Một số dạng và phương pháp giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán giới hạn hàm số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bản, xương sống môn khoa học tự nhiên, công cụ hỗ trợ đắc lực cho nhiều môn học khác Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THPT, tơi nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư yêu cầu quan trọng hàng đầu dạy học mơn Tốn nói chung dạy học giải tập Tốn nói riêng Dạy học giúp phát triển tư cho học sinh ngồi việc địi hỏi giáo viên lực chuyên môn, lực sư phạm đòi hỏi nhiều thời gian tâm huyết người giáo viên Cũng qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 11 tơi thấy học sinh khối 11 học chương giới hạn, đặc biệt phần giới hạn hàm số em khó tiếp thu kiến thức áp dụng vào giải tập cách hiệu Ngoài khơng nắm vững kiến thức nên học sinh cịn mắc phải số sai lầm giải toán giới hạn hàm số Băn khoăn trước khó khăn học trị, tơi định lựa chọn nội dung giới hạn hàm số để tìm tịi nghiên cứu đưa giải pháp nhằm giúp em có cách phân tích lựa chọn kiến thức phù hợp, hiệu việc giải toán giới hạn hàm số Từ lý trên, lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng phương pháp giải giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ giải toán giới hạn hàm số” tạo hội cho học sinh củng cố phương pháp giải toán phần này, giúp học sinh tránh mắc sai lầm khơng đáng có, đồng thời thực ý tưởng góp phần bồi dưỡng lực tư duy, nhìn nhận xác vấn đề đưa ra, giúp hiệu dạy học phần cho học sinh lớp 11 cải thiện nâng cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài giúp học sinh củng cố kiến thức phần giới hạn hàm số, phát triển kỹ giải tốn giới hạn hàm số nhanh xác Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học Ngoài đề tài tài liệu hữu ích cho giáo viên tham khảo q trình dạy học phần 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải toán giới hạn hàm số nhanh xác Ngồi tìm hiểu khó khăn sai lầm học sinh việc học tập giải toán giới hạn hàm số lớp 11, bước tìm biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm thực hành giải tốn góp phần nâng cao chất lượng, nâng cao kết dạy học giới hạn hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: - Phương pháp phân tích hệ thống hóa tài liệu Nhằm phân tích tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh học tập mơn tốn lớp 11 cấp THPT, trọng sách giáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải tốn lớp 11 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ dạy học mơn tốn khối lớp - Phương pháp vấn Nhằm vấn giáo viên dạy lớp 11 để đưa giải pháp tối ưu giải toán giới hạn hàm số vấn học sinh lớp 11 để nắm mức độ học toán kỹ giải toán giới hạn hàm số em - Phương pháp thực nghiệm Nhằm khẳng định biện pháp giúp đỡ học sinh thực hành giải toán đặc biệt giải toán giới hạn hàm số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Các vấn đề tâm sinh lý Bộ GD-ĐT nghiên cứu cụ thể hóa khung phân phối chương trình cho chương IV – Đại số & giải tích 11 - Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung giới hạn hàm số sách giáo khoa Đại Số Giải tích 11 - Dựa vào định nghĩa định lí giới hạn hàm số làm cơng cụ cho việc giải tốn giới hạn hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy đa số học sinh ngại học phần giới hạn hàm số Mặt khác chất lượng đầu vào học sinh trường THPT mà công tác thấp nên kết học tập em phần cịn yếu Ngun nhân vấn đề là: kiến thức lớp bị hổng; khơng có phương pháp học tập, tự ti, rụt rè, thiếu hứng thú học tập Ở học sinh yếu mơn tốn có ngun nhân riêng, đa dạng Có thể chia số loại thường gặp là: + Do quên kiến thức bản, kỹ tính tốn yếu + Do chưa nắm phương pháp học mơn tốn, lực tư bị hạn chế + Do lười học + Do thiếu điều kiện học tập điều kiện khách quan tác động, học sinh có hồn cảnh đặc biệt Cụ thể phần giới hạn hàm số học sinh khơng nắm vững phương pháp tìm giới hạn hàm số nên nhầm lẫn dạng toán thực phép tốn tùy tiện Do hiểu khơng đầy đủ xác khái niệm giới hạn dẫn đến làm viết sai kí hiệu, khơng có kí hiệu lim, khơng có kí hiệu: x → a; x → ±∞ kí hiệu lim Xác định rõ nguyên nhân học sinh điều quan trọng Cơng việc giáo viên có biện pháp để xố bỏ dần ngun nhân đó, nhen nhóm lại lịng tự tin niềm hứng thú học sinh việc học mơn Tốn Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Các định nghĩa giới hạn hàm số: Định nghĩa 1: Cho khoảng K chứa điểm x hàm số y = f (x) xác định K K \ { x 0} Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn số L x { } dần tới x với dãy số (x n ) bất kì, x n ∈ K \ x x n → x , ta có f ( x ) = L hay f (x) → L x → x f (x n ) → L Kí hiệu: xlim →x0 Định nghĩa 2: - Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (x ;b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f (x) x → x với dãy số (x n ) lim f (x) = L bất kì, x < x n < b x n → x , ta có f (x n ) → L Kí hiệu: x→x + - Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a ; x ) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f (x) x → x với dãy số (x n ) lim f (x) = L bất kì, a < x n < x x n → x , ta có f (x n ) → L Kí hiệu: x→x − Định nghĩa 3: a) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a ; + ∞) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn L x → +∞ với dãy số (x n ) bất kì, x n > a x n → +∞ , ta có f (x n ) → L f (x) = L hay f (x) → L x → +∞ Kí hiệu: xlim →+∞ b) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (−∞ ;a) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn L x → −∞ với dãy số (x n ) bất kì, x n < a x n → −∞ , ta có f (x n ) → L f (x) = L hay f (x) → L x → −∞ Kí hiệu: xlim →−∞ Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a ; + ∞) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn −∞ x → +∞ với dãy số (x n ) bất kì, x n > a x n → +∞ , ta có f (x n ) → −∞ f (x) = −∞ hay f (x) → −∞ x → +∞ Kí hiệu: xlim →+∞ Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý 1: f ( x ) = L lim g ( x ) = M Khi đó: a) Giả sử xlim →x x →x lim f ( x ) ± g ( x )  = L ± M x →x lim f ( x ) g ( x )  = L.M x →x f ( x) L = x →x g ( x ) M lim ( M ≠ 0) f ( x ) = L L ≥ lim b) Nếu f ( x ) ≥ xlim →x x →x f ( x) = L ( Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với x ≠ x0 ) B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN Nhằm giúp đỡ học sinh học tốt phần giới hạn hàm số chương trình Nắm vững phân dạng loại tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn hàm số kỳ thi học kì, thi đại học cao đẳng Trong trình nghiên cứu, tìm tịi tập giới hạn hàm số tơi nhận thấy có ba loại giới hạn là: f ( x )  ; lim f ( x )  LOẠI I: Giới hạn vô cực hàm số: xlim →+∞ x →−∞ f ( x )  LOẠI II: Giới hạn hàm số điểm: xlim →x lim f ( x )  ; LOẠI III: Giới hạn bên hàm số: x→ x + lim f ( x )  − x →x Lý chia giới hạn hàm số thành loại vì: Thứ nhất: Nếu chia nhiều loại, nhiều trường hợp học sinh khó tiếp thu, khó nhớ để vận dụng vào giải tập cách hiệu Thứ hai: Tôi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu lại chia dạng tập định Sau tơi khái qt q trình giải tập giới hạn hàm số Giới hạn hàm số vơ cực trình bày trước tiên tiếp nối kiến thức giới hạn dãy số có nhiều dạng dạng tập giống giới hạn dãy số Dạng 1: LOẠI I: Giới hạn vô cực hàm số: 1)lim x k = +∞ 2)lim x 2k = +∞ x →+∞ Giới hạn vô x →−∞ cực → =0 x →±∞ x k 3)lim x 2k +1 =Dạng −∞ 2: 4) lim x →−∞ → Dạng 3: () f ( x ) → ( L ×∞ ) Dạng 1: xlim →± ∞ Phương pháp: - Đặt x k làm thừa số chung với x k lũy thừa có số mũ cao f (x) Chú ý x → +∞ coi x > , x → −∞ coi x < đưa x vào bậc chẵn Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 1) lim (3x − 13x − 6x + 7) x→−∞ 2) lim (x − x + x + 1) x→−∞ BÀI GIẢI: 13 − + ) = −∞ x→−∞ x→−∞ x x x  1  1 2) lim (x − x + x + 1) = lim  x − x (1 + + )  = lim (x − x + + ) x→−∞ x→−∞ x x  x→−∞ x x  1) lim (3x − 13x − 6x + 7) = lim x (3 − = lim (x + x + x→−∞ 1 1 + ) = lim x(1 + + + ) = −∞ x→−∞ x x x x Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc x → −∞ x → −∞ mắc sai lầm giải sau: 13 1) lim (3x − 13x − 6x + 7) = lim x (3 − − + ) = +∞ x→−∞ x→−∞ x x x - Ở nhiều học sinh không ý đến việc x → −∞ x = − x mắc sai lầm giải sau:   1  1  2) lim (x − x + x + 1) = lim  x − x (1 + + )  = lim  x − x + + ÷ x→−∞ x→−∞ x x  x→−∞  x x    1  = lim x 1 − + + ÷→ (0 ∞) x→−∞ x x   - Ngồi học sinh cịn nhầm lẫn tập tốn tính giới hạn dạng ( ∞ −∞ ) mà ta làm dạng Bài tập tương tự Bài tập 1: Tính giới hạn sau 1) lim (5x − 23x + 2x + 7) x→−∞ 2) lim (2 x − x + 11x ) x→+∞ 3) lim ( x + 4x − − x) u( x) ∞ →  ÷ x →± ∞ v ( x ) ∞ x→−∞ Dạng 2: lim Phương pháp: - Chia tử mẫu cho x k với x k lũy thừa có số mũ cao tử mẫu Chú ý x → +∞ coi x > , x → −∞ coi x < đưa x vào khỏi bậc chẵn Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: 7x − 1) lim x →+∞ x − x + 1 − 2x 3) lim x →+∞ x + 2) lim x →−∞ 4x − 11 x +3 4) lim ( x + 1) x→- ∞ + 2x 8x + 3x + BÀI GIẢI: 7  x2  − ÷ − 7x − x x   x x = =0 1) lim = lim = lim 1 1  x→+∞ x →+∞ x − x + x →+∞  1− + x 1 − + ÷ x x  x x  2) lim x →−∞ = lim x →−∞ 4x − 11 = lim x →−∞ x +3 11   11 x2  − ÷ x 4− x   x = lim x →−∞ x +1  3 x 1 + ÷  x 11 11 − − x = Lim x = −2 = −2 x →−∞  3 1+ x 1 + ÷ x  x −x − Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc x → −∞ coi x < mắc sai lầm giải sau: lim x →−∞ 4x − 11 = lim x →−∞ x +3 11   11 11 x2  − ÷ x 4− 4− x   x = lim x = = = lim 3  x→−∞ x →−∞  x +1 1+ x 1 + ÷ x  x   x2  − ÷ −2 − 2x x   x 3) lim = lim = lim = −∞  x→+∞ 1 x →+∞ x + x →+∞  + x  + 2÷ x x x x      lim  x→+∞  x − ÷ = −2 <     1   lim  + ÷ =  x→+∞  x x  1  + > x → +∞ x x u( x) ∞ →  ÷ giải: Bài tập ta biến đổi đưa dạng lim x →± ∞ v ( x ) ∞ 4) lim ( x + 1) x→−∞ = − lim x→−∞  + 2x = lim  − 8x + 3x + x→−∞   ( x + 1) ( + 2x ) 8x + 3x + x→−∞ 8x + 3x +   2 1 1  x 1 + ÷ x  + ÷  x x  x (8 + + ) x x = − lim x→−∞ 3 = − lim ( x + 1) ( + 2x )  1 1   1 1  x 1 + ÷  + ÷ 1 + ÷  + ÷  x x  = − lim  x   x  = − = − 3 x→−∞ x (8 + + ) 8+ + x x x x Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc x → −∞ coi x + < mắc sai lầm giải sau: 4) lim ( x + 1) x→−∞ = lim x→−∞ ( x + 1) ( + 2x ) = 8x + 3x + 3 = lim x→−∞ + 2x = lim 8x + 3x + x→−∞ 2 lim x→−∞ ( x + 1) ( + 2x ) 8x + 3x + 2 1 1  x 1 + ÷ x  + ÷  x x  x (8 + + ) x x 1 1   1 1  x 1 + ÷  + ÷ 1 + ÷  + ÷  x x  = lim  x   x  = = 3 x→−∞ x (8 + + ) 8+ + x x x x u( x) ∞ →  ÷ mà u ( x ) v ( x ) x →± ∞ v ( x ) ∞ đa thức ý số trường hợp sau: - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn - Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu - Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu dấu, kết −∞ hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu trái dấu Bài tập tương tự Bài tập 2: Tính giới hạn sau 12x − x + 4x − x − 2x + 1) lim 2) lim 3) lim x →−∞ x →+∞ x →+∞ 3x − 2x − 11 3x + 4x − − x Nhận xét: Khi tính giới hạn dạng lim (x + 2) 4) lim x →+∞ (x + 1)(3x + x ) Dạng 3: ( ∞ − ∞ ) Phương pháp: lim x →∞ 7x + 12x 5) lim x x→−∞ 3x − 2x + 6) lim ( − 2x ) x→+∞ - Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa Ví dụ 3:Tính giới hạn f (x) − g(x) ;lim f (x) ± g(x) ;lim fsau: (x) ± g(x) ( ) x →∞ ( ) x →∞ ( ) dạng: f ( x) − g( x) f ( x) − g( x) f ( x ) − g2 ( x ) lim ; lim ; lim x →∞ f ( x ) + g ( x ) x →∞ f ( x ) m g ( x ) x →∞ f ( x ) mg ( x ) 1) lim x→+∞ + 8x 2x + 17 ( x + 4x − x − ) ( ) 2) lim x − x + 6x + 15 x→+∞ BÀI GIẢI 1) Lim ( x + 4x − x − ) = Lim x→+∞ x→+∞ x + 4x − (x − 2) ( x + 4x − x − )( x + 4x + x − ) x + 4x + x − 4x + x→+∞ x + 4x + x − x→+∞ x (1 + ) + x (1 − ) x x2 2 x(4 + ) x(4 + ) x x = Lim = Lim x→+∞ x →+∞ 4 x 1+ + x 1− x 1+ + x 1− x x x x = Lim = Lim 2 x(4 + ) 4+ x x = Lim = Lim = = x→+∞  4  x→+∞ 1+ + 1− x 1+ + 1− ÷ x x x x   ( 2) Lim x − x x→+∞ x− ( + 6x + 15 ) = Lim x→+∞ x − x − 6x − 15 )( x + 6x + 15 x + x + 6x + 15 ) x + x + 6x + 15 −(6x + 15) −(6x + 15) = Lim x→+∞ x + x + 6x + 15 x→+∞ x + x (1 + + 15 ) x→+∞ x + x + + 15 x x2 x x2 15  15    −x  + ÷ − + ÷ −(6x + 15) x x   = Lim = Lim = Lim = −3 x→+∞ 15 x→+∞  15 15  x→+∞ x + x 1+ + 1+ 1+ + x 1 + + + ÷ x x x x x x   = Lim = Lim Lưu ý: - Không thể giải theo cách đặt x k làm thừa số chung với x k lũy thừa có số mũ cao f (x) dẫn tới dạng vơ định (0 ×∞) gây khó khăn nhiều cho học sinh Nếu ta giải tập theo cách kết là:    4  lim ( x + 4x − x − ) = lim  x 1 + ÷ − x 1 − ÷ x→+∞ x→+∞   x  x        = lim  x + − x − ÷ = lim x  + ữ ( ì ) x →+∞ x x x  x→+∞  x   - Tuy nhiên cần xem kỹ đề để đưa cách giải ngắn gọn xác khơng thể áp dụng cách máy móc Chẳng hạn ví dụ sau ta không giải phương pháp nhân chia lượng liên hợp:     lim 2x − x + = lim  2x − x + ÷ = lim x  − + ÷ = +∞ x →+∞ x →+∞ x  x →+∞  x   Bài tập tương tự Bài tập 3: Tính giới hạn sau: ) ( ( x + 4x + − x ) 3) Lim ( x + 11 + x − ) 4) Lim ( 3x + 9x + 3x + 10 ) 5) Lim ( x + 2x + − x − 4x + ) 6) Lim ( x + − x + ) 1) Lim x→+∞ ( 2x + − x + ) 2) Lim x→+∞ 2 x→−∞ x→−∞ x→+∞ 2 x→+∞ Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết làm trắc nghiệm giới hạn hàm số Tính giới hạn x → ±∞ ta kiểm tra kết làm trắc nghiệm cách sử dụng máy tính cầm tay sau: f ( x )  ta nhập f (x) , sau bấm CALC Tính: xlim →±∞ ±1020 = Cần ý trường hợp sau để lấy kết xác - Nếu máy tính hiển thị kết quả: C ×1010 ; C ×1012 ( C số; số mũ lớn 10 ) kết giới hạn ±∞ C số dương kết +∞ C số âm kết −∞ −10 - Nếu máy tính hiển thị kết quả: C ×10 ; C ×10−13 ( C số; số mũ nhỏ -10 ) kết giới hạn + 2x Ví dụ ta kiểm tra kết ví dụ là: Lim ( x + 1) ta x→−∞ 8x + 3x + nhập hàm số cách thực quy trình bấm máy tính sau: ( ALPHA ) + ) + ALPHA ) ▼ ALPHA ) SHIFT x2 + ALPHA ) + hình máy tính cầm tay hiển thị: = kết là: − ∞ − ∞ Tuy nhiên dạng ta cần ý nhân chia lượng liên hợp rút gọn trước áp dụng bấm máy tính sau ta bấm: CALC −1020 ) ( Ví dụ ta kiểm tra kết ví dụ là: lim x − x + 6x + 15 x→+∞ phải nhân chia lượng liên hợp đưa xlim →+∞ −6x − 15 x + x + 6x + 15 − −6x − 15 x + x + 6x + 15 nhập hàm số cách thực quy trình bấm máy tính sau: ALPHA ) − ▼ ALPHA ) + ALPHA ) x2 + ALPHA ) + máy tính hiển thị: Dạng 1: sau ta bấm: CALC 1020 = kết là: −3 Giới hạn điểm Dạng 2: LOẠI II: Giới hạn hàm số điểm: Dạng 3: 10 Dạng 1: lim f ( x ) = f (x ) x→ x0 Phương pháp: f ( x ) = f (x ) Thay x trực tiếp vào biểu thức f (x) Kết luận: xlim →x Ví dụ 4: Tính giới hạn sau 1) Lim ( x − + 1) x →−3 x2 + x+ 2) Lim x →2 − x BÀI GIẢI 1) Lim ( x − + 1) = 2(−3) − + = x →−3 x + x + 22 + + 2) Lim = = x →2 − x 3−2 Bài tập tương tự Bài tập 4: Tính giới hạn sau 1) Lim(x − x + 8x − 3) x →2 5x + x →−2 − 2x 4) Lim u( x) x→ x0 v ( x ) 2) Lim(5 x + x − 7) x →4 5) Lim x →1 4x − x + x2 + 3) Lim(1 − x) x →−1 6) Lim x →3 x + 5x − 2x + 0 →  ÷ Tính nhẩm dạng cách thay x vào 0 u( x) 0 u(x) v(x) Ta thấy u(x ) = v(x ) = , nên lim lúc có dạng  ÷ x →x v ( x ) 0 Phương pháp: Dạng 2: lim - Phân tích u(x) , v(x) xuất nhân tử chung dạng (x − x ) k để giản ước - Có thể sử dụng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu u(x) , v(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp 11 Ví dụ 5: Tính giới hạn sau x + 3x + x+2−2 1) Lim 2) Lim x →−2 x →2 x + − x+2 BÀI GIẢI x + 3x + (x + 1)(x + 2) = Lim = Lim (x + 1) = −1 x →−2 x →−2 x →−2 x+2 x+2 1) Lim x+2−2 ( x + − 2)( x + + 2)( x + + 3) = Lim x + − x→2 ( x + − 3)( x + + 3)( x + + 2) 2) Lim x →2 (x + − 4)( x + + 3) (x − 2)( x + + 3) x+7 +3 = Lim = Lim = x →2 (x + − 9)( x + + 2) x →2 (x − 2)( x + + 2) x →2 x + + 2 Bài tập tương tự = Lim Bài tập 5: Tính giới hạn sau x − 4x + 1) Lim x →3 x2 − 2x − 4) Lim x →2 x − x5 + x3 − 2) Lim x →1 x2 −1 4x − 5x + 5) Lim x →1 (x − 1)(x + x − 2) 1+ x) −1 ( 3) Lim x x →0 x + − 2x x −1 − − x 6) Lim x →2 u( x) L →  ÷ (với L ≠ ) Tính nhẩm thay x vào u(x) x→ x0 v ( x ) 0 u( x) L v(x) Ta thấy u(x ) = L, v(x ) = , nên lim lúc có dạng  ÷ x→ x0 v ( x ) 0 Phương pháp: Dạng 3: lim u(x) = L (với L ≠ ) Bước 1: Tính xlim → x0 v(x) = xét dấu biểu thức v(x) với x ≠ x Bước 2: : Tính xlim → x0 u( x) x→ x0 v ( x ) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim lim v(x) = u( x) x→ x0 v ( x ) L>0 v(x) > +∞ L>0 v(x) < −∞ L −∞ L  x→−1 − 5x  = +∞ Ta có:  Lim ( x + 1) = Lim x →−1 ( x + 1) x →−1  ( x + 1) > (∀x ≠ −1)  Lim x →1 2x + 11 ( − x ) ( x − 1) = Lim x →1 2x + 11 ( − x ) ( x − 1) ( x + x + 1) = Lim x →1 2x + 11 − ( x − 1) (x ) + x +1 Lim ( 2x + 11) = 13 >  x →1  2x + 11  2 Lim = −∞   Lim − x − x + x + = ( ) Ta có:  x →1 − ( x − 1) x −    x →1  − ( x − 1) x + x + < (∀x ≠ 1)  Bài tập tương tự Bài tập 6: Tính giới hạn sau − 7x − x + 4x + 2x + 1)Lim 2)Lim 3) Lim 2 x →−3 ( x + ) x + 4x + x →2 ( x − ) x →−2 ( x + 2) ( ( ) ( ) ) ( ) Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết làm trắc nghiệm giới hạn hàm số f ( x ) = f (x ) ta nhập hàm số f (x) sau bấm: CALC x0 = Ở dạng 1: xlim →x Ở dạng 3: Sau nhập hàm số cần tính giới hạn ta bấm CALC nhập giá trị gần x0 bấm dấu 4x 4x Bài ví dụ lim ta nhập hàm số máy tính hiển thị: x→ + x − 9+ x −3 bấm CALC 0.0000000001 = kết 24.00960384 làm trịn lấy kết 24 − 5x − 5x Bài ví dụ 6: xlim nhập hàm số máy tính hiển thị: →−1 ( x + 1) ( x + 1) 13 bấm CALC −1.0000000001 , máy tính 7.000000001 × 1020 ta lấy kết +∞ Loại III: Giới hạn bên hàm số: lim − f ( x )  ; lim + f ( x )  x→ x0 x→ x0 Cần lưu ý học sinh trường hợp đặc biệt giới hạn điểm, lúc x tiến đến điểm x0 từ bên trái ( x → x 0− ), tiến đến điểm x0 từ bên phải ( x → x 0+ ) Bài tập giới hạn bên hàm số chủ yếu rơi vào dạng u( x) L →  ÷ (với L ≠ ) trường hợp giới hạn điểm lim± 0 x →x v ( x ) Phương pháp: lim u(x) = L Bước 1: Tính x→ x ± (với L ≠ ) lim v(x) = Bước 2: Tính x→ x ± xét dấu biểu thức g(x) với x > x x < x 0 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận lim± x →x u( x) (bảng xét dấu nêu v( x) dạng 3- trường hợp Giới hạn điểm) Ví dụ 7: Tính giới hạn sau − 7x x −3 1) Lim 2) Lim − 3x + x →2 + x − x →− BÀI GIẢI  Lim ( − 7x ) = −13 <  x →2 + − 7x  = −∞ 1.Ta có:  Lim+ ( x − ) = Vậy Lim+ x − x → x →   x − > ∀x >  11  Lim ( x − 3) = −  x→ − −  x −3  Lim = +∞ 2.Ta có:  Lim − ( 3x + ) = Vậy − 3x + x→ −  x→ − 3    3x + < ∀x < − Bài tập tương tự Bài tập 7: Tính giới hạn sau 14  5x −  1) Lim  ÷ x →1−  − x   5x −  2) Lim  ÷ x →1+  − x   + 4x  3) Lim  ÷ −    2x −  x→  + 4x  4) Lim  ÷ +    2x −  x→  11 − 2x + x  5) Lim  ÷ 2x +  x →−3−   11 − 2x + x  6) Lim  ÷ 2x +  x →−3−   ÷ 2  ÷ 2 Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết làm trắc nghiệm giới hạn hàm số Khi x → x0+ ta nhập hàm số, CALC, x0 + 0.0000000001, = Khi x → x0− ta nhập hàm số, CALC, x0 − 0.0000000001, = − 7x − 7x ta nhập hàm số bấm: CALC + x−2 x →2 x − 0.0000000001 = máy tính cho kết −1.3 × 1011 đáp số −∞ Bài ví dụ Lim+ Như ta khái qt cách giải tốn giới hạn hàm số thơng qua sơ đồ tư sau Dạng 1: → Giới hạn vô cực Dạng 2: Dạng 3: () Dạng 1:Tính trực tiếp ĐỀ BÀI Giới hạn mộtđiểm: Dạng2 Dạng3: Giới hạn bên Dạng: 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phân loại giải tập giới hạn hàm số Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn để nhận dạng toán lựa chọn phương pháp giải phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập giới hạn hàm số em thận trọng tìm trình bày lời giải giải phần lớn tập Để hiểu rõ hiệu sáng kiến kinh nghiệm tiến hành thực nghiệm sử dụng phương pháp sáng kiến kinh nghiệm dạy lớp 11A4 dạy theo giáo án bình thường lớp đối chứng 11A5 sau tơi cho học sinh thực kiểm tra 45 phút kết sau: TB trở Giỏi Khá T Bình Yếu Kém SĨ lên STT LỚP SỐ SL % SL % SL % SL % SL % SL % Lớp thực 30 41 17 11A4 39 30 76.9 5.1 12 16 5.1 nghiệ m Lớp đối chứng 11A5 40 22 55 0 15 16 40 14 35 10 Nhận xét: * Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết kiểm tra trước thực nghiệm * Tỉ lệ học sinh đạt loại không chênh lệch so với kết kiểm tra trước thực nghiệm * Tỉ lệ học sinh trung bình lớp thực nghiệm nhiều so với kết kiểm tra trước thực nghiệm nhiều * Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu giảm rõ lớp thực nghiệm so với kết kiểm tra trước thực nghiệm lớp đối chứng Qua số liệu bảng, chứng tỏ biện pháp giúp đỡ học sinh giải toán giới hạn hàm số lớp 11 cho kết đáng tin cậy Và qua số liệu bảng, thấy tự tin mừng giúp đỡ em học sinh thích học tốn chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp em tự tin, hào hứng với việc học Toán KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết sau: - Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học cho học sinh lớp 11 THPT 16 - Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm Bên cạnh sáng kiến giúp cho giáo viên học sinh yêu cầu nhằm thúc đẩy trình giảng dạy học tập chương IV – Đại số & giải tích 11 tốt - Học sinh: Học sinh tiếp thu cách làm giúp em giải nhanh xáccác tập giới hạn hàm số chương IV – Đại số & giải tích 11 đem lại hứng thú học tập đem lại hiệu