DS c8 PHUONG TRINH MAT CAU

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = {M / IM = R} I R A B Dạng : Phương trình tổng qt Dạng : Phương trình tắc Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ⇒ Điều kiện để phương trình (2) phương trình ( S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 mặt cầu: = R2 a + b2 + c − d > • (S) có tâm I ( a; b; c ) • (S) có bán kính: R = a + b + c − d 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) ⇒ d = IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) Khi : + Nếu d > R : Mặt cầu mặt + Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp xúc + Nếu d < R : Mặt phẳng ( P ) phẳng khơng có điểm chung mặt cầu Lúc đó: ( P ) mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm kính r = R − IH M1 R I I d I R R M2 P r P H H I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn 4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : Cho mặt cầu S ( I ; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu I lên ∆ Khi : + IH > R : ∆ không cắt mặt + IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu + IH < R : ∆ cắt mặt cầu ∆ tiếp tuyến (S) H tiếp hai điểm phân biệt cầu điểm ∆ ∆ H H R I I R I Δ R H B A Trang 1/51 * Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d ( I ; ∆ ) = IH + Lúc đó:  AB  R = IH + AH = IH +     ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ * Đường trịn (C) không gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng (α ) (S ) : (α ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Ax + By + Cz + D = I * Xác định tâm I’ bán kính R’ (C) R + Tâm I ' = d ∩ (α ) Trong d đường thẳng qua I vng góc với mp (α ) + Bán kính R ' = R − ( II ' ) = R −  d ( I ; (α ) )  2 R' I' α 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) d ( I ; ∆ ) = R ⇔ d ( I ; (α ) ) = R * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  IM ⊥ ad  IM ⊥ d Sử dụng tính chất :  ⇔  IM ⊥ nα  IM ⊥ (α ) Trang 2/51 B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R (S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = R2 * Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Phương trình (S) hồn toàn xác định biết a, b, c, d ( a + b + c − d > ) Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau: a) ( S ) có tâm I ( 2; 2; −3) bán kính R = b) ( S ) có tâm I (1; 2;0 ) (S) qua P ( 2; −2;1) c) ( S ) có đường kính AB với A (1;3;1) , B ( −2; 0;1) Bài giải: a) Mặt cầu tâm I ( 2; 2; −3) bán kính R = , có phương trình: (S): ( x − ) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 b) Ta có: IP = (1; −4;1) ⇒ IP = Mặt cầu tâm I (1; 2;0 ) bán kính R = IP = , có phương trình: (S): ( x − 1) + ( y − ) + z = 18 2 c) Ta có: AB = ( −3; −3;0 ) ⇒ AB =   Gọi I trung điểm AB ⇒ I  − ; ;1  2  AB   Mặt cầu tâm I  − ; ;1 bán kính R = = , có phương trình: 2  2  2 1  3  (S):  x +  +  y −  + ( z − 1) = 2  2  Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: a) (S) qua A ( 3;1; ) , B ( 5;5;0 ) tâm I thuộc trục Ox b) (S) có tâm O tiếp xúc mặt phẳng (α ) : 16 x − 15 y − 12 z + 75 = c) (S) có tâm I ( −1; 2;0 ) có tiếp tuyến đường thẳng ∆ : x +1 y −1 z = = −1 −3 Bài giải: a) Gọi I ( a; 0;0 ) ∈ Ox Ta có : IA = ( − a;1; ) , IB = ( − a;5;0 ) Do (S) qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ (3 − a ) +1 = (5 − a ) + 25 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 ⇒ I (10;0;0 ) IA = Mặt cầu tâm I (10;0;0 ) bán kính R = , có phương trình (S) : ( x − 10 ) + y + z = 50 Trang 3/51 75 = 25 Mặt cầu tâm O ( 0; 0;0 ) bán kính R = , có phương trình (S) : x + y + z = b) Do (S) tiếp xúc với (α ) ⇔ d ( O, (α ) ) = R ⇔ R = c) Chọn A ( −1;1; ) ∈ ∆ ⇒ IA = ( 0; −1; ) Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ = ( −1;1; −3) Ta có:  IA, u∆  = ( 3;0; −1)  IA, u∆  10   = Do (S) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ R = 11 u∆ 10 10 2 , có phương trình (S) : ( x + 1) + ( y − ) + z = 11 121 Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : Mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) bán kính R = a) (S) qua bốn điểm A (1; 2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2; 2;3) , D (1;0; ) b) (S) qua A ( 0;8; ) , B ( 4;6; ) , C ( 0;12; ) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải: a) Cách 1: Gọi I ( x; y; z ) tâm mặt cầu (S) cần tìm  IA2 = IB  IA = IB − y + z = −1  x = −2     Theo giả thiết:  IA = IC ⇔  IA = IC ⇔  x + z = −2 ⇔  y =  IA = ID   y − 4z = z =     IA = ID Do đó: I ( −2;1;0 ) R = IA = 26 Vậy (S) : ( x + ) + ( y − 1) + z = 26 2 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , ( a + b + c − d > ) Do A (1; 2; −4 ) ∈ ( S ) ⇔ −2a − 4b + 8c + d = −21 (1) Tương tự: B (1; −3;1) ∈ ( S ) ⇔ −2a + 6b − 2c + d = −11 (2) C ( 2; 2;3) ∈ ( S ) ⇔ −4a − 4b − 6c + d = −17 (3) D (1;0; ) ∈ ( S ) ⇔ −2a − 8c + d = −17 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy phương trình mặt cầu (S) : ( x + ) + ( y − 1) 2 + z = 26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz) ⇒ I ( 0; b; c ) 2 b =  IA = IB Ta có: IA = IB = IC ⇔  ⇔ c =  IA = IC Vậy I ( 0;7;5 ) R = 26 Vậy (S): x + ( y − ) + ( z − ) = 26 2 x = t  Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y = −1 (S) tiếp xúc với hai  z = −t  mặt phẳng (α ) : x + y + z + = ( β ) : x + y + z + = Bài giải: Gọi I ( t ; −1; −t ) ∈ ∆ tâm mặt cầu (S) cần tìm Trang 4/51 Theo giả thiết: d ( I , (α ) ) = d ( I , ( β ) ) ⇔ Suy ra: I ( 3; −1; −3) R = d ( I , (α ) ) = 1− t = 5−t 1 − t = − t ⇔ ⇒ t = 1 − t = t − 2 Vậy (S) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A ( 2;6;0 ) , B ( 4;0;8 ) có tâm thuộc d: x −1 y z + = = −1 Bài giải: x = 1− t  Gọi I (1 − t ; 2t ; −5 + t ) ∈ d tâm mặt cầu (S) cần tìm Ta có d :  y = 2t  z = −5 + t  Ta có: IA = (1 + t ; − 2t ;5 − t ) , IB = ( + t ; −2t ;13 − t ) Theo giả thiết, (S) qua A, B ⇔ AI = BI ⇔ (1 + t ) + ( − 2t ) + ( − t ) 2 (3 + t ) = + 4t + (13 − t ) ⇔ 62 − 32t = 178 − 20t ⇔ 12t = −116 ⇔ t = − 29  32 58 44  ⇒ I  ; − ; −  R = IA = 233 Vậy (S): 3   2 32   58   44    x −  +  y +  +  z +  = 932       Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2;3; −1) cắt đường thẳng ∆ : x + y −1 z = = −4 hai điểm A, B với AB = 16 Bài giải: Chọn M ( −1;1; ) ∈ ∆ ⇒ IM = ( −3; −2;1) Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ = (1; −4;1)  IM , u∆      =2 Ta có:  IM , u∆  = ( 2; 4;14 ) ⇒ d ( I , ∆ ) = u∆ AB = 19 Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : R =  d ( I , ∆ )  + Vậy (S): ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 76 2 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z + = đường thẳng x −1 y z −1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) ∆ cho (Q) cắt (S) −2 theo hình trịn có diện tích 20π Bài giải: (1)  x = + 7t  x = + 7t  y = 3t (2)   Ta có ∆ :  y = 3t Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:  (3)  z = − 2t  z = − 2t  5 x − y + z − = (4) ∆: Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: (1 + 7t ) − ( 3t ) + (1 − 2t ) − = ⇔ t = ⇒ I (1;0;1) Ta có : d ( I , ( Q ) ) = Trang 5/51 Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: 20π = π r ⇔ r = R bán kính mặt cầu (S) cần tìm Theo giả thiết: R =  d ( I , ( Q ) )  + r = 330 110 2 Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 1) = 3  x = −t  Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = đường thẳng d :  y = 2t − z = t +  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Bài giải: Gọi I ( −t ; 2t − 1; t + ) ∈ d : tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) Theo giả thiết : R =  d ( I ; ( P ) )  + r = + = 13 Mặt khác: d ( I ; ( P ) ) = ⇔ −2t − 2t + − 2t − − +1+  t = = ⇔ 6t + = ⇔  t = − 11  * Với t = 2 1    13    13  : Tâm I1  − ; − ;  , suy ( S1 ) :  x +  +  y +  +  z −  = 13 6  3  6  6  * Với t = − 2 11 11   2  1  11   : Tâm I  ; − ;  , suy ( S ) :  x −  +  y +  +  z −  = 13 6  3  6  6  