trong tam giác, có góc nhọn … … Trong tam giác, góc lớn góc tù … … Trong tam giác vng, hai góc nhọn bù … … Nếu  A góc đáy tam giác cân A  90 … … Nếu  A góc đỉnh tam giác cân A  90 … … Hướng dẫn Câu đúng, câu Câu sai Chẳng hạn tam giác vng, góc lớn góc vuông Câu sai Sửa lại cho đúng: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ Câu Câu sai Chẳng hạn có tam giác cân mà góc đỉnh 100 Ví dụ 2: (Bài 68 tr.141 SGK) Các tính chất sau suy trực tiếp từ định lí nào? a) Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với b) Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ c) Trong tam giác đều, góc d) Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác Hướng dẫn Các câu a, b suy từ định lí “Tổng ba góc tam giác 180 ” Câu c suy từ định lí “Trong tam giác cân, hai góc đáy nhau” Câu d suy từ định lí “Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân” Dạng SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẰNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU; TỪ ĐÓ NHẬN BIẾT TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG, HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Ví dụ (Bài 69 tr.141 SGK) -283- Cho điểm A nằm ngồi đường thẳng a Vẽ cung trịn tâm A cắt đường thẳng a B C Vẽ cung tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt điểm khác A , gọi điểm D Hãy giải thích AD vng góc với đường thẳng a Hướng dẫn A   ABD  ACD c.c.c  A A2 1 Gọi H giao điểm AD a B H a C Ta có:  AHB  AHC c.g c , từ D chứng minh AH  a tức AD  a Dạng NHẬN BIẾT TAM GIÁC VUÔNG, TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC VUÔNG CÂN, TAM GIÁC ĐỀU Phương pháp giải - Để nhận biết tam giác vng, cần chứng tỏ góc tam giác 90 Có trường hợp phải sử dụng định lý đảo định lý Py-ta-go - Để nhận biết tam giác cân, cần chứng tỏ hai cạnh nhau, hai góc - Để nhận biết tam giác vuông cân, cần chứng tỏ tam giác vng có hai cạnh nhau, có hai góc nhau, có góc 45 - Để nhận biết tam giá đều, cần chứng tỏ tam giác có ba cạnh nhau, ba góc nhau, hai góc 60 , chứng tỏ tam giác cân có góc 60 Ví dụ (Bài 70 tr.141 SGK) Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M , tia đối tia CB lấy điểm N cho BM  CN a) Chứng minh  AMN tam giác cân b) Kẻ BH  AM  H  AM  , kẻ CK  AN  K  AN  Chứng minh BH  CK c) Chứng minh AH  AK d) Gọi O giao điểm HB KC Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao?   60 BM  CN  BC , tính số đo góc tam giác AMN xác định e) Khi BAC dạng tam giác OBC Hướng dẫn -284- A  C  a)  ABC cân  B ABM   ACN 1  ABM  ACN c.g c suy N   AMN tam giác cân M b) BHM CKN (cạnh huyền – góc nhọn) H  BH  CK c)  ABH  ACK (cạnh huyền – cạnh góc vng) K 1 M 3 B  AH  AK C N O  C B  C  OBC tam giác cân d) BHM CKN (câu b) suy B 2 3   60 nên tam giác suy e)  ABC cân có BAC A  C   60 B 1 H K  ABM có AB  BM (cùng BC ) nên tam giác     180 120  30 cân,  ABM  120 nên M 2 M B   20o  AMN có M N   30 , MAN   120 Tương tự N C N O   60 , suy B   60 OBC cân (câu d) có B   60 nên   30 nên B MHB vng có M 3 tam giác Ví dụ (Bài 71 tr.141 SGK) Tam giác ABC giấy kẻ vng (hình 151 SGK) tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn H A A''   AHB CKAc.g c  AB  CA, BAH ACK   90 nên BAH   CAK   90 Ta lại có:  ACK  CAK   90 Do BAC B Vậy  ABC tam giác vng cân C Ví dụ (Bài 72 tr.141 SGK) Hình 151 (SGK) Đố vui: Dũng đố Cường dùng 12 que diêm để xếp thành: -285- a) Một tam giác b) Một tam giác cân mà không c) Một tam giác vuông Em giúp Cường trường hợp Hướng dẫn Xem hình vẽ a) b) c) Dạng TÍNH ĐỘ DÀI CẠNH CỦA TAM GIÁC VNG Phương pháp giải Sử dụng Định lí Py – ta – go Ví dụ (Bài 73 tr.141 SGK) Đố: Trên hình 152 (SGK), cầu trượt có đường lên BA dài 5m , độ cao AH 3m , độ dài BC 10m CD 2m Bạn Mai nói đường trượt tổng cộng ACD gấp hai lần đường lên BA Bạn Vân nói đièu khơng Ai đúng, sai? Hướng dẫn  AHB vuông H nên: A HB  AB  AH  52  32  16 HB  4m HC  10   m  AHC vuông H nên: D C H 10 AC  AH  HC  32  62  45 Suy AC  45  6,7 m -286- B Độ dài đường trượt ACD bằng: 6,7   8,7 m , chưa hai lần đường lên BA Vậy Vân đúng, Mai sai B BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG Dạng Chọn câu phát biểu câu sau: a) Trong tam giác, có hai góc tù b) Góc ngồi tam giác phải góc tù c) Nếu cạnh đáy góc đối diện với cạnh tam giác cân cạnh đáy góc đối diện với cạnh tam giác cân hai tam giác d) Nếu hai cạnh góc tam giác hai cạnh góc tam giác hai tam giác Dạng Cho tam giác ABC cân A Điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC cho AD  AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng: b) KBD KCE a) BE  CD c) AK tia phân giác góc A d) KBC tam giác cân Dạng Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB , điểm E tia đối tia CA cho BD  CE Gọi M giao điểm DE BC Chứng minh DM  ME Dạng Cho hình vẽ sau Chứng minh OA  OB D B O I A C 5* Dạng Cho hình vẽ bên giấy kẻ ô vuông Chứng minh rằng: H  a) E A K b)  AHE vuông cân H  c) D 1 B E   45 d) D 1 C H -287- D E   60 , AB  7cm, BC  15cm Trên cạnh BC lấy điểm Dạng Cho tam giác ABC có B   60 Gọi H trung điểm BD D cho BAD a) Tính độ dài HD b) Tính độ dài AC c) Tam giác ABC có tam giác vng hay khơng? CHÚC CÁC EM HỌC TỐT -THCS.TOANMATH.com -288- ... Theo định nghĩa - Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác - Nếu tam giác cân có góc 60 o tam giác tam giác B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: VẼ TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC VUÔNG CÂN, TAM GIÁC ĐỀU Phương pháp... B c) Dấu hiệu nhận biết: - Theo định nghĩa - Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Tam giác vuông cân a) Định nghĩa: Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vuông -266- ∆ABC ... Dạng NHẬN BIẾT MỘT TAM GIÁC LÀ TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC VUÔNG CÂN, TAM GIÁC ĐỀU Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết tam giác cân, vng cân, Ví dụ (Bài 47 tr 127 SGK) Trong tam giác hình 116,