Bài tập phương pháp lũy thừa giải hệ phương trình có lời giải chi tiết

1.PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA  x  y  x  y  (1)  Bài toán   x2  y  x2  y   2 Giải:  x  y  Nhận xét : Vế trái phương trình (1) khơng âm  x  y Điều kiện :  Bình phương vế phương trình ta  x2  y  x   x  x  y      x  x  y   x  y   x  3  4 Điều kiện :  x  2 Phương trình  3  x  y   x  x  y  x  Phương trình    x  y  64  16 x  x  x   x    64  16 x  x  32 x  80   x  5  y6  Vậy nghiệm hệ phương trình cho  ;  2    x   y  Bài toán   y   x  3 x     Giải:  x  1  y  1 Điều kiện :  (1)  2 Phương trình    x  x  y   x  y   x  3 Điều kiện tương đương : x  Phương trình  3  x  y   x  x  y  x   x  y  1, x   4 Thế (4) vào phương trình (3) ta : y  1  y   y  1 y  y  y  1   y  y  y  y3  y  y     y  1 y  y  1  x    y  y  3y  y 1   y  y  y  1  Xét phương trình : y  y  y  y     Nếu y   x  , không thỏa hệ Xét y  : phương trình    y   1  y  3 y  y y Đặt t  y  , t  Phương trình trở thành : t  t   , vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình cho  1;   x  y  x  y  (1)  x  y  x  y  1  2 Bài toán  Giải: x   y Phương trình  2  x  y   3x  y 3 x  y  Điều kiện :   x  y  x  y  1 3 Điều kiện : x  y  Thế (3) vào phương trình (1) ta : x  y    y  x  1  Thế (4) vào phương trình (3) ta : 5x   x   x   5 x   x  x     x  , loai x      9 x  11x   x   y   Vậy nghiệm hệ phương trình cho 1;3  x   y   Bài toán   y   x  3 x     (1)  2 Giải:  y  1 Phương trình 1  x   y   x  1 Điều kiện :    y  2x  5  x   4  y  1  x  20 x  25  3  Phương trình  2  y    x  3  x  1  Thế (3) vào phương trình (4) ta : x2  20 x  24   x  3 x       x  3 x   x     x  3 x     x  3 x    x   y     x    x, loai vi x     3 Vậy nghiệm hệ phương trình cho  3;     x - y3 = 2  x + 2y = x - 4y Bài toán 50   x = + y3 Giải: Hệ phương trình   2  3x - 3x = -6y - 12y 1 2 Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta : x  3x  x  y  y  12 y    x  1   y    x 1  y   y  x 3  3 Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta  x   y  2 x3    x  3  9 x  27 x  18     x   y  1 Hệ phương trìnhcó nghiệm 1; 2  ,  2; 1  x  xy  y  x  y  185 1  Bài toán 66   x  xy  y  x  y  65   Giải: Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) ta :  x  y  x  y  250   x2  y   125  x2  y2  Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta  25  xy  = 185  xy = 12 Khi ta có hệ phương trình :   12   x    5  x  y    x     12  xy  12  y  x  3   x  16 x   y   x   y     x     x  4  y    12  y    x  3  y   x  x  25 x  144    12 y  x  Hệ phương trình có nghiệm  4;3 ,  3;  ,  3; 4  ,  4; 3  x y  x y   Bài toán 67   y  x  y  x  1 2 x  y   Giải: Điều kiện :  x  y y  x  Vì :     x  x 0 y x  y x 0 Suy ra, vế trái (2) dương.Bình phương vế phương trình hệ ta :  x  y   x  3 2 x  x  y     2y+ y  x  2 y  x   y   0  x  0  x    y   4x x  y   4x  x  3   2   0  y  0  y    4   2 4  y  x    y  y 3 y  x  y      0 y   0  y     , loai   69 3 y  y   y    Hệ phương trìnhvơ nghiệm  x  y  x  y = Bài toán 76  2 2  x  y  x  y  1  2 Giải: Do phương trình(1)  x  y  x  y  y   y  y  Điều kiện : x  y  Bình phương vế phương trình ta 2 x  y   x 2 x  x  y     4 2 x  x  y  2 x  y   x  3 Điều kiện :  x  Phương trình     x  y    x  x  y2  4x 1  y2  4x 1  4 Thế (4) vào phương trình(3) ta :  4x 1  2 x    1 2x    16 x  x     x4     4x  4x 16   Suy y   y   8x    x  2 5   8 2  Vậy nghiệm hệ phương trình cho  ;  x 1  y   Bài toán 82(THTT)  2  x y + xy = 3x - Giải: Phương trình 1  x y   x   1  2 Thế (3) vào (phương trình(2) ta :  x  xy  x   x  xy   Ta có x = 0, loại Xét x  : y  4x2  4x2  Thế y  vào (1) ta : x x   x2  2  2 x 1       x   x  3   16 x  23 x     x   x  1 y   x  1  y  1  x 1     x   y x    16  x    y   7     ; ;  ,    4 7     Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 ,  1; 1 ,  2 x3  y   x  y  xy  3 Bài toán 83(THTT)  2  x - xy + y = Giải: Thế phương trình(2) vàophương trình (1) ta : x3  y   x  y   xy  x  xy  y   x  y   x  y   x  xy  y   x  y  x  y  3 Ta có y = x = 0, không thỏa (2), loại x x Xét y  : phương trình  3        x  y y  y Thế x  y vào phương trình(2) ta : 2y  y2  y2   y  1 x   y2     y  1  x  2 1  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;  ,  1; 2    x - y  = xy Bài toán 95  2 x  y  1 2 Giải: Điều kiện : x  y  Bình phương vế phương trình (1) ta :  x  y   xy  3x  10 xy  y   3 TH : y   x  : khơng thỏa hệphương trình  TH : y  : phương trình  3    x x   10   y y x y 3 x  3y   x  y  3x y    y   x  12  x = 3y : phương trình     y  y     y   x   y = 3x : phương trình    9 x  x   , vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm 12;  ,  6;  2    x y - x  y = y 1  x  y  2 Bài toán 96  Giải: Điều kiện : x   y Bình phương vế củaphương trình (1) ta :   x  x  y  y  3 Thế phương trình (2) vàophương trình (3) ta : x  24  y 4 Điều kiện : x  Thế (4) vàophương trình (1) ta :    x  x  x  24  x  x  x  x  24  x  24  x  x  24   x  x  15   x   y  4  x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm :  5; 4  ,  3;0  ,  5;   x  y  x = 12 - y  Bài toán 97   x y  x = 12 1  2 Giải: Điều kiện : y  x2 Bình phương vế phương trình (1) ta :  x y  x  72  12 y y  x y  x  144  24 y  y  3 Thế (3) vào phương trình (2) ta : 12  72  12 y  y  Bình phương vế phương trình (2) ta :  x  16  x  y  x   144  x  25  x   144    x  4; x  3 x  2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  3;5  ,  3;5  ,  4;5  ,  4;5   x  y  1 y  x   =3x - 4x +1  xy  x   x Bài toán 98  Giải: Điều kiện : xy  x   TH : x  : khơng thỏaphương trình (2) TH : x  : phương trình    y   Thế (3) vào phương trình (2) ta : x2 1 x  3 1 2  x2    x2 1  2 2 x2  x     x  x    x  1 x  1  x  x  x x     x   y  1  x  2x  6x  4     x  2  y      5 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1 ,  2;    3x  y   x  x  y =3  Bài toán 99   y  x  3y =  x2  y Giải: Điều kiện : x  y   x  x  y   x  y =3  x  y   Hệ phương trình   2  y  x  y   x  y = 1  2 Xét x  :hệ phương trình trở thành : 3 y  y =  y  , loại   y  y = Xét y  :hệ tphương trình rở thành :  x3  3x  3x2 =  x  , loại  -x = Xét x, y  : Hệ phương trình  xy  x  y   xy  y =3y  x  y    2  xy  x  y   x  xy =  3  4 Cộngphương trình (3) phương trình (4) lại với ta : xy  x  y   y  x  y  x  y    xy  y  1  x  y    xy  y    x  3y 1 2y  5 Thế (5) vào phương trình (2) ta :  y    3y 1  y   y  3y    2y  y    y  y  y    y  1  12 y   y3  3y 1   y   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 Bài tốn 104(HSGHCM 2013-2014) 16 x  xy  y = 12  8 x  xy  28 x  y  18 1 2 Giải: Hệ phương trình trở thành 16 x  xy  y = 12  16 x  xy  56 x  10 y  36 1 2 Cộng phương trình (1) phương trình (2) lại với ta : 32 x   y  28 x  y  10 y  24  Xem x ẩn phương trình, y tham số 6 y  x    y   4x    y   Phương trình có nghiệm :   y   4x  x   y   y   x : Phương trình 1  16 x  x   x     x   12   16 x  24 x  24  , vô nghiệm 2  y   x : Phương trình 1  16 x  x   x     x   12   16 x  16 x    x   y 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;    x - x3 y + x y =  Bài toán 107   x3y - x + xy = -1  x y  x - y  = x - 1  Giải : Hệ phương trình   (I) 2  xy x + = x -     Ta thấy x = khơng thỏa hệphương trình Vậy x   x    x  1  x   TH 1: y = : Hệ phương trình (I)    y 1  y   TH 2: x = 1: Hệ phương trình (I)   2 y   y0 Vậy (1; 0) nghiệm hệ phương trình  y  1  y   TH 3: x = -1: Hệ phương trình (I)   2 y   y0 Vậy (-1; 0) nghiệm hệ phương trình  x  1 : Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2), vế theo vế, ta : y  TH 4:  x y    x   xy    x  x  1 (3)  x 1  (2) x  Thế (3) vào phương trình 2) ta : x     x  x  1 x  1  x     x  x  x  1    x  x  x   x x  x   , vô nghiệm Hệ phương trình cho có nghiệm :  1;0  , 1;0   3 8 x y + 27 = y Bài toán 111  4 x y + 6x = y2  Giải : Dễ thấy y = không thỏa hệphương trình Vậy y  27  8 x + y =  Hệ phương trình   4 x + x =  y y2   x   x   x    = y  y y    2 x  2x +  =   y  y   3  x  +   =   y  3  x  y  2x + y  =    1 2 Từ phương trình (2)  x  Phương trình (2)  x  Thế (3) vào phương trình (1) ta : y  6x  y  6x    4x    =  4x    = 2x  y y  2x  y y  y  = 6x 2x 4x2   y y  x = x2 y   6x   x = y  x2    y y    x   xy   13 xy + = y y  y 2x  3   xy  y  x    xy   xy    4x y  10 : Phương trình (3)  x   10 x   x   y3 x 2x 10 y  27 3 80 10 x  y : (3)  x   x  4x 8x 80 80  10   3 80  ;  ,  ;    10   80 Hệ phương trình cho có nghiệm :  2 x3 - 9y3 =  x  y  xy  3 1 Bài toán 114  2  2  x + y - xy = Giải : Thế phương trình (2) vàophương trình (1) ta : x3 - 9y3 =  x  y   x + y + xy   x3 - 9y3 = x - y  x = 8y  x = 2y Thế : x = 2y vàophương trình (2) ta : y   y  1  x  2 Hệphương trình cho có nghiệm :  2;1 ,  2; 1 Bài toán 151  x  3 x    y  y    x 1  y =  2 y  x 1  x 1  x  Giải: Điều kiện :   2  y   y  Phương trình (1)  y  y  x  x  12  (3) 1  2 Xem phương trình (3) phương trình theo ẩn y, cịn x tham số 1 y  x      x   Nghiệm :  2  y  3 x  x  4  y = x + , vào phương trình 2) ta : x 1 = x 1 ,loại x   y = - x , vào phương trình (2) ta : 3  x  x 1 = x 1 x 1  x   y  2  10  x  x =   x   y    x  x2 = x - Hệ phương trình có nghiệm :  5; 2 ;  2;1  x  y  x  y    Bài toán 181   x  1  x  y    y  1  2  x   y  x  y   x  y  x  y    Giải : Ta có :    x   x  y  2  y   x  1  x  y    y     y = không thỏa hệ  Xét y  Chia vế phương trình (2) cho y, ta :  x   y  x  y   x   y  x  y     x  y  12  x  y  x  y         x   yx  y   x   y   x  y  x  y  x    x  y  1 x x  x   y  1 x  x   x  1 y  1 x  Hệ phương trình có nghiệm :  0;1 ;  1;2   x2  y   y    Bài toán 182  3 2  y  x   y  x  1  x  x  1   Giải : Điều kiện : x  y    x2  y   y    y Hệ phương trình   3   y  x   y  x  1  x  x  1   Từ phương trình (1) ta có :  y   y  1 2  y = không thỏa hệ  Xét y  Chia vế phương trình (2) cho y , ta : 2 x x x x2 x      6  0 2 y y y y y y y x x2 x x x  6 6  3 6  4  y y y y y y y  x3 x2 x   x x     3  3    3  2     y y y  y y y  y  x  1  x  1  2   3     y   y   Thế vào phương trình (1), ta :  y  y   3  y  x 1  2  x  2 y  y y2  y    y  18 y    y  14  x   , thỏa điều kiện ban đầu 18 14 Hệ phương trình có nghiệm :   ;   18   x  xy  y  2  x  xy  y   x  y Bài toán 188  1  2 Giải : Phương trình (2)  x2  (1  y ) x  y  y  Xem phương trình theo ẩn x, cịn y tham số x  2y   (3 y  1)2 Nghiệm :   x   y 1  x  y ,thay x  y vào phương trình (1) ta :  y  1 x  y2     y  1  x  2  x   y  , thay vào phương trình (1) ta :   y  1    y  1 y  y   y  3  x   y2  y      y   x  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  2;1 ;  2; 1 ;  2; 3  ;  3;   x  xy  x   y  x  y  x  y  Bài toán 197  2 4 x  y  xy  x  y   2 x  xy  x   Giải : Điều kiện :   x  y  y  Phương trình (2)  y    x  y  x  x   (3) Xemphương trình (3) phương trình theo ẩn y, x tham số 4x  1   2x  y    Nghiệm :   y  4x  1  2x 1   y  x  ,t hế y = 2x -2 vào phương trình (1) ta có phương trình : x  x   x  x   x (4)  x  x   4x  x   3x 1 2  4x2  x 1  4x2  x   4x  x   4x  x   x0 (5) x Do x  x   x  x  2, x   nên từ phương trình ta có : x > Cộng phương trình(4) phương trình(5), vế theo vế, ta : x  x   3x  x 1    x  x  1   3x   x  2   x  1  x3  x  x  1   x   y  , thỏa phương trình  x4  x3  x2    y  x  ,thế y = 2x -1 vào phương trình (1) ta có phương trình : x   x  x   x  (6) 4 x  x   Điều kiện :  3x    x 3  41 0 Vì x  khơng thỏa phương trình nên x   x 1  x  3x   3x  3x   6  3 x  x   x  3x   x   x  x   1   3x  (7) 3x  Cộng phương trình(6) phương trình(7), vế theo vế, ta : x2   3x  3x   16 x   x      x  1   x   3x    16  3x  1   63x  42 x3  29 x  12  x 2 24 x 3x    x    x  1  16  24 x  x  1 2    x    63 x  84 x  27 x  18   3   1  y  , thỏa phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;0  ;  ;  3  3 ... trình (I)   2 y   y0 Vậy (-1; 0) nghiệm hệ phương trình  x  1 : Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2), vế theo vế, ta : y  TH 4:  x y    x   xy    x  x  1 (3)...    x   x  y  2  y   x  1  x  y    y     y = không thỏa hệ  Xét y  Chia vế phương trình (2) cho y, ta :  x   y  x  y   x   y  x  y     x  y ...  x  x  1   Từ phương trình (1) ta có :  y   y  1 2  y = không thỏa hệ  Xét y  Chia vế phương trình (2) cho y , ta : 2 x x x x2 x      6  0 2 y y y y y y y x x2 x x x