Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Thế giới bước sang thời kỳ phát triển kinh tế tri thức kỷ mệnh danh kỷ khoa học công nghệ Sự vận động phát triển không ngừng khoa học, kinh tế, giáo dục, công nghệ khiến giới thay đổi ngày Trên đường hội nhập vào kinh tế tri thức đòi hỏi quốc gia phải có đội ngũ nhân lực đủ trình độ, am hiểu Để đáp ứng yêu cầu giáo dục giữ vai trò quan trọng định nghiệp chung đất nước Giáo dục thường xuyên ngành học quan trọng ngành giáo dục, dành cho đối tượng có nhu cầu học tập từ học nghề đến học văn hố Do học viên hệ GDTX có độ tuổi trình độ khơng đồng lớp Đa số học viên có học lực từ trung bình trở xuống, phận vừa học, vừa làm nên thời gian tự học nhà ít, nhiều học viên nghỉ học lâu nên kiến thức cũ quên nhiều, phận khơng nhỏ học viên có khả nhận thức, vốn hiểu biết, vốn kiến thức kỹ toán học, tư lơ gíc yếu, nhiều em khơng xác định đắn mục đích học động học tập, ý thức học tập ý thức tổ chức kỷ luật Thời gian có hạn, kiến thức lại nhiều với đặc điểm học viên trên, đòi hỏi giáo viên cần chọn kiến thức phương pháp truyền đạt cho phù hợp để dẫn dắt học viên đến với khoa học Giáo viên không người cung cấp kiến thức phương pháp thuyết trình, giảng giải mà việc tổ chức hoạt động dạy học để học sinh có khả khám phá tri thức Đó hoạt động sáng tạo học sinh Tư tưởng đại số hố hình học thể SGK khó trình độ học sinh lớp 10 Cái khó thứ khó mặt thuật ngữ việc xố bỏ thói quen hình thành sẵn Tại lại gọi hình học giải tốn hình học cơng cụ vectơ khơng dùng hình vẽ làm cơng cụ trợ giúp ban đầu Tính "cơng cụ"của vectơ phải thơng qua nhiều ví dụ phải thời gian dài học sinh cảm nhận Cái khó thứ hai thời lượng phân bố hạn chế nên khó hồn thiện kỹ Vectơ trương trình THPT khái niệm định nghĩa, việc giải tốn cơng cụ vectơ cần thiết phải liên hệ với đối tượng dùng để định nghĩa Vì sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày đề tài nhỏ mà nghiên cứu áp dụng năm gần là: “ Một số dạng tốn véc tơ hình học lớp 10” với mong muốn giúp học sinh khắc sâu kiến thức vectơ vận dụng trình giải làm tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong đề tài tơi đưa số dạng tốn véc tơ hình học lớp 10 nhằm mục tiêu giúp học viên hệ thống kiến thức vectơ sau: - Nắm đối tượng cấu thành véctơ, quan hệ hai véctơ - Dựng véctơ véctơ biết điểm đầu điểm cuối - Biết cách dựng tổng, hiệu hai véctơ tính chất phép tốn - Biết phân tích véctơ thành tổng, hiệu hai véctơ khác - Nắm quy tắc hợp thành tích số thực với véctơ, điều kiện đủ để hai véctơ phương - Biết cách chuyển đổi ngơn ngữ từ tốn hình học thông thường thành hệ thức véctơ tương ứng (trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước) - Biết cách sử dụng phương pháp véctơ giải tốn hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phép tốn vectơ Đó phương pháp biến đổi véc tơ dựa vào phép tốn, tính chất đặc trưng Thơng qua tập ví dụ hình thành nên kĩ năng, tính nhuần nhuyễn cho học viên q trình xử lí tốn véctơ - Bài tốn sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng phép trừ vectơ Cách sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua số dạng tập - Bài tốn xác định vị trí điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước - Bài toán chứng minh đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài - Bài tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song - Bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng - Bài toán chứng minh hai điểm trùng Những toán liên quan đến trọng tâm hệ điểm - Bài toán chứng minh số đẳng thức véctơ khác để thể mối quan hệ đối tượng hình học đẳng thức véctơ Cách chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học sang ngôn ngữ véctơ 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Thu thập xử lý tài liệu có liên quan đến véctơ ứng dụng phép toán véctơ - Phương pháp thực tiễn: Đánh giá chất lượng học sinh qua giảng lớp đại trà, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi kiểm tra hình học có liên quan đến véc tơ học sinh lớp 10, 11 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: Ở sáng kiến kinh nghiệm năm 2011 với đề tài “Hướng dẫn học sinh cách thành lập ngôn ngữ véctơ vận dụng phép toán véctơ để giải tốn hình học chương I-Hình học 10” tơi cho học sinh cách tiếp cận với kiến thức véctơ thành lập ngôn ngữ véctơ Bước đầu cho học viên làm quen bớt cảm giác bỡ ngỡ việc học toán véctơ Trong đề năm (2019) với đề tài “Một số dạng tốn véc tơ hình học lớp 10” tơi cụ thể hóa cách dang tốn cụ thể véctơ để học viên rèn luyện, qua thục kĩ nhận dạng vận dụng phép tốn véctơ q trình giải toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các phép toán vectơ: a, Phép cộng véctơ: uuu r uuur uuur  Quy tắc ba điểm: Với điểm A, B, C ta ln có: AB  BC  AC  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta ln có: uuu r uuur uuur AB  AD  AC r r r  Các tính chất: Cho ba véctơ a , b , c tuỳ ý ta có: r r r r a + b = b + a ( Tính chất giao hoán) r r r r r r (ra + rb ) +r c =r a +( b + c ) (Tính chất kết hợp) a + = + a (Tính chất véctơ-khơng) b, Phép trừ véctơ: uuur uuur uuu r  Quy tắc trừ: Với điểm A, B, C ta có: AB  AC  CB c, Phép nhân véctơ với số: r r Cho bar véctơ a , b tuỳ ý, với số h, k ta có r r r r r r k( a r+ b ) =k a r+ k b (h+k) a = + ka r r h(k ar) = (hk) a a = a r (-1) a = - a rr r r rr d, Tích vơ hướng hai vectơ: a.b  a b.cos a,b   2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chun mơn, bồi dưỡng hướng dẫn phương pháp dạy học Nhờ mà giáo viên chúng tơi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy Sự đạo sát Sở giáo dục, đôn đốc tạo điều kiện ban giám đốc trung tâm, tổ mơn với nhiệt tình thầy giáo động lực để đổi phương pháp dạy học có hiệu Phong trào thao giảng dự rút kinh nghiệm diễn sôi nổi, đặc biệt phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường hàng năm thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ Qua tơi đồng nghiệp rút nhiều điều bổ ích chun mơn Đời sống giáo viên ngày nâng cao, Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho sống Bên cạnh thuận lợi nói cơng tác giảng dạy học tập mơn tốn học viên trường vấp phải khó khăn đáng kể Đầu vào kiến thức học viên yếu, tư tưởng xác định mục tiêu học tập nhiều học viên phụ huynh nhiều lệch lạc Tình hình đạo đức học viên có biểu xuống cấp (ở số khơng nhỏ) học viên học yếu Với thực trạng tiết hình học học viên trơi qua cách nặng nhọc khó khăn Các em thường có tâm lý “sợ” phải học hình Qua hình thức trắc nghiệm mức độ thích học mơn hình học có tới 80% học viên khơng thích (thậm chí khơng muốn) học mơn hình học Khi chưa thực khắc sâu hình thành đc kĩ giải toán vectơ, dẫn tới học hình học uể oải, chất lượng khơng cao Vì kết kiểm tra đánh giá chưa mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu cao, cụ thể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 10A-Trung tâm GDNN- GDTX Hà Trung (năm học 20172018) sau:  Sự hứng thú học mơn hình học: Thích học Bình thường Khơng thích Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 10A 20 01 15 12 80  Kết kiểm tra hình học: Yếu TB Lớp Sĩ số SL % SL 10A 20 45 % 45 Khá SL % Giỏi SL % Qua thực tế kết khảo sát nhận thấy rằng: - Về hứng thú mơn hình học kết chủ yếu mức bình thường khơng thích chiếm tỷ lệ cao, tỷ lệ học sinh thích học vơ - Về kết kiểm tra hình học mức độ yếu cao, số lượng học sinh đạt điểm giỏi hạn chế 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Bài toán sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng phép trừ vectơ Cách sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua số dạng tập Dạng 1: Bài tập thay tổng đại số nhiều vec tơ véc tơ Ví dụ : Đơn giản biểu thức a) ON  OM  AD  NP  EK  EP  MD b) AD  CP  AF  CD Trong tập dạng giáo viên phải gợi cho học sinh phép tốn sử dụng nhằm mục đích thay đổi vị trí nhóm ghép véctơ lại với tạo thành biểu thức véctơ đơn giản Chẳng hạn câu a, ta nhóm theo cặp véctơ ON OM ; EK EP ; AD MD để sử dụng quy tắc trừ quy tắc ba điểm Ta giải ví dụ sau: uuur a, ON - OM + AD + NP + EK - EP - MD uuur uuuu r uuur uuur uuuur =( ON - OM )+( AD - MD )+ NP +( EK - EP ) = MN + ( AD + DM ) + NP + PK uuuu r uuuu r uuur uuur r uuur uuuu r uuuu = MN + AM + NK = AM + MN + NK = AK uuur uuur uuu r b, AD + CP - AF - CD = ( AD - AF )+( CP - CD ) = FD + DP = FP Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Xác định điểm M, biết hệ thức véctơ sau thỏa mãn : a) OM = OA  OB  OC , O b) OM = OA  OB  OC , O Trong ví dụ học sinh ngồi kỹ vận dụng phép cộng, trừ véctơ phải hình thành kỹ định hướng dựng véctơ để điểm cần tìm Muốn làm vậy, trước hết giáo viên phải định hướng cho học sinh nhóm véctơ lại với sử dụng phép toán véctơ để làm sở lý luận cho việc giải tốn Ta giải ví dụ sau: A a, Dựng hình bình hành OADB ta có: OA  OB OD O D Dựng hìnhubình hành ODMC ta lại được: uuur uuu r OD + OC = OM B C Vậy điểm M đỉnh hình bình hành ODMC M b, Tương tự câu a, ta có: uuu r r u u u r r uuur OM = OA  OB  OC  OA - OM + CB =  MA + CB = Vậy M đỉnh hình bình hành ACBM Dạng : Bài tập biểu vectơ thành tổng đại số nhiều vectơ Ví dụ 1: uuur uuur a) Biểu diễn vectơ AB dạng tổng đại số ba vectơ AC , CD , DB r uuur uuur uuu b) Biểu diễn vectơ AB dạng tổng đại số ba vectơ AD , DC , CB Ở ví dụ hướng học sinh tới việc phải đảo vị trí điểm véctơ để có phép tốn mong muốn thực kết cuối Ở uuur uuur em nhìn thấy điểm chung hai véctơ CD DB , đảo vị trí điểm C điểm D cho ta quy tắc trừ , sau áp dụng quy tắc ba điểm ta kết tốn Ta làm tương tự cho câu b Dựa sở ta giải víuu dụ sau:uuur ur uuur uuur a, AB = AC + DB + CD = AC + DB - DC uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r b, AB = CB + AD + DC = DC - DA + CB Ví dụ 2: Cho  OAB Gọi M,N trung điểm OA, OB Tìm số m, n thích hợp đẳng thức sau : a) OM = m OA + n OB ; b) MN = m OA + n OB uuur c) AN = m OA + n OB ; d) MB = m OA + n OB Nhận dạng ban đầu nói dạng tập phân tích véctơ thành tổng đại số véctơ không phương Yêu cầu toán dạng học sinh phải định hướng phải phân tích véctơ vế trái thành tổng đại số véctơ vế phải tối thiểu phải véctơ phương với véctơ vế phải Từ ta giải ví dụ sau: A M O B N r uuu a, Vì M trung điểm OA nên: OM = OA ( n = 0) uuur r uuu r uuu r uuur uuu b, MN = AB = (OB  OA) = OB  OA 2 2 ( m= 1 ; n= ) 2  uuur uuu r 1 c, AN = ON - OA = OB  OA ( m=-1; n= ) 2 uuur  r uuu 1 d, MB = OB  OM = OM - OA ( m= ; n=1) 2 r Ví dụ : Cho  ABC , M điểm thỏa hệ thức vectơ MA  MB  MC  a, Xác định vị trí điểm M b, Phân tích vectơ AM theo vectơ AB, AC Tương tự ví dụ trên, học sinh nắm bắt chất tốn việc giải ví dụ dựa quy tắc ba điểm quy tắc trừ hoàn toàn đơn giản A r M a, Áp dụng quy tắc trừ: MA  MB  MC  r uuu r  BA + MC = Vậy M đỉnh hình bình hànhuABCM C uuur uur uuur B b, Vận dụng câu a, ta có: AM = BC = AC - AB Hai dạng tập thường ý dạng thứ Lý đơn giản thay “nhiều” “một” Kết vế đơn giản vế Tuy cần trao đổi điều là, dạng tập thứ tiền đề cần thiết cho việc nghiên cứu việc giải tốn hình học phương pháp tâm tỷ cự hệ chất điểm, dạng tập thứ hai sở cho phép biểu diễn véctơ giải tốn hình học phương pháp tọa độ Với kết cấu yêu cầu chung chương trình nay, việc giải tốn cơng cụ tọa độ nhấn mạnh nhiều Đối với học sinh có khiếu Tốn, giáo viên phối hợp hai loại giúp học sinh có thêm cơng cụ giải tốn 2.3.2 Bài tốn xác định vị trí điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước Phương pháp: Sử dụng khẳng định công thức sau: uuur r */ AB  0 A B r uuuu r r */ uCho điểm A cho a Có điểm M cho AM  a uu r uuur uuur uuur */ AB AC B C ; A1B AB A1 A uuuu r r Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước dạng OM  a Trong điểm O r véc tơ a biết r Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng vectơ vectơ a điểm véc tơ điểm M Ví dụr 1: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho uuu r uuu uuur uuur r GA  GB  GC  GD  C Giải uuu r uuur uur Ta có GA  GB  2GI Trong I trung điểm AB uuur uuur uuur B Và GC  GD  2GK Trong K trung điểmuu CD r uuur r Vậy theo giả thiết ta có 2GI  2GK  I uur uuur r hay GI  GK  Do G trung điểm đoạn thẳng IK K G A D Ví dụ 2: Cho tam giác ABC gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA uuu r uuur uuur r a Xác định điểm K cho: AB  AC  12 AK  0(1) uuu r uuur uuur r b Xác định điểm D cho: AB  AC  12 KD  0(2) Giải a, Từ giả thiết ta có uuu r uuuu r �AB  AM uuuu r � AB  AM (3) �uuur �AB ��AM uuur uuur �AC  AN uuur � AC  AN (4) �uuur �AC ��CN Thay (3); (4) vào (1) ta uuuu r uuur uuur r uuur uuuu r uuur AM  AN  12 AK  � AK  ( AM  AN ) K trung điểm MN uuur uuur uuur (1) uuur uuu r uuur b.Ta có KD  AD  AK  AD  ( AB  AC ) (5) Thay (5) vào (2) ta uuu r uuur uuuuuur uuu r uuuur � r uuur uuu r uuur � AB  AC  12 � AD  ( AB  AC ) � � AD  ( AB  AC ) � � D trung điểm BC Bài tập làm thêm Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi M trung uuu r điểm uuurcủa BC N trung điểm AM Đường thẳng BN cắt AC P Khi AP  x AC giá trị x là: 1 A x = B x  C x  D x  3 uuuu r uuur r Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm xác đinh: BM  3BC  Khi uuuu r vectơ AM bằng: r uuur r uuur r uuur uuu uuu uuu uuu r uuur AB  AC AB  AC AB  AC AB  AC 3 4 A B C D 2.3.3 Bài toán chứng minh đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Phương pháp chung: */ Với biểu thức tích vơ hướng ta sử dụng định nghĩa tính chất tích vơ hướng, cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véc tơ để biến đổi uuuur 2 */ Với biểu thức độ dài ta thường sử dụng AB  AB Ví dụ: Cho tam giác ABC, H trực tâm, A M trung điểm BC Chứng minh uuuur uuur a.MH MA  BC b.MH  MA2  AH  BC 2 H B M A1 C Giải a.uuuTa có ur uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r MH MA  (CH  CM ).( BA  BM ) uuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r  CH BA  CH BM  CM BA  CM BM (1) Gọi A chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC,ta uuur uuuu r1 uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur CH BM  CA1.BM  CA1.CM (2); CM BA  CM BA1 (3) Thay (2); (3) vào (1) ta uuuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r MH MA  CA1.CM  CM BA1  CM BM  (CA1  BA1 )CM  CM BM uuu r uuuu r uuuu r uuuu r BC BC BC  CB.CM  CM BM  BC   BC 2 2 b Ta có: uuuuu r uuuur uuur uuuur uuur AH  AH  (MH  MA)  MH  MA2  2MH MA 1  MH  MA2  BC � MH  MA2  AH  BC (đpcm) Bài tập làm thêm Bài 1: Cho tam giác uurABC uuu r cạnh uuura có I, J, K trung điểm BC, CA AB Tính giá trị  AI  BJ  CK  3a a A B C D 3a 2 uuuur Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a, có G trọng tâm, đó: AG 3 D a uuur uuur 2 2 Bài 3: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DA  AC.DB A a B a C a 2.3.4 Bài tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc hai đường thẳng song song Phương pháp: Chứng minh tính vng góc ta dùng định lý r r � a0 r r rr r r r r r r � a  b � a.b  � a b cos (a; b)  � � b0 � r r cos (a; b )  � � uuur uuur Ngồi ra, ta sử dụng tính chấtcủa tích vơ hướng: Nếu AB  kCD hai đường thẳng AB CD phân E biệt AB//CD Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên tam D giác ABC tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi A M trung điểm BC Chứng minh AM vuông góc DE Giải B M C uuuu r uuur Ta chứng minh AM DE  tauucó uu r uuur uuur uuur uuur uuur AM DE  ( AB  AC )( AE  AD ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AB AE  AB AD  AC AE  AC AD uuur uuur uuur uuur  AB AE  AC AD (vì AB=AD;AE=AC)  AB AE.cos (900  A)  AC ADcos (900  A)  uuuu r uuur AM  DE � AM  DE Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD với cạnh đáy AB cà CD (các cạnh bên không song song) Chứng minh cho trước điểm M nằm hai điểm A, D có điểm N nằm cạnh BC cho AN//MC DN//MB Giải O A M D B N C Gọi O ulà giao điểm hair đường thẳng AD BC uu r r uuu r r uuur uuur r uuuu r r Chọn OA  a; OB  b; OD  ka Khi OC  kb (vì AB//DC) Giả sử OM  ma ta xác định điểm N trênuBC cho AN//CM Ta chứng minh DN//BM uur r uuur uuur uuu r r r Vì N nằm utrên BC rnênuuuON  nb AN  ON  OA  nb  a uuu r uuuu r r r Mặt khác CM  OM  OC  ma  kb uuur uuuu r Vì AN//CM nên hai véc tơ AN ; CM phương uuur k r uuur uuur uuur k r r n 1 k  hayn  ON  b Từ DN  ON  OD  b  ka k m m m m uuuu r uuuu r uuu r r r r m k r m uuur Lại có BM  OM  OB  ma  b   ( b  ka )   DN k m k uuuu r uuur Vậy BM ; DN phương hay DN//BM Bài tập làm thêm Bài 1: Cho điểm cố định A, B, I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả: uuur uuur uuur uuur MA  MB  MA  MB là: A Đường tròn đường kính AB B Trung trực AB C Đường tròn tâm I, bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB Bài 2: Chứng minh tam giác ba đương cao đồng quy 2.3.5 Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng, sử dụng mệnh đề sau uuu r uuur Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB; AC phương uuu r uuur uuur uuur AB  k AC (1) ( hay AB  k BC , k �R ) Để nhận (1) ta lựa chọn hai cách Cách 1: Biến đổi đẳng thức vectơ có dạng (1) quy tắc biến đổi quen thuộc uuu r uuur Cách 2: Tính vectơ AB; AC theo hai vectơ không phương chọn, rút (1) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK=1/3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng A K  u B I C  v M Giải r uuu r r uuur uuur uur r r Chọn u  BA; v  BC Ta phân tích BK ; BI theo u; v uuur uuu r uuur r uuur r uuur uuu r r r r 2r 1r BK  BA  AK  u  AC  u  ( BC  BA)  u  (v  u )  u  v (1) 3 3 uur uuu r uuuu r r 1r 1r 1r BI  ( BA  BM )  (u  v)  u  v(2) 2 2 uuur uur uuur uur r r uuur r r uur BK  BIhayBK  BI u  v  BK ; u  v  BI Từ (1) (2) suy Vậy Do ba điểm B, I, K thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng Giải A H B G O C E A1 10 uuu r uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuu Chọn tổ hợp hai véc tơ OA; OB OC Khi đó: OG  (OA  OB  OC ) (1) Gọi E trung điểm BC A điểm đối xứng với A qua O, ta BH//CA vuông góc với AC1; CH//BA1 vng góc với AB uuur uuur =>A1BHC hình bình hành => A 1, E, H thẳng hàng => AH  2OE uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur Ta có OH  OA  AH  OA  2OE  OA  OB  OC (2) uuur uuur Từ (1) (2) suy OG  OH � O, G, H thẳng hàng Bài tập làm thêm Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự M, N.Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AC BC Tìm điểm P thuộc EF cho M, N, P thẳng hàng 2.3.6 Bài toán chứng minh hai điểm trùng Những toán liên quan đến trọng tâm hệ điểm Phương pháp Muốn chứng minh haiuu điểm A A2 trùng ta lựa chọn hai cách uur r Cách 1: Chứng minh A1 A2  uuur uuuu r Cách 2: Chứng minh OA1  OA2 với O điểm tuỳ ý Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Giải: B M N A C Q D C P Gọi G1,G2 trọng tâm tam giác ANP CMQ r r r r � OA  ON  OP  3OG1 � r r (1) r O điểm tuỳ ý ta có � r OC  OM  OQ  3OG � Mặt khác uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur OA  ON  OP  OA  (OB  OC )  (OC  OD )  OA  OC  (OB  OD )(2) 2 uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur OC  OM  OQ  OC  (OA  OB )  (OA  OD )  OC  OA  (OB  OD )(3) 2 uu2uu r uuuur Từ (1)(2)(3) suy OG1  OG2 G1 G2 trùng 11 Ví dụ 2: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác MPE NQR có trọng tâm Giải B M A R N E C Q P D Với điểm G ta có uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r GM  GP  GE  (GA  GB)  (GC  GD)  GE  (GB  GC )  (GD  GE )  (GE  GA) 2 2 uuur uuur uuu r  GN  GQ  GR uuuu r uuu r uuur r uuur uuur uuu r r Vậy GM  GP  GE  � GN  GQ  GR  Suy trọng tâm hai tam giác MPE NQR trùng Bài tập tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số k �1 Chứng minh ABC MNP có trọng tâm Bài 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác PRT QSU có trọng tâm 2.3.7 Bài toán chứng minh số đẳng thức véctơ khác để thể mối quan hệ đối tượng hình học đẳng thức véctơ Cách chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ véctơ Muốn giải tốn hình học cơng cụ vectơ tốn chuyển đổi ngơn ngữ học sinh phải làm thành thạo Giáo viên cần có chiến lược giúp học sinh thực thành thạo cách chuyển đổi hai ngơn ngữ hình học véctơ sau: Điểm A trùng với điểm B điều kiện sau thỏa mãn : a) AB 0 b) OA OB , O Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB điều kiện sau thỏa mãn : 12 a) AM MB b) AM  MB = 1 c) OM = ( OA + OB ) O d) OM = ( OA2 + OB ) - AB , O 2 Hai điểm M M’đối xứng với trung điểm I AB MM ' = AM  MB G trọng tâm tam giác : a) GA  GB  GC 0 b) 3OG OA  OB  OC Ba điểm A, B, C thẳng hàng : a) AB = k AC b) OC =k OB +(1-k) OA , O , k�R OB  OC , O , k�R, k �1 d) OC = k OA +l OB , k+l=1, O 1 k Ví dụ : Cho  ABC Chứng minh : c) OA = a)G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC 0 b) I tâm đường trònr nội tiếp tan giác ABC : a IA +b IB +c IC = E A A^ G C D B M F B (H1) I C (H2) Có nhiều cách để chứng minh đẳng thức vectơ nêu ví dụ Ta chọn cách chứng minh tương đối quán tạo hình bình hành, sử dụng hệ thức tính chất đường phân giác Giải: a, Kẻ trung tuyến AD, G thuộc trung tuyến AD ( hình H1) Lấy điểm F đối xứng với G qua D Khi ta có BGCF hình bình hành nên: uuur GB + GC = GF uuur r Hơn G trung điểm đoạn thẳng AF nên: GA + GF = r Vậy GA  GB  GC = r Ngược lại, giả sử GA  GB  GC = , ta vẽ hình bình hành BGCF có D uuur giao điểm hai đường chéo Khi đó: GB + GC = GF 13 uuur Suy GA + GF = O nên G trung điểm đoạn thẳng AF, điểm A, G, D thẳng hàng GA = 2GD Vậy G trọng tâm tam giác ABC b, Kẻ đường phân giác AM tam giác ABC Vì I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI đường phân giác tam giác ACM (hình H2) BM CB a AB  AM a     AM CA b AM b AB a bc    AM =  AM b ab uuur b uuur Hơn ta suy MA = - MB a r uuuu r uuuu r uuu r uuuu uuu r b uuur uuu r r b uuu MB ( CB  CM ) Ta có: CM = CA + AM = CA + = CA + a a uuu r b uuu r CA  CB uuuu r r r a uuu b uuu a Từ suy ra: CM = = + CA CB b ab ab 1 a Theo tính chất đường phân giác ta có: Xét tam giác ACM có AI đường phân giác uur r a  b uuuu CM abc r uur uuur uur uuur a  b uuuu CM Mặt khác: AI  AC  CI = AC + a b c uuur r r ab a uuu b uuu = AC + ( CA + CB ) a b c a b ab uuur uuur b c AB + AC = a bc abc uur uu r uur uu r b c ( IB  IA) + ( IC  IA) = abc a bc u u r uur uur r bc b c ) IA + IB + IC = Suy được: (1  abc a b c abc r Hay: IA +b IB +c IC = Tương tự ta có: CI  Vậy tốn ta chứng minh Mức độ cao hướng dẫn học sinh chứng minh hệ thức vectơ tổng quát (để tránh khái niệm định hướng mặt phẳng cần lấy điểm M nằm miền tam giác) từ áp dụng vào trường hợp cụ thể với điểm M đặc biệt M  mp( ABC )  S ( MBC ) MA  S  MCA MB  S  MAB  MC 0 Đặc điểm toán loại học sinh khơng thấy có giả thiết véctơ tốn, giải lại sử dụng cơng cụ vectơ Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh chia làm bốn bước mà ta gọi giải thuật hóa:  Giải tốn hình học cơng cụ véc tơ Bước 1: Chuyển giả thiết hình học sang giả thiết véctơ 14 Bước 2: Chuyển kết luận hình học sang kết luận véctơ Bước 3: Thực phép biến đổi vectơ từ giả thiết véctơ đến kết luận véctơ Bước 4: Kết luận véctơ chứng minh cho ta kết luận hình học tương ứng Hai bước quan trọng, khơng có kĩ tốt giai đoạn đạt đến kết bước Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh  MPR  NQS có trọng tâm M A B N S G F C R P E D Q Ta muốn dạy học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải toán, trước hết cần họ thấy khó khăn tốn giải phương pháp tổng hợp, qua làm bật vai trò phương pháp vectơ phép giải hồn thiện Vị trí, đặc điểm tốn: Đây toán thuộc thể loại chuyển đổi ngôn ngữ, bậc THCS học sinh biết khái niệm tính chất hình học trọng tam tam giác Bài tốn dùng làm cho ví dụ khởi đầu cho việc chuyển từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ vectơ Từ đặc điểm hình học rút biểu thức vectơ tương ứng Ta thực phép giải ví dụ sau: Gọi G trọng tâm tam giác MPR Bước 1: Chuyển giải thiết hình học sang giả thiết biểu thức vectơ Thông qua hoạt động nêu câu hỏi, giáo viên định hướng để học sinh thiết lập hệ thức vectơ liên quan đến  Trọng tâm tam giác MPR: GM  GP  GR 0      Trung điểm đoạn thẳng: GM  GA  GB , GN  GB  GC Bước 2: Chuyển kết luận hình học sang kết luận biểu thức vectơ Chứng minh: GN  GQ  GS 0 Bước 3: Thực phép biến đổi vectơ GM  GP  GR 0 => 1 ( GA  GB ) + ( GC  GD )+ ( GE  GF ) = 2 Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp phép toán cộng vectơ ta có: 15 A A A 1 ( GA  GB ) + ( GC  GD ) + ( GE  GF ) = 2 1  ( GB  GC ) + ( GD  GE ) + ( GF  GA ) = 2  GN  GQ  GS 0 (Sử dụng tính chất vectơ trung điểm) Bước 4: Kết luận hình học Từ GN  GQ  GS 0 suy G trọng tâm  NQS Hay hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Trở lại giả thiết kết luận tốn Các cơng cụ sử dụng cho ta hướng để phát triển toán + Dựa vào tính chất giao hốn kết hợp phép cộng, trừ véctơ Tìm tam giác có trọng tâm với tam giác MPR HĐ1 Giáo viên vài nhóm mẫu, ví dụ như: r uuur uuur uuu GA  GC  GT   Thì yêu cầu người học phải nêu tính chất hình học điểm T HĐ 2: Từ biểu thức 1 ( GA  GC ) + ( GD  GE ) + ( GB  GF ) = có 2 thể tam giác có trọng tâm với tam giác MPR (học sinh phát biểu lời thành thạo có nghĩa họ thành thạo từ điển vectơ) Một phương pháp giải coi tốt từ đầu ta thấy trước sau khẳng định theo phương pháp đạt đến đích Q trình giải tốn tìm kiếm lối nhằm khỏi khó khăn vượt qua trở ngại trình đạt tới mục đích mà nhìn dường ta khơng thể đạt Các tốn chứa đựng đầy đủ hàm nghĩa mà ta khai thác như: tính tốn độ dài trung tuyến theo cạnh tam giác, độ dài đường phân giác trong, khoảng cách điểm đặc biệt Học viên có lực tu tốt học tốn thường có thói quen xem nhẹ coi thường việc học lý thuyết, thường hiểu không rành rọt lơ mơ định nghĩa khái niệm Đặc biệt, vấn đề có trình bày SGK, thiếu khơng có tập kèm hiểu hời hợt quên Giáo viên nên tự đào sâu suy nghĩ soạn hệ thống câu hỏi, tập riêng để củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh Khi dạy kiến thức vectơ mức độ cao khai thác tìm hiểu đào sâu quanh nội dung sau: - Tính chất đặc trưng vectơ - Định lý đại số vectơ phép biểu diễn vectơ mặt phẳng không gian - Nghệ thuật sử dụng vectơ đơn vị vào số tốn mà bề ngồi khơng thể rõ nội dung vectơ - Sử dụng vectơ vào việc xác định điểm, đường thẳng mặt phẳng 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu nhuần nhuyễn dạng toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, tơi nhận thấy tiết tập phần thay đổi cách rõ rệt: - Giờ học sinh động lơi cuốn, kích thích tính khám phá học tập học sinh - Học sinh khơng ngủ gật uể oải toán thường gặp mà thấy thời gian trôi thật nhanh - Cách làm học sinh có lơgic bước theo trình tự rõ ràng - Trong trình dự thăm lớp công tác giảng dạy mẫu thầy cô nhà trường đánh giá cao độ tiếp cận kiến thức linh hoạt học sinh - Bản thân thấy hăng say trình tìm tòi, nghiên cứu giảng dạy - Chất lượng môn học: Tại Trung tâm GDNN - GDTX Hà Trung: + Qua khảo sát lớp khối 10 (lớp 10B, 10C, 10D năm học 2018 -2019 ), tổng số 106 HS, kết sau : Yếu TB Khá Giỏi Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % B, C, D 106 18 17 38 35,8 30 28,3 20 18,9 Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận: Xã hội ngày phát triển giáo viên phải đóng vai trò quan trọng Việc đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng việc làm thường xuyên liên tục người giáo viên nói chung giáo viên mơn tốn nói riêng Sử dụng nhuần nhuyễn sáng tạo phương pháp dạy học giúp học viên tiếp thu kiến thức tốt Sự tiếp thu không ghi nhớ máy móc kiến thức tốn học mà phải nâng cao khả tư suy nghĩ học viên Tạo cho em có thái độ, động học tập đắn có vốn kiến thức, kĩ thiết yếu q trình học mơn tốn Phương pháp dạy học kiến thức vectơ phần chương trình tốn THPT, nhiên giữ vai trò tương đối quan trọng Để khắc sâu tạo hứng thú cho học sinh khám phá kiến thức liên quan đến phép toán vectơ cách vận dụng chúng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn bị chu đáo có sáng tạo cho phù hợp với đối tượng học sinh Và để truyền tải đến học sinh điều đó, giáo viên phải trả lời câu hỏi như: - Tơi tạo gì? - Có cách để giải quyết? - Dùng cách giải tốt nhất, hiệu nhất? Đó then chốt để kích thích nâng cao tinh thần học tập học viên để nâng cao chất lượng dạy học hướng tới giáo dục toàn diện cho học viên 17 3.2 Ý kiến đề xuất - Trung tâm cần tham mưu với cấp ngành, mua sắm thêm đồ dùng trang thiết bị mơ hình thực tiễn mơn tốn - Tổ chức nhiều dạy mẫu theo chuyên đề để nâng cao phương pháp dạy học cho giáo viên mà mục đích cuối nâng cao chất lượng học tập học sinh Trên kinh nghiệm nhỏ mang tính chủ quan cá nhân tơi Mong nhận động viên góp ý cấp lãnh đạo đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Quế 18 ... đầu cho học viên làm quen bớt cảm giác bỡ ngỡ việc học toán véctơ Trong đề năm (2019) với đề tài Một số dạng toán véc tơ hình học lớp 10 tơi cụ thể hóa cách dang tốn cụ thể véctơ để học viên... “Hướng dẫn học sinh cách thành lập ngôn ngữ véctơ vận dụng phép toán véctơ để giải toán hình học chương I -Hình học 10 tơi cho học sinh cách tiếp cận với kiến thức véctơ thành lập ngôn ngữ véctơ Bước.. .trong hình học lớp 10 nhằm mục tiêu giúp học viên hệ thống kiến thức vectơ sau: - Nắm đối tượng cấu thành véctơ, quan hệ hai véctơ - Dựng véctơ véctơ biết điểm đầu điểm