THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng • Vectơ n ≠ vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng (α ) • Chú ý: Nếu n VTPT mặt phẳng (α ) k n (k ≠ 0) VTPT mặt phẳng (α ) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT Nếu u , v có giá song song nằm mặt phẳng (α ) n = [u , v ] VTPT (α ) II Phương trình tổng qt mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có VTPT n ( A; B ; C ) Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n ( A; B; C ) khác VTPT là: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu D = mặt phẳng (α ) qua gốc tọa độ O Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Ox Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oy Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oz Nếu A = B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxy ) Nếu A = C = 0, B ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxz ) Nếu B = C = 0, A ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oyz ) Trang 1/40 Chú ý: Nếu phương trình (α ) khơng chứa ẩn (α ) song song chứa trục tương ứng x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α ) : + + = Ở (α ) cắt trục tọa độ a b c điểm ( a; 0; ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0;c ) với abc ≠ III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Trong không gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) tính: d ( M , (α )) = IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C mặt phẳng ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Góc ( α ) ( β) bù với góc hai VTPT nα , nβ Tức là: ( ) cos ( ( α ) , ( β ) ) = cos nα , nβ = nα nβ nα nβ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 V Một số dạng tập viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT ( β ) nβ = ( A; B; C ) (α ) // ( β ) nên VTPT mặt phẳng (α ) nα = nβ = ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng (α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Cách 2: Mặt phẳng (α ) // ( β ) nên phương trình ( P ) có dạng: Ax + By + Cz + D′ = (*), với D′ ≠ D Vì ( P ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nên thay tọa độ M ( x0 ; y0 ; z0 ) vào (*) tìm D′ Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A , B , C không thẳng hàng Phương pháp giải Tìm tọa độ vectơ: AB , AC Trang 2/40 Vectơ pháp tuyến (α ) : nα = AB, AC Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ∆ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ u ∆ Vì (α ) ⊥ ∆ nên (α ) có VTPT nα = u∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ , vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải Tìm VTPT ( β ) nβ Tìm VTCP ∆ u ∆ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nβ ; u∆ Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải Tìm VTPT ( β ) nβ Tìm tọa độ vectơ AB VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nβ , AB Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ song song với ∆′ ( ∆ , ∆′ chéo nhau) Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u ∆ u∆ ' VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ , u∆′ Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ điểm M Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ u ∆ , lấy điểm N ∆ Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng cắt ∆ ∆ ′ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u ∆ u∆ ' VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆ ' Trang 3/40 Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa song song ∆ ∆ ′ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u ∆ u ∆′ , lấy M ∈ ∆, N ∈ ∆′ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng ∆ ∆′ chéo cho trước Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆ ’ u ∆ u∆ ' VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆′ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT ( P ) ( Q ) nP nQ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nP ; nQ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = (β ) cách khoảng k cho trước Phương pháp giải Trên mặt phẳng ( β ) chọn điểm M Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D ′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( M , ( β ) ) = k để tìm D′ Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước cách điểm M (α ) song song với mặt phẳng khoảng k cho trước Phương pháp giải Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D ′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k để tìm D′ Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Phương pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu ( S ) Nếu mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M ∈ ( S ) mặt phẳng (α ) qua điểm M có VTPT MI Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d ( I , (α ) ) = R để tìm D Trang 4/40 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ tạo với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước góc ϕ cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT ( β) n β Gọi nα ( A′; B′; C ′) (nα ; nβ ) = ϕ Dùng phương pháp vô định giải hệ: nα ⊥ u∆ ⇒ nα Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT VI Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1; 0; −2) có vectơ pháp tuyến n (1; − 1; 2) Lời giải Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1; 0; −2) có vectơ pháp tuyến n (1; − 1; 2) có phương trình là: 1( x − 1) − 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ x − y + z + = Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q ) : x − z + = Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q ) : x − z + = nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x − z + D = ( D ≠ 1) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 − 3.3 + D = ⇔ D = (thỏa mãn D ≠ ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; −2), B (1;1;1), C (0; −1; 2) Lời giải Ta có: AB = (0;1;3), AC = ( − 1; − : 4) ⇒ AB, AC = (7; −3;1) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có n ⊥ AB nên n phương với AB , AC n AC ⊥ Chọn n = (7; − 3;1) ta phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 7( x − 1) − 3( y − 0) + 1( z + 2) = ⇔ 7x − 3y + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm O vng t x= góc với đường thẳng d : y = −1 + 2t z = + t Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương là: ud = (1; 2;1) Mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = u d = (1; 2;1) Trang 5/40 Đồng thời (α ) qua điểm O nên có phương trình là: x + y + z = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x= −t d : y = −1 + 2t vng góc với ( β ) : x + y − z + = z = + t Lời giải Đường thẳng d qua điểm A ( 0; −1; ) có VTCP là: ud = ( −1; 2;1) Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = (1; 2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d vng góc với ( β) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = ud , nβ = ( −4; 0; −4 ) = −4 (1; 0;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A(1;2; −2), B(2; −1;4) vng góc với ( β ) : x − y − z + = Lời giải Có AB = (1; −3;6 ) Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = (1; −2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa A , B vng góc với ( β) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = AB, nβ = (15; 7;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: 15 x + z + − 27 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1 x −1 y z −1 d1 : y = − 2t song song với đường thẳng d : = = 2 z =1 + t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 = ( −6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: n ⊥ u1 nên n phương với u1 , u n ⊥ u2 Chọn n = ( − 6;1; 2) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n = ( − 6;1; 2) có phương trình: − 6( x − 1) + 1( y − 1) + 2( z − 1) = ⇔ −6 x + y + z + = Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: −6 x + y + z + = Trang 6/40 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x =1 d : y = − 2t điểm M ( −4;3;2) z =1 + t Lời giải Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương u d (0; −2;1) MN = ( 5; −2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d điểm M nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = ud , MN = ( 4;5;10 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + y + 10 z − 19 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1 x = + 3t d1 : y = − 2t d : y = − 2t z = 1+ t z =1 + t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u (3; −2;1) Ta có u1 , u = ( 0;3; ) , M 1M = ( 0;0;0 ) Do M 1M u1 , u2 = nên đường thẳng d1 , d2 cắt Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d2 cắt nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = u1 , u = ( 0;3; ) = ( 0;1; ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: y + z − = Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x =1 x=4 d1 : y = − 2t d : y = − 4t z =1 + t z =1 + t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M ( 4;3;1) vectơ phương u2 ( 0; −4; ) Ta có u1 , u = , M 1M = ( 3; 2;0 ) Do u1 , u = nên đường thẳng d1 , d2 song song Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d2 song song nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα = u1 , M 1M = ( −2;3; ) = − ( 2; −3; −6 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − y − z + = Trang 7/40 Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm x =1 x −1 y z −1 A(1; 0; −2) ( P) song song với hai đường thẳng d1 : y = − 2t d : = = 2 z =1 + t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 = ( −6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: n ⊥ u1 nên n phương với u1 , u n ⊥ u2 Chọn n = ( − 6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P) là: − 6( x − 1) + 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ −6 x + y + z + 10 = Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm vng góc với hai mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = M (−1; −2; 5) ( R) : x − y + z + = Lời giải VTPT (Q ) nQ (1; 2; −3) , VTPT ( R) nR (2; −3;1) Ta có nQ , nR = ( −7; −7; −7) nên mặt phẳng ( P) nhận n (1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M (−1; −2; 5) nên có phương trình là: x + y + z − = Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = cách (Q ) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = chọn điểm M(−1; 0; 0) Do ( P) song song với mặt phẳng (Q ) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − z + D = với D ≠ D = −8 = ⇔| − + D |= ⇔ D = 10 12 + 22 + (−2)2 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 10 = Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = ( P) cách điểm M (1; −2;1) khoảng Lời giải Do ( P) song song với mặt phẳng (Q ) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Vì d (( P ), (Q )) = ⇔ d ( M , ( P )) = ⇔ | −1+ D | x + y − z + D = với D ≠ D = −4 = ⇔| −5 + D |= ⇔ D = 14 12 + 22 + (−2)2 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 14 = Vì d ( M , ( P )) = ⇔ |1− − + D | Trang 8/40 Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x + y + z2 + x − y − 2z − = Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (−1; 2;1) bán kính R = (−1) + 22 +12 + = Do ( P) song song với mặt phẳng (Q ) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − z + D = với D ≠ Vì tiếp ( P) xúc với mặt cầu (S ) nên D = −10 = ⇔|1 + D |= ⇔ D = 12 + 22 + (−2)2 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − 10 = x + y − z + = d ( I , ( P )) = R = ⇔ | −1+ − + D | Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d có x +1 = y + = z − Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( P ) góc 600 phương trình ( P ) : x + y − z + = d : Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q ) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A + B + C ≠ ) Chọn hai điểm M ( −1; −1;3 ) , N (1; 0; ) ∈ d A ( −1) + B ( −1) + C.3 + D = C = −2 A − B ⇒ Mặt phẳng ( Q ) chứa d nên M , N ∈ ( Q ) ⇒ D = A + 4B A.1 + B.0 + C.4 + D = Suy mặt phẳng có phương trình Ax + By + ( −2 A − B ) z + A + B = có VTPT nQ = ( A; B; −2 A − B ) ( Q ) tạo 60 ⇒ với mặt A + 2B + A + B 2 A + B + (2 A + B) 2 (P) phẳng + + (−1) = cos(600 ) = góc ⇔ A = (4 ± 3) B Cho B = ta A = (4 ± 3) Vậy có phương trình mặt phẳng ( ) 3) x + y + ( −9 − ) z + 32 + 14 (4 − 3) x + y + −9 + z + 32 − 14 = (4 + 3=0 Trang 9/40 B BÀI TẬP Câu Chọn khẳng định sai A Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) k n ( k ∈ ℝ ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) B Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm qua vectơ pháp tuyến C Mọi mặt phẳng khơng gian Oxyz có phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) Câu Câu D Trong khơng gian Oxyz , phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) phương trình mặt phẳng Chọn khẳng định A Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng song song B Nếu hai mặt phẳng song song hai vectơ pháp tuyến tương ứng phương C Nếu hai mặt phẳng trùng hai vectơ pháp tuyến tương ứng D Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng trùng Chọn khẳng định sai A Nếu hai đường thẳng AB, CD song song vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD ) B Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ AB, AC vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) C Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau, vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng AB song song với đường thẳng CD D Nếu hai đường thẳng AB , CD cắt vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD ) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Tìm khẳng định sai mệnh đề sau: A A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với trục Ox B D = (α ) qua gốc tọa độ C A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, D = (α ) song song với mặt phẳng ( Oyz ) D A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với mặt phẳng ( Oxy ) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( abc ≠ ) Khi phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z x y z + + =1 B + + = a b c b a c x y z x y z C + + = D + + = a c b c b a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x − z = Tìm khẳng định A Câu mệnh đề sau: A (α ) / /Ox B (α ) / / ( xOz ) C (α ) / /Oy D (α ) ⊃ Oy Trang 10/40 Sử dụng MTBT giải hệ bậc ẩn, nhập tọa độ điểm A, B, C