Ebook hướng dẫn học tập toán chuyên ngành (dùng cho sinh viên ngành đt VT hệ đào tạo đại học từ xa) phần 1

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG ===== ===== SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên soạn : Ts LÊ BÁ LONG LỜI NĨI ĐẦU Tiếp theo chương trình tốn học đại cương bao gồm giải tích 1, tốn đại số Sinh viên chun ngành điện tử-viễn thơng cịn cần trang bị thêm cơng cụ tốn xác suất thống kê toán kỹ thuật Để đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông Học viện, biên soạn tập giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học Học viện Qua trình giảng dạy chúng tơi thấy cần hiệu chỉnh bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên cơng cụ tốn học tốt Trong lần tái lần thứ hai tập giảng nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát đặc thù chuyên ngành viễn thông Chẳng hạn nội dung phép biến đổi Fourier sử dụng miền tần số f thay cho miền ω Dựa vào tính khai triển Laurent giới thiệu phép biến đổi Z để biểu diễn tín hiệu rời rạc hàm giải tích Tuy nhiên đặc thù phương thức đào tạo từ xa nên biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo Tập giáo trình bao gồm chương Mỗi chương chứa đựng nội dung thiết yếu coi công cụ toán học đắc lực, hiệu cho sinh viên, cho kỹ sư sâu vào lĩnh vực viễn thông Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ yêu cầu đề cương chi tiết môn học Học viện duyệt Trong chương chúng tơi cố gắng trình bày cách tổng quan để đến khái niệm kết Chỉ chứng minh định lý địi hỏi cơng cụ vừa phải khơng q sâu xa chứng minh định lý mà trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu chất định lý giúp người đọc dễ dàng vận dụng định lý Các định lý khó chứng minh dẫn đến tài liệu tham khảo khác Sau kết có ví dụ minh hoạ Cuối phần thường có nhận xét bình luận việc mở rộng kết khả ứng dụng chúng Tuy nhiên chúng tơi khơng q sâu vào ví dụ minh hoạ mang tính chun sâu viễn thơng hạn chế lãnh vực vượt khỏi mục đích tài liệu Thứ tự Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, đánh số theo loại chương Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 ví dụ thứ hai định nghĩa chương 3… Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay cơng thức chúng tơi rõ số thứ tự ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng Các công thức đánh số thứ tự theo chương Hệ thống câu hỏi ôn tập tập chương có hai loại Loại trắc nghiệm sai nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu học viên loại tập tổng hợp giúp học viên vận dụng kiến thức cách sâu sắc Vì nhận thức chúng tơi chun ngành Điện tử Viễn thơng cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót việc biên soạn tài liệu này, chưa đưa hết cơng cụ tốn học cần thiết cần trang bị cho cán nghiên cứu chuyên ngành điện tử viễn thơng Chúng tơi mong đóng góp nhà chun mơn để chúng tơi hồn thiện tốt tập tài liệu Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đọc thảo cho ý kiến phản biện quý giá đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người giúp tơi biên tập hoàn chỉnh tài liệu Chương 1: Hàm biến số phức Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệu Hà Nội 5/2006 Tác giả Chương 1: Hàm biến số phức CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC PHẦN GIỚI THIỆU Giải tích phức phận tốn học đại có nhiều ứng dụng kỹ thuật Nhiều tượng vật lý tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mô tả Trong chương tìm hiểu vấn đề giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent… Để nghiên cứu vấn đề thường liên hệ với kết ta đạt hàm biến thực Mỗi hàm biến phức w = f ( z ) = f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) tương ứng với hai hàm thực hai biến u ( x, y ) , v( x, y ) Hàm phức f ( z ) liên tục u ( x, y ) , v( x, y ) liên tục f ( z ) khả vi u ( x, y ) , v( x, y ) có đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại …Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai chuỗi số thực có số hạng tổng quát phần thực phần ảo số hạng tổng quát chuỗi số phức cho Sự hội tụ hay phân kỳ xác định hội tụ hay phân kỳ hai chuỗi số thực Từ tính chất đặc thù hàm biến phức có cơng thức tích phân Cauchy Đó công thức liên hệ giá trị hàm phức điểm với tích phân dọc theo đường cong kín bao quanh điểm Trên sở cơng thức tích phân Cauchy ta chứng minh kết quả: Mọi hàm phức giải tích có đạo hàm cấp, khai triển hàm phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích hình vành khăn khai triển thành chuỗi Laurent Bằng cách tính thặng dự hàm số điểm bất thường cô lập ta áp dụng để tính tích phân phức tích phân thực, tính hệ số khai triển Laurent phép biến đổi Z ngược Dựa vào tính khai triển Laurent ta xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc hàm giải tích Để học tốt chương học viên cần xem lại kết giải tích thực NỘI DUNG 1.1 SỐ PHỨC 1.1.1 Dạng tổng quát số phức Số phức có dạng tổng quát z = x + iy , x, y số thực; i = −1 x phần thực z , ký hiệu Re z y phần ảo z , ký hiệu Im z Khi y = z = x số thực; x = z = iy gọi số ảo Số phức x − iy , ký hiệu z , gọi số phức liên hợp với số phức z = x + iy Chương 1: Hàm biến số phức Hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 phần thực phần ảo chúng z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ; ⎧ x = x2 z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ y1 = y2 (1.1) Tập hợp tất số phức ký hiệu 1.1.2 Các phép toán Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 , ta định nghĩa: a) Phép cộng: Số phức z = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) gọi tổng hai số phức z1 z2 , ký hiệu z = z1 + z2 b) Phép trừ: Ta gọi số phức − z = − x − iy số phức đối z = x + iy Số phức z = z1 + (− z2 ) = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) gọi hiệu hai số phức z1 z2 , ký hiệu z = z1 − z2 c) Phép nhân: Tích hai số phức z1 z2 số phức ký hiệu định nghĩa biểu thức: z = z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) d) Phép chia: Nghịch đảo số phức z = x + iy ≠ số phức ký hiệu (1.2) hay z −1 , thỏa z mãn điều kiện zz −1 = Vậy z −1 = x '+ iy ' ⎧ xx '− yy ' = x −y , y'= ⇒ x' = ⎨ x +y x + y2 ⎩ yx '+ xy ' = (1.3) x x + y1 y2 y1x2 − x1 y2 Số phức z = z1z2−1 = gọi thương hai số phức z1 + i x22 + y22 x22 + y22 z z2 , ký hiệu z = ( z2 ≠ ) z2 Ví dụ 1.1: Cho z = x + iy , tính z , z z ( ) Giải: z = ( x + iy ) = x − y + i ( xy ) , z z = x + y Ví dụ 1.2: Tìm số thực x, y nghiệm phương trình ( x + y )(1 + i ) − ( x + 2i )( + i ) = − 11i Giải: Khai triển đồng phần thực, phần ảo hai vế ta ⎧2 x + y + = ⇒ x = −3, y = ⎨ ⎩4 x + y − = −11 Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ z + iw = Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình ⎨ ⎩2 z + w = + i Giải: Nhân i vào phương trình thứ cộng vào phương trình thứ hai ta ( + i ) z = + 2i ⇒ z= + 2i (1 + 2i )( − i ) + 3i , = = 2+i 5 3+i ⎛ −1 + 3i ⎞ ⇒ w = i ( z − 1) = i ⎜ ⎟=− ⎝ ⎠ Ví dụ 1.4: Giải phương trình z + z + = Giải: z + z + = ( z + 1) + = ( z + 1) − ( 2i ) = ( z + − 2i )( z + + 2i ) 2 Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i 1.1.3 Biểu diễn hình học số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , có véc tơ đơn vị hai trục tương ứng JG JG i j Mỗi điểm M mặt phẳng hoàn y toàn xác định tọa độ ( x; y ) thỏa JJJJG JG JG mãn OM = x i + y j M y JJG j Số phức z = x + iy hoàn toàn xác định phần thực x phần ảo y O Vì người ta đồng điểm có tọa độ ( x; y ) với số phức z = x + iy , lúc mặt phẳng JJG i x x gọi mặt phẳng phức y 1.1.4 Dạng lượng giác số phức Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn JJG Oxy , ta chọn Ox làm trục cực điểm M ( x; y ) có tọa độ cực JJG JJJJG r = OM , ϕ = Ox, OM ( ) ( r;ϕ ) M y xác định JJG j O ⎧ x = r cos ϕ thỏa mãn ⎨ ⎩ y = r sin ϕ r ϕ JJG i x x Ta ký hiệu gọi z = r = OM = x + y (1.4) Argz = ϕ + k 2π , k ∈ (1.5) mô đun argument số phức z = x + iy Chương 1: Hàm biến số phức Góc ϕ số phức z = x + iy ≠ xác định theo công thức sau ⎧⎪tg ϕ = y/x ⎨ ⎪⎩cos ϕ = x/ x + y (1.6) Giá trị Argz nằm − π π gọi argument chính, ký hiệu arg z Vậy −π < arg z ≤ π Từ cơng thức (1.4) ta có z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1.7) gọi dạng lượng giác số phức Sử dụng khai triển Maclaurin chứng minh cơng thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ eiϕ + e −iϕ cos ϕ = , Do eiϕ − e −iϕ sin ϕ = 2i (1.8) (1.9) Từ (1.7)-(1.8) ta viết số phức dạng mũ z = z eiϕ (1.10) Các tính chất số phức ⎛z ⎞ ƒ z1 + z2 = z1 + z2 ; z1z2 = z1 z2 ; ⎜ ⎟ = ⎝ z2 ⎠ ƒ Re z = z+z z−z ; Im z = z∈ 2i ⎧⎪ z1 = z2 ƒ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ arg z1 = arg z2 ƒ zz = z , z1 z2 (1.11) ⇔ z = z (1.12) ⎧⎪ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ Argz1 = Argz2 + k 2π (1.13) z z z z z = = , = z2 z z zz z (1.14) z z1 = , z2 z2 (1.15) ƒ z1z2 = z1 z2 , z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⎛z ⎞ ƒ Arg ( z1z2 ) = Argz1 + Argz2 , Arg ⎜ ⎟ = Argz1 − Argz2 ⎝ z2 ⎠ (1.16) ⎧⎪ x ≤ z z ≤ x + y ƒ z = x + iy ⇒ ⎨ ⎪⎩ y ≤ z (1.17) Chương 1: Hàm biến số phức Ví dụ 1.5: a) Tập số phức z thỏa mãn z − = tương ứng với tập điểm có khoảng cách đến I (2; 0) 3, tập hợp đường trịn tâm I bán kính b) Tập số phức z thỏa mãn z − = z + tương ứng với tập điểm cách A(2;0) B(−4;0) đường trung trực đoạn AB có phương trình x = −1 1.1.5 Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre Lũy thừa bậc n số phức z số phức z n =  " z zz n lÇn Từ cơng thức (1.15)-(1.16) ta có cơng thức Moivre: zn = z n ( cos nϕ + i sin nϕ ) , Argz = ϕ + k 2π (1.18) Đặc biệt, z = ta có ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = ( cos nϕ + i sin nϕ ) ( Ví dụ 1.6: Tính −1 + 3i Giải: ( −1 + 3i ) 10 ) 10 (1.18)' 10 ⎡ ⎛ 2π 2π ⎞ ⎤ = ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 20π 20π ⎞ ⎛ = 210 ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎝ 2π 2π ⎞ 10 ⎛ ⎞ ⎛ i ⎟⎟ = −29 + i 329 = 210 ⎜ cos + i sin ⎟ = ⎜⎜ − + 3 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 1.1.6 Phép khai Số phức ω gọi bậc n z , ký hiệu ω = n z , ωn = z Nếu viết dạng lượng giác: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , ω = ρ(cos θ + i sin θ) z = ωn ⎧⎪ ρ n = r ⇔ ⎨ ⎪⎩ nθ = ϕ + k 2π , k ∈ ⎧ ρ=nr ⎪ ⇔ ⎨ ϕ + k 2π θ = ⎪ n ⎩ (1.19) Vì Argument số phức xác định sai khác bội số nguyên 2π nên với số phức z ≠ có n bậc n Các bậc n có mơ đun n r , Argument nhận ϕ k 2π giá trị θ = + ứng với k = 0, 1, , n − , nằm đỉnh n-giác nội tiếp n n y đường tròn tâm O bán kính n r z1 Ví dụ 1.7: Giải phương trình z + = i Giải: Nghiệm phương trình bậc π − = cos π + i sin π tương ứng là: z0 O z2 z3 x Chương 1: Hàm biến số phức z = cos π π 1+ i , + i sin = 4 z1 = iz = −1+ i z2 = − z0 = z = −iz = 2 (S ) , −1− i 1− i P • , ω y O x 1.1.7 Các khái niệm giải tích phức z • 1.1.7.1 Mặt cầu phức Trong 1.1.3 ta có biểu diễn hình học tập số phức cách đồng số phức z = x + iy với điểm M có tọa độ ( x; y ) mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Mặt khác ta dựng mặt cầu ( S ) có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy O, điểm z thuộc mặt phẳng Oxy tương ứng với điểm ω giao điểm tia Pz mặt cầu ( S ) , P điểm cực bắc ( S ) Vậy điểm mặt phẳng Oxy xác định điểm mặt cầu ( S ) ngoại trừ điểm cực bắc P Ta gán cho điểm cực bắc số phức vô ∞ Tập hợp số phức gọi tập số phức mở rộng thêm số phức vô Như toàn mặt cầu ( S ) biểu