x −1 y +1 z −1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) tâm 2 I cắt d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I Bài giải : Đường thẳng d có vectơ phương u = ( 2;1; ) P (1; −1;1) ∈ d Bài tập 9: Cho điểm I (1;0;3) đường thẳng d : Ta có: IP = ( 0; −1; −2 ) ⇒ u , IP  = ( 0; −4; −2 ) Suy ra: d ( I ; d ) = u , IP  20   = u Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, ∆IAB vuông I 1 40 = + = ⇔ R = IH = 2d ( I , d ) = IH IA IB R 40 2 Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 3) = ⇒ Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = điểm A ( 4; 4;0 ) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài giải : (S) có tâm I ( 2; 2; ) , bán kính R = Nhận xét: điểm O A thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp R / = Khoảng cách : d ( I ; ( P ) ) = R − ( R / ) = OA = 3 Trang 6/51 Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax + by + cz = ( a + b + c > ) (*) Do (P) qua A, suy ra: 4a + 4b = ⇔ b = −a Lúc đó: d ( I ; ( P ) ) = 2(a + b + c) 2 = 2c 2 ⇒ 2c 2 = a +b +c 2a + c 2a + c c = a Theo (*), suy ( P ) : x − y + z = x − y − z = ⇒ 2a + c = 3c ⇒   c = −1 Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): r = R −  d ( I ; ( P ) )  Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − = cắt mặt phẳng (P): x − = theo giao tuyến đường trịn (C) Xác định tâm bán kính (C) Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm I (1;0; ) bán kính R = Ta có : d ( I , ( P ) ) = < = R ⇔ mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m) * Đường thẳng d qua I (1;0; ) vng góc với (P) nên nhận nP = (1;0;0 ) làm vectơ phương, có x = 1+ t  phương trình d :  y = z =  x = 1+ t x = y =   / + Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ :  ⇔  y = ⇒ I / ( 2; 0;0 ) z = z =   x − = + Ta có: d ( I , ( P ) ) = Gọi r bán kính (C), ta có : r = R −  d ( I , ( P ) )  = Dạng : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) = R + Mặt phẳng (α ) tiếp diện (S) ⇔ d ( I ; (α ) ) = R * Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao x y −1 z − = = và mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = Số −1 điểm chung ( ∆ ) ( S ) : Bài tập 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : A 0.B.1.C.2.D.3 Bài giải: Đường thẳng ( ∆ ) qua M ( 0;1; ) có vectơ phương u = ( 2;1; − 1) Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;0; − ) bán kính R = Trang 7/51 u, MI    = Ta có MI = (1; −1; −4 ) u , MI  = ( −5;7; −3) ⇒ d ( I , ∆ ) = u 498 Vì d ( I , ∆ ) > R nên ( ∆ ) không cắt mặt cầu ( S ) Lựa chọn đáp án A Bài tập 2: Cho điểm I (1; −2;3) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: A ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 10 B ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 10 C ( x + 1) + ( y − ) ( z + 3) = 10 D ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Gọi M hình chiếu I (1; −2;3) lên Oy, ta có : M ( 0; −2;0 ) IM = ( −1;0; −3) ⇒ R = d ( I , Oy ) = IM = 10 bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 10 2 Lựa chọn đáp án B Bài tập 3: Cho điểm I (1; −2;3) đường thẳng d có phương trình x +1 y − z + = = Phương trình mặt −1 cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Đường thẳng ( d ) qua I ( −1; 2; −3) có VTCP u = ( 2;1; − 1) ⇒ d ( A, d ) = u , AM    =5 u Phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y + ) ( z − 3) = 50 2 Lựa chọn đáp án D Bài tập 4: Mặt cầu ( S ) tâm I (2; 3; −1) cắt đường thẳng d : x − 11 y z + 25 = = điểm A, B cho −2 AB = 16 có phương trình là: A ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 17 B ( x + ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 289 C ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 D ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280 2 Bài giải: Đường thẳng 2 (d ) 2 2 2 qua M (11; 0; −25 ) có vectơ phương u = ( 2;1; − ) I Gọi H hình chiếu I (d) Ta có: u , MI   AB    IH = d ( I , AB ) = = 15 ⇒ R = IH +   = 17   u R B A d H Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 2 Lựa chọn đáp án C Bài tập 5: Cho đường thẳng d : x+5 y−7 z = = điểm I (4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có −2 Trang 8/51 tâm I, hai điểm A, B cho AB = Phương trình mặt cầu ( S ) là: A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 B ( x + ) + ( y + 1) + ( z + ) = 18 C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 16 2 2 Bài giải : Đường thẳng d 2 2 2 2 qua M (−5;7;0) có vectơ phương u = (2; −2;1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : u , MI   AB    = ⇒ R = IH +   = 18   u IH = d ( I , AB ) = I R 2 d B A Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 H Lựa chọn đáp án A x −1 y −1 z + = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = 3 16 2 C ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = Bài giải: Đường thẳng ( ∆ ) qua M = (1;1; − ) có vectơ Bài tập 8: Cho điểm I (1;0; ) đường thẳng d : phương u = (1; 2;1) Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI  = ( 5; −2; −1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : u , MI    = IH = d ( I , AB ) = u IH 15 ⇒R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A Xét tam giác IAB, có IH = R I R B A d H Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z + = Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) qua A ( 0; 0;5 ) biết: a) Tiếp tuyến có vectơ phương u = (1; 2; ) b) Vng góc với mặt phẳng (P) : x − y + z + = Bài giải: x = t  a) Đường thẳng d qua A ( 0; 0;5 ) có vectơ phương u = (1; 2; ) , có phương trình d:  y = 2t   z = + 2t b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP = ( 3; −2; ) Trang 9/51 Đường thẳng d qua A ( 0; 0;5 ) vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ phương  x = 3t  nP = ( 3; −2; ) , có phương trình d:  y = −2t  z = 2t +  Bài tập 10: Cho ( S ) : x + y + z − x − y + z + = hai đường thẳng ∆1 : ∆2 : x + y + z −1 = = ; 2 x y −1 z − Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 ∆ đồng thời tiếp xúc với = = 2 (S) Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( 3;3; −1) , R = Ta có: ∆1 có vectơ phương u1 = ( 3; 2; ) ∆ có vectơ phương u2 = ( 2; 2;1) Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P) ( P ) / / ∆1 n ⊥ u1 Do:  ⇔ ⇒ chọn n = [u1 , u2 ] = ( −2; −1; ) ( P ) / / ∆  n ⊥ u2 Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : −2 x − y + z + m = Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ; ( P) ) = R ⇔ 5+ m =4 m = ⇔ + m = 12 ⇔   m = −17 Kết luận: Vậy tồn mặt phẳng : −2 x − y + z + = 0, − x − y + z − 17 = Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = , biết tiếp diện: a) qua M (1;1;1) b) song song với mặt phẳng (P) : x + y − z − = b) vng góc với đường thẳng d : x − y +1 z − = = −2 Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( −1; 2;3) , bán kính R = a) Để ý rằng, M ∈ ( S ) Tiếp diện M có vectơ pháp tuyến IM = ( 2; −1; −2 ) , có phương trình : (α ) : ( x − 1) − ( y − 1) − ( z − 1) = ⇔ x − y − z + = b) Do mặt phẳng (α ) / / ( P ) nên (α ) có dạng : x + y − z + m =  m = −6 = ⇔ m−3 = ⇔   m = 12 * Với m = −6 suy mặt phẳng có phương trình : x + y − z − = Do (α ) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I , (α ) ) = R ⇔ m−3 * Với m = 12 suy mặt phẳng có phương trình : x + y − z + 12 = c) Đường thẳng d có vectơ phương ud = ( 2;1; −2 ) Do mặt phẳng (α ) ⊥ d nên (α ) nhận ud = ( 2;1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến Suy mặt phẳng (α ) có dạng : x + y − z + m = Trang 10/51 2 19   16   15   D ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 17   17   17  289  Hướng dẫn giải: I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3) 2 Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I ; ( P1 ) ) = d ( I ; ( P2 ) ) t = 8t + = 9t +  ⇔ 8t + = 9t + ⇔  ⇔ t = −18 8t − = −9t − 17  t = ⇒ I (1; 2;3) ; R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 18 19   16   15   19 16 15   t = − ⇒ I  − ; ; ; R = ⇒ (S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 17 17 17   17   17  289  17 17 17   Lựa chọn đáp án D x +1 y − z Câu 44 Cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng d : = = mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = −1 −2 Phương trình mặt cầu ( S ) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( P) là: A ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 2 2 2 83   87   70  13456  B ( S ) : ( x + 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 16 ( S ) :  x −  +  y +  +  z +  = 13   13   13  169  2 83   87   70  13456  C ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 16 ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 13   13   13  169  2 D ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 16 2 Hướng dẫn giải:  x = −1 + 2t  d có phương trình tham số  y = − t  z = −2t  Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I ( −1 + 2t; − t ; −2t ) Theo đề bài, (S) có bán kính R = IA = d ( I ; ( P ) ) ⇒ ( − 2t ) + ( t − 1) + ( + 2t ) 2 = ( −1 + 2t ) − ( − t ) − 2t − 2 + 22 + 12 t = 4t − 16 2 ⇔ ( 9t − 2t + ) = ( 4t − 16 ) ⇔ 65t + 110t − 175 = ⇔  ⇔ 9t − 2t + = t = − 35 13  Với t = ⇒ I (1;3; −2 ) , R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 16 Với t = − 2 35 116  83 87 70  ⇒ I  − ; ; ; R = 13 13  13 13 13  2 83   87   70  13456  ⇒ (S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 13   13   13  169  Lựa chọn đáp án C Trang 35/51 ( P ) : x − y − z + 10 = Câu 45 Cho mặt phẳng ∆1 : hai đường thẳng x − y z −1 = = , 1 −1 x−2 y z+3 = = Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ mặt phẳng ( P ) , có 1 phương trình: ∆2 : 2 2 2 11   7   81  A ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 =  x −  +  y −  +  z +  =  2  2  2 11   7   81  B ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) =  x +  +  y +  +  z −  =  2  2  2 C ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2) = D ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2) = Hướng dẫn giải: x = + t  ; ∆ qua điểm A(2;0; −3) có vectơ phương a2 = (1;1; 4) ∆1 :  y = t z = 1− t  Giả sử I (2 + t ; t ;1 − t ) ∈ ∆1 tâm R bán kính mặt cầu ( S )  AI , a2  5t − Ta có: AI = (t ; t ; − t ) ⇒  AI , a2  = (5t − 4; − 5t ;0) ⇒ d ( I ; ∆ ) = = a2 d ( I , ( P)) = + t − 2t − 2(1 − t ) + 10 1+ + = t + 10  t= ( S ) tiếp xúc với ∆ ( P ) ⇔ d ( I , ∆ ) = d ( I , ( P)) ⇔ 5t − = t + 10 ⇔   t = −1 • Với t = 2 11   7   81  11   ⇒ I  ; ;−  , R = ⇒(S ) :  x −  +  y −  +  z +  =  2 2 2  2  2  • Với t = −1 ⇒ I (1; −1; 2), R = ⇒ ( S ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = Lựa chọn đáp án A Câu 46 Cho mặt phẳng ( P) mặt cầu (S ) có phương trình ( P ) : x + y + z − m2 + 4m − = 0; (S ) : x + y + z − x + y − z − = ( P ) tiếp xúc ( S ) là: A m = −1 m = C m = −1 Giá trị m để B m = m = −5 D m = Hướng dẫn giải: ( S ) : x + y + z − x + y − z − = có tâm I (1; −1;1) bán kính R = ( P) tiếp xúc ( S ) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = R 2.1 + 2.(−1) + 1.1 − m + 4m − ⇔ 2 2 + +1 = ⇔ m − 4m + =  m − 4m + = ⇔ ⇔ m − 4m − = ⇔  m − 4m + = −9 Lựa chọn đáp án A  m = −1  m = Trang 36/51 Câu 47 Cho mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − x + y + z − = mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + = Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A ( 3; −1;1) song song với mặt phẳng ( P ) là:  x = − 4t  A  y = −1 + 6t z = 1+ t   x = + 4t  B  y = −2 − 6t  z = −1 − t   x = + 2t  D  y = −1 + t  z = + 2t   x = + 4t  C  y = −1 − 6t z = 1− t  Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2; −1) ⇒ IA = ( 2;1; )  t= Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S )  song song với mặt phẳng ( P ) nên   t = −1 đường thẳng d có vettơ phương ad =  n( P ) , IA = ( 4; −6; −1)    x = + 4t  Vậy phương trình đường thẳng