vào hệ, chọn D = ta 1 A = , B = , C = (Trong trường hợp chọn D = vô nghiệm ta chuyển sang chọn D = ) 9 Suy mặt phẳng ( ABC ) có VTPT n = (1;1;1) Mặt phẳng qua D có VTPT n = (1;1;1) có phương trình: x + y + z − 10 = Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy chọn A Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B (1;2;6), C (5;0;4), D ( 4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD A x + y + z − 18 = B x − y + z + = C x − y + z + = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) AB = ( −4;1;3), CD = ( −1; 0; 2) ⇒ AB, CD = (2;5;1) +) Mặt phẳng qua A có VTPT n = (2;5;1) có phương trình là: x + y + z − 18 = +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn là: x + y + z − 18 = Phương pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay không? thấy đáp án B, C không thỏa mãn +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD ta loại đáp D Vậy chọn A Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q ) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng ( P ) là: A y + z = B y − z = C y − z − = D y − z = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Trục Ox véctơ đơn vị i = (1; 0; 0) Mặt phẳng (Q ) có VTPT n ( Q ) = (1;1;1) Mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox vng góc với (Q ) : x + y + z − = nên ( P ) có VTPT n = i, n( Q ) = (0; −1;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) là: y − z = Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox nên loại đáp án C +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng (Q ) vng góc với VTPT ( P ) ta loại tiếp đáp án B, D Vậy chọn A Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng chứa trục Ox qua điểm I ( 2; −3;1) là: A y + z = B x + y = C y − z = D y + z = Hướng dẫn giải Trang 24/40 Trục Ox qua A (1; 0;0 ) có i = (1;0;0 ) Mặt phẳng qua I ( 2; −3;1) có vectơ pháp tuyến n = i, AI = ( 0;1;3) có phương trình y + 3z = Vậy y + z = Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A(2; −1;1), B (1; 0; 4) C (0; −2; −1) Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là: A x + y + z − = B x − y + 3z − = C x + y + z − = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Ta có: CB (1; 2;5) Mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC có VTPT CB (1; 2;5) nên có phương trình là: x + y + z − = Vậy x + y + z − = Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng (α ) là: A x + y − z + = B x + y − z + 21 = C x + y + z − = D x + y − z = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận AB = (1;3; −5 ) , nQ = (1;1; ) Mặt phẳng (α ) qua A ( 2; −1; ) có vectơ pháp tuyến AB, nQ = ( −10; −6;8 ) = −2 ( 5;3; −4 ) có phương trình: x + y − z + = Vậy x + y − z + = Phương pháp trắc nghiệm Do (α ) ⊥ ( Q ) ⇒ nα nQ = , kiểm tra mp (α ) có nα nQ = Vậy chọn A Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α ) qua M ( 0; −2;3) , song song với đường thẳng d : x − y +1 = = z vng góc với mặt phẳng ( β ) : x + y − z = có phương −3 trình: A x − y − z − = B x − y + z − = C x + y + z + = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Ta có ud = ( 2; −3;1) , nβ = (1;1; −1) Mặt phẳng (α ) qua M ( 0; −2;3) có vectơ pháp tuyến nα = ud , nβ = ( 2;3;5 ) ⇒ (α ) : x + y + z − = Phương pháp trắc nghiệm Trang 25/40 (α ) / / ( d ) nα = k nQ Do kiểm tra mp (α ) thỏa hệ ⇔ (α ) ⊥ ( Q ) nα nQ = Vậy chọn A Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt phẳng ( P) : 2x + y + z − = với trục Ox ? B M 0, , C M ( 3, 0, ) D M ( 2, 0, ) Hướng dẫn giải: Gọi M ( a, 0, ) điểm thuộc trục Ox Điểm M ∈ ( P ) ⇒ 2a − = ⇔ a = A M ( 0, 0, ) Vậy M ( 2, 0, ) giao điểm ( P ) , Ox Phương pháp trắc nghiệm 2 x + y + z − = Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox): y = ; bấm máy tính z = Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua hình chiếu A(5; 4;3) lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng (α ) là: A 12 x + 15 y + 20 z − 60 = x y z C + + = B.12 x + 15 y + 20 z + 60 = x y z D + + − 60 = Hướng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy, Oz Ta có: M (5;0; 0) , N (0; 4;0) , P (0;0;3) Phương trình mặt phẳng (α ) qua M (5;0;0) , N (0; 4;0) , P (0; 0;3) là: x y z + + = ⇔ 12 x + 15 y + 20 z − 60 = Vậy 12 x + 15 y + 20 z − 60 = Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A(5; −2;0) , B (−3; 4;1) có vectơ phương a (1;1;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: A x + y −14 z = C x + y −14 z − = B x − y − = D −5 x − y −14 z + = Hướng dẫn giải Ta có: AB (−8;6;1) Mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A(5; −2;0) , B (−3; 4;1) có vectơ phương a (1;1;1) nên có VTPT là: n = AB, a = (5;9; −14) Mặt phẳng ( α ) qua điểm A (5; −2;0) có VTPT n = (5;9; −14) có phương trình là: x + y −14 z − = Vậy x + y −14 z − = Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 ? A B Khơng có C Hướng dẫn giải D Trang 26/40 Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q ) song song với mặt phẳng ( P ) có dạng: x + y + z + D = ( D ≠ −6) +) Do mặt phẳng (Q ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 nên d ( I ; (Q )) = R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D = D = −6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − y + 4x − = , ( Q ) − x + y − z + = , ( R ) : 3x − y + 12 z − 10 = , ( W ) : x − y + z − 12 = nhiêu cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 Hướng dẫn giải: a b c d Hai mặt phẳng song song = = ≠ a' b' c' d ' −2 −3 = = ≠ ⇒ ( P ) (Q ) Xét ( P ) ( Q ) : −2 −8 −2 −3 Xét ( P ) ( R ) : = ⇒ ( P) ( R) = ≠ −6 12 −10 ⇒ (Q ) ( R ) Có bao D.1 −2 = ≠ −8 −2 −8 Xét ( Q ) (W ) : = ≠ −8 −6 12 ≠ Xét ( R ) (W ) : = −8 Vậy có cặp mặt phẳng song song Xét ( P ) (W ) : Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α ) : x + ( m − 1) y + z − = , ( β ) : nx + ( m + ) y + z + = Với giá trị thực (β ) A m = 3; n = −6 B m = 3; n = m, n để (α ) song song C m = −3; n = D m = −3; n = −6 Hướng dẫn giải: m −1 4 Để (α ) song song ( β ) ⇒ = = ≠ ⇔ m = −3; n = n m + 2 −2 Vậy m = −3; n = Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + my + ( m − 1) z + = , ( Q ) : x − y + 3z − = Giá trị số thực A m = B m = − m để hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc C m = D m = Hướng dẫn giải: Để mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc ⇒ n p nQ = ⇔ 1.2 + m ( −1) + ( m − 1) = ⇔ m = Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (α ) : x − y + z − = , Vậy m = ( β ) : x − y + z − = Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) , ( β ) ? Trang 27/40 A d ( (α ) , ( β ) ) = 11 C d ( (α ) , ( β ) ) = Hướng dẫn giải: B d ( (α ) , ( β ) ) = D d ( (α ) , ( β ) ) = Lấy M (1, 0,1) thuộc mặt phẳng (α ) Ta có d ( (α ) , ( β ) ) = d ( M , ( β ) ) = + ( −2 ) + 2 = Vậy d ( (α ) , ( β ) ) = Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A x + y − z − = B x − y − z + = C x + y + z + = D x − y − z − = Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( − x, y, − z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : − x + y + z + = mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Vậy x − y − z − = Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A ( P ) : x − y − z − = B ( P ) : x − y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( x, − y, z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : x + y + z − = mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Vậy ( P ) : x + y + z − = Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , (α ) mặt phẳng qua điểm A(2; −1;5) vng góc với hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = (Q) : x − y + z +1 = Phương trình mặt phẳng (α ) là: A x + y + z − = C x + y + z + 10 = B x − y − z −10 = D x + y − z + = Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) có VTPT nP = ( 3; −2;1) Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ = ( 5; −4;3) Mặt phẳng (α ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = , (Q) : x − y + z +1 = nên có VTPT nP = nP , nQ = ( −2; −4; −2 ) Phương trình mặt phẳng (α ) là: x + y + z − = Trang 28/40 Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng: ( P ) : x + y − z + = ( Q ) : x − y + z − = là: A M ( 0; −3;0 ) B M ( 0;3;0 ) C M ( 0; −2;0 ) D M ( 0;1;0 ) Hướng dẫn giải Ta có M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m;0 ) Giả thiết có d ( M , ( P ) ) = d ( M , ( Q ) ) ⇔ m +1 = −m − ⇔ m = −3 Vậy M ( 0; −3;0 ) Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua G (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng (α ) có phương trình: A x + y + z + 18 = B x + y + z − 18 = C x + y + z − = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A ( a;0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) giao điểm mặt phẳng (α ) trục Ox, Oy, Oz x y z + + = ( a , b, c ≠ ) a b c Ta có G trọng tâm tam giác ABC a 3 =1 a = x y z b ⇒ = ⇔ b = ⇒ (α ) : + + = ⇔ x + y + z − 18 = 3 c = c 3 = Phương trình mặt phẳng (α ) : Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( β ) : 2x − y + 4z + = phẳng (α ) là: cách điểm A ( 2; −3; ) khoảng k = Phương trình mặt A x − y + z − = x − y + z − 13 = B x − y + z − 25 = C x − y + z − = D x − y + z − 25 = x − y + z − = Hướng dẫn giải Vì (α ) / / ( β ) ⇒ (α ) : x − y + z + m = ( m ≠ 3) Giả thiết có d ( A, (α ) ) = ⇔ 32 + m m = −14 =3⇔ m = −50 Vậy (α ) : x − y + z − = , (α ) : x − y + z − 25 = Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình x−2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 = = , d2 : = = Phương