Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải bài toán điểm trong chương trình THPT

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Chương Tổ hợp xác suất Bộ Giáo Dục Đào đưa vào chương trình tốn đại số giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức hình thành, phát triển kỹ giải toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê phát triển phẩm chất tư khác cho học sinh Trong trình giảng dạy với nhiệm vụ tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức kỹ năng, nhận thấy đa số học sinh tiếp nhận toán đếm thường gặp khó khăn, sai lầm trước tốn phức tạp chưa hình thành phương pháp đếm, kỹ thuật đếm tư giải vấn đề Hơn nữa, việc dạy - học “ Các phương pháp đếm” “bài toán tổ hợp xác suất” khơng củng cố kiến thức tốn học có liên quan mà giúp học sinh gắn học với hành, gắn nhà trường với thực tế sống lao động sản xuất xã hội Đặc biệt theo u cầu đổi mới, mơn tốn thi hình thức trắc nghiệm, số câu hỏi vận dụng thực tế nhiều nội dung hỏi phong phú Nếu giáo viên, học sinh dạy học qua loa phần khiến em học sinh gặp khơng trở ngại việc vận dụng tốn học vào thực tế Đặc trưng mơn học tính logic cao đem lại nhiều khó khăn thách thức cho thầy trò chứa đựng nhiều hội cho trình rèn luyện phát triển tư duy, trí tưởng tượng, khả tìm tịi, óc sáng tạo nhiều kỹ khác Bài toán đếm toán quan trọng chương Tổ hợp xác suất Nếu học sinh đếm sai khơng làm tốn tính xác suất Chỉ cần học sinh lơ là, không tập trung giáo viên khơng có phương pháp truyền thụ kiến thức cách hấp dẫn, khoa học khiến em học sinh khó hiểu khơng tiếp thu phần kiến thức Vì để học sinh học tốt mơn học đòi hỏi người giáo viên phải say mê, nhiệt huyết đồng thời có phương pháp truyền thụ khoa học, hấp dẫn, sinh động nhằm thu hút tập trung đam mê học sinh vào môn học nói chung khoa học nói riêng Khi giảng dạy nghiên cứu sách giáo khoa tài liệu giảng dạy phần này, nhận thấy phương pháp tư kỹ thuật đếm cịn chưa đưa thành hệ thống mà nằm giải rác học, tập cụ thể Từ lí tơi thấy cần thiết nhìn nhận vấn đề: “dạy học tốn đếm” cách khoa học nhất, hiệu dễ hiểu với đối tượng học sinh Tôi chọn đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT” mong muốn làm tài liệu giá trị, hỗ trợ học sinh trình tự học, đồng thời chia sẻ kinh nghiệm mà thân tích lũy suốt thời gian qua với bạn bè đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Trước tượng mâu thuẫn tồn thực tiễn giáo dục trên, tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài nhằm đạt mục đích sau Thứ nhất: Giúp em nắm vững lí thuyết quy tắc đếm, hoán vị tổ hợp, chỉnh hợp trang bị cho em phương pháp giải toán Đồng thời phân loại tập nhằm hình thành phương pháp giải chung xây dựng hệ thống kiến thức tổng hợp, vững Thứ hai: Củng cố khắc sâu kiến thức đại số, hình học có liên quan Rèn luyện kỹ tính tốn, lập luận Thứ ba: Rèn luyện tư linh hoạt, sáng tạo; tư giải vấn đề, tư biện chứng; xây dựng phát triển lòng say mê u thích tốn học nói riêng khoa học nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài tốn đếm số phần tử tập hợp xuất phổ biến khoa học sống, thường phải xác định số phần tử tập hợp phải tính tốn xem khả xảy biến cố ngẫu nhiên Nếu sô phần tử tập hợp không nhiều ta đếm trực tiếp cách liệt kê Tuy nhiên số phần tử tập hợp lớn cách đếm trực tiếp khơng khả thi [1] Khi chiếm lĩnh kiến thức, kỹ tư học sinh trở nên linh hoạt, sáng tạo hơn, tạo cho em tâm chủ động, thoải mái trước tốn khó tình thực tế sống Chính đề thi tốt nghiệp THPT, xét tuyển đại học, thi học sinh giỏi tốn đếm, tổ hợp, xác suất ln có mặt để góp phần đánh giá phẩm chất lực học sinh Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu tổng kết phương pháp giải toán đếm nhằm phát triển lực phẩm chất tư cho học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với mục đích nhiệm vụ đặt trên, sau nhiều năm nghiên cứu thực nghiệm, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Phát triển lực tư học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT” việc phối hợp phương pháp nghiên cứu sau 1.4.1 Nghiên cứu lí luận Hình thức chủ yếu tơi dùng nghiên cứu tài liệu lí luận phân tích tiên nghiệm Sử dụng kiến thức có sách giáo khoa theo chương trình Bộ Giáo Dục Đào Tạo, kết có số tài liệu có liên quan sở kế thừa hay, phê phán dở, bổ sung hoàn chỉnh tri thức đạt Đồng thời dựa vào yếu tố lịch sử, cách tiếp cận khác toán đếm để hình thành cho học sinh nhiều cách giải khác 1.4.2 Quan sát điều tra Qua thực tế giảng dạy thân; qua tiết dự đồng nghiệp; qua kiểm tra viết, kiểm tra định kỳ, sổ học bạ, sổ ghi điểm học sinh để tiến hành theo dõi trình phát lĩnh hội kiến thức em từ nghiên cứu, thiết lập phương pháp tư duy, tác động sư phạm phù hợp, kịp thời 1.4.3 Tổng kết kinh nghiệm Với kết thu q trình thực nghiên cứu lí luận điều tra, tiến hành tổng kết, đánh giá khái quát thành kinh nghiệm, đúc rút phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán đếm cách khoa học phù hợp với mối liên hệ có tính quy luật tư học sinh 1.4.4 Thực nghiệm giáo dục Cụ thể hoá kinh nghiệm, kiến thức đúc rút thành loạt tác động sư phạm lên lớp đối tượng gồm em học sinh lớp11 trường THPT nhằm xác định đánh giá kết tác động Lấy học sinh lớp khơng thực nghiệm để so sánh hiệu tác động giáo dục lên phẩm chất trí tuệ lực tư em giải vấn đề vấn đề khác có liên quan Từ tổng kết đánh giá khái quát kinh nghiệm trình thực nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật vấn đề Cuối bổ sung hoàn thiện tri thức đạt tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Là phân mơn quan trọng chương trình tốn học THPT, toán đếm, tổ hợp xác suất thống kê đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ vận dụng nhiều kiến thức học từ cấp lớp 10 như: Số học, toán lập số, toán chia hết, ước số, tập hợp… tốn hình học đa giác, đa diện Ngoài học sinh cần phải nắm vững kiến thức sau 2.1.1 Quy tắc đếm a Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Về mặt chất quy tắc cộng cho ta cơng thức tính số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: A ∩ B = ∅ ⇒ A ∪ B = A + B Quy tắc cộng mở rộng: A ∪ B = A + B − A ∩ B [2] A∪ B∪C = A + B + C − A∩ B − A∩C − B∩C + A∩ B ∩C Đối với n tập hợp A1 , A2 , An ta có nguyên lý bù trừ sau: A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj + + ( −1) n −1 A1 ∩ A2 ∩ ∩ An [9] b Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m × n cách hồn thành cơng việc [1] Về mặt chất quy tắc nhân cho ta cơng thức tính số phần tử tập tích Descartes hai tập hợp A,B ký hiệu A × B Định nghĩa: Tích Descartes hai tập hợp A, B ký hiệu AxB tập hợp tất cặp thứ tự ( a, b ) với a ∈ A, b ∈ B Nguyên lý nhân: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn AxB hữu hạn ta có: AxB = A × B [3] 2.1.2 Hốn vị a Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử b Định lí: Số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn = n ! = n ( n − 1) ( n − ) 3.2.1 Chứng minh: Mục đích hình thành cho học sinh phương pháp tư đếm theo vị trí Vị trí có n cách xếp Vị trí có n-1 cách xếp … Vị trí n có cách xếp Vậy theo quy tắc nhân có: Pn = n ( n − 1) ( n − ) 3.2.1 = n ! [1] 2.1.3 Chỉnh hợp a Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Kết việc lấy k ( ≤ k ≤ n ) phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho b Định lí: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử Ank = n! ( n − k)! Chứng minh: Mục đích cho học sinh thực hành phương pháp đếm theo vị trí Vị trí có n cách xếp Vị trí có n-1 cách xếp … Vị trí k có n-k+1 cách xếp n! k Vậy theo quy tắc nhân có An = n ( n − 1) ( n − ) ( n − k + 1) = ( n − k ) ! [1] 0! = 1, An0 = 1, Ann = n ! = Pn [1] c Một số qui ước 2.1.4 Tổ hợp a Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập gồm k ( ≤ k ≤ n ) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho b Định lí: Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Cnk = n! k ! ( n − k ) ! Chứng minh: Mục đích hình thành phương pháp tư chọn trước xếp sau Để tính số chỉnh hợp chập k n phần tử, ta chia công việc thành hai công đoạn Công đoạn 1: Chọn k phần tử n phần tử, số cách chọn là: Cnk Công đoạn 2: Xếp k phần tử chọn theo trình tự định có: k ! cách Theo quy tắc nhân, số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Ank = Cnk k ! ⇒ Cnk = c Một số quy ước Ank n! = [1] k ! k ! ( n − k ) ! Cn0 = 1, Cnn = n! k Với qui ước ta có Cn = k ! ( n − k ) ! ∀k ∈ Z, ≤ k ≤ n d Tính chất k n−k ( ≤ k ≤ n) Tính chất Cn = Cn k −1 k k Tính chất Cn −1 + Cn −1 =Cn ( ≤ k ≤ n ) [1] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, nhận thấy khóa học sinh chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm phần lớn em có chung nhận định là: “Tổ hợp xác suất khó, rắc rối, làm hay bị thiếu trường hợp, liên quan nhiều đến nhiều kiến thức số học hình học” Chính tâm lí hoang mang ban đầu em trở ngại lớn cho trình tiếp thu lĩnh hội Hơn với đặc trưng trừu tượng logic cao toán, nhiều giáo viên dạy qua loa chí khơng dạy cho em học sinh mà họ cho “có lực học yếu kém” bị rỗng quên kiến thức cũ Đây quan niệm sai lầm số giáo viên nhằm biện minh cho việc làm sai trái họ cắt xén chương trình Bộ Giáo dục Đào tạo quy định đồng thời trốn tránh trách nhiệm bồi dưỡng học sinh yếu Khiến cho em yếu lại yếu khơng hiểu biết chun đề này, làm hội rèn luyện tư phát triển phẩm chất lực trí tuệ học sinh cịn ngồi trường THPT Bên cạnh đó, tơi nhận thấy toán đếm tổ hợp xác suất thống kê chương trình phổ thơng đề tài mà nhiều người quan tâm chưa xây dựng thành hệ thống đầy đủ chưa phân loại dạng tập nhằm hình thành phương pháp giải chung tương ứng Các phương pháp tư kỹ thuật đếm sách giáo khoa tài liệu giảng dạy cịn chưa đưa thành hệ thống mà nằm giải rác học tập cụ thể Trước thực trạng trên, giả thuyết khoa học đặt ra: Nếu ôn tập kiến thức số học, hình học trang bị đầy đủ phương pháp đếm, kỹ thuật đếm cách hệ thống, khoa học học sinh đưa nhiều lời giải cho toán tổ hợp xác suất thống kê 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT Sau trang bị cho học sinh kiến thức sở có kèm chứng minh giải thích nêu phần sở lý luận Tôi bước hình thành cho em phương pháp đếm từ dễ đến khó thơng qua việc chọn lọc, phân loại, hệ thống tập hướng dẫn em biết cách phân tích tìm lời giải cho tốn cụ thể Đối với tốn khó, học sinh dễ mắc sai lầm, tơi kiên trì giúp học sinh phân tích tìm sai lầm để có hướng khắc phục 2.3.1 Phương pháp đếm trực tiếp Phương pháp giải: Liệt kê trường hợp cụ thể xảy dùng quy tắc cộng Phương pháp áp dụng cho toán đơn giải cho tập hợp có số phần tử Thơng thường ta dùng thêm cơng cụ hỗ trợ để dễ dàng thống kê như: Bảng hai chiều, sơ đồ cây… Ví dụ 1: Hỏi có kết xảy gieo ba đồng xu cân đối đồng chất phân biệt ? Phân tích tìm hướng giải: Đồng xu có hai mặt nên ta quy ước mặt sấp, mặt lại ngửa Do ba đồng xu độc lập nên xuất mặt sấp (S) hay ngửa (N) đồng không liên quan đến xuất đồng lại ta có hai cách đếm trực tiếp sau: Cách 1: Lập sơ đồ hình Vậy ta liệt kê đầy đủ kết xảy sau: Ω = { SSS; SSN ; SNS; SNN ; NSS; NSN ; NNS; NNN } Suy số kết là: Ưu điểm cách đếm là: Chỉ cụ thể, rõ ràng kết xảy Nhược điểm là: Cách làm dài đếm số đồng xu đem gieo nhỏ Cách 2: Dùng quy tắc nhân Đồng xu có cách xuất mặt sấp mặt ngửa Đồng xu có cách xuất mặt sấp mặt ngửa Đồng xu có cách xuất mặt sấp mặt ngửa Theo quy tắc nhân có: 2.2.2 = kết Ưu điểm: Ngắn gọn, đếm số đồng xu đem gieo lớn Nhược điểm: Không thể cụ thể, rõ ràng kết xảy Ví dụ 2: Hỏi có kết xảy gieo hai súc sắc cân đối đồng chất phân biệt? [1] Phân tích tìm hướng giải: Mỗi súc sắc có sáu mặt nên ta gọi tên mặt theo số chấm có mặt Do hai súc sắc độc lập nên xuất mặt mặt không liên quan đến xuất lại ta có hai đếm trực tiếp sau: Cách 1: Lập bảng hai chiều Con 1 Con (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) Ưu điểm cách đếm là: Chỉ cụ thể, rõ ràng kết xảy Nhược điểm: Cách làm dài đếm số súc sắc Cách 2: Dùng quy tắc nhân Con súc sắc 1: Có cách xuất Con súc sắc 2: Có cách xuất Theo quy tắc nhân có: 6.6 = 36 kết Ưu điểm: Ngắn gọn, đếm số súc sắc đem gieo lớn Nhược điểm: Không thể cụ thể, rõ ràng kết xảy Ví dụ 3: Cho tập hợp A = { 0,1, 2,3 9} , hỏi có tập gồm ba phần tử A có tổng 10? Phân tích tìm hướng giải: Ta cần chọn số khác cho có tổng 10 Để q trình lựa chọn khơng bị lặp không thiếu trường hợp ta nên làm theo kỹ thuật sau mà tạm gọi “lùa cừu vào chuồng” cho học sinh dễ nhớ Nguyên tắc kỹ thuật ta đếm từ phần tử dãy lùa phía sau để chọn số thoả mãn đề ra; tuyệt đối khơng quay ngược phía trước Làm tương tự cho phần tử liền kề phía sau hết Lời giải Ta số có bộ: ( 0;1;9 ) , ( 0; 2;8 ) , ( 0;3; ) , ( 0; 4; ) Bắt đầu từ số ta có bộ: ( 1; 2;7 ) , ( 1;3;6 ) , ( 1; 4;5 ) Số đứng đầu ta có ( 2;3;5 ) Vì tổng ba số kể từ số trở lớn 10 nên công việc kết thúc Như có tổng cộng tập thoả mãn đề là: ( 0;1;9 ) , ( 0; 2;8 ) , ( 0;3;7 ) , ( 0; 4;6 ) , ( 1; 2;7 ) , ( 1;3;6 ) , ( 1; 4; ) , ( 2;3;5) Ưu điểm phương pháp đếm trực tiếp hết tất thường hợp xảy cách cụ thể, rõ ràng Song nhược điểm đếm tập hợp có kích thước nhỏ Thơng qua việc hình thành phương pháp đếm giúp em rèn luyện phẩm chất chung như: chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm phát triển lực tư logic, sáng tạo, tư giải vấn đề 2.3.3 Phương pháp đếm theo vị trí Phương pháp hình thành từ trang bị kiến thức sở, từ yêu cầu học sinh tự khái quát thành phương pháp chung nhằm phát triển tư khái quát hoá, tổng quát hoá cho em Các em tự đưa phương pháp giải sau: Phương pháp giải: Xét phù hợp phần tử cần xếp với vị trí dãy để xem có cách thiết lập dùng quy tắc nhân Có hai cách xét: Cách 1: Xét xem vị trí thứ dãy xếp phần tử thoả mãn yêu cầu toán suy số cách xếp cho vị trí Cách 2: Đếm số vị trí mà phần tử thứ xếp vào từ đếm vị trí xếp phần tử cịn lại thoả mãn u cầu đề Ví dụ 1: Biển số xe máy tỉnh A (nếu khơng kể mã số tỉnh) có kí tự, kí tự vị trí chữ (trong bảng 26 tiếng Anh), kí tự vị trí thứ hai chữ số thuộc tập { 1; 2; ;9} , kí tự bốn vị trí chữ số thuộc tập { 0;1; 2; ;9} Hỏi dùng mã số tỉnh tỉnh A làm nhiều biển số xe máy khác nhau? [2] Phân tích tìm hướng giải: Sáu ký tự đề cho tương ứng với sáu vị trí Mỗi vị trí sáu vị trí có yêu cầu cụ thể phần tử phép xếp vào Vì ta nên chọn cách đếm số cách xếp phần tử cho vị trí để giải toán Lời giải Giả sử biển số xe a1a2 a3 a4 a5 a6 • Có 26 cách chọn a1 • Có cách chọn a2 • Có 10 cách chọn a3 • Có 10 cách chọn a4 • Có 10 cách chọn a5 • Có 10 cách chọn a6 Vậy theo qui tắc nhân ta có 26 × × 10 × 10 × 10 × 10 = 2340000 biển số xe Ví dụ 2: Số 253125000 có ước số tự nhiên? [5] Phân tích tìm hướng giải: Để làm này, học sinh phải nắm vững khái niệm ước số biết cách phân tích số thành thừa số nguyên tố Khi số mũ luỹ thừa ứng với vị trí Lời giải Ta có 253125000 = nên ước số tự nhiên số cho có   ¥ cho ≤ m ≤ 3; ≤ n ≤ 4; ≤ p ≤ dạng 2m × 3n × p m, n, p∈ Có cách chọn m Có cách chọn n Có cách chọn p Vậy theo qui tắc nhân ta có × × = 180 ước số tự nhiên Ví dụ 3: Có số tự nhiên có chữ số abc cho a, b, c độ dài cạnh tam giác cân [5] Phân tích tìm hướng giải: Học sinh phải nắm vững tính chất tam giác cân có hai cạnh tổng hai cạnh lớn cạnh cịn lại Khi coi cạnh vị trí, ta phải lựa chọn số cho phù hợp cho vị trí Lời giải a , b , c TH1: độ dài cạnh tam giác ⇒ a = b = c ⇒ có số thỏa mãn TH2 : a, b, c độ dài cạnh tam giác cân khơng Khơng làm tính tổng quát, giả sử a = b Khả 1: a = b > c Chọn a = b = ⇒ c = Chọn a = b = ⇒ c = 1, Chọn a = b = ⇒ c = 1, 2,3 ……… Chọn a = b = ⇒ c = 1, 2,3, ,8 ⇒ Có : + + + + = 36 số thỏa mãn toán Khả 2: a = b < c c Do a + b > c ⇒ < a < c c = ⇒ < a < ⇒ a = 5, 6, Chọn Chọn c = ⇒ < a < ⇒ a = 4,5, Chọn c = ⇒ < a < ⇒ a = 4,5 Chọn c = ⇒ < a < ⇒ a = 3, Chọn c = ⇒ < a < ⇒ a = 3 Chọn c = ⇒ < a < ⇒ a = 2 c = 2,1 Chọn khơng có a tương ứng ⇒ Có : + + + + + + = 16 số thỏa toán ⇒ Trong trường hợp a = b ≠ c , có : 36 + 16 = 52 số thỏa mãn Tương tự, trường hợp b = c ≠ a , c = a ≠ b có 52 số thỏa mãn Theo quy tắc cộng ta có: + 52.3 = 165 số thỏa mãn yêu cầu toán Với c = ⇒ < a < ⇒ a = 5, 6, 7,8 tốn Phân tích sai lầm thường gặp học sinh làm bài: Đa số sai lầm đếm thiếu trường hợp Khắc phục: hướng dẫn học sinh dùng kỹ thuật “lùa cừu vào chuồng” để chọn kết cho vị trí 2.3.3 Phương pháp buộc phần tử Sử dụng thành thạo phương pháp em rèn luyện tính cẩn thận linh hoạt, sáng tạo Phương pháp giải: Khi cần đếm tập hợp mà có hai nhiều đối tượng đứng cạnh phần tử tập hợp ta coi đối tượng một, chiếm vị trí số vị trí cấu tạo nên phần tử, xếp đối tượng theo yêu cầu đề Bước 1: Buộc đối tượng thỏa mãn yêu cầu toán thành đối tượng kèm theo việc xếp vị trí đối tượng buộc chúng vào với Bước 2: Sắp xếp đối tượng theo yêu cầu đề Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Chú ý: Thường dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt… Ví dụ: Một tổ học sinh lớp 11A1 có 10 bạn, có bạn Minh Đức bạn Trung Hiếu, xếp thành hàng dọc để tập thể dục Hỏi tổ học sinh có cách xếp hàng, cho hai bạn Minh Đức Trung Hiếu ln đứng cạnh nhau? [6] Phân tích tìm hướng giải: Coi hai bạn Minh Đức Trung Hiếu phần tử ln đứng cạnh nên có 2! cách xếp bạn gần Lúc hai bạn chiếm vị trí hàng Khi ta cần xếp cho đối tượng thành hàng dọc để cách xếp thoả mãn đề Có cách xếp sau Lời giải Cách 1: Xếp bạn Minh Đức, Trung Hiếu đứng cạnh có 2! cách Xếp cặp Đức – Hiếu bạn cịn lại thành hàng có 9! cách Theo quy tắc nhân có 2!.9! cách xếp thoả mãn đề Cách 2: Có 8! cách xếp bạn (khơng có Minh Đức Trung Hiếu) thành hàng dọc Khi bạn tạo khoảng trống, ta chọn khoảng trống để xếp Minh Đức Trung Hiếu vào có cách Có cách để đổi chỗ hai bạn Minh Đức Trung Hiếu Vậy ta có 8!.9.2 = 2.9! cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 2.3.4 Phương pháp chọn trước xếp sau Phương pháp giải: Để đếm số phần tử số tập hợp ta xem xét q trình hình thành, thiết lập phần tử tập hợp cách chọn đủ số lượng theo yêu cầu xếp theo yêu cầu đề Bước 1: Chọn cho đủ số lượng thỏa mãn tính chất toán yêu cầu Bước 2: Sắp xếp Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Chú ý: Thường dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt… Ví dụ 1: Cho chữ số { 1; 2;3;5;6;7;8;9} lập thành số tự nhiên có dạng a1 a2 a5 biết chữ số sử dụng tối đa lần Có số lập từ chữ số thỏa mãn đề bài? [5] Phân tích tìm hướng giải: Do số có chữ số chữ số dùng tối đa hai lần nên xảy ba trường hợp là: Không có số lặp lại, có số lặp lại lần có hai số lặp lại hai lần Do ta phải chọn số thoả mãn yêu cầu xếp chúng theo trình tự Ta có lời giải sau Lời giải Trường hợp 1: Khơng có số lặp lại Số số thoả mãn A85 = 6720 Trường hợp 2: Có số lặp lại hai lần Chọn số số không lặp C84 Chọn số số để lặp C41 5! cách (Vì có đổi chỗ hai số giống nhau) 2! 5! Theo quy tắc nhân ta có: C84 C41 = 16800 2! Xếp số vừa chọn có: Trường hợp 3: Có số lặp lại hai lần Chọn số số không lặp C83 Chọn số số để lặp C32 10 Xếp số vừa chọn được: 5! 2!2! 5! = 5040 2!.2! Vậy theo quy tắc cộng số số có chữ số lập thỏa mãn đề 28560 Theo quy tắc nhân ta có: C83 C32 Ví dụ 2: Có tất cách đặt mật cho máy tính mật có dạng xyzabc x , y, z ký tự bảng chữ tiếng anh a < b < c a, b, c ký tự số từ chữ số từ đến thỏa mãn  ? [5] a + b + c = 10 Phân tích tìm hướng giải: Nhận thấy việc chọn ký tự chữ khơng khó khăn Xét ký tự số, để thoả mãn đề cần chọn ba số từ chữ số từ đến có tổng 10 Do ta có lời giải sau Lời giải x , y , z Bước 1: Chọn kí tự có 26 cách chọn Chọn ( a, b, c ) chọn số bộ: (0,1,9);(0,2,8);(0,3,7);(0,4,6);(1,2,7);(1,3,6);(1,4,5);(2,3,5) Bước 2: Xếp số theo thứ tự tăng dần có cách Theo quy tắc nhân có tất 26.26.26.8.1 = 140608 cách Phân tích sai lầm thường gặp học sinh làm bài: Đa số học sinh sai lầm cách chọn xếp ( a, b, c ) đếm thiếu xếp sai Khắc phục: hướng dẫn học sinh đếm kỹ thuật lùa cừu vào chuồng vừa vét hết trường hợp vừa đảm bảo chữ số xếp theo chiều tăng dần từ trái qua phải Ví dụ 3: Có 12 áo khác 10 cà vạt khác màu Hỏi có cách chọn ba bộ, gồm áo cà vạt? Phân tích tìm hướng giải: Để giải tốn ta chọn đủ số áo, số cà vạt thoả mãn đề tiến hành ghép đơi Do ta có lời giải sau Lời giải Bước 1: Số cách chọn áo 12 áo C123 Số cách chọn cà vạt 10 cà vạt C103 Bước 2: Cái áo thứ có cách xếp cà vạt; áo thứ hai có cách xếp áo thứ ba có cách xếp cà vạt nên có 3! cách xếp Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu C123 C103 3! = 158400 Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Học sinh thường sai ghép đôi áo với cà vạt Sai lầm số 1: Thiếu xếp áo với cà vạt thành dẫn đến kết quả: C123 C103 Sai lầm số 2: Hiểu lầm sang toán xếp thứ tự dẫn đến kết quả: 3 A12 A10 Khắc phục cách: Chọn áo có C123 chọn cà vạt để ghép đôi với áo vừa chọn được: A103 Do số cách chọn C123 A103 = 158400 Sai lầm số 3: Chọn áo cà vạt bộ, sau chọn lại thành bộ, hai lại ⇒ kết C123 C103 C62 C42 = 2376000 Cách làm đếm việc xếp áo thành Hướng khắc phục: cố định áo, xếp cà vạt vào; dùng phương pháp đếm loại trừ 11 Sai lầm số 4: Số cách chọn thứ C121 C101 cách, chọn thứ hai 1 1 C11 C91 cách chọn thứ ba C101 C81 cách Vậy có C12 C10 C111 C91C10 C81 = 950400 cách Cách làm đồng thời xếp số thứ tự chọn Khắc phục cách lấy kết chia cho số lần xếp: C12 C101 C111 C91C101 C81 = 158400 3! Thơng qua việc hình thành phương pháp giải, phân tích tìm hướng giải, phân tích sai lầm học sinh tơi giúp em rèn luyện tính cẩn thận, xác tư linh hoạt sáng tạo, tư giải vấn đề 2.3.5 Phương pháp đếm loại trừ Phương pháp giải: Khi cần đếm số phần tử tập hợp mà có nhiều trường hợp xảy nên sử dụng phương pháp đếm loại trừ gồm ba bước sau: Bước 1: Đếm số phương án xảy ta có kết n1 Bước 2: Đếm số phương án xảy không thỏa mãn toán kết n2 Bước 3: Số phương án là: n = n1 − n2 Ví dụ 1: Một đoàn đại biểu gồm học sinh chọn từ tổ gồm nam nữ Hỏi có cách chọn cho có nam nữ [3] Phân tích tìm hướng giải: Nếu đếm trực tiếp ta có trường hợp là: đồn đại biểu có nam, nam, nam nam Cịn đếm số phương án khơng thoả mãn có là: Khơng có nam khơng có nữ Lời giải Chọn bạn bất kỳ: C9 = 126 Chọn đoàn đại biểu gồm toàn nam tồn nữ có C54 + C44 = + = Do số cách chọn đồn đại biểu thoả mãn đề : 126 − = 120 cách Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Khi làm toán đếm dạng nói chung nói riêng, đa số học sinh thường xác định sai phương án khơng thoả mãn đề Khi tơi hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức mệnh đề phủ định mà em học lớp 10 để xử lý Cụ thể với toán này: khái niệm có tương ứng với khái niệm tồn ( ∃) phủ định mệnh đề chứa kí hiệu tồn mệnh đề chứa ký hiệu với ( ∀ ) Phương pháp đếm chứa đựng hội tốt cho em phát triển tư biện chứng tư giải vấn đề rèn luyện kỹ lập luận, trình bày Ví dụ 2: Có cách xếp kí tự từ “THÀNH TÀI” cho kí tự giống khơng đứng cạnh nhau? Phân tích tìm hướng giải: Đây tốn khó ta giải cách đếm vị trí dài nhiều trường hợp Trong trường hợp đếm số cách xếp chữ đứng gần dễ dàng nên ta dùng phương pháp đếm loại trừ Lời giải Từ “THÀNH TÀI” có chữ T, chữ H, chữ A, chữ N, chữ I 12 Gọi S tập hợp cách xếp ngẫu nhiên chữ ⇒ S = 8! 2!2!2! Gọi A tập hợp cách xếp cho hai chữ A đứng cạnh Buộc hai chữ 7! Làm tương tự, với chữ T H 2!2! Gọi T tập hợp cách xếp cho hai chữ T đứng cạnh ⇒ T = 2!2! 7! Gọi H tập hợp cách xếp cho hai chữ H đứng cạnh ⇒ H = 2!2! 6! 6! 6! ⇒ A ∩ T = ; A ∩ H = ; H ∩ T = ; A ∩ T ∩ H = 5! 2! 2! 2! A lại thành ta có số cách xếp A = Ta có số cách xếp thỏa mãn đề là: S − A ∪ H ∪T = S − ( A + T + H − A ∩T − A ∩ H − H ∩T + A ∩T ∩ H = ) 8! 6!  7!  − − + 5! ÷ = 2220 2!2!2!  2!2! 2!  Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Làm cách học sinh lại hay quên cơng thức tính A ∪ H ∪ T chưa hiểu nhớ nguyên lý bù trừ Khi tơi lấy ví dụ cụ thể giải thích sơ đồ ven tập hợp mà em học lớp 10 Khi hiểu em làm nhiều tương tự cách dễ dàng Tôi cho học sinh luyện thêm 2.4 trang 62 sách tập đại số giải tích 11 để củng cố vững Ví dụ 3: Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà số khơng có chữ số lặp lại lần? [5] Phân tích tìm hướng giải: Nếu sử dụng phương pháp đếm trực tiếp để giải toán có nhiều trường hợp xảy Vì ta đếm số tự nhiên có chữ số mà có chữ số lặp lại lần Lời giải Bước 1: Gọi n = abcde số tự nhiên gồm chữ số Khi chữ số a có cách chọn Các chữ số b, c, d , e chữ số khác có 10 cách chọn ⇒ có 9.104 số n Bước 2: Tìm số tự nhiên có chữ số có số lặp lại lần Trường hợp 1: chữ số lặp lại lần: a0000 ; trường hợp có số Trường hợp 2: chữ số lặp lại lần: Dạng a1111( a ≠ 1) : a có cách chọn ⇒ có số Dạng 1x111( a = 1) : x có cách chọn có vị trí ⇒ có 9.4 = 36 số Suy trường hợp có + 36 = 44 số Các trường hợp lại: chữ số từ đến lặp lại lần tương tự trường hợp chữ số lặp lần, trường hợp có 44 số Do có + 9.44 = 405 số có chữ số có chữ số lặp lại lần Bước 3: Vậy có 9.104 − 405 = 89595 số thỏa yêu cầu toán Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Học sinh thường 13 thiếu trường hợp quên vai trị bìnhh đẳng chữ số cấu tạo nên số thoả mãn đề Khi tơi u cầu học sinh dùng kỹ thuật “lùa cừu vào chuồng” để vét cho hết tất thường hợp xảy 2.3.6 Phương pháp tạo vách ngăn Rất nhiều toán sử dụng phương pháp đếm gặp nhiều trường hợp khó khăn phức tạp Nhưng sử dụng phương pháp có lời giải hay ngắn gọn Từ giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Phương pháp giải: Khi cần đếm số phần tử tập hợp mà phần tử có yêu cầu đối tượng cấu thành cụ thể khơng phép xếp gần ta chọn phương pháp tạo vách ngăn thông qua bước sau: Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo m vách ngăn, m + chỗ trống Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán vào m + chỗ trống Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Ví dụ 1: Có học sinh thầy giáo A, B, C ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ cho người cho thầy giáo ngồi hai học sinh? [4] Phân tích hướng giải: Để thầy giáo ngồi hai học sinh, ta xếp học sinh trước để tạo vách ngăn xếp thầy giáo vào Lời giải Bước 1: Xếp vị trí cho học sinh có 6! cách Tạo vách ngăn chỗ trống Bước 2: Do đề yêu cầu thầy giáo ngồi hai học sinh nên ta tính khoảng trống từ vách ngăn tạo học sinh Số cách xếp thầy giáo vào vị trí A53 cách Vậy theo quy tắc nhân có 6! A53 = 43200 cách Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Học sinh thường mắc sai lầm bước sau: Với học sinh nên tạo khoảng trống từ vách ngăn Số cách xếp thầy giáo vào vị trí C73 cách Khi tơi giúp học sinh thấy cách làm không đảm bảo yêu cầu thầy giáo ngồi hai học sinh chọn vị trí mà chưa xếp thầy vào Ví dụ 2: Có số tự nhiên có 10 chữ số đơi khác nhau, chữ số 1, 2, 3, 4, 5, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải chữ số đứng trước chữ số [7] Phân tích hướng giải: Vì chữ số 1,2,3,4,5,6 xếp cố định theo chiều tăng dần nên ta xếp chữ số trước Sau xếp chữ số theo yêu cầu đề đến số 8,9 cuối số số khơng thể đứng đầu Do ta có lời giải sau Lời giải 14 Bước 1: Xếp chữ số 1, 2, 3, 4, 5, theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải ta có: cách Sáu chữ số tạo thành vách ngăn vị trí trống gồm khoảng vách ngăn vị trí bên ngồi Bước 2:Vì chữ số đứng trước chữ số nên xếp số vào vị trí bên ngồi phía sau Dó cách xếp số là: C61 Bước 3: Sau xếp số tạo vách ngăn vị trí trống nên số cách xếp chữ số là: C81 Bước 4: Tương tự chữ số có số cách xếp là: C91 Bước 5: Số cách xếp để chữ số đứng vị trí là: C91 Vậy tổng số số thoả mãn đề là: C61   C81 C91 C91 = 3888 cách Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm bài: Học sinh thường mắc sai lầm bước bước sau: Bước 3: Xếp số 8,9 có A82 cách Cách làm dẫn đến số 8,9 không đứng gần dãy số từ học sinh biết cách khắc phục Bước 5: Xếp số có C101 học sinh làm toán cách mà xếp số trước đồng thời số 7,8,9 Làm số đứng vị trí dãy số từ học sinh tự biết cách khắc phục Ví dụ 3: Có cách xếp bạn nữ bạn nam ngồi xung quanh bàn trịn cho khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau? [3] Lời giải Trước hết ta xếp chỗ cho bạn nam Vì cách xếp vị trí cho 10 người với thứ tự quanh bàn tròn coi nên ta chọn trước vị trí cho bạn nam đó, sau xếp người cịn lại có 5! cách, tạo khoảng trống Xếp bạn nữ vào khoảng trống có A64 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách xếp A64 5! = 43200 cách Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm Sai lầm số 1:Khơng tính đến cách xếp vị trí cho 10 người với thứ tự quanh bàn tròn coi A64 6! = 259200 Khắc phục Sai lầm số 2: Chỉ chọn chỗ mà không xếp bạn nữ vào: C64 5! = 1800 Sai lầm số 3: Dùng phương pháp đếm loại trừ dẫn đến thiếu trường hợp Xếp cả: 10 người vào bàn trịn có: 9! cách xếp Xếp cho có bạn nữ ngồi cạnh nhau: Xếp bạn nam có 5! cách xếp vịng trịn tạo khe trống Chọn bạn nữ xếp gần để xếp vào khe trống có: A42 cách Hai bạn nữ cịn lại có C52 cách chọn chỗ Suy số cách xếp là: A42 6.C52 5! = 86400 cách Vậy số cách xếp thoả mãn đề là: 9!− 14400 = 86400 cách Phân tích: Cách giải dài, học sinh cần bổ sung trường hợp có hai cặp bạn nữ ngồi gần nhau, bạn nữ ngồi gần nhau, bạn nữ ngồi gần 15 2.3.7 Phương pháp đặt biến số Phương pháp giải: Trong toán đếm phức tạp, đối tượng đếm có mối liên hệ chặt chẽ với mà đề lại chưa cho kết cụ thể phục vụ trực tiếp cho trình đếm ta phải sử dụng phương pháp đặt biến (giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình) để tìm thêm kiện thực đếm Bước 1: Đặt biến dựa vào giả thiết để lập phương thình theo biến đặt Nếu lập hệ đặt biến phải lập nhiêu phương trình Bước 2: Giải phương trình, hệ phương trình phương trình nghiệm nguyên vừa lập để tìm nghiệm Bước 3: Áp dụng phương pháp đếm để giải tốn Ví dụ 1: Một giáo viên chuẩn bị sách tốn, sách hóa sách lý để làm phần thưởng cho 12 học sinh có hai bạn Hoa Lan Các sách môn Mỗi học sinh nhận sách khác mơn a Hỏi giáo viên có cách chia phần thưởng cho 12 học sinh? b Hỏi giáo viên có cách chia phần thưởng cho 12 học sinh để Hoa Lan nhận phần thưởng giống nhau? Phân tích tìm hướng giải: Trước hết xét xem 24 sách đề cho phân thành cặp (Tốn; Hóa), (Tốn; Lý), (Lý; Hóa) chọn số học sinh tương ứng để trao cặp sách nói Lời giải a Gọi x, y, z số học sinh nhận phần thưởng gồm sách Tốn Lý, Tốn Hóa, Lý Hóa, x, y, z ∈ ¥  x + y + z = 12 x = x + y =   ⇔ y = Theo giả thiết, ta có hệ:  x + z = z =   y + z = Do số cách chia 24 sách gồm sách Toán, sách Hóa sách Lý để làm phần thưởng cho 12 học sinh, học sinh nhận sách khác môn là: C12 C9 C5 = 27720 b Để Hoa Lan nhận phần thưởng có trường hợp sau: Trường hợp 1: Chọn (Toán; Lý) trao cho Lan Hoa trao 10 lại cho 10 bạn có: C101 C94 C55 = 1260 cách trao Trường hợp 2: Chọn (Tốn; Hóa) trao cho Lan Hoa trao 10 cho 10 bạn cịn lại có: C102 C83 C55 = 2520 cách trao Trường hợp 3: Chọn (Lý; Hóa) trao cho Lan Hoa trao 10 cho 10 bạn cịn lại có: C103 C74 C33 = 4200 cách trao Vậy số cách trao để Lan Hoa nhận sách môn là: 1260 + 2520 + 4200 = 7980 Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm câu a: Học sinh không chia 24 sách thành cặp Cách khắc phục : hướng dẫn học sinh 16 đặt ẩn chọn sách môn để chia hết, ta có cách làm thứ : Lượt : Chọn học sinh để chia toán C127 , trao hố cho bạn cịn lại Lượt : Chọn học sinh nhận toán để chia nốt hoá C73 , bạn cịn lại nhận sách lý Khi nhận kết : C127 C73 = 27720 Phân tích sai lầm học sinh thường gặp làm câu b: Học sinh chọn loại để chia cho bạn Hoa, Lan C42 + C32 + C52 = 19 Mắc phải sai lầm em quên giả thiết sách loại nên sách chọn nên việc chia nghĩa mà phải chia cho bạn cịn lại Ví dụ 2: Cho đa giác 15 đỉnh, lập tất tam giác cân ba đỉnh ba đỉnh đa giác này? [8] Phân tích hướng giải: Đa giác nội tiếp đường trịn nên ta chia đường tròn thành 15 cung Tam giác cân có hai cạnh nên độ dài cạnh tương ứng với độ dài cung mà cạnh chắn Do ta lập phương trình nghiệm nguyên để giải toán Lời giải Giải sử đa giác nội tiếp đường tròn (O) số đo cung căng canh đơn vị, ta có 15 cung Xét đỉnh tam giác cân có đỉnh đỉnh đa giác số đo cung chứa hai cạnh bên x ≥ 1, x ∈ ¢ , cạnh cịn lại y ≥ 1, x ∈ ¢ Ta có : x + y = 15 ⇒ x ≤ x ≠ y ⇒ x ≠ Giải phương trình nghiệm nguyên ta nghiệm là: ( 1;13) , ( 2;11) , ( 3;9 ) , ( 4;7 ) , ( 6;3) , ( 7;1) Vậy có tam giác cân có đỉnh đỉnh đa giác có tất 15.6 = 90 tam giác cân không thỏa mãn 2.3.8 Vận dụng phương pháp đếm để giải toán nhiều cách Sau hình thành cho học sinh phương pháp đếm trên, tiến hành cho học sinh luyện tập mức độ cao là: yêu cầu học sinh giải số toán đếm nhiều cách khác Nhằm mục đích củng cố vững kiến thức phương pháp hình thành rèn luyện kỹ cách thục phát triển tư linh hoạt sáng tạo cho em Ví dụ 1: Có cách xếp kí tự từ THANHCONG cho kí tự giống không đứng cạnh nhau? [5] Lời giải Cách 1: Phương pháp tạo vách ngăn Trường hợp 1: H không đứng hai chữ N Xếp ký tự khác ta có: 5! cách Chèn chữ N vào khoảng trống mà vách ngăn tạo nên có: C62 cách Chèn chữ H vào khoảng trống mà vách ngăn tạo nên có: C82 cách Vậy số cách xếp là: 5!.C62   C82 = 50400 cách Trường hợp 2: H đứng chữ N 17 Coi chữ N kí tự ta có số xếp chữ N kí tự khác là: 6! cách Chèn chữ H vào chữ N có cách, chèn chữ H cịn lại vào khoảng trống khác có cách Vậy có 7! cách Vậy tổng số cách xếp là: 5!.C62   C82 + 7! = 55440 cách Cách 2: Phương pháp đếm loại trừ kết hợp với đếm theo vị trí Số cách xếp kí tự thỏa mãn đề ta làm sau: coi ta có trống xếp thành hàng ngang Do kí tự N H lặp lại lần nên ta xếp kí tự cịn lại trước số cách xếp 9.8.7.6.5, sau ta xếp kí tự N vào chỗ cịn lại ta có cách Khi hai kí tự N đứng cạnh ta coi kí tự NN số cách xếp 8.7.6.5.4.3 tương tự với HH Ta nhận thấy hai trường hợp bị trùng trường hợp xuất đồng thời NN HH số cách xếp 7! Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn đề là: 9.8.7.6.5.6 − ( 2.8.7.6.5.4.3 − 7!) = 55440 Cách 3: Phương pháp đếm loại trừ kết hợp với buộc phần tử Số cách xếp ngẫu nhiên chữ 9! cách 2!2! Số cách xếp cho hai chữ H hai chữ N đứng cạnh 8! cách 2! Xếp cho hai chữ H đứng cạnh nhau, chữ N đứng cạnh 7! cách Ta có số cách xếp thỏa mãn đề là: 9!  8! 8!  −  + − 5!÷ = 55440 2!2!  2! 2!  Các sai lầm thường gặp học sinh: Trong cách 1: Khi tách ký tự NN HH ký tự khác nhau, học sinh quên trường hợp H đứng hai chữ N N đứng hai chữ H dẫn đến kết 5!.C62   C82 = 50400 Trong cách 2: học sinh không nhận thấy hai trường hợp NN, HH đứng gần bị trùng trường hợp xuất đồng thời NN HH dẫn đến kết quả: 9.8.7.6.5.6 − 2.8.7.6.5.4.3 = 50400 Ví dụ 2: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số 3? [5] Lời giải Cách 1: Phương pháp đếm theo vị trí TH1: Nếu số 123 đứng đầu có A74 số TH2: Nếu số 321 đứng đầu có A74 số TH3: Nếu số 123;321 khơng đứng đầu Khi có cách chọn số đứng đầu (khác 0;1; 2;3 ), lại vị trí có cách xếp số 321 123 , cịn lại vị trí có A63 cách chọn số cịn lại Do trường hợp có 6.2.4 A63 = 5760 Suy tổng số thoả mãn yêu cầu A74 + 5760 = 7440 Cách 2: Phương pháp buộc phần tử chọn trước xếp sau Trường hợp 1: Khơng có số Xếp số 1,2,3 cho chữ số đứng liền hai chữ số 3: có 2! cách Sau buộc chúng thành phần tử 18 Chọn số lại: C64 = 15 cách Xếp phần tử: 5! cách Theo quy tắc nhân có: 2!C64 5! = 3600 cách Trường hợp 2: Có số Xếp số 1,2,3 cho chữ số đứng liền hai chữ số 3: có 2! cách Sau buộc chúng thành phần tử Chọn số lại: C63 = 20 cách Xếp phần tử để số không đứng đầu: 5!− 4! cách Theo quy tắc nhân có: 2!C6 ( 5!− 4!) = 3840 cách Suy tổng số thoả mãn yêu cầu 3600 + 3840 = 7440 Nhận xét: Hầu hết toán tổ hợp sử dụng phương pháp để giải quyết, nhiên có linh hoạt, sáng tạo đưa lời giải hay ngắn gọn 2.3.9 Bài tập đề nghị Bài 1: Giải ví dụ mục 2.3.6 Phương pháp tạo vách ngăn phương pháp chọn vị trí: Có số tự nhiên có 10 chữ số đơi khác nhau, chữ số 1, 2, 3, 4, 5, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải chữ số đứng trước chữ số [7] Bài 2: Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác mà hai số chẵn khơng thể đứng cạnh nhau? Đáp số: 32040 số [5] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT” đưa cách nhìn nhận khoa học phương pháp giảng dạy hướng dẫn học sinh THPT học tập, vận dụng tổ hợp, xác suất thống kê vào thực tế sống Giúp phát triển phẩm chất lực tư học sinh bồi đắp u thích tốn học nói chung khoa học nói riêng Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp xác suất nói chung, việc phân loại tập kèm phương pháp giải cụ thể với hệ thống ví dụ điển hình, đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Từ sử dụng giảng để giảng dạy cho tất em học sinh lớp 11 từ học lực yếu, trung bình đến học sinh giỏi Giúp em nhận thức đầy đủ kiến thức, phương pháp có nhiều hội để rèn luyện kỹ giải toán xác suất Mặt khác sáng kiến kinh nghiệm tài liệu hữu ích cho em học sinh tự học, tự rèn luyện 2.4.2 Thực nghiệm kết thực nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào để dạy tiết dạy tự chọn, tiết dạy bồi dưỡng thơng qua tiết ngoại khóa tổ với chuyên mục: “Sai đâu?” Để đánh giá hiệu sau trình giảng dạy học tập tiến hành kiểm tra đánh giá kiểm tra chuyên môn sau: Bài số 1: Lớp 11- Bài kiểm tra chương tiết số 36 theo PPCC Lớp 12 - Bài kiểm khảo sát chất lượng môn học bồi dưỡng lần Bài số 2: Lớp 11- Bài kiểm khảo sát chất lượng học kỳ Lớp 12 - Bài kiểm khảo sát chất lượng lớp 12 Sở GD&ĐT Thanh Hóa 19 Kết kiểm tra lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ Sĩ số(SS) 11A5 Bài số 5% 12 29% 19 45% 12% 9% SS 42 Bài số 7% 12 29% 18 43% 14% 7% 12A7 Bài số 7% 15 34% 20 45% 9% 5% SS 44 Bài số 7% 10 22% 21 48% 16% 7% Kết kiểm tra lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ Sĩ số(SS) 11A3 Bài số 20 45% 19 42% 13% 0% 0% SS 45 Bài số 16 36% 20 44% 20% 0% 0% 12A4 Bài số 18 41% 19 43% 14% 0% 0% SS 44 Bài số 14 32% 19 43% 11 25% 0% 0% Thông qua hai bảng kết ta thấy thành tích học tập em học sinh hai khối lớp có thực nghiệm 11A3-K56,12A4-K55 khơng thực nghiệm 11A5-K56,12A7-K55 có khác biệt rõ rệt Kết thực nghiệm cho thấy tiến rõ rệt em học sinh lớp thực nghiệm, tỷ lệ học sinh khá, giỏi cao, khơng có học sinh yếu, Các em giải tốt toán đặt cách linh hoạt sáng tạo Đứng trước toán em tỏ tự tin, chủ động linh hoạt để phân tích nhận định tốn nhằm lựa chọn cách giải thích hợp ngắn gọn Giờ học toán tiết kiểm tra em hào hứng chờ đợi, đặc biệt luyện tập em thi đua tìm lời giải hay, cách giải đẹp làm khơng khí học tập lớp sơi Kết luận kiến ghị 3.1 Kết luận Trên tơi vừa trình bày nội dung sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT” Tồn kiến thức sử dụng viết trang bị đầy đủ chi tiết chương trình học tập học sinh lớp 10 lớp 11 theo chương trình sách giáo khoa biên soạn Bộ Giáo Dục đào Tạo Sau kết đạt trình nghiên cứu Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức đầy đủ chi tiết quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Hình thành cho em phương pháp giải toán đếm: Đếm trực tiếp cách liệt kê thông qua sơ đồ cây, bảng hai chiều, kỹ thuật “lùa cừu vào 20 chuồng”; đếm theo vị trí; buộc phần tử; chọn trước xếp sau; đếm loại trừ; tạo vách ngăn phương pháp đặt biến số Hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích đề để lựa chọn phương pháp giải tìm lời giải cho tốn Hướng dẫn học sinh cách phân tích lật lại vấn đề để tự kiểm tra, rà soát làm xem hay sai để đưa cách khắc phục hiệu cho lời giải Xây dựng hệ thống tập hồn chỉnh thơng qua ví dụ điển hình theo thứ tự từ dễ đến khó Có nhiều ví dụ ứng dụng tốn vào số vấn đề thực tế đời sống Rèn luyện phát triển phẩm chất trí tuệ lực tư cho học sinh như: Tư khái quát hoá, tổng quát hoá, tư linh hoạt sáng tạo, tư giải vấn đề, tư biện chứng… Rèn tính cẩn thận, chắn, xây dựng phát triển lịng say mê, u thích tốn học nói riêng khoa học nói chung 3.2 Kiến nghị Đây đề tài khó, nội dung chuyên đề rộng Trong khuôn khổ hạn hẹp sáng kiến kinh nghiệm, nghiên cứu phạm vi vừa áp dụng cho việc giảng dạy đại trà vừa ôn thi học sinh giỏi Đề tài cịn khai thác, mở rộng thêm lớp toán: Phương pháp đếm nâng cao toán ứng dụng thực tế Với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm, phân loại tập ví dụ điển đưa phương pháp giải chung Rất mong góp ý bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa ngày 28 tháng năm 2020 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm khơng chép nội dung người khác Người viết Phạm Thị Nga 21 ... lời giải cho toán tổ hợp xác suất thống kê 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT Sau trang bị cho học sinh. .. nghiệm Đề tài ? ?Phát triển lực tư cho học sinh thơng qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT? ?? đưa cách nhìn nhận khoa học phương pháp giảng dạy hướng dẫn học sinh THPT học tập,... thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề ? ?Phát triển lực tư học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT? ?? việc phối hợp phương pháp nghiên cứu sau 1.4.1 Nghiên cứu lí