Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx Người thực hiện: Lê Khắc Luyện Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………….…… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………….…… Trang 01 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………….…… Trang 01 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Vận dụng vào giải số dạng phương trình lượng giác 2.3.2 Vận dụng giải số tốn phương trình chứa tham số 2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ …… 2.3.4 Hệ thống tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 02 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 12 3.1 Kết luận ….…………………………………………… Trang 12 Trang 03 Trang 03 Trang 03 Trang 08 Trang 09 Trang 10 Trang 11 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………… Trang 13 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm học gần đây, tích cực đổi phương pháp dạy học Theo xu đổi này, trình học, người học trung tâm, chủ thể hoạt động; người học phải chủ động, tích cực tìm tịi sáng tạo để tiếp nhận kiến thức cho thân; người học phải học để học cách học Bên cạnh người dạy người tổ chức, hướng dẫn hoạt động học tập cho người học để đạt điều Trong đó, mục tiêu phát triển tư sáng tạo phát huy tìm tịi khám phá cho người học quan trọng Vì dạy học người dạy phải ln tìm cách để đạt mục tiêu Hiểu rõ điều đó, q trình dạy học tơi ln nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức cần truyền đạt cho học sinh để tìm vấn đề cần hướng dẫn học sinh khai thác, vận dụng, tìm tịi khám phá thêm Qua khơng giúp cho học sinh nắm vững kiến thức học mà phát triển tư sáng tạo, khuyến khích hoạt động tìm tịi khám phá học sinh, giúp học sinh hiểu kiến thức sâu sắc, thấu đáo biết vận dụng Với tinh thần trên, trình giảng dạy nội dung Chương I - Đại số Giải tích 11 [1], hướng dẫn học sinh vận dụng, khái thác kiến thức phương trình bậc sinx cosx để giải số dạng toán giúp em phát huy sáng tạo học tập Tôi thực nghiệm giải pháp trình giảng dạy lớp 11C3, năm học 2019-2020 thu kết tốt Vậy nên năm học này, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo học tập nội dung phương trình bậc sinx cosx" 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi nghiên cứu đề tài nhằm tìm giải pháp phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo học tập, từ học sinh có hứng thú nâng cao chất lượng học tập mơn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm hướng giảng dạy phương trình lượng giác Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi với với đồng nghiệp phương pháp dạy học, tài liệu tham khảo học sinh để góp phần nâng cao hiệu dạy học tốn trường THPT Như Xn nói riêng trường THPT nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hướng vận dụng, khai thác nội dung kiến thức phương trình bậc sinx cosx giảng dạy Bài 3: “Phương trình lượng giác thường gặp”, Chương I, Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11, chương trình [1] 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu Sáng kiến kinh nghiệm là: Phương pháp xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm vận dụng, khai thác cách giải phương trình bậc sinx cosx trình bày Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 [1], [2] (bao gồm chương trình chương trình nâng cao) Trong sở lí thuyết trọng tâm nhắc lại sau (1) Phương trình bậc sinx cosx Phương trình dạng a sin x + b cos x = c , a, b, c số cho với a khác b khác gọi phương trình bậc sinx cosx Để giải phương trình a sin x + b cos x = c (a + b ≠ 0) ta biến đổi biểu thức a sin x + b cos x thành dạng C sin( x + α ) dạng C cos( x + γ ) , cụ thể sau 2 (2) Phép biến đổi biểu thức a sin x + b cos x ( a + b ≠ )  a b 2  Ta có: a sin x + b cos x = a + b  2 sin x + 2 cos x ÷ a +b  a +b  2     a b + Do  ÷  ÷ =1 2  a +b   a +b  nên có số α cho cos α = Từ đó: a b sin α = 2 a +b a +b a sin x + b cos x = a + b ( cos α sin x + sin α cos x ) = a + b sin( x + α ) (*) a b Còn ta chọn số β cho sin β = 2 cos β = 2 a +b a +b a sin x + b cos x = a + b ( sin β sin x + cos β cos x ) = a + b2 cos( x − β ) (**) (3) Cách giải phương trình bậc sinx cosx Để giải phương trình a sin x + b cos x = c (a + b ≠ 0) ta chọn hai phép biến đổi (*) (**) - Với phép biến đổi (*), phương trình a sin x + b cos x = c (a + b2 ≠ 0) đưa dạng sin( x + α ) = c a + b2 (1) - Với phép biến đổi (**), phương trình a sin x + b cos x = c (a + b2 ≠ 0) đưa dạng cos( x − β ) = c a + b2 (2) Và thế, việc giải phương trình a sin x + b cos x = c (a + b2 ≠ 0) đưa giải phương trình lượng giác (1) (2) (4) Điều kiện cần đủ để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm Ta có, phương trình (1) có nghiệm c a + b2 ≤ hay a + b2 ≥ c2 Do đó, phương trình a sin x + b cos x = c (a + b2 ≠ 0) có nghiệm a + b ≥ c Ngoài ra, a + b = phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm c = 0, tức phải thoả mãn điều kiện a + b ≥ c Vậy ta có kết sau: Điều kiện cần đủ để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a + b2 ≥ c2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình lượng giác nội dung kiến thức quan trọng chương trình tốn 11 nói riêng chương trình tốn THPT nói chung Tuy nhiên nội dung khó khơng học sinh Học sinh dễ lúng túng trước số lượng lớn công thức lượng giác trước đa dạng hướng biến đổi biểu thức lượng giác Có thể ví học sinh đứng trước tốn giải phương trình lượng giác đứng trước đường nhiều ngã rẽ mà học sinh lúng túng chọn ngã rẽ để đến nơi cần đến Nội dung phương trình lượng giác chương trình tốn 11 trình bày (bao gồm phương trình lượng giác số phương trình thường gặp) Địi hỏi học sinh phải nắm kiến thức biết khai thác vận dụng chúng để giải phương trình lượng giác khác với đa dạng phong phú Tuy nhiên điều đa số học sinh làm khơng có hướng dẫn chu đáo người dạy Một thực tế mà nhận thấy học sinh nắm vững cách giải phương trình bậc sinx cosx chưa biết khai thác vận dụng chúng giải số tốn tương tự liên quan Vì tơi có Sáng kiến kinh nghiệm để giúp cho học sinh học phương trình lượng giác cách tích cực, hứng thú phát huy tự tìm tịi sáng tạo học tập 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề Sau học sinh nắm vững cách giải có kỹ việc giải phương trình bậc sinx cosx, hướng dẫn học sinh khai thác cách giải theo số hướng sau 2.3.1 Vận dụng vào giải số dạng phương trình lượng giác a) Vận dụng giải phương trình dạng a sin u ( x) + b cos u ( x) = c Có thể nói phương trình dạng a sin u ( x ) + b cos u ( x) = c (a + b ≠ 0) phương trình bậc sinu(x) cosu(x), hồn tồn vận dụng trực tiếp cách giải để giải dạng phương trình Và thực chất học sinh tiếp xúc qua ví dụ tập Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 Tuy nhiên, cần hướng dẫn thêm để học sinh biết vận dụng cách giải cách linh hoạt, biết sử dụng điều kiện có nghiệm q trình giải phương trình, biết biến đổi phương trình dạng quen thuộc Ta xét ví dụ sau Ví dụ Giải phương trình: a) 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x b) cos2x + 2sinxcosx - sin2x = Giải a) 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x ⇔ sin2x + (1+ cos2x) = + cos2x ⇔ sin2x + ( - 1)cos2x = - Ta có a + b = ( ) + ( − 1) = − 2 , c = ( − ) = 11 − 2 Do đó: a + b < c ⇔ − 2 < 11 − ⇔ < ⇔ ( ) < 62 ⇔ 32 < 36 (đúng) Vậy a + b < c nên phương trình cho vơ nghiệm b) cos2x + 2sinxcosx - sin2x = ⇔ (1+cos2x) + sin2x - (1- cos2x) = 2 1 cos2x + sin2x = 2 π π π π  ⇔ sin cos2x + cos sin2x = ⇔ sin  x + ÷= sin 3 3  ⇔ cos2x + sin2x = ⇔ π π π    x + = + k 2π  x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z )  x + π = π − π + k 2π  x = π + kπ   Nhận xét 1) Việc kiểm tra điều kiện có nghiệm cách giải câu a) giúp rút ngắn phép giải tránh sai lầm 2) Câu b) phương trình bậc hai sinx cosx nên cịn có cách giả khác chia hai vế cho cosx đặt ẩn phụ t = tanx Tuy nhiên trường hợp cách giải phức tạp so với cách giải trình bày b) Vận dụng cách giải tương tự Ngồi việc vận dụng trực tiếp cách giải để giải phương trình dạng a sin u ( x ) + b cos u ( x ) = c , sau xét số dạng phương trình giải cách vận dụng cách giải tương tự cách giải phương trình bậc sinx cosx a) a.sin u( x) + b.cos u ( x) = c.sin v( x) (1a) b) a.sin u ( x) + b.cos u ( x) = c.cos v( x) (1b) (với a + b = c > ) Cách giải: - Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (1a) dạng sin [ u ( x) + α ] = sin v( x) - Vận dụng phép biến đổi (**), đưa (1b) dạng cos [ u ( x) − β ] = cos v( x) Dạng Ví dụ Giải phương trình: a) cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = (Trích đề Đại học khối D năm 2009 [3]) b) sinx + cosxsin2x + cos3x = 2(cos4x + sin3x) (Trích đề Đại học khối B năm 2009 [4]) Giải: a) cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = ⇔ cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = cos5x - sin5x = sinx 2 π π  π ⇔ sin cos5x - cos sin5x = sinx ⇔ sin  − x ÷ = sinx 3 3  ⇔ cos5x - sin5x = 2sinx ⇔ π π π   −5 x = x −k 2π  x = 18 + k ⇔ ⇔ (k ∈Z ) π −5 x =π − x −k 2π  x =−π + k π   3  b) sinx + cosxsin2x + cos3x = 2(cos4x + sin3x) ⇔ sinx(1- 2sin2x) + cosxsin2x + cos3x = 2cos4x ⇔ sinxcos2x + cosxsin2x + cos3x = 2cos4x ⇔ sin3x + cos3x = 2cos4x ⇔ sin3x + cos3x = cos 4x 2 π π  π ⇔ sin sin3x + cos cos3x = cos4x ⇔ cos  x − ÷ = cos4x 6  π π   x =− + k 2π 4 x = 3x − + k 2π ⇔ ⇔ (k ∈Z ) x = π + k 2π 4 x =−3x + π + k 2π   42   Dạng a.sin u ( x) + b.cos u ( x) = c.sin v( x) + d cos v( x) (2) (với a + b2 = c2 + d > ) Cách giải: - Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (2) dạng sin [ u ( x) + α ] = sin [ v( x) + α '] - Hoặc vận dụng phép biến đổi (**), đưa (2) dạng cos [ u ( x) − β ] = cos [ v( x) − β '] Nhận xét: Dạng trường hợp riêng dạng c = d = Ví dụ Giải phương trình: a) cos3x - sinx = (cosx - sin3x) (1 − 2sin x) cos x = b) (1 + 2sin x)(1 − sin x) (Trích đề Đại học khối A năm 2009 [5]) Giải: a) cos3x - sinx = (cosx - sin3x) ⇔ cos3x + sin3x = sinx + cosx 1 ⇔ cos3x + sin3x = sinx + cosx 2 2 π π π π ⇔ cos cos3x + sin sin3x = sin sinx + cos cosx 3 π   π ⇔ cos  x − ÷ = cos  x − ÷ 3 6   π π π   3x − = x − + k 2π x = + kπ   12 ⇔ ⇔ (k ∈Z ) π π x = π + k π 3x − =−x + + k 2π      sin x ≠ − (*) b) Điều kiện:  sin x ≠  (1 − 2sin x)cos x = ⇔ cos x − sin x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) cos x + sin x ⇔ cosx - sin2x = ⇔ (cos2x + sinx) cos2x + sin2x = cosx - sinx cos2x + sin2x = cosx - sinx 2 2 π π π π ⇔ cos cos2x + sin sin2x = cos cosx - sin sinx 6 3 π   π ⇔ cos  x − ÷ = cos  x + ÷ 6 3   ⇔ π π π   2 x − = x + + k 2π x = + k 2π ⇔ (k ∈Z ) ⇔ x =− π + k 2π 2 x −π =−x −π + k 2π   18   Kiểm tra với điều kiện (*), ta nghiệm phương trình cho π 2π x =− + k (k ∈Z ) 18 c) Vận dụng phép biến đổi biểu thức a sin x + b cos x (a + b ≠ 0) giải số phương trình khác Có số phương trình khơng thể vận dụng cách giải tương tự cách giải phương trình bậc sinx cosx giải chúng cách áp dụng phép biến đổi biểu thức a sin x + b cos x (a + b ≠ 0) dạng (*) (**) mà ta biết Ta xét Ví dụ sau Ví dụ Giải phương trình: a) 2cos2x +2 sinxcosx + = 3(sinx + cosx)  b) cos  x −  π  π  2π   ÷− sin  x − ÷ = 2sin  x + 12   12   π   ÷− 2sin  x + ÷ 6   Giải: a) 2cos2x +2 sinxcosx + = 3(sinx + cosx) ⇔ + (cos2x + sin2x) = 3(sinx + cosx) 1 ⇔ + 2( cos2x + sin2x) = 6( sinx + cosx) 2 2 π π π π ⇔ + 2(cos cos2x +sin sin2x) = 6(sin sinx + cos cosx) 3 6 π   π  π  π ⇔ + cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷ ⇔ 2cos2  x − ÷ = 3cos  x − ÷ 3 6 6 6       π  cos  x − ÷ = π π 2π   ⇔ ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ (k ∈ Z )   π  cos  x − ÷ = > (vn) 6   π  π  2π  π    ÷− sin  x − ÷ = 2sin  x + ÷− 2sin  x + ÷  6  12   12    π   π    2π  π    ⇔ cos  x − ÷ − sin  x − ÷ = sin  x + ÷ − sin  x + ÷    2   12   12   π π  π π  5π   π    ⇔ cos cos  x − ÷− sin sin  x − ÷ = cos  x + ÷sin  − x + ÷ 3  12  12   4  12   π π 5π  π  π    ⇔ cos  x − + ÷ = cos  x + ÷cos  −  − x + ÷ 12    12   2  5π   π   π  ⇔ cos  x + ÷ = cos  x + ÷cos  x + ÷ 4 12   4    b) cos  x −  π  x = + kπ   π π π    cos  x + ÷ =  x + = + kπ π   ⇔ ⇔  x = − + kπ ( k ∈ Z ) ⇔    12 5π   x + 5π = ± π + k 2π   cos  x + ÷ =  12 12     x = − π + kπ  2.3.2 Vận dụng giải số toán phương trình chứa tham số Thơng qua cách giải phương trình bậc sinx cosx hướng dẫn học sinh (như trình bày mục I.4) nắm được: Điều kiện cần đủ để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a + b2 ≥ c2 Từ hướng dẫn học sinh sử dụng điều kiện để giải số toán phương trình lượng giác chứa tham số, đặc biệt tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) (m + 2)(cos4x - sin4x) + m(cosx - sinx)2 = m + (1) b) 2m cos x + m + = (2) cos x + sin x + Giải a) (1) ⇔ (m + 2)(cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) + m(1- 2sinxcosx) = m + ⇔ (m + 2)cos2x - msin2x = (1') (1) có nghiệm ⇔ (1') có nghiệm m ≥ ⇔ (m + 2) + (− m) ≥ 2 ⇔ 2m + 4m ≥ ⇔   m ≤ −2 Vậy m cần tìm m ∈ (−∞; −2] ∪ [0; +∞) π  b) Vì cosx + sinx = cos  x − ÷ ≥ − nên cosx + sinx + > 0, (2) 4  xác định với x Ta có: (2) ⇔ 2mcosx + m +1 = 2(cosx + sinx + 2) ⇔ 2(m - 1)cosx - 2sinx = - m (2') (2) có nghiệm ⇔ (2') có nghiệm m ≥ ⇔ 4(m − 1) + (−2) ≥ (3 − m) ⇔ 3m − 2m − ≥ ⇔  m ≤ −  Vậy m cần tìm m ∈ (−∞; − ] ∪ [1; +∞) 2 2 Ví dụ Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: 2m(cosx + sinx) = m2 + 2(cosx - sinx) + (*) Giải (*) ⇔ 2(m - 1)cosx + 2(m + 1)sinx = m2 + (**) (*) có nghiệm ⇔ (**) có nghiệm ⇔ 4( m − 1) + 4(m + 1)2 ≥ ( m2 + 3) ⇔ 8m + ≥ m + m + ⇔ m − m + ≤ ⇔ ( m − 1) ≤ ⇔ m − = ⇔ m = ±1 Do đó: π + k 2π (k ∈ Z ) - Nếu m = -1 (*) cosx = -1 nên có nghiệm x = π + k 2π (k ∈ Z ) - Nếu m ≠ ±1 (*) vơ nghiệm - Nếu m = (*) sinx = nên có nghiệm x = 2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ngoài việc vận dụng điều kiện cần đủ để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm trên, cịn hướng dẫn học sinh khai thác điều kiện để giải số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thu hiệu tốt Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: + cos x a) y = 6sin7x + 8cos7x b) y = sin x + cos x − + cos x c) y = − sin x cos x + cos x Giải a) Ta có: y = 6sin7x + 8cos7x ⇔ 6sin7x + 8cos7x = y (1) (1) có nghiệm theo ẩn x 62 + 82 ≥ y2 ⇔ −10 ≤ y ≤ 10 Vậy: miny = -10; maxy = 10 π   b) Vì cosx + sinx = cos  x − ÷ ≤ nên cosx + sinx - < 0, hàm số   xác định với x + cos x ⇔ y (sin x + cos x − 2) = + cos x sin x + cos x − ⇔ y sin x + ( y − 1) cos x = 2( y + 1) (2) Ta có: y = (2) có nghiệm theo ẩn x y2 + (y - 1)2 ≥ 4(y + 1)2 ⇔ 2y2 + 10y + ≤ ⇔ −5 − 19 ≤ y ≤ −5 + 19 2 −5 − 19 −5 + 19 Vậy: y = ; max y = 2 + cos x 1+ + cos x + cos x ⇔ y= ⇔y= c) y = (3) sin x − sin x + cos x − sin x cos x + cos x 1− + + cos x Vì 2cos2x - sin2x ≥ −3 nên 2cos2x - sin2x + > 0, hàm số xác định với x Khi đó: (3) ⇔ y (4 − sin x + cos x) = + cos x ⇔ (2 y − 1) cos x − y sin x = − y (4) (4) có nghiệm theo ẩn x (2y - 1)2 + (-y)2 ≥ (3 - 4y)2 ⇔ 11y2 - 20y + ≤ ⇔ 10 − ≤ y ≤ 10 + 11 11 Vậy: y = 10 − 10 + ; max y = 11 11 Ví dụ Cho hàm số y = 2m cos x + m + cos x + sin x + a) Tìm m để y > với x b) Tìm m để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Giải Vì cosx + sinx = π  cos  x − ÷ ≥ − nên cosx + sinx + > 0, hàm số 4  xác định với x 2m cos x + m + ⇔ y(cosx + sinx + 2) = 2mcosx + m +1 Ta có: y = cos x + sin x + ⇔ (y - 2m)cosx + ysinx = m - 2y + (*) (*) có nghiệm theo ẩn x ⇔ ( y − 2m) + y ≥ (m − y + 1) 2 − 6m − 4m + 2 + m − 4m + ≤ y≤ 2 2 − m − 4m + 2 + m − 4m + Suy ra: y = ; max y = 2 − 6m − 4m + a) Ta có: y > với x ⇔ y = > ⇔ 6m − 4m + < 2 ⇔ 3m2 − 2m − < ⇔ − < m < ⇔ y − y − (3m − 2m − 1) ≤ ⇔ 1  + 6m − m + 2 +  m − ÷ + 2+ b) Ta có: max y = 3  = 3+ = ≥ 2 Suy maxy đạt giá trị nhỏ m = 2.3.4 Hệ thống tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ Bài Giải phương trình sau: a) cos x − sin x = + sin x b) sin 3x + cos x = sin x + cos 3x c) cos x cos x − sin x = − sin x sin x d) tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) Bài Giải phương trình sau: a) sin x cos x + cos x = (2 + cos x) sin x sin x − sin x = b) + cos x − 2cos x c) 2(sin x + cos x) cos x = + cos x 10 π π   d) cos x + sin  x + ÷− sin  x − ÷+ = 3(1 + cos x) 6 6   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) m sin x + (m + 1) cos x + = m sin x − cos x + = b) 2sin x + cos x − Bài Giải biện luận theo m phương trình sau: a) m2 cos x + (m − 1) sin x = b) 2m(sin x + cos x) = 2m + sin x − cos x + Bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = Bài Cho hàm số y = m cos x + m − sin x + cos x + + cos x sin x + cos x − Tìm m để y < với x Bài Cho hàm số y = m sin x + cos x + Tìm m để miny < -1 Bài Cho hàm số y = m sin x − cos x + 2sin x + cos x − Tìm m để (miny)2 + (maxy)2 = 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tôi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy lớp 11C3 trường THPT Như Xuân năm học 2019 – 20120 Qua đó, tơi nhận thấy học sinh tích cực, hứng thú, phát huy sáng tạo, biết tìm tịi, khám phá học tập phương trình lượng giác, giúp em tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng toán, phương pháp giải biết vận dụng; trước tốn có định hướng rõ ràng, khơng cịn mị mẫm, lúng túng; tìm hướng giải, biết cách trình bày gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số nâng lên Đối với thân, áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, thấy tiết dạy hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm vững, khắc sâu nội dung kiến thức Bản thân cảm thấy tự tin, hứng thú giảng dạy nội dung phương trình lượng giác, cảm nhận thấy tiết dạy lơi cuốn, học sinh sơi nổi, ý, chủ động, tích cực 11 Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi phương pháp, giải pháp giảng dạy nội dung kiến thức phương trình lượng giác vận dụng, khai thác giải số dạng toán liên quan Nội dung Sáng kiến nội dung mà tơi trình bày sinh hoạt chun mơn định kỳ tổ chun mơn Tốn Qua để với đồng nghiệp đến thống phương pháp, giải pháp giảng dạy nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy nội dung Chương I – Đại số Giải Tích 11 nói riêng mơn Tốn nói chung KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, thu số kết chính, là: - Học sinh nắm phương pháp giải phương trình lượng giác biết vận dụng giải số toán có chương trình - Học sinh hứng thú học tập giải phương trình lượng giác nói riêng học tập mơn tốn nói chung - Giáo viên hệ thống số dạng toán vận dụng phương pháp nói để giải, qua hướng dẫn học sinh học tập cách hứng thú, phát huy sáng tạo - Trên sở giáo viên tìm phương pháp giảng dạy phương trình lượng giác cách hiệu quả, thú vị - Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu để đồng nghiệp học sinh lớp 11, 12 tham khảo trình dạy học Sáng kiến kinh nghiệm cịn phát triển theo hướng: - Tiếp tục nghiên cứu, khai thác, vận dụng kiến thức phương trình bạc sinx cosx để giải thêm toán, dạng toán khác - Vận dụng cách làm giải pháp mà Sáng kiến kinh nghiệm đưa để giảng dạy nội dung kiến thức khác chương trình tốn THPT 3.2 Kiến nghị: - Đối với đồng nghiệp: Với kết Sáng kiến kinh nghiệm này, mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ, trao đổi, ứng dụng vào giảng dạy để không ngừng nâng cao hiệu tiết dạy kết học tập học sinh - Đối với tổ chuyên môn: Trong sinh hoạt chuyên môn cần tăng cường trao đổi giải pháp phát huy tính sáng tạo, tìm tịi, khám phá học sinh học tập - Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Tiếp tục đạo nâng cao chất lượng công tác viết Sáng kiến kinh nghiệm; Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt cần tập hợp, in thành tài liệu phổ biến đến trường THPT để giáo viên, học sinh nghiên cứu, áp dụng, sử dụng dạy học XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2020 12 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Lê Khắc Luyện TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số Giải tích 11, Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Đào Ngọc Nam Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2018 Bài tập Đại số Giải tích 11, Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2018 Đề tuyển sinh Đại học khối D, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2009 Đề tuyển sinh Đại học khối B, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2009 Đề tuyển sinh Đại học khối A, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2009 13 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Khắc Luyện Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Toán - Trường THPT Như Xuân Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Vận dụng số phức vào giải Sở GD&ĐT C số toán số thực Thanh Hóa Hướng dẫn học sinh lớp 12 vận dụng hiệu tính biến Sở GD&ĐT thiên hàm số vào giải C Thanh Hóa phương trình, bất phương trình hệ phương trình Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 Sở GD&ĐT C thơng qua phân tích sửa Thanh Hóa chữa sai lầm học sinh Năm học đánh giá xếp loại 2008-2009 2013-2014 2017-2018 14 ... 11C3, năm học 2019-2020 thu kết tốt Vậy nên năm học này, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo học tập nội dung phương trình bậc sinx cosx" 1.2... nhằm tìm giải pháp phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo học tập, từ học sinh có hứng thú nâng cao chất lượng học tập mơn học; giúp người... tích 11 [1], tơi hướng dẫn học sinh vận dụng, khái thác kiến thức phương trình bậc sinx cosx để giải số dạng toán giúp em phát huy sáng tạo học tập Tôi thực nghiệm giải pháp trình giảng dạy lớp 11C3,