Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
6,55 MB
Nội dung
Bài Các phép biến đổi Đặt vấn đề: Mục đích phép biến đổi đưa yếu tố hình học vị trí tổng qt vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải toán Dưới số phương pháp biến đổi I- Thay mặt phẳng hình chiếu 1- Thay mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 a) Π1 Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ A1 Π’1 A’1 x * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 trục hình chiếu Ax A A’x - Giả sử điểm A hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu (A1 , A2) - Chiếu vng góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1 Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến П’1≡П2 ( Chiều quay xác định hình 4.1) - Ta nhận đồ thức điểm A hệ thống A’1 Π2 b) A2 x’ A1 Ax x (П’1, П2), A’1 hình chiếu đứng điểm A Π1 Π2 A’1 *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu (П’1, П2): A’x Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ + A’1 , A’x , A2 nằm đường dóng vng góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi) A2 x’ Π Π’ Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2) B1 Tìm độ lớn thật góc nghiêng đoạn thẳng AB П2 Giải: Dựa vào tính chất đường mặt - AB cho vị trí - Thay П1 thành П’1 cho hệ thống A1 x B2 (П’1, П2) đoạn thẳng AB đường mặt A2 Khi hình chiếu đứng A’1B’1 độ lớn thật AB A’1B’1,x’ = φ góc AB với П2 - Bx Ax Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 x’ Π1 Π2 Π2 Π’ B’x A’x A’1 φ ĐLT: A B B’1 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) - Chú ý : Độ cao điểm A’1, B’1 Hình 4.2 Ví dụ: Tìm độ lớn thật góc nghiêng đoạn thẳng AB П2 b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 A’2 Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1 Cách xây dựng thay П1 thành П’1 A’x * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) A1 Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 x’ Π Π’ biết trước trục x’ giao П’2 với П1 (Hình 4.3) *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu (П1, П’2) x Ax Π1 Π2 + A1A’xA’2 nằm đường dóng vng góc với x’ + A’xA’2 =AxA2 A2 Hình 4.3 Thay mặt phẳng П2 thành П’2 A’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật tam giác ABC cho đồ thức (Hình 4.4) B’2 A’x A1 Giải: Dựa vào tính chất mặt phẳng đồng mức - (ABC) cho mặt phẳng chiếu đứng - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 cho П’2 //(ABC) B’x C’x B1 C1 Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1 Tìm A’2B’2C’2? C’2 x Ax Bx Cx - Kết ΔA’2B’2C’2 hình dạng độ lớn thật ΔABC Π Π1 C2 x’ Π’ Π2 A2 B2 Hình 4.4.Tìm hình dạng thật tam giác ABC A1 2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 thay П2 thành П’2 Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ x Ax Π1 Π2 ∏'2 ⊥ ∏'1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 П2 thành П’2, biết trước trục x’ giao П2 với П’1, trục x” giao П’1 với П’2 (Hình 4.5) Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1 Π2 Π’ A2 x’’ x’ A’x A’1 A”x A’2 - Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2 Chú ý: Không nhầm độ xa AxA2 với A’xA2 Π’1 Π’2 Hình 4.5 Thay mặt phẳng П1 thành П’1 A thay П2 thành П’2 Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2) Ax + Tìm A’1B’1? - Π2 Π’ A’1 B’x (П’1,П2), AB đường mặt + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2 Π1 Π2 B2 A1 A2 Bx x’ A’x B’1 A”x ≡ B”x (Độ cao điểm A âm) Thay П2 thành П’2 để hệ thống A’2 ≡ B’2 (П’1,П’2), AB đường thẳng chiếu + Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1 + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 có độ xa nhau, AB chiếu bằng) Π’ x Π’ Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu đưa đoạn thẳng AB vị trí đường thẳng chiếu hệ thống mới.(Hình 4.6) Độ cao âm Giải: - Thay П1thành П’1 để hệ thống B1 x’’ Hình 4.6 Ví dụ b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 thay П1 thành П’1 x’’ A’2 A’’x A’1 Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1 ∏'1 ⊥ ∏'2 A’x Thực phép thay tương tự mục a) Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành Π’ Π’1 x’ A1 Π Π’ П’2 П1 thành П’1, biết trước trục x’ giao П’2 với П1, trục x’’ giao П’1 với П’2 (Hình 4.7) Giải: Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2 Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1 Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax Ax x Π1 Π2 A2 Hình 4.7 Thay mặt phẳng П2 thành П’2 thay П1 thành П’1 phẳng mặt Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2 Tìm A’1B’1C’1? - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC x’ B”x B’2 A”x B1 C’1 chiếu Muốn vậy, vẽ đường mặt Af Chọn trục x’⊥A1f1 thống (П’1, П’2) (ABC) mặt x’’ B’x thống (П1, П’2) (ABC) mặt phẳng - Thay П1 thành П’1 cho hệ Π’ Π1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC cho đồ thức.(Hình 4.8) Giải: - Thay П2 thành П’2 cho hệ Tìm A’2B’2C’2? A’1 B’1 C”x A’2 f1 A’x C’2 11 A1 x Ax C’x Bx Cx C1 Π1 Π2 B2 A2 12 f2 C2 Hình 4.8 Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật tam giác ABC Π’ Π’ S1 b) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với đường sinh SM, giao tuyến parabol (P) (Hình 6.6) Giải: - (α) cắt nón theo parabol (P) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 α1 B1 I1 J1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón M1 B2 đỉnh parabol (P) A1 - Để vẽ parabol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I A2 I2 M2 S2 B2 J2 (P) Hình 6.6 Mặt phẳng (α) cắt nón theo parabol A’2 I’2 S1 c) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với hai đường sinh SM SP, giao tuyến hypecbol (H) (Hình 6.7) Giải: - (α) cắt nón theo hypecbol (H) có hình chiếu đứng đoạn A1B1 α1 B1 J1 I1 A1 - Tìm hình chiếu bằng: tốn điểm thuộc mặt nón B2 đỉnh hypecbol (H) M1 ≡ P1 - Để vẽ hypecbol, ta tìm điểm trung gian, ví dụ điểm I M2 A2 I2 J2 S2 B2 (H) I’2 Hình 6.7 Mặt phẳng (α) cắt nón theo hypecbol P2 A’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ 21 chiếu cho hình 6.8 (Trụ chiếu trụ có trục hay đường sinh vng góc với mặt phẳng hình chiếu П2) Giải: Giao tuyến (α) với trụ đường elíp Vì mặt trụ mặt trụ chiếu nên biết trước hình chiếu giao tuyến + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V + Tìm điểm thấp cao A, B + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB B1 X1 B C mα mα x O U Y1 11 X2 C2 D1 22 d2 B2 O2 V2 f2 nα 12 A2 D2 Y2 O2 α A1 U2 D A V1 h1 O1 U1 d V d1 C1 Π1 nα Hình 6.9 Giao (α ) với trụ chiếu đứng không gian f1 Π2 h2 Hình 6.8 Tìm giao tuyến α(mα, nα) với mặt trụ chiếu I1 IV- Giao tuyến đường thẳng với mặt cong Ví dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ chiếu đứng cho hình 6.9 Giải: - Giả thiết cho mặt trụ mặt trụ chiếu đứng, đường thẳng l - Ta biết giao điểm I, K có hình chiếu đứng I1, K1 K1 l1 nằm vòng tròn đáy trụ I1, K1∈ l1 - Tìm I2, K2 : Bài tốn điểm thuộc đường thẳng l2 K2 Chú ý: Nhất thiết đoạn I1K1, I2K2 phải khuất I2 Hình 6.9 Ví dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ chiếu Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu l với mặt nón cho hình 6.10 l1 T1 K1 H1 Giải: - Vì l đường thẳng chiếu , biết hình chiếu I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài tốn điểm thuộc mặt nón S1 O1 G1 I1 T’1 S2 l2 ≡I2≡K2 H2 ≡ G2 O2 Hình 6.10 Ví dụ 2: Vẽ giao đường thẳng chiếu bắng l với mặt nón Ví dụ 3: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) cho hình 6.11 Giải: - Trong tốn này, chưa biết hình chiếu giao điểm, ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), f1 (C1) 11 K1 (S1) O1 I1 φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ đường trịn (C): (C2) ≡ (φ2) - Tìm (C1) - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 (S2) I2, K2 ∈ f2 Hình 6.11 Ví dụ 1: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) O2 I2 12 (C2) K2 f ≡ φ2 * Chú ý: Để tìm giao điểm đường thẳng với mặt cong trường hợp tổng quát chưa biết hình chiếu giao điểm ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Mặt phẳng phụ trợ phải cắt mặt cong theo giao tuyến cho hình chiếu giao tuyến phải đường thẳng đường tròn Muốn vậy: + Với mặt nón, mặt phẳng phụ qua đường thẳng đỉnh nón + Với mặt trụ, mặt phẳng phụ qua đường thẳng song song với trục +Với mặt cầu ta sử dụng mặt phẳng phụ qua đường thẳng tâm cầu xoay quanh