diễn hình học tập số phức mở rộng Quy ước: z = ∞ ( z ≠ 0) , z∞ = ∞ ( z ≠ 0) , z + ∞ = ∞ , ∞ − z = ∞ 1.1.7.2 Lân cận, miền a Lân cận Khái niệm ε − lân cận z ∈ định nghĩa hoàn toàn tương tự với ε − lân cận , hình trịn có tâm điểm bán kính ε { Bε ( z ) = z ∈ N − lân cận ∞ ∈ : { B N (∞ ) = z ∈ z − z0 < ε } (1.23) z > N ∪ {∞} } (1.23)’ b Điểm trong, tập mở Giả sử E tập điểm mặt phẳng phức mặt cầu phức Điểm z gọi điểm E tồn lân cận z nằm hoàn toàn E Tập gồm điểm gọi tập mở 10 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt I m, n = z m J n +1 ( z ) − ( m − n − 1) I m −1, n +1 (3.61) 3.5.3 Các tích phân Lommel Định lý 3.8: z z k ≠ l (3.62) z k ≠ l (3.63) ∫ Jα ( kz ) Jα ( lz ) zdz = k − l {kJα ( lz ) Jα +1 ( kz ) − lJα ( kz ) Jα +1 ( lz )} , z ∫ Jα ( kz ) Jα ( lz ) zdz = k − l {lJα −1 ( lz ) Jα ( kz ) − kJα −1 ( kz ) Jα ( lz )} , z ∫ zJ α (kz )dz = ⎫ ⎛ ⎧⎪ α ⎞⎟ ⎪ z ⎨ J 'α (kz ) + ⎜1 − J α (kz )⎬ ⎜ 2⎟ ⎪ ⎪⎭ ⎝ k z ⎠ ⎩ (3.64) 3.5.4 Quan hệ hai hàm Bessel với cấp số nguyên Từ công thức (3.55) suy ra: z − α −1 J α +1 ( z ) = − [ d −α z J α ( z) z dz ] Thay α α + vào công thức có: z −α − J α + ( z) = − hay { [ } ] d − α −1 d ⎧ d −α ⎫ z J α +1 ( z ) = − z J α ( z) ⎬ ⎨− z dz z dz ⎩ z dz ⎭ z −α−2 J α + ( z ) = (−1) d2 ( zdz ) {z −α J α ( z)} z −α−n J α + n ( z ) = (−1) n dn ( zdz ) n {z −α J α ( z)} (3.65) Tương tự từ công thức (3.54 ) nhận z α −1 J α −1 ( z ) = [ d α z J α ( z) dz z α −n J α −n ( z ) = dn ( zdz ) n [z α ] J α ( z) ] 3.5.5 Khai triển theo chuỗi hàm Bessel 3.5.5.1 Nghiệm hàm Bessel Chúng ta xét nghiệm phương trình J α ( x ) = với x ∈  α > −1 Định lý 3.9: Tất nghiệm J α ( x ) = thực Định lý 3.10: Các nghiệm x > J α (x ) = J α+1 ( x ) = xen kẽ 106 (3.66) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt 3.5.5.2 Khai triển Fourier - Bessel Định lý 3.11: Dãy hàm { x J α (λ i x)}, i = 1, 2, 3, trực giao [0; 1] λ1 , … , λ i , … nghiệm phương trình J α (x ) = Định nghĩa 3.2: Nếu hàm số f(x) biểu diễn dạng f (x) = ∞ ∑ J α (λ i x ) (3.67) i =1 nói hàm số khai triển thành chuỗi Fourier - Bessel Từ định lý 3.11 suy rằng, f (x) khai triển thành chuỗi Fourier - Bessel hệ số chuỗi tính theo cơng thức: = ∫ x f ( x).J α (λ i x)dx ; J ' α2 (λ i ) i = 1, 2, (3.68) Gọi hệ số Fourier - Bessel Ví dụ 3.4: Hãy khai triển hàm số f ( x) = thành chuỗi Fourier-Bessel khoảng (0; 1) xJ o (λi x), i = 1, theo hệ hàm Theo (3.68 ) có: a i = = Vậy 2 J '0 ( λ i ) ∫ xJ ( λ i x ) dx ∫ λi xJ (λi x)d (λi x) λi2 J12 (λi ) f ( x) = = = λi 2 ∫ xJ ( x)dx = λi J1 (λi ) ; λi2 J12 (λi ) J (λ1 x) J (λ x ) J (λ x ) + + + λ1 J1 (λ1 ) λ J1 (λ ) λ J1 (λ ) + i = 1, 2, J (λ i x ) + λ i J1 (λ i ) 3.5.6 Các hàm Bessel loại loại với cấp bán nguyên Xét phương trình Bessel với cấp bán nguyên α = , tức phương trình có dạng: ⎞ d y dy ⎛ + + ⎜1 − ⎟ y = dz z dz ⎝ z ⎠ Đặt y = uz −1 , dẫn phương trình dạng: d 2u dz +u = Phương trình cho nghiệm tổng quát u = A cos z + B sin z Do đó: y = ( A cos z + B sin z ) Tìm A, B để y trùng với J1 ( z ) J −1 (z ) z Vì J1 (0 ) = suy A = 107 (3.69) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt ∞ (−1) r ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞2 sin z = J1 ( z ) = ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ r =0 r!Γ⎛ r + ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ B = (−1) r z 2r +1 ⇒ B= ∑ πz r =0 (2r + 1)! ∞ sin z πz J1 ( z ) = Do 2r (3.70) cos z πz J −1 ( z ) = π (3.71) Từ (3.45 ) nhận hàm Bessel loại 2: Y1 ( z ) = − J −1 ( z ) = cos z ; πz Từ cơng thức truy tốn (3.50), lấy α = lấy α = − nhận được: J − ( z ) = Y−1 ( z ) = J1 ( z ) = nhận được: J ( z ) = 2 sin z πz ⎛ sin z ⎞ − cos z ⎟ ⎜ πz ⎝ z ⎠ 2⎛ cos z ⎞ ⎜ − sin z − ⎟ πz ⎝ z ⎠ Tương tự ta có công thức sau: J ( z) = ⎫ ⎧⎛ 3 ⎞ ⎨⎜ − 1⎟ sin z − cos z ⎬ , πz ⎩⎝ z z ⎠ ⎭ J ( z) = ⎫ ⎧⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎨⎜ − ⎟ sin z − ⎜ − 1⎟ cos z ⎬ , πz ⎩⎝ z z⎠ ⎝z ⎠ ⎭ J −7 ( z ) = πz J −5 ( z) = ⎫ ⎧3 ⎛ ⎞ ⎨ sin z + ⎜ − 1⎟ cos z ⎬ πz ⎩ z ⎝z ⎠ ⎭ ⎧⎛ 15 ⎞ ⎫ ⎛ 15 ⎞ ⎨⎜1 − ⎟ sin z − ⎜ − ⎟ cos z ⎬ , z⎠ ⎝z ⎩⎝ z ⎠ ⎭ ⎫ ⎛ 105 10 ⎞ ⎧⎛ 105 45 ⎞ ⎨⎜⎜ − + 1⎟⎟ sin z − ⎜⎜ − ⎟⎟ cos z ⎬ , πz ⎩⎝ z z ⎠ z ⎝ z ⎠ ⎭ J ( z) = J −9 ( z ) = ⎫ ⎧⎛ 105 10 ⎞ ⎛ 105 45 ⎞ ⎨⎜ − ⎟ sin z + ⎜ + + 1⎟ cos z ⎬ πz ⎩⎝ z z ⎠ z ⎝ z ⎠ ⎭ Từ công thức (3.65) (3.66) ta nhận cơng thức truy tốn hàm Bessel với cấp bán nguyên sau: J J n+ n ( z ) = ( −1) π −n− ( z) = 2 π z n+ z n+ d n ⎛ sin z ⎞ n +1 ⎟ ; Yn + ( z ) = (−1) J − n − ( z ) n ⎜ ( zdz ) ⎝ z ⎠ 2 d n ⎛ cos z ⎞ n ⎜ ⎟ ; Y ( z ) = (−1) J n + ( z ) ( zdz ) n ⎝ z ⎠ − n − 2 108 (3.72) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt 3.5.7 Ứng dụng hàm Bessel tính tích phân Fresnel Tích phân cosin Fresnel α πt C(α) = ∫ cos dt (3.73) Tích phân sin Fresnel α S(α) = ∫ sin πt dt (3.74) πt = z ý đến công thức (3.70), (3.71) nhận Đặt πα C (α ) = πα 2 ∫ πα S(α ) = 2 ∫ 2 cos zdz = πz ∫ J − ( z ) dz πα 2 sin zdz = πz 2 ∫ J ( z ) dz Từ công thức (3.58) suy ra: C(α ) = J (α ') + J (α ') + J (α ') + S(α ) = J (α ') + J (α ') + J 11 (α ') + (3.75) π α ;α '= 3.5.8 Hàm Bessel cấp nguyên e Xét hàm số zt e2 e − z (t − ) t zt = e e −z 2t n ∞ 1⎛z⎞ zt ⎛ zt ⎞ = ∑ ⎜ ⎟ tn = 1+ + ⎜ ⎟ + 2! ⎝ ⎠ n = n! ⎝ ⎠ z 2t ∞ (−1) n = ∑ n = n! n ⎛ zt ⎞ + ⎜ ⎟ + n! ⎝ ⎠ n z 1⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ −n ⎜ ⎟ t = 1− + ⎜ ⎟ − 2t 2! ⎝ 2t ⎠ ⎝ 2⎠ n 1⎛ z ⎞ + (−1) ⎜ ⎟ + n! ⎝ 2t ⎠ n Hai chuỗi hội tụ tuyệt t ≠ Thực phép nhân chuỗi Hệ số t n chuỗi luỹ thừa z J n ( z ) cịn hệ số t − n J − n (z ) z zt − e e 2t Thật = ∞ ∑ An t −n + n =0 k ⎛ z ⎞ (−1) k + n ⎛ z ⎞ An = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k =0 k! ⎝ ⎠ ( k + n)! ⎝ ⎠ ∞ k +n ⎛z⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ −n ∞ ∞ ∑ Bn t n n =0 (−1) k + n ⎛ z ⎞ ⎜ ⎟ ∑ k =0 k!( k + n)! ⎝ ⎠ 109 2( k + n ) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt ⎛z⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ Bn = Do e −n ∞ (−1) r ⎛ z ⎞ ∑ r!(r − n)! ⎜⎝ ⎟⎠ r =0 2r = J − n (z ) k ∞ (−1) k ⎛ z ⎞ ⎛z⎞ ∑ k! ⎜⎝ ⎟⎠ (k + n)! ⎜⎝ ⎟⎠ k =0 z (t − ) t = J ( z ) + tJ1 ( z ) + k +n ⎛z⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ n ∞ (−1) k ⎛ z ⎞ ⎜ ⎟ ∑ k =0 k!( k + n)! ⎝ ⎠ + J −1 ( z ) + t + t n J n ( z) + + 2k = J n (z ) J −n ( z) + tn J n ( z ) = (−1) n J −n ( z ) Vì: nên có: e Hàm số F (t , z ) = e z (t − ) t z (t − ) t ⎧ n (−1) n ⎫ = J ( z ) + ∑ J n ( z ) ⎨t + n ⎬ t ⎭ n =1 ⎩ ∞ (3.76) gọi hàm sinh hàm Bessel loại cấp nguyên, biểu diễn qua chuỗi (3.76) hội tụ tuyệt z với t ≠ Đặt t = eiθ thay vào (3.76) có: e iz sin θ { ∞ = J ( z ) + ∑ J n ( z ) e inθ + (−1) n e −inθ n=1 ∞ ∞ k =1 k =1 } = J ( z ) + ∑ J 2k ( z ) cos 2kθ + 2i ∑ J 2k −1 ( z ) sin(2k − 1)θ So sánh phần thực phần ảo hai vế nhận được: ∞ cos( z sin θ) = J ( z ) + ∑ J 2k ( z ) cos 2kθ (3.77) k =1 ∞ sin( z sin θ) = ∑ J 2k −1 ( z ) sin(2k − 1)θ (3.78) k =1 Thay θ θ − π vào cơng thức có ∞ cos( z cos θ) = J ( z ) + ∑ (−1) k J 2k ( z ) cos 2kθ (3.79) k =1 ∞ sin( z cos θ ) = −2∑ (−1) k J k −1 ( z ) cos(2k − 1)θ (3.80) k =1 Như nhận khai triển Fourier hàm số cos ( z cos θ ) , sin ( z cos θ ) , cos ( z sin θ ) , sin ( z sin θ ) Từ suy ra: 110 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt π π J k ( z ) = ∫ cos( z sin θ) cos 2kθdθ ; π J k −1 ( z ) = ∫ sin( z sin θ) sin(2k − 1)θdθ π 0 π π 0 ∫ sin(2m − 1)θ sin 2kθ dθ = , Vì rằng: ∫ cos 2mθ cos(2k − 1)θ dθ = 0; ∀m Theo (3.77) - (3.78) ta có: π π 0 1 sin( z sin θ) sin 2kθdθ = ; ∫ cos( z sin θ) cos(2k − 1)θdθ = ∫ π π π Cuối nhận được: J n ( z ) = ∫ {cos( z sin θ) cos nθ + sin( z sin θ) sin nθ}dθ π π J n ( z) = cos(nθ − z sin θ)dθ π∫ (3.81) Gọi vế phải (3.81) tích phân Bessel 3.5.9 Biểu diễn hàm Bessel Jα(z) qua tích phân xác định π Từ (3.25 ), (3.26) nhận = cos p −1θ sin 2q −1 θdθ ∫ Γ ( p + q ) Γ ( p )Γ ( q ) π Đặt p = r + Thay 1 , q = α + ta = 2 Γ(r + α + 1) 2 cos r θ sin 2α θ dθ ∫ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Γ ⎜ r + ⎟ Γ ⎜α + ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎞ 1.3 (2r − 1) ⎛ π vào biểu thức J α ( z ) Γ⎜ r + ⎟ = 2⎠ Γ ( r + α + 1) ⎝ 2r Khi Jα ( z ) = = = ⎛z⎞ 1⎞⎜2⎟ ⎛ π Γ ⎜α + ⎟ ⎝ ⎠ 2⎠ ⎝ π α 2 ⎛z⎞ 1⎞⎜2⎟ ⎛ π Γ ⎜α + ⎟ ⎝ ⎠ 2⎠ ⎝ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ 1⎞⎝2⎠ ⎛ πΓ ⎜ α + ⎟ 2⎠ ⎝ π α ∞ r 2r (−1) z r =0 ∞ (−1) r z r cos r θ dθ (2 r ) ! r =0 2α ∫ sin θ ∑ π α2 ∫ sin ∑ 1.3 (2r − 1).2.4 2r ∫ cos2r θ sin 2α θ dθ 2α θ cos( z cos θ)dθ 111 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt Đặt u = cos θ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ 1⎞⎝ 2⎠ ⎛ πΓ ⎜ α + ⎟ 2⎠ ⎝ J α ( z) = ∫( α1 ) α− 1− u cos zudu , α > − (3.82) 3.5.10 Biểu diễn hàm Jα(z) qua tích phân Cauchy Thay Γ(α + r + 1) tích phân Cauchy (3.22) vào cơng thức (3.38) hàm J α ( z ) nhận α ∞ ⎛z⎞ Jα ( z ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ (−1) r = 2π i r ∑ e ∫ r !tα r +1 C α ⎛z ⎞ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ dt = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2π i ⎝ 4t ⎠ t t− ∫ C z2 4t e dt t α +1 (3.83) Chu tuyến C nói rõ mục 3.3.3 3.5.11 Các phương trình vi phân đưa phương trình Bessel 3.5.11.1 Phương trình dạng d2y dx Đổi biến z = kx ⇒ + dy ⎛⎜ α ⎞⎟ + k − y =0 x dx ⎜⎝ x ⎟⎠ dy dy dy dz d2y d2y , tương tự = k2 = =k dx dz dx dz dx dz Thay vào phương trình dẫn đến phương trình Bessel d2y dz + dy ⎛⎜ α ⎞⎟ + 1− y=0 z dz ⎜⎝ z ⎟⎠ nghiệm tổng quát là: ⎧ AJ α (kx ) + BJ −α (kx ) nÕu α ≠ n Z α (kx ) = ⎨ ⎩ AJ α (kx ) + BYα (kx ) nÕu α = n Ví dụ 3.5: Giải phương trình y ' '+ a y '+by = , a, b số x {[ ] } Thay biến y = x α u có: x α u"+(a + 2α) x α −1u '+ (a − 1)α + α x α − + bx α u = Chọn α = ⎛ 1− a α ⎞⎟ để a + 2α = , ta được: u ' ' + u ' + ⎜ b − u = ⎟ ⎜ x x ⎠ ⎝ Nghiệm tổng quát là: y= Ví dụ 3.6: Giải phương trình 1− a x Z y '' + 1− a ( x b) a ' c y + (bx m − ) y = , (c ≥ 0) x x2 112 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt m +1 1− a Tương tự đặt: y = x u , α = thay biến t = x nhận phương trình α ' ⎛⎜ 4b (1 − a ) + 4c ⎞⎟ u + u + − u =0 ⎜ ( m + 2) t (m + 2) t ⎟⎠ ⎝ '' ⎛ b ⎞ t ⎟⎟ ⎝m+2 ⎠ Nghiệm tổng quát: u = Z α ' ⎜⎜ ⇒ y= 1− a x Z m+2 ⎞ ⎛ ⎜ b ⎟ x ⎟ với α' ⎜ ⎜m+2 ⎟ ⎝ ⎠ Chẳng hạn phương trình: y ' '+ (1 − a) + 4c , (m ≠ −2) α'= m+2 y '−16 x y = có nghiệm x ⎛4 ⎞ y = x −2 Z ⎜ ix ⎟ ⎝3 ⎠ Các trường hợp riêng ví dụ 3.6: a ⎛ C ⎞ y ' '+⎜⎜ bx m + ⎟⎟ y = cho nghiệm tổng quát dạng: x2 ⎠ ⎝ m+2 ⎞ ⎛ − 4C ⎜ b ⎟ y = xZα ⎜ x ⎟, α= m+2 ⎜m+2 ⎟ ⎝ ⎠ ( ) b ⎛ p ( p + 1) ⎞ y ' '+⎜⎜ b − ⎟⎟ y = có nghiệm tổng quát y = x Z x b p+ x2 ⎠ ⎝ c m+2 ⎞ ⎛ b ⎜ ⎟ y ' '+bx y = có nghiệm tổng quát y = x Z ⎜ x ⎟ ⎜ m+2 ⎟ m+2 ⎝ ⎠ d e m y ' '+bxy = có nghiệm tổng quát y = 3⎞ ⎛ ⎟ ⎜2 xZ ⎜ bx ⎟ ⎟ ⎜3 3⎝ ⎠ a y ' '+ y '+bx m y = có nghiệm tổng quát y = x x Ví dụ 3.7: 1− a Z m+ ⎞ ⎛ ⎜ b ⎟ x ⎟ 1− a ⎜ ⎜m+2 ⎟ m+ ⎝ ⎠ d ⎛ α dy ⎞ β ⎜x ⎟ + bx y = dx ⎝ dx ⎠ Dẫn đến phương trình e với m = β − α a = α Nhận xét: Khi m = −2 phương trình ví dụ 3.6 dẫn đến phương trình Euler: x y ' '+ axy'+ ky = 113 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt Bằng cách đặt x = e u dẫn đến phương trình hệ số hằng: d2y du + (a − 1) dy + ky = du 3.5.11.2 Phương trình dạng ⎞ ⎛⎜ a α ⎞⎟ ⎛ y ' '+⎜ 2a + ⎟ y '+ b + − y=0 x ⎠ ⎜⎝ x x ⎟⎠ ⎝ (3.84) Đặt: y = e − ax u nhận phương trình ⎛ α ⎞⎟ u '' + u ' + ⎜ b − a − u =0 ⎟ ⎜ x x ⎠ ⎝ (3.85) a ⎫ Khi b ≠ a nghiệm tổng quát có dạng: y = e − ax Z α ⎧ ⎨ b − a x⎬ ⎭ ⎩ b Khi b = a α ≠ , (3.66)' phương trình Euler có hai nghiệm độc lập u1 = x α ( ) u = x −α Vậy nghiệm tổng quát (3.66): y = e − ax Ax α + Bx −α ; A,B số tuỳ ý c Khi b = a α ≠ , (3.66)' có nghiệm tổng quát u = A + B ln x Vậy (3.66) có nghiệm tổng quát y = e − ax ( A + B ln x) ; A,B số tuỳ ý 3.5.11.3 Phương trình dạng g ( x) ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ α y ' '+ ⎢ − g ( x)⎥ y '− ⎢1 − + g ( x) − g ' ( x) − ⎥y = x ⎥⎦ ⎣x ⎦ ⎣⎢ x Nghiệm tổng quát có dạng: y = e ∫ g ( x ) dx Z α ( x ) tgx ⎞⎟ ⎛1 ⎞ ⎛α Ví dụ 3.8: y ' '+⎜ − tgx ⎟ y '+⎜ + y=0 x ⎟⎠ ⎝x ⎠ ⎜⎝ x Z α ( x) cos x Có nghiệm y= Ví dụ 3.9: cotgx ⎞⎟ ⎛1 ⎞ ⎛⎜ α y ' '+⎜ + 2cotgx ⎟ y '− − y=0 x ⎟⎠ ⎝x ⎠ ⎜⎝ x Có nghiệm y= Z α ( x) sin x TÓM TẮT Khai triển tiệm cận 114 (3.86) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt a a1 a + + + n+ ( i = 0, 1, 2, ) số phức, z z2 zn gọi khai triển tiệm cận hàm số f ( z ) thoả mãn hai điều kiện : Chuỗi hàm • a0 + lim Rn ( z ) = lim z n { f ( z ) − S n } = , ( n cố định) z →∞ z →∞ a Trong : S n = a0 + + z • + an tổng riêng thứ n zn f ( z ) − S n không dần đến n → ∞ với z cố định Các hàm số tích phân ∞ e−t Ei(x) = ∫ dt , x > t x đọc hàm tích phân mũ x x sin t dt , x > t Si(x) = ∫ đọc hàm tích phân sin x ∞ cos t dt , x > đọc hàm tích phân cosin x t x Ci(x) = − ∫ ∞ sin t dt t x Ngoài ký hiệu: si(x) = − ∫ đọc tích phân sin x Hàm số Gamma m!m z m → ∞ z ( z + 1)( z + 2) ( z + m) z ≠ 0, − 1, − 2, Γ( z ) = lim (công thức Gauss) z ∞ z⎞ − ⎛ Công thức Weierstrass: = ze γ z Π ⎜1 + ⎟e m m⎠ Γ( z ) m=1⎝ ∞ Công thức Euler: Γ( z ) = ∫ e − t t z −1dt Re z > Hàm Bêta Hàm số biểu diễn dạng tích phân phụ thuộc hai tham số thực p, q > B( p, q) = ∫ x p −1 (1 − x) q −1 dx π gọi hàm Beta B ( p, q ) = ∫ cos p −1 θ sin q −1 θdθ , B ( m, n) = 115 Γ ( m).Γ( n) Γ ( m + n) Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt Hàm lỗi erf ( x ) = ⎛ x ⎞ x −t e dt erf ⎜ ⎟ + = 2Φ (x ) ∫ π ⎝ 2⎠ Phương trình Bessel cấp α Phương trình vi phân tuyến tính d2y dz + dy α2 + (1 − )y = z dz z2 Hàm Bessel loại 1: ⎛z⎞ J α ( z) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ α ∞ (−1) r ⎛z⎞ ∑ r!Γ(α + r + 1) ⎜⎝ ⎟⎠ r =0 2r ⎛z⎞ ; J ( z) = ⎜ ⎟ −α ⎝2⎠ ⎧ cosπα Jα ( z ) − J −α ( z ) ⎪ sin πα Hàm Bessel loại 2: Yα ( z ) = ⎨ ⎪ lim Yβ ( z ) β →n ⎩ −α ∞ (−1) r ⎛z⎞ ∑ r!Γ(r + − α) ⎜⎝ ⎟⎠ r =0 2r nÕu α ≠ n nÕu α = n Khai triển Fourier - Bessel Nếu f (x ) biểu diễn dạng f ( x ) = ∞ ∑ a i J α ( λ i x ) nói hàm số khai triển i =1 thành chuỗi Fourier– Bessel Trong λ1 ,…, λ i ,… nghiệm phương trình J α ( x ) = = ∫ x f ( x).J α (λ i x)dx ; i = 1, 2, hệ số Fourier-Bessel J ' α2 (λ i ) CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 3.1 Khai triển tiệm cận khai triển Laurent hàm số ∞ Đúng Sai 3.2 Các hàm tích phân mũ, tích phân cosin, tích phân sin có đạo hàm cấp Đúng Sai a a 3.3 Nếu a0 + + + z z2 Đúng Sai + an z n + khai triển tiệm cận f (z ) f ( z ) = Sai 3.5 Hàm Gama xác định với số phức Re z > Đúng Sai 3.6 Hàm Bêta hàm thực hai biến ( p, q ) xác định với p > 0, q > Đúng Sai 3.7 Hàm Bessel nghiệm phương trình Bessel 116 a ∑ z nn n =0 3.4 Các hàm tích phân hàm sơ cấp Đúng ∞ Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt Đúng Sai 3.8 Hàm Bessel loại I J α (z ) loại II Yα (z ) luôn độc lập tuyến tính Đúng Sai 3.9 Hàm Bessel loại I J α ( z ) J −α ( z ) ln phụ thuộc tuyến tính Đúng Sai 3.10 Nếu hàm f (x) khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel f (x ) hàm tuần hồn Đúng Sai 3.11 Áp dụng phép biến đổi Laplace suy công thức khai triển sau: ∞ (−1) n x n+1 (−1) n x 2n Ei( x) = − γ − ln x + ∑ ; Ci( x) = γ + ln x + ∑ n=0 n + (n + 1)! n=0 2n ( 2n)! ∞ 3.12 Tính ⎛5⎞ Γ(3)Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ a ⎛ 11 ⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ b Γ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ d Γ⎜ − ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝4⎠ ⎛ 5⎞ c Γ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 3.13 Sử dụng hàm Gamma tính tích phân sau: ∞ ∞ a −x ∫ x e dx ∫x b −2 x e dx 3.14 Sử dụng hàm Gamma tính tích phân sau: ∞ a ∫ ∞ y e − y dy b ∫3 − 4t dt 3.15 Chứng minh: ∫x m n (ln x) dx = (−1) n n! (m + 1) n +1 n ∈ ² , m ∈  , m > −1 3.16 Áp dụng hàm Beta tính tích phân sau: a ∫ x (1 − x )dx b ∫ x dx c 2−x ∫x − x dx 3.17 Áp dụng hàm Beta tính tích phân sau: π a ∫ sin θ cos θdθ π b ∫ cos θdθ π c ∫ 117 tgθ dθ Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt ⎧ π (n − 1)!! ⎪⎪ n!! 3.18 Chứng minh: ∫ sin n θdθ = ∫ sin n θdθ = ⎨ ⎪ (n − 1)!! 0 ⎪⎩ n!! π π nÕu n chẵn n lẻ (2k+1)!! = 1.3.5 (2k+1) (2k)!! = 2.4.6 (2k) π 3.19 Đặt I = ∫ sin π 2p xdx , J= ∫ sin 2p xdx, p > 0 a Chứng minh: I = J Γ( p + ) π ; b Chứng minh: I = 2Γ( p + 1) 2 p −1 ⎧ 1⎫ ⎨Γ( p + ⎬ 2⎭ ⎩ Γ(2p + 1) J= c Suy công thức nhân đôi hàm Gamma: 1⎞ ⎛ 2 p −1 Γ( p)Γ⎜ p + ⎟ = πΓ(2 p) 2⎠ ⎝ 3.20 Chứng minh rằng: ∞ a x p −1 ∫ x + dx = Γ( p )Γ(1 − p ) , < p < ∞ b ⎛ dx 1⎞ ⎛ 1⎞ ∫ x p + = Γ⎜⎜⎝1 + p ⎟⎟⎠Γ⎜⎜⎝1 − p ⎟⎟⎠ , p > 3.21 Tính tích phân sau ∞ a dx ∫ x + dx ∞ b ∞ xdx ∫ x6 + c x dx ∫ x4 +1 3.22 Chứng minh cơng thức truy tốn hàm Bessel 1) J α+1 ( z ) = 2α J α ( z ) − J α −1 ( z ); 2) zJ'α ( z ) = zJ α−1 ( z ) − αJ α ( z ); z 3) zJ'α ( z ) = αJ α ( z ) − zJ α+1 ( z ); 5) d α ( z J α ( z )) = z α J α −1 ( z ); dz 4) J' α ( z ) = 6) {J α−1 ( z ) − J α+1 ( z )}; d −α ( z J α ( z )) = − z −α J α +1 ( z ); dz 118 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt 7) z α -n J α − n ( z ) = dn ( zdz ) n ( z −α J α ( z )); z −α-n J α + n ( z ) = (−1) n z α α ∫ z J α−1 ( z )dz = z J α ( z ) 8) z0 z 9) z0 dn ( zdz ) n ( z −α J α ( z )); z z z0 z0 −α −α ∫ z J α+1 ( z )dz = − z J α ( z ) z 10) ∫ J α ( z )dz = 2{J α +1 ( z ) + J α + ( z ) + } 3.23 Tính tích phân khơng xác định: a ∫x n J n − ( x )dx b J n( x+)1 ∫ x n dx c ∫x c ∫ J ( x) sin xdx J1 ( x ) dx 3.24 Tính theo J1 ( x) J ( x) a J ( x) b ∫ J1 (3 x )dx 3.25 Chứng minh: a = J ( x) + J ( x) + J ( x) + b J1 ( x) − J ( x) + J ( x) − J ( x) + = sin x 3.26 Chứng tỏ a ∞ J (λ n x ) 1− x2 =∑ , < x < λ J ( λ x ) n=1 n n Trong λ n nghiệm thực dương phương trình J (λ) = b x = ∞ 2(8 − λ2n ) J1 (λ n x) n=1 λ3n J '1 (λ n x) ∑ , < x < Trong λ n nghiệm thực dương phương trình J (λ ) = ∞ 3.27 Chứng minh f ( x) = ∑ a n J (λ n x) , < x < ; λ n nghiệm thực n=1 dương phương trình J (λ) = 3.28 a Chứng tỏ x = ∞ ∑λ n =1 ∞ n =1 2 ∫ x( f ( x)) dx = ∑ a n J1 (λ n ) J (λ n x ) , < x < Trong λ n nghiệm thực dương n J (λ n x ) phương trình J (λ ) = 119 Chương 3: Các hàm số phương trình đặc biệt ∞ b Sử dụng 27 a chứng tỏ 3.29 Chứng tỏ phương trình: d2y dx ∑ n =1 λ n + = dy α2 + (k − )y = x dx x2 có nghiệm tổng quát: y = AJ α (kx) + BYα (kx) 3.30 Giải phương trình sau: a zy" + y' + ay =0 b 4zy" + 4y' + y =0 c zy" + 2y' + 2y = d y" + z2y = 120 ... ƒ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ arg z1 = arg z2 ƒ zz = z , z1 z2 (1. 11) ⇔ z = z (1. 12) ⎧⎪ z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ Argz1 = Argz2 + k 2π (1. 13) z z z z z = = , = z2 z z zz z (1. 14) z z1 = , z2 z2 (1. 15) ƒ z1z2 = z1 z2... Chương 1: Hàm biến số phức Hai số phức z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 phần thực phần ảo chúng z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ; ⎧ x = x2 z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ y1 = y2 (1. 1) Tập hợp tất số phức ký hiệu 1. 1.2... ? ?1 ⇒ c? ?1 = v ∫ z ? ?1 z−2 2π i L1 z =1 36 = ? ?1 (theo công thức (1. 56) định lý 1. 9) Chương 1: Hàm biến số phức ƒ n≥0 ⎛ ⎞ ⇒ cn = ⎜ ⎟ (n + 1) ! ⎝ z − ⎠ ( n +1) = z =1 (? ?1) n +1 (n + 1) ! = ? ?1 (theo