Phương pháp giải phương trình bậc cao đặc biệt cho học sinh lớp 8, 9

“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” MỤC LỤC NỘI DUNG Phần Mở đầu I Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề nghiên cứu Ý nghĩa giải pháp Phạm vi nghiên cứu đề tài II Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Biện pháp tiến hành Thời gian tạo giải pháp Phần Nội dung I Mục tiêu II Mô tả giải pháp đề tài Thuyết minh đề tài: §1 Đường lối chung §2 Cơ sở lý thuyết §3 Phương pháp tiến hành A) Phương trình bậc ba ẩn đặc biệt B) Phương trình bậc bốn ẩn đặc biệt Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0) cách nhẩm nghiệm: Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0) Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a ≠ 0) Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = (a ≠ 0) Dạng 5: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m Dạng 6: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= mx2 Dạng 7: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = m (1) Dạng 8: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = (2x+ a+b)4 Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 (1)( dạng đẳng cấp bậc hai) Dạng 10: Phương trình dạng (ax +b)(ax+b+1)2(ax+b+2) = m Dạng 11: Phương trình dạng : An = Bn Dạng 12: Một số dạng khác C Ứng dụng giải phương trình bậc 3, để giải số tốn phương trình quy bậc hai: Dạng Điều kiện nghiệm số phương trình bậc ba quy bậc hai : ax3 + bx2 + cx + d =0(a ≠ 0) Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu TRANG 03 03 04 04 04 05 05 06 06 07 08 08 11 08 08 09 11 11 12 12 Trang 14 15 19 21 23 26 29 30 32 34 35 39 39 “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” Dạng Điều kiện nghiệm số phương trình bậc bốn quy bậc hai Phạm vi áp dụng Hiệu Kết thực Phần Kết luận Nhận định chung Những điều kiện áp dụng Triển vọng vận dụng phát triển Những đề xuất, kiến nghị 41 47 47 48 50 50 50 50 50q PHẦN MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề nghiên cứu “Tốn học khơng phải sách gói gọn tờ bìa mà người ta cần kiên nhẫn đọc hết nội dung, toán học vùng mỏ quý mà người ta cần có thời gian để khai thác; tốn học cánh đồng bị bạc màu vụ thu hoạch; tốn học khơng phải lục địa hay đại dương mà ta vẽ chúng lại Tốn học khơng có giới hạn khơng gian mà cảm thấy chật chội cho Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” khát vọng nó; khả tốn học vơ hạn bầu trời đầy sao; ta khơng thể giới hạn tốn học quy tắc hay định nghĩa giống sống ln ln tiến hóa” Tốn học môn khoa học suy diễn, lôgic loại tri thức có vai trị quan trọng nhà trường ngồi sống Tốn học nhà trường THCS cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức phổ thơng, thiết thực, hình thành phát triển lực nhận thức, lực hành động, lực xã hội lực cá nhân cho học sinh Từ học sinh có khả vận dụng, liên hệ, ứng dụng tốt kiến thức vào giải nhiệm vụ cụ thể, thực tế, có thói quen làm việc khoa học, trung thực, cẩn thận, tỉ mỉ, tự giác, có ý thức trách nhiệm với thân, gia đình, xã hội, hịa hợp với môi trường thiên nhiên, chuẩn bị hành trang vào sống lao động Dạng tốn giải phương trình bậc cao củng cố nhiều kiến thức Rèn nhiều kĩ Đặc biệt hình thành thói quen khả tư lơgic, óc sáng tạo, cách phân tích tổng hợp, khái qt hóa Trong thực tế giảng dạy, việc giải tập toán học nói chung, tập giải phương trình bậc cao nói riêng, học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, số học sinh làm tập cách máy móc, lúng túng phương pháp cách trình bày chưa khoa học, hợp lý đơi cịn khơng giải ? Là giáo viên dạy Toán , trăn trở với lỗi học sinh dễ mắc, thường mắc giải toán, đặc biệt với dạng toán giải hệ phương trình bậc cao Trong giảng dạy tơi ln cố gắng tìm tịi, phát ghi chép lại lỗi học sinh dễ mắc, thường mắc để có biện pháp khắc phục, điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp kiến thức, đối tượng học sinh kiểu lên lớp Từng bước hướng dẫn học sinh nắm vững cách phân tích tìm tịi lời giải phù hợp với đặc trưng , với yêu cầu Chọn cách giải dẫn đến sai sót kiến thức kĩ Đảm bảo giải đúng, khoa học sáng tạo Qua nghiên cứu phân dạng tập nhận thấy dạng tập dạng tốn khó thường có kì thi : vào 10, học sinh giỏi… Xuất phát từ lí tơi nghiên cứu thực đề tài “ Ph¬ng pháp giải phương trình bậc cao ®Ỉc biƯt cho học sinh lớp8, 9” để góp phần nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy mơn Tốn học Ý nghĩa giải pháp Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” Trên sở nghiên cứu đề tài, hệ thống lại dạng giải phương trình bậc cao, sở hệ thống kiến thức liên quan, xây dựng phương pháp giải chung cho loại lập kế hoạch cho học sinh bước tiếp cận với dạng cho phù hợp với thời lượng chương trình nội dung kiến thức lớp Sau nội dung thực được, tơi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời, nhằm đánh giá tiến học sinh, thu lại tín hiệu ngược q trình giảng dạy để từ có biện pháp cải tiến phương pháp dạy học phù hợp cho đối tượng nhằm nâng cao dần chất lượng giảng dạy gây hứng thú, say mê cho học sinh Khi áp dụng đề tài nghiên cứu vào giảng dạy học sinh biết cách làm dạng tốn giải phương trình bậc cao cách nhanh gọn Học sinh khơng cịn lúng túng thấy ngại gặp dạng tập Kết nhận sau: Học sinh khơng cịn lúng túng phương pháp giải cho - dạng Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn, lời giải chặt chẽ Phạm vi nghiên cứu đề tài - Đề tài tiến hành nghiên cứu trường THCS Thị trấn Khoái Châu - Khoái Châu - Hưng Yên - Đối tượng: học sinh lớp 9A lớp thực nghiệm lớp 9B lớp đối chứng - Lĩnh vực khoa học nghiên cứu lĩnh vực chuyên môn II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lý luận Quy luật trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song q trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng, có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo chủ thể Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên có xu hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự tìm hiểu, khám phá trình nhận thức Ở Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập sẵn sàng tham gia vào hoạt động khác Các em có nguyện vọng muốn hình thức học tập mang tính chất “Người lớn” nhiên nhược điểm em chưa biết cách thực nguyện vọng mình, chưa nắm phương thức thực hình thức học tập Vì cần có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô Trong lý luận phương pháp dạy học cho thấy Trong mơn tốn thống điều khiển thầy hoạt động học tập trị thực cách qn triệt quan điểm hoạt động, thực dạy học toán hoạt động Dạy học theo phương pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều trình chiếm lĩnh tri thức tốn học Dạy học tốn thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư quan điểm cho dạy toán phải dạy suy nghĩ, dạy óc học sinh thành thạo thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Trong phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh tự tìm tịi, tự phát phát biểu vấn đề dự đốn kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh định lý Hình thành phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học mơn tốn cho học sinh q trình lâu dài, thông qua tiết học, thông qua nhiều năm học, thơng qua tất khâu q trình dạy học nội khoá ngoại khoá Cơ sở thực tiễn Trong q trình giảng dạy mơn Tốn học THCS nhận thấy lượng kiến thức mà học sinh phải chiếm lĩnh lên lớp tương đối nhiều, số tiết dành cho luyện tập ít, mà đặc điểm học sinh THCS khả tập trung, Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” tổng hợp, khái quát hóa chưa cao Hơn lớp học có nhiều đối tượng học sinh có trình độ nhận thức khác nhau, điều gây khơng khó khăn cho giáo viên vừa phải ý bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, lại vừa phải quan tâm học sinh yếu Xuất phát từ thực tiễn nên tơi thiết nghĩ khơng phân dạng tập tốn học nói chung tập giải phương trình bậc cao nói riêng, mà giáo viên hướng dẫn giải tập cách dàn trải khó thu kết cao thời lượng tiết học có hạn, khối lượng kiến thức lớn mà phạm vi ứng dụng lại đa dạng, với nhiều mức độ nhận thức khác học sinh từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng cấp độ thấp đến vận dụng cấp độ cao Trên sở đó, tơi mạnh dạn nghiên cứu thực đề tài để vừa đảm bảo kiến thức vừa kích thích khả tự lực, sáng tạo, tích cực, tự giác học sinh để nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn môn Các biện pháp tiến hành Qua trình nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, tạp chí giáo dục… xu đẩy mạnh cơng đổi bản, tồn diện giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn thực tiễn dạy học đảm bảo đạt chuẩn mục tiêu đầu ra, tơi nhận thấy phải đổi tồn diện từ mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học cho nội dung, bài, chương nhằm tích cực hóa hoạt động người học để người học tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức, hình thành phát triển lực nhận thức lực hành vi Trong phạm vi đề tài, thực số biện pháp đạt hiệu cao như: phân dạng tập cách khái quát, xây dựng phương pháp giải có tập minh họa, tập tương tự cho dạng bài.Đổi phương pháp dạy học tích cực đổi kiểm tra đánh giá, vừa thực tự đánh giá đánh giá lẫn – nghĩa sau nhóm học sinh hồn thành nhiệm vụ giáo viên đưa đáp án chuẩn, phương pháp trình bày khoa học từ yêu cầu em tự đánh giá cho nhóm đánh giá chéo để đảm bảo khách quan, kết hợp với đánh giá giáo viên Giáo viên đánh giá cao cách giải hay, sáng tạo học sinh nhằm kịp thời động viên em tích cực phát huy vận dụng sáng tạo học tập Việc kết hợp đổi mục tiêu, nội dung phương pháp dạy học khiến cho học sinh phát triển mặt trí tuệ, thể lực, nhân cách, cịn giúp cho học trở nên nhẹ nhàng, hiệu quả, đồng thời rèn cho em nhiều kĩ tự nghiên cứu, tư Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” tổng hợp, khái quát hóa, khả liên hệ, vận dụng linh hoạt, kĩ định, nhận xét, đánh giá kĩ giao tiếp… Thời gian tạo giải pháp Tôi nghiên cứu thực đề tài năm học 2015-2016 hoàn thành vào tháng 05 năm 2016 PHẦN THỨ NỘI DUNG A MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI * Kiến thức: - Học sinh hệ thống dạng tập giải phương trình bậc cao đặc biệt, từ có phương pháp giải phù hợp cho dạng - Học sinh hiểu vận dụng phương pháp giải phương trình bậc cao để giải số dạng tập khác * Kĩ năng: - Củng cố kĩ giải phương trình, số dạng tốn quy phương trình bậc * Thái độ phẩm chất: - Học sinh có hứng thú học tập mơn từ tích cực, tự tin, tự chủ, chủ động sáng tạo việc chiếm lĩnh kiến thức Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” * Năng lực: Tự học, sáng tạo, tính tốn, giao tiếp B MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuyết minh đề tài §1 ĐƯỜNG LỐI CHUNG 1)Trước tiên học sinh nắm kiến thức kiến thức mở rộng để vận dụng vào làm dạng toán giải phương trình bậc cao 2) Phân chia dạng tập A) Phương trình bậc ba ẩn đặc biệt B) Phương trình bậc bốn ẩn đặc biệt Dạng 1: Giải phương trình: ax4 + bx2 + cx + d = 0(a ≠ 0) cách nhẩm nghiệm: Dạng 2:Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0) Dạng 3: Phương trình đối xứng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a ≠ 0) Dạng 4: Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = (a ≠ 0) Dạng 5: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m Dạng 6: Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= mx2 Dạng 7: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = m (1) Dạng 8: Phương trình (x+a)4 + (x+b)4 = (2x+ a+b)4 Dạng 9: Phương trình ax2 + bxy + cy2=0 (1)( dạng đẳng cấp bậc hai) Dạng 10: Phương trình dạng (ax +b)(ax+b+1)2(ax+b+2) = m Dạng 11: Phương trình dạng : An = Bn Dạng 12: Một số dạng khác C Ứng dụng giải phương trình bậc 3, để giải số tốn phương trình quy bậc hai: Dạng Điều kiện nghiệm số phương trình bậc ba quy bậc hai : ax3 + bx2 + cx + d =0(a ≠ 0) Dạng Điều kiện nghiệm số phương trình bậc bốn quy bậc hai §2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT - Phương trình tích: F(x) G(x) H(x) =  F(x) = G(x) = ⇔    H(x) = - Bảy đẳng thức đáng nhớ : (A +B)2 = A2 + 2AB +B2 Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” (A - B)2 = A2 – 2AB +B2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B+3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B+3AB2 - B3 A3 + B3 = (A+B)(A2 - AB +B2) A3 – B3 = (A - B)(A2 +AB +B2) - Công thức nghiệm phương trình bậc hai : Đối với phương trình ax2 + bx +c = ∆ = b − ac Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ x = 2a 2a Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép x1 = x = − b 2a Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm - Định lí Vi- ét : Nếu x1 , x hai nghiệm phương trình ax + bx + c =0 (a b  x + x = −  a ≠ 0)  c  x1 x = a  - Sơ đồ Horner: n n −1 Chia đa thức P( x ) = a0 x + a1 x + a n−1 x + a n cho x= c ta có: P( x ) = ( x − c)(b0 x n −1 + b1 x n −2 + + bn −1 x + bn −1 ) + bn Sơ đồ xác định b1 a0 a1 c b0 b1 Với b0 = a0 bi = cbi-1+a1(i =1,2, ,n) - Tam giác Pascas: Giáo viên: Hữu Thị Hoa a2 b2 Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu an bn Trang “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” §3 PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH A Phương trình bậc ba ẩn đặc biệt: ax3 + bx2+ cx+d = 0(a ≠ 0) (1) a) Phương pháp giải: - Nếu phương trình có : b + d = a + c phương trình ln có nghiệm x = -1 - Nếu phương trình có : a + b + c + d= phương trình ln có nghiệm x = - Nếu x = m ≠ ±1 nghiệm dùng máy tính cầm tay để nhẩm nghiệm Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang 10 “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” Bài tập tương tự c) x3 - (m+1)x2 + (m2 +m -3)x - m2+3=0 Dạng Điều kiện nghiệm số phương trình bậc bốn quy bậc hai : a) Phương pháp giải: - Phương trình trùng phương có dạng : ax4 + bx2 + c =0(a ≠ 0) (1) - Nếu đặt t = x2 phương trình (1) quy phương trình bậc hai - Do để tìm điều kiện nghiệm phương trình (1) ta tìm điều kiện nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (2) b c ∆ = b − 4ac; S = x1 + x2 = − ; P = x1 x2 = a a + Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P + Phương trình có hai nghiệm dấu ⇔  ∆ >  + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  S > P >  ∆ >  + Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  S < P >  + Phương trình có nghiệm dương:  ∆=0  * Trường hợp 1: (1) có nghiệm kép dương ⇔  b − 2a > * Trường hợp : (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P m > ⇔ ⇔ ⇔m>2  S <  m>0 m > Vậy điều kiện để phương trình (1) có nghiệm m ≤ Cách * Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P= 2m-4 ≤ ⇔ m ≤ 2, (2) tồn nghiệm khơng âm Do (1) có nghiệm ⇔ * Phương trình (2) có hai nghiệm dương (m − 4) ≥ 0∀m ∆ ≥ m <   −m > ⇔ S > ⇔  (vơ lí) m > P >  2m − >   Vậy điều kiện để phương trình (1) có nghiệm m ≤ a) (m-3)x4 - 2mx2 +6m=0 (1) Đặt x2 = t ≥ để biến đổi phương trình bậc hai Khi (1): (m-3)t2 -2mt + 6m = (2) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm không âm Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang 42 “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” Ta có ∆ ’ = (-m)2 - (m-3)6m= m(18- 5m) ; S = 2m 6m ;P = m−3 m−3 * Trường hợp 1: Với m = (1) có nghiệm t= * Trường hợp 2: Với m ≠ P ≤ ta có   6m ≥  m ≥   6m m − < m <  ⇔ P= ≤0⇔ ⇔ ⇔ ≤ m < (2) tồn nghiệm   6m ≤  m ≤ m−3    m − >   m > khơng âm Do (1) có nghiệm * Trường hợp 3: Với m ≠ phương trình (2) có hai nghiệm dương   m(18 − 5m) ≥ ∆ ≥  ≤ m ≤ 3,6  2m    ⇔ S > ⇔  > ⇔ m < 0; m > ⇔ < m ≤ 3,6 m − P >     6m   m − > Vậy điều kiện để phương trình (1) có nghiệm ≤ m ≤ 3,6 Bài tập tương tự b) x4 - 2mx2 +(m+2) =0 Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm: a) x4 - (3m-2)x2 + =0 (1) Hướng dẫn - Tương tự trên, ta biến đổi (1) phương trình bậc hai cách đặt t = x2 (1) trở thành phương trình bậc hai - Khi phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm dương Giải - Đặt t = x2 (1) trở thành : t2 - (3m-2)t + =0 (2) - Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm dương - Ta thấy P = 1>0 nên (2) ln có hai nghiệm dấu Do (1) vơ nghiệm có nghiệm - Do (1) có hai nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép dương Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang 43 “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” (3m − 2) − = ∆ = ⇔ ⇔ ⇔m= S >  3m − = Nhận xét : - Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương phương trình trùng phương có nghiệm - Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương, nghiệm âm có nghiệm kép dương phương trình trùng phương có nghiệm - Nếu phương trình trung gian có nghiệm âm vơ nghiệm phương trình trùng phương vơ nghiệm b) mx4 + 2(m-2)x2 + m=0 (1) Đặt t = x2 (1) : mt2 + 2(m-2)t + m=0 (2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm dương *Trường hợp 1: m = t =0 nên (1) khơng có nghiệm *Trường hợp 2: m ≠ P0 nên (1) khơng có nghiệm m   m ≠ m≠0    m =1  ⇔ m =1 * Trường hợp 3: ∆ ' = ⇔ (m − 2) − m.m = ⇔  0 < m < S >0  2(2 − m)   >0 m  Vậy (1) có hai nghiệm ⇔ m=1 Bài 3: Cho phương trình: a x4 - 2(m+1)x2 + m2 = (1) Xác định m để phương trình : a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có nghiệm phân biệt Giải Đây dạng phương trình trùng phương nên đặt x2 = t ≥ để biến đổi phương trình bậc hai Khi (1): t2 -2(m+1)t + m2 = (2) Ta có ∆ ’ = (m+1)2 - m2= 2m+1 ; S =2(m+1) ; P = m2 a) (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt Giáo viên: Hữu Thị Hoa Trường THCS Thị Trấn Khoái Châu Trang 44 “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐẶC BIỆT CHO HỌC SINH LỚP 8,9” ∆ >  2x +1 >    m > − ⇔  S > ⇔  2(2m + 1) > ⇔  P >  m2 >  m ≠    m > − phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Vậy với   m ≠ b) (1) vô nghiệm (2) vô nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm *Trường hợp 1: (2) vô ngiệm ⇔ ∆ < ⇔ m < − *Trường hợp 2: (2) có nghiệm âm  m > − ∆ >  2m + >     ⇔  S < ⇔  2(2m + 1) < ⇔  m < − hệ vô nghiệm P >  m2 >     m≠0   Vậy với m < − phương trình vơ nghiệm c) (1) có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm x=0 ⇒ m= thay  x=0 vào (1) : x4 - 2x2=0 ⇔  x = ± Vậy với m = phương trình có nghiệm Bài tập tương tự: b)(x4 -1) (x+3)(x+5)=m Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x , x , x , x ( x < x < x < x ) thỏa mãn điều kiện x − x = x − x = x − x 4 3 2 Giải: a) x4 - 2(m+1)x2 + (2m+1)=0 (1) Đây dạng phương trình trùng phương nên đặt x2 = t ≥ để biến đổi phương trình bậc hai Khi (1): t2 -2(m+1)t + (2m +1) = (2) Để (1) có bốn nghiệm (2) phải có hai nghiệm dương Giả sử phương trình (2) có hai nghiệm dương a b với 0