đường đường mặt, thay mặt phẳng hình chiếu * Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng qt (Hình 6.12) α a) S l S b) α T l T I I K F J F R K J Hình 6.12 Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát phương pháp mặt phẳng phụ trợ - Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l) Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón J Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón F JF cắt đáy nón hai điểm 1, Nối S1, S2 cắt l I K I, K giao điểm cần tìm * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.12.b) * Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát (Hình 6.15) a) α l b) T α l T K I I R K O O F J F J Hình 6.15 Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát - Lập mặt phẳng phụ trợ α qua l song song với trục trụ Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy trụ J Trên l lấy điểm T tùy ý, qua T kẻ đường thẳng song song với trục trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ F - JF cắt đáy nón hai điểm 1, Qua điểm 1, kẻ hai đường thẳng song song với trục trụ cắt l I K * Trường hợp giao điểm đường thẳng l với mặt phẳng đáy trụ xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng l (Hình 6.15.b) S1 V- Giao đa diện với mặt cong Mỗi mặt đa diện cắt mặt cong bậc theo đường bậc 2.Vì vậy, giao đa diện với mặt cong tổ hợp A1 ≡A’1 đường bậc 11 B1 ≡B’1 21 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với hình nón trịn xoay cho hình 6.16 41 Giải: - Vì lăng trụ cho lăng trụ chiếu đứng, biết hình chiếu đứng giao tuyến đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu giao tuyến : tốn điểm thuộc mặt nón Bổ xung thêm điểm 5-6 để vẽ giao tuyến xác - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung trịn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4 Hình 6.16 Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với nón tròn xoay 51 61 C1 ≡C’1 ≡31 C2 A2 B2 32 52 62 22 42 S2 12 2’2 6’2 3’2 A’2 C’2 5’2 B’2 S1 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng (Hình 6.17) Giải: - Vì mặt trụ cho mặt trụ chiếu đứng, hình chiếu đứng giao tuyến biết, cung elíp 1-2-3-4 - Có mặt (SAB) (SAC) cắt trụ - Tìm hình chiếu bằng: Giải toán điểm thuộc đa diện 11 21 41 31 A1 B1≡ C1 C2 Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất ; 2’ 22 32 A2 42 3’2 Hình 6.17 Tìm giao tuyến đa diện với trụ chiếu đứng S2 12 2’2 B2 S1 VI- Giao hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng nón trịn xoay đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên nón cắt trụ + Điểm điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp - Để vẽ đường cong ghềnh xác tìm thêm điểm X, Y Hình 6.18 Tìm giao trụ chiếu đứng với nón trịn xoay 11 X1 21 41 Y1 31 Y2 32 22 X2 42 12 S2 X’2 2’2 3’2 Y’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng mặt cầu đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 2,6 điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp trụ + Điểm điểm thuộc đường sinh cao trụ + Điểm điểm tiếp xúc trụ với cầu 71 51 61 21 31 32 22 62 52 72 5’2 6’2 Hình 6.19 Tìm giao mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2’2 3’2 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc điểm chúng cắt theo đường cong ghềnh bậc 4, điểm tiếp xúc hai mặt cong đường cong ghềnh bậc tự cắt Hình 6.20 Giao mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai cắt theo đường bâc hai chúng cắt theo đường bậc hai thứ hai 11 21 31 32 22 S2 Hình 6.21 Minh họa định lý 2’2 3’2 12 ... bên lăng trụ * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 P∈b ⇒P1∈b1 Q1 E? ?2 N2 B? ?2 G2 C1 C2 M? ?2 c2 P? ?2 s? ?2 t? ?2 k2 E2 M2 B2 Hình 5.3 Ví dụ 2: Tìm M2, N2 P2, Q1 a2 Q2 t2 P2 b ≡ s2 II- Giao tuyến mặt... Đoạn 124 2 khuất 31 21 B1 A1 C2 2? ? ?2 A2 J2 32 + Điểm 32 , 2? ? ?2 , 42 thẳng hàng, khơng S2 12 Hình 5.4 Ví dụ : Tìm giao tuyến mặt phẳng α(α1) với hình chóp C1 11 ≡41 42 cần tìm điểm 2? ? ?2 J1 22 B2 Ví... I2 E? ?2 M? ?2 Chú ý cịn điểm Q’1 đáy nón P? ?2 Q2 K2 J2 N2 Hình 6 .2 Điểm thuộc mặt nón Tìm M2 , N2, P2, Q1 K1 S2 ≡ O2 M2 E2 P2 Ví dụ 2: Cho điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình