Dạy giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhẩm nghiệm cho học sinh lớp 9 trường THCS phúc thịnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD&ĐT NGỌC LẶC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS PHÚC THỊNH Tác giả: Lê Hữu Quý Đơn vị công tác: Trường THCS Phúc Thịnh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2016 I MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Tốn học có vai trị vị trí đặc biệt quan trọng khoa học sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng mơn khoa học khác Thơng qua việc học tốn, học sinh nắm vững nội dung tốn học phương pháp giải tốn, từ em vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Hơn tốn học cịn sở ngành khoa học khác, tốn học có vai trị quan trọng trường phổ thơng, địi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo để tìm phương pháp giảng dạy hiệu giúp học sinh tiếp thu tốt áp dụng vào giải tập cách linh hoạt Để giúp em học tốt mơn tốn Người thầy giáo, giáo ngồi việc giúp em nắm kiến thức lý thuyết tốn, việc bồi dưỡng cho em mặt phương pháp giải loại tốn quan trọng Nó giúp em nhận dạng, tìm tịi đường lối giải cách nhanh chóng, hình thành kỹ phát triển tư ngày sâu sắc qua em yêu toán hơn, tự tin sống tương lai Căn thức khái niệm trừu tượng quan trọng sử dụng nhiều q trình dạy Toán THCS THPT Đại Học, Việc nắm vững khái niệm bậc THCS tảng cần thiết để em tiếp thu kiến thức cao bậc học sau Trong tốn học: “Giải phương trình vô tỷ” vấn đề phức tạp Thế lại góp phần giải tốn phức tạp sau Khi gặp phương trình khơng học sinh cịn lúng túng, khơng biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải nào? Trong nhiều năm tham gia giảng dạy, với kinh nghiệm đúc kết từ thực tiễn, mạnh dạn đưa phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ phương pháp "Nhẩm nghiệm" để đồng nghiệp tham khảo trao đổi, nhằm mục đích khắc phục tồn nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh khối có cách nhìn nhận phương pháp giải phương trình vơ tỷ tảng kiến thức trang bị cấp học, qua giúp em trau dồi phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo q trình giải tốn, góp phần bồi dưỡng em trở thành học sinh khá, giỏi mơn tốn trường phổ thơng Đó tích lũy kinh nghiệm tơi qúa trình học dạy tốn, với niềm mong ước giúp em học sinh dễ dàng tìm hướng giải phương trình có chứa dấu thường gặp chương trình sách giáo khoa SGK sách nâng cao tốn Mục đích nghiên cứu: - Do thời gian có hạn nên tơi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm với mục đích sau : + Giúp giáo viên tốn THCS quan tâm đến phương pháp dạy học tích cực rễ thực + Giúp giáo viên toán THCS nói chung GV dạy tốn THCS nói riêng có thêm thơng tin PPDH tích cực nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa biện pháp tối ưu áp dụng phương pháp vào dạy học sáng kiến tạo sở để GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi quy mô xuyên suốt + Qua sáng kiến muốn đưa số lỗi mà học sinh hay mắc phải trình lĩnh hội kiến thức chương bậc hai để từ giúp học sinh khắc phục lỗi mà em hay mắc phải trình giải tập thi cử, kiểm tra… Cũng qua sáng kiến tơi muốn giúp GV tốn có thêm nhìn sâu sắc hơn, ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán bậc hai cho học sinh để từ khai thác hiệu đào sâu suy nghĩ tư lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả tiềm tàng người học sinh + Qua sáng kiến tự đúc rút cho thân kinh nghiệm để làm luận cho phương pháp dạy học năm Đối tượng nghiên cứu: Như trình bày nên sáng kiến nghiên cứu hai nhóm đối tượng cụ thể sau: Giáo viên dạy toán THCS Học sinh lớp THCS Phúc Thịnh: bao gồm lớp hai khóa 2014 - 2015 2015 - 2016 Phương pháp nghiên cứu: - Đọc sách, tham khảo tài liệu - Thực tế chuyên đề, thảo luận đồng nghiệp - Dạy học thực tiễn lớp để rút kinh nghiệm -Thông qua học tập BDTX chu kỳ Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn tốn giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua quan tâm đến vấn đề mà học sinh mắc phải Qua học sinh làm tập lớp, qua kiểm tra hình thức khác nhau, bước đầu tơi nắm khó khăn mà học sinh thường mắc phải giải tập Sau tơi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề - Điều tra tồn diện đối tượng học sinh lớp hai khóa 2014-2015 2015-2016 để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học mơn tốn, quan điểm em tìm hiểu vấn đề giải tốn có liên quan đến bậc hai (bằng hệ thống phiếu câu hỏi trắc nghiệm ) - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động GV HS để phát trình độ nhận thức, phương pháp chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục - Thực nghiệm giáo dục giảng mới, tiết luyện tập, tiết trả kiểm tra đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm nguyên nhân khó khăn mà học sinh thường mắc phải giải tốn Từ tổ chức có hiệu dạy II NỘI DUNG: Cơ sở lý luận Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, nhận thấy: q trình hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ học sinh lúng túng vận dụng khái niệm, định lý, bất đẳng thức, công thức tốn học Việc vận dụng lí thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải tốn dẫn đến lời giải sai không làm Một vấn đề cần ý kỹ giải tốn tính tốn số học sinh cịn yếu Để giúp học sinh làm tốt tập phương trình vơ tỷ người thầy phải nắm khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án “ Giúp học sinh phát tránh sai lầm giải toán bậc hai” Chương “Căn bậc hai, bậc ba” có hai nội dung chủ yếu phép khai phương (phép tìm bậc hai số học số không âm) số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai Giới thiệu số hiểu biết bậc ba, thức bậc hai bảng bậc hai Cách trình bày đưa định nghĩa, ký hiệu bậc hai chương trình SGK cũ năm học 2004-2005 : + Nhắc lại số tính chất luỹ thừa bậc hai : + Bình phương hay luỹ thừa bậc hai số không âm + Hai số đối có bình phương ngược lại hai số có bình phương chúng đối + Với hai số a,b : Nếu a>b a2 > b2 ngược lại a2 > b2 a >b + Bình phương tích(hoặc thương) tích(hoặc thương) bình phương thừa số(hoặc số bị chia với bình phương số chia) + Căn bậc hai số: * Xét toán: Cho số thực a Hãy tìm số thực x cho x2 = a Ta thấy : - Nếu a< khơng tồn số thực x thoả mãn x2 =a - Nếu a > có hai số thực x mà x2=a, số thực dương x1>0 mà x12=a số thực âm x2 Nếu n chẵn nâng hai vế phương trình f1(x) = f2(x) lên luỹ thừa chẵn phương trình nhận thêm nghiệm phương trình f1(x)= - f2(x) + Phân biệt khác phép biến đổi tương đương phép biến đổi để đưa phương trình hệ Bên cạnh yêu cầu trên, cho học sinh nhận biết dạng phương trình có chứa dấu trình bày sách giáo khoa toán 9, đồng thời đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, giúp em so sánh cách giải sáng tạo, ngắn hay a Các lượng liên hợp cần nhớ: a - b = (a + b)(a - b) a  b = (a  b)(a  ab + b) a - b = (a + b)(a - b) a - b = (a - b)(a + ab + + ab + b) Sử dụng đẳng thức này, ta quy phương trình vơ tỉ ban đầu dạng phương trình tích việc làm xuất nhân tử chung Từ ta dễ dàng giải tiếp! Thường tốn sử dụng phương pháp ý tưởng tổng quát sau: Giả sử ta có phương trình dạng F  x   với F  x  xác định miền D ta nhẩm nghiệm x = a phương trình ta biến đổi phương trình cho trở thành  x  a  G  x   Đến ta việc xử lí phương trình G(x) = ổn! (Việc xử lí phương trình G(x)= giải quy trình đánh giá dùng bất đẳng thức, nâng lũy thừa .) b Một số dạng phương trình vơ tỷ thường gặp trương trình đại số  Dạng 1: Phương chình có nghiêm ngun * Phương pháp giải: - Nhẩm nghiệm máy tính bỏ túi với lệnh: - Xác định lượng liên hợp (nhân tử chung phương trình) - Đưa phương trình tích - Giải phương trình thành phần - Chọn nghiệm kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x  x    x  15 (1) Nhận xét Khi gặp phương trình với phương pháp giải truyền thống mà học sinh biết: Như nâng lũy thừa; trị tuyệt đối củng đánh giá học sinh gặp nhiều kho khăn Nhưng có nhẩm nghiệm thật đơn giản, giải sau Nháp tìm lời giải: - Nhẩm nghiệm casio fx 570 MS trở lên Nhập phương trình vào máy: + Dùng lệnh máy hỏi x ? ta bấm 10 (gán x=10) bấm = đợi vài giây máy cho kết x = - Xác định lượng liên hợp: Bằng cách tính giá trị x = = 1; = 3; = Từ phân tích ta có lời giải sau: Giải:  1 �  x  1   �  x  1 x4  x2     x2    x2  x2    � x2  �� 1 �   � x2   � x  x 1 x  15   x2 1 x  15  x  15  Mặt khác, ta có: x  15  x2  � x  15   x   � x  15   x 8 3 Nên phương trình thứ hai vơ nghiệm Vậy (1) có nghiệm x  1, x  1 Với cách đa số học sinh từ trung bình trở lên đề giải cách đơn giản rể hiểu nhiều so với phương pháp khác Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x  12   x  x  (2) Nhận xét: Khi đưa phương trình đa phần học sinh sử dung phương pháp lũy thừa để giải, lời giải tương đối dài, đưa phương trình lên bậc bốn, khơng học sinh thấy chống Tuy nhiên giải nhẩm nghiệm cách nhẹ nhàng sau: Nháp tìm lời giải: - Nhẩm nghiệm casio fx 570 MS máy cho kết quả: x = - Xác định lượng liên hợp: Bằng cách tính giá trị x = = 4; = Từ phân tích ta có lời giải sau: 10 Giải: Đk: x � Phương trình cho tương đương với: x  12   x   x   � x2  x  12   3 x  2  x2  x2   � x2 � x2 �  x  2 �   � x2   � � x  12  x2 � � � x2 � x2    0(*) � x2   � x  12  Do x  12   x2   � x2 x  12   x2 x2    nên pt (*) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x =  Dạng 2: Phương trình có nghiện khơng nguyên * Phương pháp giải: - Nhẩm nghiệm máy tính bỏ túi với lệnh: - Xác định lượng liên hợp (nhân tử chung phương trình) cách tìm mối liên hệ biến thức - Đưa phương trình tích - Giải phương trình thành phần - Chọn nghiệm kết luận Ví dụ 3: Giải phương trình x + 4x + = (x + 1) + (3) Nháp tìm lời giải: - Nhẩm nghiệm casio fx 570 MS Cho kết x = 4,236067977 - Xác định lượng liên hợp: Bằng cách tính giá trị x = 4,236067977 = 6,236067977  = x + = 5,236067977  = x +1 Từ phân tích ta có lời giải sau: Giải: ĐK: x  11 (3)  x + 4x + - (x + 1) - =  (x + - )(x + 1) + (x + - ) =0  (x + 1) + =  + =0  (x - 4x - 1)[ + ] = * x - 4x - 1=  x = + (TMĐK); x = - (TMĐK) * + =0 Do x  - nên + >  phương trình thứ hai vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = + ; x = Ví dụ 4: Giải phương trình 2x - 8x + = 3(x + 1) (4) Nháp tìm lời giải: - Nhẩm nghiệm casio fx 570 ES Cho kết x = 8,464101615 - Xác định lượng liên hợp: Bằng cách tính giá trị x = 8,454 = 2,732050808  = 5,464101615  = x - Từ phân tích ta có lời giải sau: Giải: ĐK: x  (4)  2x - 8x + - 3(x + 1) =  4x - 16x + - 6(x + 1) =  4x - 16x + - 3(x + 1)(x - - ) - 3(x + 1)(x - 3) =  x - 10x + 13 - 3(x + 1)(x - - ) =  (x - - ) (x - + ) - 3(x + 1)(x - - ) =  (x - - )(4x + 2) = Do x  nên 4x + >  x - - =  x - = ĐK: x   x - 10x + 13 =  x = + (t/m); x = - (loại) Vậy phương trình (4) có nhiệm x = + c Bài tập: Giải phương trình sau a + = b + = c + x - 3x + = 12 d 9( - ) = x + Giải phương trình sau: a 2x - + = b x - 3x + = Kết Học kì I năm học 2015 – 2016 vận dụng phương pháp nêu vào lớp phụ trách thu kết tương đối khả quan sau: Bảng thống kê Lớp Giỏi Khá TB Yếu Kém 9A 5,5% 15,5% 65,3% 10,5% 3,5% 9B 3% 10% 58,3% 20% 8,7% Kết chứng tỏ hướng giải giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ: Kết luận: Qua phân tích cho ta thấy " Phương pháp nhẩm nghiệm" có khả cơng phá mạnh mảng phương trình vơ tỷ, phần kiến thức mà học sinh lúng túng đối đầu với đề kiểm tra đề thi vào 10 đề thi học sinh giỏi cấp, học sinh thường để điểm câu So với phương pháp: Lũy thừa; đưa phương trình giá trị tuyệt đối; đặt ẩn phụ; dùng bất đẳng thức thứ phương pháp nhẩm nghiệm phương pháp mà học sinh áp dụng linh hoạt giải hầu hết phương trình có chương trình tốn THCS nói chung đại số cấp phổ thơng nói riêng Giải phương trình vơ tỷ phương pháp nhẩm nghiệm mà sau 19 năm tham gia giảng dạy tự rút học kinh nghiệm quý báu sau: - Thường xuyên khắc phục sai lầm sau giải phương trình vơ tỷ nói riêng phương trình đại số nói chung có tác dụng giúp cho học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức bản, rèn kĩ giải tốn xác, lời giải phải ngắn gọn, rõ ràng - Hệ thống phương pháp giải cho dạng phương trình vơ tỷ, giúp học sinh có cơng cụ hữu hiệu, trình bày cách linh hoạt, hợp lý, tránh máy móc, rập khn thời gian Đặc biệt giúp học sinh lựa chọn cách giải hay cho tốn, hình thành đức tính tư linh hoạt, làm việc có khoa học tránh sai lầm nghiêm trọng 13 - Rèn cho học sinh gặp phương trình định hướng thao tác: quan sát, nhận dạng, đưa phương trình có dạng quen thuộc, lựa chọn phương pháp hợp lý kiểm tra kết sau giải - Luôn ghi nhớ kiến thức bản, kĩ cần thiết cho loại phương trình, giúp học sinh có lời giải sáng tạo - Áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm cho dạng phương trình khác có hiệu tích cực mang lại kết tốt Sự nghiệp đổi giáo dục đào tạo, đòi hỏi giáo viên phải động, sáng tạo, tìm tịi biện pháp tốt để đạt hiệu cao Chúng ta, thầy giáo, giáo làm trịn trọng trách “Kĩ sư tâm hồn” với đầy đủ trách nhiệm lương tâm giáo dục hệ trẻ Tuy có nhiều cố gắng đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi trân trọng tất ý kiến phê bình, đóng góp cấp đồng nghiệp học sinh để đề tài tơi ngày hồn thiện áp dụng rộng rãi ngành Kiến nghị: Trong q trình thực đề tài, tơi xin mạnh dạn đề xuất số ý kiến sau: - Q trình dạy học Tốn trường phổ thơng cần tổ chức theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo em - Ban giám hiệu trường phổ thông cần quan tâm đạo, phát động phong trào đổi phương pháp dạy học giáo viên tự học học sinh Cần tạo ĐK vật chất, tinh thần thuận lợi cho việc áp dụng phương pháp dạy học tích cực nói chung phương pháp dạy học phát triển tư sáng tạo nói riêng Qua việc thực SKKN, thu nhận nhiều kiến thức bổ ích lý luận qua tài liệu sách, báo, tạp chí cơng trình nghiên cứu khoa học lĩnh vực liên quan đến đề tài - Theo hướng nghiên cứu SKKN bạn đọc tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài toán học khác Tài liệu tham khảo : Sách " Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS mơn tốn" Bộ giáo dục Đào tạo Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) mơn tốn Bộ giáo dục Đào tạo 14 Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở mơn tốn Bộ giáo dục Đào tạo Giáo trình " Phương pháp dạy học tốn" tác giả Hồng Chúng - BGD&ĐT SGK SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2016 CAM KẾT KHƠNG COPY Tơi xin cam kết đề tài thân tự nghiên cứu, không coppy người khác lấy từ nguồn Internet Lê Hữu Quý 15 ... chủ quan: - Trong chương trình đại số lớp 9, việc tìm nghiệm phương trình vơ tỷ với học sinh cịn gặp khó khăn chưa trình bày lời giải phương trình cách đầy đủ xác, học sinh thường mắc số sai lầm... phương trình) - Đưa phương trình tích - Giải phương trình thành phần - Chọn nghiệm kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x  x    x  15 (1) Nhận xét Khi gặp phương trình với phương pháp giải. .. học sinh giỏi cấp, học sinh thường để điểm câu So với phương pháp: Lũy thừa; đưa phương trình giá trị tuyệt đối; đặt ẩn phụ; dùng bất đẳng thức thứ phương pháp nhẩm nghiệm phương pháp mà học