quả, đồng thời giúp em hệ thống hóa kiến thức - Giáo viên: Có thêm phương pháp để giảng dạy giải toán giới hạn hàm số, hướng giáo viên tới tư tưởng thuật giải định hướng giải toán giúp học sinh yếu tiếp thu kiến thức cách linh hoạt hơn, sáng tạo Tuy nhiên đứng trước tốn khó khơng có phương pháp giải mà tùy vào trình độ giáo viên học sinh mà tìm cách giải phù hợp hiệu nhằm giúp học sinh thích học tốn Rất mong với danh nghĩa “Những kỹ sư tâm hồn” thường xuyên trau dồi kiến thức, suy nghĩ sáng tạo để tìm cách giải hay, phương pháp giảng dạy hiệu nhằm giúp em học sinh đạt tới phương châm “dễ hiểu – nhớ lâu – vận dụng tốt” KIẾN NGHỊ Qua đề tài tơi có số kiến nghị sau: + Về phía học sinh: Cần vượt qua khó khăn hoàn cảnh, tự ti, mặc cảm với cố gắng nổ lực không mệt mỏi thân sách để đạt thành công học tập, kì thi, đặc biệt sống + Về phía giáo viên: Khuyến khích giáo viên sáng tạo phương pháp, phương tiện dạy học, tránh đánh giá giáo viên họ có thực dẫn sách giáo viên hay không Thường xuyên tổ chức cho giáo viên trao đổi kinh nghiệm, thực chuyên đề, trọng biện pháp giúp đỡ học sinh học tập môn học + Về phía nhà trường: Thống kê tổ chức phụ đạo cho học sinh từ đầu năm, phải đảm bảo số lượng học sinh vừa phải lớp có chất lượng tốt Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài không tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong góp ý đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn đánh giá ban giám khảo đồng nghiệp./ 17 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đỗ Thành Huy 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đại Số Và Giải Tích 11 2.Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 3.Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao 4.Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao 5.Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích 11 6.Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao 7.Sổ Tay Kiến Thức Tốn 11 tác giả Dương Đức Kim Đỗ Duy Đồng 8.Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Đại Số Và Giải Tích 11 tác giả Lê Bảy Nguyễn Văn Nho 9.Kỹ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và Khó Đại Số Giải Tích 11 tác giả Thạc sỹ: Nguyễn Duy Hiếu 19 ... dạy lớp 11 để đưa giải pháp tối ưu giải toán giới hạn hàm số vấn học sinh lớp 11 để nắm mức độ học toán kỹ giải toán giới hạn hàm số em - Phương pháp thực nghiệm Nhằm khẳng định biện pháp giúp. .. 1.Đại Số Và Giải Tích 11 2 .Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 3.Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao 4 .Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao 5.Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích 11 6.Sách Giáo Viên Đại Số. .. số & giải tích 11 - Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung giới hạn hàm số sách giáo khoa Đại Số Giải tích 11 - Dựa vào định nghĩa định lí giới hạn hàm số làm cơng cụ cho việc giải toán giới hạn hàm