trình mặt phẳng (α ) cách hai −1 đường thẳng d1 , d2 là: d1 : Trang 29/40 A x − y − z = B x − y − z + = C x + y + z + = D 14 x − y − z + = Hướng dẫn giải Ta có d1 qua A ( 2; 2;3) có ud1 = ( 2;1;3) , d qua B (1; 2;1) có ud = ( 2; −1; ) AB = ( −1;1; −2 ) ; ud1 ; ud2 = ( 7; −2; −4 ) ; ⇒ ud1 ; ud2 AB = −1 ≠ nên d1 , d2 chéo Do (α ) cách d1 , d2 nên (α ) song song với d1 , d2 ⇒ nα = ud1 ; ud2 = ( 7; −2; −4 ) ⇒ (α ) có dạng x − y − z + d = Theo giả thiết d ( A, (α ) ) = d ( B, (α ) ) ⇔ d −2 69 = d −1 69 ⇔d = ⇒ (α ) :14 x − y − z + = Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A (1;0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) , ( b > 0, c > ) mặt phẳng ( P ) : y − z + = Xác định b c biết mặt phẳng ( ABC ) vng góc với mặt phẳng ( P) khoảng cách từ O đến ( ABC ) 1 1 C b = , c = D b = , c = 2 2 Hướng dẫn giải x y z Phương trình mặt phẳng ( ABC ) có dạng + + = ⇔ bcx + cy + bz − bc = b c c − b = b=c ( ABC ) ⊥ ( P ) − bc 1⇔ Theo giả thiết: b2 1⇔ = = , = d O ABC )) ( ( 2 3 b + 2b ( bc ) + c + b 1 ⇔ 3b = b4 + 2b2 ⇔ 8b = 2b ⇔ b = ⇒ c = 2 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng (α ) qua điểm M (5; 4;3) cắt tia A b = 1 ,c = 2 B b = 1, c = Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: A x + y + z −12 = C x + y + z − 50 = Gọi B x + y + z = D x − y + z = Hướng dẫn giải A(a;0;0) , B (0; a;0), C (0;0; a) ( a ≠ ) giao điểm mặt phẳng (α ) tia Ox, Oy, Oz x y z Phương trình mặt phẳng (α ) qua A, B, C là: + + = a a a Mặt phẳng (α ) qua điểm M (5; 4;3) ⇒ a = 12 x y z + + = ⇔ x + y + z −12 = 12 12 12 Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt Ta có phẳng y + z + = góc 600 Phương trình mặt phẳng (P ) là: Trang 30/40 x − z = A x + z = x − y = B x + y = x − 2z = D x + z = x − z − = C x − z = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên có dạng: Ax + Cz = ( A2 + C ≠ 0) +) Mặt phẳng (P ) tạo với mặt phẳng y + z + = góc 600 nên cos 600 = n( P ) n(Q ) n( P ) n( Q ) A=C A2 + C = C ⇔ A2 − C = ⇔ A +C A = −C x − z = Phương trình mặt phẳng (P ) là: x + z = Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn ⇔ = C 2 ⇔ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) tiếp xúc với ( S ) B (α ) : 3x + y = D (α ) : x − y = Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu Phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oz A (α ) : x − y + = C (α ) : 3x − y = 2 = Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (α ) chứa trục Oz có dạng : Ax + By = ( A2 + B ≠ ) Ta có : d ( I , (α ) ) = ⇔ A + 2B A2 + B =1 ⇔ AB + B = ⇔ A + B = Chọn A = 3, B = −4 ⇒ (α ) : 3x − y = Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A (1, 2, −1) , B ( −2,1, ) , C ( 2,3, ) Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( OGB ) ? 174 29 Hướng dẫn giải 1 1 Do G trọng tâm tam giác ∆ABC ⇒ G , 2, 3 3 A 174 29 B 174 29 C D 174 29 13 Gọi n vtpt mặt phẳng ( OGB ) ⇒ n = OG ∧ OB = − , − , 3 3 Phương trình mặt phẳng ( OGB ) : x + y − 13z = ⇒ d ( A, ( OGB ) ) = 174 29 Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 16 2 Phương trình mặt phẳng (α ) chứa Oy cắt hình cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi 8π Trang 31/40 A (α ) : 3x − z = B (α ) : 3x + z = C (α ) : 3x + z + = D ( α ) : x − z = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + Cz = ( A2 + C ≠ ) Ta có : 2π r = 8π ⇔ r = Mà ( S ) có tâm I (1, 2,3) , R = Do R = r = ⇒ I ∈ (α ) ⇔ A + 3C = Chọn A = 3, C = −1 ⇒ (α ) : 3x − z = Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường trịn có chu vi lớn Phương trình (P ) là: A x − y + = B y − = C y + = D y + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường trịn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; −2;0) Phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay + B = Do ( P ) qua tâm I (1; −2;0) có phương trình dạng: y + = Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; −2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án B,C Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi (α ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình (α ) là: A x + z = D x = B x + z = C x − z = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Gọi H , K hình chiếu vng M góc M mặt phẳng (α ) trục Oy Ta có : K (0; 2;0) d ( M , (α )) = MH ≤ MK Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) lớn mặt H K Oy phẳng (α ) qua K vuông góc với MK Phương trình mặt phẳng: x + z = Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = , 2 điểm A ( 0; 0; ) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện hình trịn ( C ) có diện tích nhỏ ? A ( P ) : x + y + 3z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + 3z − = Hướng dẫn giải: Trang 32/40 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1, 2,3) , R = Ta có IA < R nên điểm A nằm mặt cầu Ta có : d ( I , ( P ) ) = R − r Diện tích hình trịn ( C ) nhỏ ⇔ r nhỏ ⇔ d ( I , ( P ) ) lớn Do d ( I , ( P ) ) ≤ IA ⇒ max d ( I , ( P ) ) = IA Khi mặt phẳng ( P ) qua A nhận IA làm vtpt ⇒ ( P) : x + y + z − = Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y − z + = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm ( P ) với trục Ox, Oy, Oz x y z + + = ( a , b, c ≠ ) a b c 1 1 a + b + c =1 N ∈ (P) Ta có: NA = NB ⇔ a − = b − ⇔ a = b = c = ⇒ x + y + z − = NA = NC a −1 = c −1 ⇒ ( P) : Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A(1;1;1) , B ( 0; 2; ) đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM = 2ON A ( P ) : x + y − z − = B ( P ) : x + y − z − = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : 3x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M ( a;0;0 ) , N ( 0; b;0 ) giao điểm ( P ) với tia Ox, Oy ( a, b > ) Do OM = 2ON ⇔ a = 2b ⇒ MN ( −2b; b;0 ) = −b ( 2; −1;0 ) Đặt u ( 2; −1;0 ) Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) ⇒ n = u , AB = ( −1; 2;1) Phương trình măt phẳng ( P ) : x − y − z + = Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng (α ) qua A, B đồng thời cách C , D A ( P1 ) : x + y + z − 15 = 0; ( P2 ) : x − y− z + 10 = B ( P1 ) : x − y + z − = 0; ( P2 ) : 3x + y + z + 10 = C ( P1 ) : x − y + z − = 0; ( P2 ) : x + 3z − = D ( P1 ) : 3x + y + z − 20 = 0; ( P2 ) : x + y + 3z − 10 = Hướng dẫn giải: Trang 33/40 Trường hợp 1: CD ( P) nP = AB ∧ CD = ( −6; −10; −14 ) = −2 ( 3;5;7 ) ⇒ ( P ) : 3x + y + z − 20 = Trường hợp 2: ( P ) qua trung điểm I (1;1; ) CD nP = AB ∧ AI = (1;3;3) ⇒ ( P ) : x + y + z − 10 = D C C I P P D Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) ; B ( 3;0; ) ; C ( 0; −2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cách C khoảng lớn ? A ( P ) : 3x + y + z − 11 = B ( P ) : 3x + y + z − 13 = C ( P ) : x − y + 3z − 12 = D ( P ) : x + y − = Hướng dẫn giải: C Gọi H , K hình chiếu C lên mp ( P ) doạn thẳng AB Ta có : CH = d ( I , ( P ) ) ≤ CK ⇒ d ( C , ( P ) ) lớn H P B K A H ≡ K Khi mặt phẳng ( P ) qua A, B vuông với mặt phẳng ( ABC ) Ta có n p = AB, AC ∧ AB = ( −9, −6, −3) ⇒ ( P ) : x + y + z − 11 = Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng (α ) có phương trình là: x y z B + + −1 = C x + y + z −10 = D x + y + z + 14 = Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M = BK ∩ CH AB ⊥ CH C Ta có : ⇒ AB ⊥ (COH ) ⇒ AB ⊥ OM (1) (1) K AB ⊥ CO A x + y + z −14 = Chứng minh tương tự, ta có: AC ⊥ OM (2) Từ (1) (2), ta có: OM ⊥ ( ABC ) M Ta có: OM (1; 2;3) Mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; 2;3) có VTPT A O H B OM (1; 2;3) nên Trang 34/40 có phương trình là: ( x −1) + ( y − 2) + 3( z − 3) = ⇔ x + y + 3z −14 = Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox , Oy , Oz nên A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c ≠ ) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + =1 a b c AM BC = +) Do M trực tâm tam giác ABC nên BM AC = Giải hệ điều kiện ta a, b, c M ∈ ( ABC ) Vậy phương trình mặt phẳng: x + y + z − 14 = Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G (1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A + + = 16 12 B x y z x y z + + = C + + = 16 12 12 Hướng dẫn giải D x y z + + = 12 Phương pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox , Oy , Oz nên A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) xO + x A + xB + xC xG = y + y A + yB + yC +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên yG = O yO + y A + yB + yC zG = suy a = 4, b = 16, c = 12 x y z + + = 16 12 Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P ) qua M cắt +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: tia Ox , Oy , Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: A x + y + z = B x + y + z − 18 = C x + y + z − 14 = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C nên A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c > ) x y z + + =1 a b c +) Mặt phẳng (P ) qua M nên + + = a b c Phương trình mặt phẳng (P ) Ta có = + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 162 a b c abc abc ≥ 27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ = = = suy a = 3, b = 6, c = a b c +) Thể tích khối tứ diện OABC V = Trang 35/40 x y z + + = hay x + y + z − 18 = Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình Phương trình mặt phẳng (P ) ( P ) x + y + z − = ( Q ) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) phẳng (α ) vuông với mặt phẳng ( P ) , ( Q ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A x + y − = 0; x + y + = B x − y − = 0; x − y + = C x − y + = 0; x − y − = D x − y + = 0; x − y − = + z = Mặt Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = có tâm I (1; −2;0 ) bán kính R = 2 Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) Ta có : nα = nP ∧ nQ ⇒ nα = ( −6;3;0 ) = −3 ( 2; −1;0 ) = −3n1 Lúc mặt phẳng (α ) có dạng : x − y + m = Do mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ⇒ d ( I , (α ) ) = ⇔ m =1 = ⇔ m = −9 m+4 Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : x − y + = x − y − = Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = , điểm A (1;0; ) , B(−1; 2;0) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = 25 Viết phương trình mặt phẳng (α ) vng 2 với mặt phẳng ( P ) , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính r = 2 A x + y + z + 11 = 0; x + y + z − 23 = B x − y + z + 11 = 0; x − y + z − 23 = C x − y + z − 11 = 0; x − y + z + 23 = D x + y + z − 11 = 0; x + y + z + 23 = Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = có tâm I (1; 2;0 ) bán kính R = 2 Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) Ta có : nα = nP , AB ⇒ nα = ( 4; 4; ) = ( 2; 2;3) = 2n1 Lúc mặt phẳng (α ) có dạng : x + y + z + m = Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng (α ) Ta có : R = r + IJ ⇒ IJ = 17 ⇒ d ( I , (α ) ) = 17 ⇔ + m = 17 ⇔ m = 11 m = −23 Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : x + y + z + 11 = x + y + z − 23 = Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A (1;1; −1) , B (1;1; ) , C ( −1; 2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A , vng góc với mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng BC I cho IB = IC biết tọa độ điểm I số nguyên A ( α ) : x − y − z − = B ( α ) : x + y − z − = C ( α ) : x + y − z − = D (α ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải : Trang 36/40 I ( −3;3; −6 ) IB = IC ⇒ 2 Do I , B, C thẳng hàng IB = IC ⇒ IB = −2 IC I − ; ; − 3 3 Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I ( −3;3; −6 ) Lúc mặt phẳng (α ) qua A, I ( −3;3; −6 ) vng góc với mặt phẳng ( P ) ⇒ (α ) : x − y − z − = ( P) x + y + z − = , A (1; 0;1) chứa giao Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Lập phương tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) ? A (α ) : x + y + z − = C (α ) : x + y + z − 17 = trình mặt phẳng (α ) qua B (α ) : x + y + z − 16 = D (α ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) x+ y + z −3= M , N thỏa hệ phương trình : 2 x + y + z − = y + z = −4 y = −3 Cho x = ⇒ ⇒ M (7; −3; −1) ⇔ 3 y + z = −13 z = −1 y + z = −3 y = −1 Cho x = ⇒ ⇒ N ( 6; −1; −2 ) ⇔ 3 y + z = −11 z = −2 Lúc mặt phẳng (α ) chứa điểm A, N , M ⇒ (α ) : x + y + z − 16 = Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng x y −1 z x −1 y z + = = d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (α ) vng góc với d1 ,cắt −1 1 Oz A cắt d B ( có tọa nguyên ) cho AB = d1 : A (α ) :10 x − y + z + = B (α ) : x − y + z + = C ( α ) : x − y + z + = D (α ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Do mặt phẳng (α ) vng góc với d1 ⇒ x − y + z + m = Mặt phẳng (α ) cắt Oz A ( 0;0; −m ) , cắt d B ( m + 1, 2m, m − 1) ⇒ AB = ( m + 1, 2m, 2m − 1) ⇒ 9m − 2m + = ⇔ 9m − 2m − = ⇔ m = 1, m = − Vậy mặt phẳng (α ) : x − y + z + = Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1; ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm AB AC AD + + = Viết phương trình mặt phẳng ( B ' C ' D ' ) biết tứ diện AB ' AC ' AD ' AB ' C ' D ' tích nhỏ ? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = B ', C ', D ' thỏa : C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = Trang 37/40 Hướng dẫn giải: AB AC AD AB AC AD + + ≥ 33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' 27 27 = ≥ ⇒ VAB 'C ' D ' ≥ VABCD 64 64 AB AC AD Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có : = ⇒ V AB ' AC ' AD ' 27 ≥ ⇒ AB 'C ' D ' AB AC AD 64 VABCD Để VAB 'C ' D ' nhỏ AB ' AC ' AD ' 7 7 = = = ⇒ AB ' = AB ⇒ B ' ; ; AB AC AD 4 4 4 7 7 Lúc mặt phẳng ( B ' C ' D ') song song với mặt phẳng ( BCD ) qua B ' ; ; 4 4 ⇒ ( B ' C ' D ') :16 x + 40 y − 44 z + 39 = Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + y − z − = , ( Q ) : x − y + z − = Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến ( P ) , ( Q ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x + y + z + = B x + y + z − = C x + y − z − = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Chọn M ( 6;0;0 ) , N ( 2; 2; ) thuộc giao tuyến ( P ) , ( Q ) Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm (α ) với trục Ox, Oy, Oz x y z + + = ( a , b, c ≠ ) a b c =1 (α ) chứa M , N ⇒ a 2 + + =1 a b c ⇒ (α ) : Hình chóp O ABC hình chóp ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c Vây phương trình x + y + z − = Trang 38/40
Ngày đăng: 10/07/2020, 10:44
Xem thêm: