Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 8 qua việc vận dụng các hằng đẳng thức

Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Đề tài Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức PHẦN I MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua năm thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh thuộc đẳng thức đáng nhớ thực hành chiều rộng lẫn chiều sâu học sinh chưa vận dụng để đến kết mong muốn Phần trắc nghiệm khách quan, tự luận thông hiểu vận dụng học sinh đạt kết chưa cao Định hướng giải tốn có áp dụng đẳng thức đáng nhớ nhằm hình thành tư lơgic Khả tổng hợp, phân tích, tìm hướng giải, định hướng toán nhằm phát huy tính thơng minh, sáng tạo học sinh để kết nhanh, gọn mà đảm bảo tính xác Loại bỏ bước giải rườm rà nhằm tạo tự tin làm toán Rèn luyện khả vận dụng thực tế cách thông minh, nhanh nhẹn Mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng vận dụng nhiều việc giải toán Nắm cách vận dụng ứng dụng nhiều vào lớp môn đại sốlớp Vận dụng đẳng thức đáng nhớ nhiều mà học sinh chưa nắm phương pháp, chưa thật đam mê mà học tập cịn gượng ép Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích nâng cao chất lượng tiết luyện tập, kiểm tra tiết, kiểm tra học kỳ trường Trung Học Cơ Sở II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI ĐỀ TÀI Đối tượng Học sinh lớp 8A, 8B,Trường THCS Thị Trấn năm học 2017 – 2018 Phạm vi tổng kết: Đề tài thực phạm vi lớp 8A,8B trường THCS Thị Trấn năm học 2017-2018 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức III NHIỆM VỤ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI - Giúp giáo viên dạy lớp nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế sai sót học sinh giải tốn, tạo hứng thú học toán học sinh - Định hướng giải tốn, có phương pháp thích hợp với đề bài, tổng kết dạng tốn, có niềm tin vững vàng giải toán - Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá để giải toán từ đơn giản đến phức tạp - Lập kế hoạch giải tốn theo phương pháp tích cực IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Nắm vững cách nhớ đẳng thức theo kinh nghiệm giáo viên truyền đạt hay theo cách nhớ riêng học sinh để viết không nhầm lẫn Từ nhận biết tập đơn giản Luyện tập, vận dụng kiến thức học kết hợp với đẳng thức để giải tập Rèn luyện thao tác tư duy, tính tốn để giải tập nhanh nhẹn, xác 3.Thơng hiểu vấn đề vận dụng giải tập phức tạp, rèn luyện học sinh khá, giỏi hiểu rõ cách vận dụng Đi sâu vào tập để hiểu tầm quan trọng việc giải tập liên quan V.CƠ SỞ TIẾN HÀNH ĐỀ TÀI Thành bước đầu áp dụng “ đẳng thức” tổng kết từ lớp 8A,8B năm học 2017-2018 trường THCS Thị Trấn  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Những kỹ a)Học thuộc đẳng thức, ý giá trị Giả sử (A+B)2=A2+2AB+B2 A;B biểu thức khơng nghĩ đơn số hay biến, học sinh dễ nhầm lẫn đến kết sai Vd:(2x+3y)2= 2x2+2.2x.3y+3y2 Cái sai: (2x)2; (3y)2 giáo viên nên cân nhắc kỹ thảo luận nhóm hay kiểm tra học sinh để khắc sâu b) Bài toán yêu cầu làm gì? Triển khai đẳng thức, viết tổng thành tích, tìm x, cộng trừ, nhân, chia phân thức… c) Định hướng giải toán làm cho học sinh nảy nhiều tình làm cho học sinh bối rối Do đó, giáo viên lưu ý giải yêu cầu ta phải bước nào, làm gì? Có dùng đẳng thức hay khơng sử dụng đẳng thức hợp lý Những thao tác đòi hỏi nhịp nhàng, hợp lý để toán gọn gàng, đến kết nhanh, xác Lưu ý cách trình bày để giải toát lên nội dung cần truyền tải đến người xem d) Giải tốn có dùng đẳng thức nên rèn luyện nhiều, tạo kỹ thực hành tốt Đi từ đơn giản đến phức tạp Sử dụng thành thạo, nâng cao khả suy luận, đòi hỏi phải kỹ lưỡng, Biết vận dụng điều học vào giải để phân tích đề tốn, nhận định A; B để dễ dàng việc tính tốn Khi học mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng; việc tâm huyết điều cần thiết Giáo viên cần tạo cho học sinh phương pháp học tốn, em có đam mê đam mê làm cho học sinh học toán nhẹ nhàng vững niềm tin tiếp bước đường học vấn Những giải pháp đề tài  Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức - Xây dựng kỹ vận dụng đẳng thức dạng toán  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức - Đưa dạng toán đơn giản vận dụng đẳng thức  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ - Phối hợp nhiều đẳng thức dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán  Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư - Giới thiệu thêm số Nhị thức Newton, tam giác Pascal…và số dạng tốn số phương, … Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức II CƠ SỞ LÝ LUẬN Sơ đồ việc vận dụng Hằng đẳng thức chương trình Đại số Hằng đẳng thức – Những vấn đề liên quan Bảy HĐT đáng nhớ HĐT mở rộng Các dạng tốn Tính nhanh Ví dụ Giải pt HD giải Chứng minh đẳng thức Bài tập vận dụng Tìm GTLN ,GTNN biểu thức Tính chia hết, số nguyên tố hợp số Phân tích đa thức thành nhân tử Tính giá trị biểu thức Số phương …………………… Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Các đẳng thức Bình phương tổng:  A  B   A  AB  B =  A  B   AB Bình phương hiệu:  A  B   B  A  A  AB  B =  A  B   AB Hiệu hai bình phương: A  B  A  B  A  B  Lập phương tổng:  A  B   A  A B  AB  B  A3  B  AB A  B  Lập phương hiệu:  A  B   A  A B  AB  B  A  B  AB A  B  Tổng hai lập phương: A3  B  A  B   A  AB  B   A  B   AB.( A  B) Hiệu hai lập phương: A3  B  A  B  A  AB  B  ( A  B)  AB.( A  B) Hằng đẳng thức mở rộng   A  B  C   A2  B  C  AB  AC  BC   A  B  C   A2  B  C  AB  AC  BC  An  B n   A  B   An 1  An  B  An 3 B   A2 B n 3  AB n 2  B n 1   A2 k  B k   A  B   A2 k  A2 k 1 B  A2 k  B   A2 B k   B k 1   A2 k 1  B k 1   A  B   A2 k  A2 k 1 B    A2 B k   AB k 1  B k    A1  A2   An   A12  A22   An2  A1 A2   A1 An  A2 A3   A2 An   An 1 An  A1  A2  A3   An   A12  A22  A32   An2  A1 A2   A1 An  A2 A3   A2 An   An 1 An   A  B n  An  n  n  1 n  2 n  n  1  n   n 3 n n 1 A B A B  A B   B n 1.2 1.2.3 III MỘT SỐ DẠNG TOÁN CÓ VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC Việc sử dụng Hằng đẳng thức vận dụng nhiều dạng tốn khác nhau.Sau ,tơi xin đề xuất số dạng tốn có sử dụng Hằng đẳng thức Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức *Dạng 1:Tính nhanh Ví dụ a)252-152 = ? b)9502-8502 = ? c)56.64 = ? d) 1012 = ? e) 47.53 = ? Định hướng: Khi HS quan sát 252-152 nghĩ đến việc sử dụng đẳng thức vận dụng đến tập a)252-152 = (25+15)(25-15) = 40.10 = 400 b)9502-8502 = (950+850)(950-850) = 1800.100 =180000 c)56.64 = (60-4)(60+4) = 602 -42 = 3584 d) 1012 =(100+1)2 = 1002 +200+1 = 10201 e) 47.53 = (50-3)(50+3) = 502-32 =2491 Từ việc dùng hẳng đẳng thức vào giải ví dụ trên,HS vận dụng để giải tập mang tính tư cao Ví dụ a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Định hướng a/Nhóm hạng tử cách thích hợp vận dụng đẳng thức A2 – B2 =… A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức A = [( + 2002 ) 2005] : = 2011015 b/ Câu b) toán ngược với câu a),bằng cách áp dụng kết 2+1 = 22-1 Ta có: B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B = (232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264 B=-1 *Dạng 2: Giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình (3x – 2)3 – (x-3)3 = (2x+ 1)3 Định hướng: Giúp HS nhận rằng: (3x - 2) - (x - 3) = 2x + Khi đó, đặt 3x - = a, x - = b 2x + = a – b Biến đổi phương trình cho dạng a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)  ab(a – b) = …  Từ tìm nghiệm phương trình Ngồi cách đó, ta định hướng cho học sinh Nhận xét: (3x – 2) + (-x + 3) + (-2x – 1) = Nên đặt 3x – = a; -x + = b; -2x – = c Vận dụng đẳng thức, ta có: Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức a3 + b3 + c3 = a+b+c=0 Với cách vận dụng đẳng thức vào giải phương trình,ta giải dạng tốn phương trình nghiệm ngun sau: Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta có x3+y3+z3-3xyz=1  (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz-yz = ½.[(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  nên xảy x + y + z =1 (1) x2+y2+z2-xy-xz-yz = 1(2) Từ (1) ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = (3) Từ (2),(3) => xy + yz + zx = Nên x2 +y2 + z2 = giả sử x2  y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1 Sau thay giá trị xét điều kiện,ta tìm nghiệm nguyên phương trình Ví dụ 3.Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Với toán ,GV định hướng cho HS đưa tổng bình phương cách tính hạng tử để xuất bình phương tổng 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =  (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =  ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 = Vậy x = - ; y = -3; z = Việc biến đổi vận dụng linh hoạt đẳng thức giúp HS giải tập cách nhanh gọn hợp lý *Dạng 3:Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c Định hướng giải: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) Ta có: => a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac => a2 + b2 + c2 - ab - bc – ac = => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc – 2ac = => ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = => ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = => ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = => a = b hay b = c hay c = a => a = b = c Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 10 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử Cũng tương tự Ví dụ 3, Ví dụ 4, hạng tử lại phức tạp biến đổi tương tự Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ (-y2-z2)3 = 3(x2 + y2)(z2 –x2)(-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Sau ví dụ trên,ta xét ví dụ tương tự như: Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3 = (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3 = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c  (a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz Ví dụ Xét tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 16 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = Qua ví dụ vừa xét ta có nhận xét mang tính tổng qt sau:  a  b  c 0 Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc   a b c Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc  a3 + b3 + c3 – 3abc = => (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] =  a  b  c 0  a  b  c 0 =>  =>  2  a b c (a  b)  (b  c )  (a  c) 0 Áp dụng phương pháp sử dụng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử ví dụ trên, ta có số tập vận dụng sau Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ a  b  c   b  c  a   c  a  b  b/ a  4a  29a  24 c/ x  x  x  x  d/ x  x  11x  e/  x  1. x  3. x  5. x    15 f/  x  y    y  z    z  x  Gợi ý: a/ Thay b  c  (c  a)  (a  b) Sau thay, ta  a  b  c     a   c  a  b  a  a  b  c  a   c  a    b  a    a  b  c  a  c  b  b/ Đáp số:  a  1 a  3 a  8 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 17 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức c/ Đáp số:  x  3x  1 d/ Đáp số:  x  1 x  2 x  3 e/ Đáp số:  x  x  10. x  6. x  2 f/ Đặt x  y a y  z b z  x c  a  b  c 0  a  b   c   a  b    c 3  a  b  3ab a  b   c  a  b  c  3ab(a  b) 3abc VT 3 x  y  y  z  z  x  Dạng 7: Tính giá trị biểu thức Sử dụng đẳng thức, ta phân tích đa thức thành nhân tử từ ta vận dụng để tính giá trị biểu thức.Sau đây, số ví dụ minh họa 1 1 xy yz zx   z x2 y Ví dụ 1: Cho x  y  z 0 tính P = 1 1 Từ x  y  z 0 => x3  y  z  xyz => P =  xy yz zx xyz xyz xyz 1  xyz       xyz      3 z x y z x y y z  xyz x  a  b  c  Ví dụ 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 1  1  1    b  c  a  a  b  c 0 Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>   a b c  a  b  b  c  a  c   c  a  b     b c   b  c  c  Nếu a+b+c = A =  Nếu a = b = c A = (1+1) (1+1) (1+1) = => A có giá trị: -1 Ví dụ 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 18 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức  x  y  z Tính P = 1  1  1   y   z  x Đặt a= xy, b = yz, c =zx  a  b  c 0 Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>   a b c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz  x  y  z   x  y  y  z  z  x   x  y  z  y  z  x  x  z  y    P = 1  1  1    y   =  x  x  y  z  x  yz zx xy xy   yz   zx   zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Ví dụ 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Vì a+b+c=0 -> A=0 x3  y  z Ví dụ 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =  xzy x  y  z 3xyz   x+y+z=0 => x +y +z = 3xyz => B =  xyz  xyz 3 a  b2  c2 Ví dụ 6: Cho a +b +c = 3abc a+b+c 0 tính giá trị biểu thức M=  a  b  c2 3 ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 2 2 =  a  b  c    a  b    b  c    c  a   0 Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c a  a  a 3a   => M = 9a  3a  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 19 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Ví dụ 7: Cho a+b+c = (a  0; b 0; c  0) tính giá trị biểu thức a2 b2 c2 A=   ; cb ca ab a2 b2 c2 B= 2  2  2 a b c b c  a c  a b a  b3  c Ta có A = a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc A= 3abc 3 abc a2 b2 c2   B= 2 2 2 2 a b c b c  a c  a b Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac Nên B= -> B = a2 b2 c2 a  b3  c3    ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc a 2bc 2ac 2ab 2abc 3abc  2abc Ví dụ 8: Cho a+b+c = tính giá trị biểu thức: a b  a  b b  c c  a � c �    A= �   � a b � a  b b  c c  a  �c Đặt B = a b b c c a   c a b c c b c c a c  b  bc  ac  a          Ta có B  a b a b a b  a b  ab  =1+ c  a  b  c  a  b  2c 2c 1  1  a b ab ab abc Tương tự B a 2a 1  ; b c abc B  b 2b3 1  ; c a abc 2c 2a 2b3 a  b3  c3 1 1 3 Vậy A =  abc abc abc abc  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 20 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = + 2.3abc 9 abc Ví dụ 9: Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị biểu thức sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Hướng dẫn a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 10: Cho a  b  , biết a/ 3a  3b 10ab Tính P  b 2a  2b 5ab Tính Q  a b a b a b a b Định hướng: a b a  2ab  b 3a  3b  6ab 10 ab  6ab      a  2ab  b 3a  3b  6ab 10 ab  6ab  a b  a Xét P  Mà P   P  b (Tương tự) Xét E 9  E 3 Ví dụ 11: a Cho a  b  c 0 a  b  c 14 Tính A a  b  c b Cho x  y  z 0 x  y  z a Tính B  x  y  z theo a Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 21 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Định hướng: a Ta có: 14  a  b  c   a  b  c 196  2 a b  b c  c a  Ta có: a  b  c 0   a  b  c  0  ab  bc  ac  a2  b2  c2    ab  bc  ac 49  a b  b c  a c  2abc( a  b  c) 49  a b  b c  a c 49 Vậy A a  b  c 196  2.49 98 b/ x   y  z   x  y  z   x  y  z 2 yz   x  y  z  4 y z 2     x  y  z 2 x y  y z  x z  x  y  z  x  y  z  a  B  a4 Dạng 8:Sử dụng đẳng thức giải tốn số phương Số phương:  Số phương bình phương số tự nhiên  Số phương khơng tận số 2,3,7,8  Số phương chia hết chia hết cho  Số phương chia hết cho chia hết  Số phương chia hết cho chia hết 25  Số phương chia hết cho 23 chia hết cho 24  Số phương chia dư Số phương chia dư Ví dụ: Tìm a ∈ Z để A = a2 + 2a + số phương Định hướng: A số phương A viết dạng nào? Giả sử A = b2, ta có: a2 + 2a + = b2 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 22 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức  a2 + 2a + + = b2  (a + 1)2 + = b2  b2 – (a + 1)2 = (1) … Áp dụng đẳng thức phân tích đa thức vế trái (1) thành nhân tử, ta biến đổi đẳng thức (1)…  a = ?,b = ? Tương tự, với cách giải Ví dụ trên, ta dễ dàng giải tập sau Sau đây,là số tập áp dụng Bài 1: Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a2 - b2 = 4c2 Chứng minh biểu thức sau có giá trị số phương A = ( 5a - 3b + 8c )( 5a - 3b - 8c ) Bài 2: Cho a số nguyên Chứng minh P = ( a + 1)( a + 2)( a + )( a + ) + số phương Bài 3: Cho x, y, z số nguyên Chứng minh Q = 4x( x + y )( x + y + z )( x + z ) + y2z2 số phương Bài 4: Cho P = ( a+1)(a -2)( a +5 )( a +2 ) + 36 a) Chứng minh rằng: a số ngun P có giá trị số phương b) Tìm a để P = c) Tìm giá trị nhỏ P + 1974 Bài 5: Cho a số nguyên Chứng minh P = a - 6a3 + 5a2 + 12a + số phương Bài 6: Cho P = a4 - 4a3 - 2a2 + 12a + a) Chứng minh: a số nguyên P số phương b) Tìm a để P = Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 23 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức c) Tìm giá trị nhỏ P + d) Chứng minh a số nguyên lẻ P chia hết cho 16 Bài 7: Cho a số nguyên Chứng minh biểu thức sau có giá trị số phương a) A = ( a2 + a + )( a2 + 5a + ) + 4a2 b) B = ( a2 + 3a + )( a2 + 3a + ) + c) C = ( a2 + 4a + )( a2 + 4a + ) + d) D = ( a + )( a + )( a + )( a + ) + Bài 8: Tìm số nguyên x cho biểu thức sau có giá trị số phương a) A = x2 - 4x - 25 e) E = x4 + x3 + 17 x2 + 4x + b) B = x2 + x + f) F = x4 - 8x3 + 14 x2 + 8x - 14 c) C = x2 + x + 13 g) G = ( x2 - 6x - )( x2 - 6x + ) + 15 d) D = x( x - )( x - )( x - ) Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 24 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức IV BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI  Biện pháp Để thực tốt kĩ giải toán qua việc vận dụng đẳng thức nêu trên, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp dạng toán, học sinh cần nhận xét:  Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến)  Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? Áp dụng đẳng thức cho phù hợp  Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với tốn Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng cách giải cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 25 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác  Kết Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra toán tổng hợp có vận dụng đẳng thức câu nhỏ (như dạng toán trên) thống kê qua giai đoạn ba lớp 8A, 8B năm học 2017 – 2018 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ I HS Chưa áp dụng giải pháp 65 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 29 44,62% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, cách trình bày giải cịn lung tung b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Khảo sát chất lượng học kỳ I Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 65 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 35 53,85% * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, vận dụng tốt kĩ giải toán, biết nhận xét đánh giá toán dạng toán, trình bày hợp lý Lần 2: Kiểm tra học kì II Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 26 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 65 51 78,46% * Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến thức đẳng thức, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều toán  Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững đẳng thức chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 27 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức PHẦN III: KẾT LUẬN  Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau:  Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt đẳng thức vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng đẳng thức vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm dạng tốn bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm dạng toán nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải dạng toán tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 28 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng đẳng thức cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện,  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau  Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục dạng toán vận dụng đẳng thức nâng cao  Đề xuất Tuy nội dung đề tài rộng, song khn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình có nhiều ứng dụng chương trình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Thị Trấn , ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 29 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức Phạm Hồng Dương TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC SGK Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC SGV Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC Các chuyên đề Đại số bồi dưỡng HSG THCS – NXB Giáo dục Các toán sưu tầm qua đề thi HSG cấp Một số sách tham khảo tác giả Cách giải toán số học sinh trường THCS Diễn Bích Tạp chí Toán tuổi thơ – Nhà xuất giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 30 ... Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức - Xây dựng kỹ vận dụng đẳng thức dạng toán  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức - Đưa dạng toán đơn giản vận dụng đẳng. .. 28 Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng đẳng thức cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách... duongmen2012@gmail.com Page Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức II CƠ SỞ LÝ LUẬN Sơ đồ việc vận dụng Hằng đẳng thức chương trình Đại số Hằng đẳng thức – Những vấn đề liên quan Bảy HĐT