d :  y = −1 − 6t z = 1− t  Lựa chọn đáp án A Câu 48 Cho điểm A ( 2;5;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 24 = , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng ( P) H, cho điểm A nằm mặt cầu là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 B ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 196 C ( x + 16 ) + ( y + ) + ( z − ) = 196 D ( x − 16 ) + ( y − ) + ( z + ) = 196 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  x = + 6t  Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P ) Suy d :  y = + 3t  z = − 2t  Vì H hình chiếu vng góc A ( P ) nên H = d ∩ ( P) Vì H ∈ d nên H ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) Mặt khác, H ∈ ( P) nên ta có: ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24 = ⇔ t = −1 Do đó, H ( −4; 2;3) Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784π , suy 4π R = 784π ⇒ R = 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) H nên IH ⊥ ( P) ⇒ I ∈ d Do tọa độ điểm I có dạng I ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) , với t ≠ −1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:  ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24  t = = 14  d ( I , ( P)) = 14 2   + + (−2) ⇔ ⇔  t = −3 ⇔ t =   AI < 14  −2 < t < 2 2   ( 6t ) + ( 3t ) + ( −2t ) < 14 Trang 37/51 Do đó: I ( 8;8; − 1) Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 2 Lựa chọn đáp án A Câu 49 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 0; 0; ) , B ( 2;0; ) Phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi ( S ) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R Phương mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (S) qua điểm O, A, B , ta có hệ phương trình : d = d = d = a = −8c + d = −16 c = c = b =     ⇔ ⇔ ⇔ 4a+d=-4 −  a =   a =  2a + b − c +   c =  ( + b − + )2 = (12 + b + 22 − ) 5b − 10b + = =R d =   +1+1  Vậy (S): ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 2 Câu 50 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 2; −3;0 ) Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có bán kính Tọa độ điểm B là: A ( 0;1;0 ) B ( 0; −4;0 ) C ( 0; 2;0 ) ( 0; −4;0 ) D ( 0; 2; ) Hướng dẫn giải Vì B thuộc tia Oy nên B ( 0; b;0 ) (với b > ) Bán kính mặt cầu tâm B , tiếp xúc với ( P ) R = d ( B, ( P ) ) = 2b + 2b +  2b + = b = = ⇔ 2b + = ⇔  ⇔ Theo giả thiết R = ⇔  2b + = −6 b = −4 Do b > ⇒ b = Vậy B ( 0; 2;0 ) Lựa chọn đáp án D Câu 51 Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, (Q) : x − y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1; −1;1 ) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là: A ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 B ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 56 C ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 14 D ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 14 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:  x = + 2t  Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P) , ta có : d :  y = −1 + 3t z = 1− t  Tâm I ∈ d ⇒ I ( + 2t ; −1 + 3t;1 − t ) Trang 38/51 I ∈ ( Q ) ⇒ (1 + 2t ) − ( −1 + 3t ) − (1 − t ) + = ⇔ t = −2 ⇒ I ( −3; −7;3) Bán kính mặt cầu R = IA = 14 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 2 Lựa chọn đáp án A  x = −1 + t  Câu 52 Cho điểm I (0;0;3) đường thẳng d :  y = 2t Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt z = + t  đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: 2 A x + y + ( z − 3) = B x + y + ( z − 3) = 2 C x + y + ( z − 3) = D x + y + ( z − 3) = 3 Hướng dẫn giải: Gọi H ( −1 + t; 2t ; + t ) ∈ d hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d ⇒ IH = ( −1 + t ; 2t ; −1 + t ) Ta có vectơ phương d : ad = (1; 2;1) IH ⊥ d ⇒ IH ad = ⇔ −1 + t + 4t − + t = ⇔ −2 + 6t = ⇔ t = 2  2 7 ⇒ H − ; ;   3 3 2 2 2 2 ⇒ IH =   +   +   = 3 3 3 Vì tam giác IAB vuông I IA = IB = R Suy tam giác IAB vuông cân I , bán kính: 2 = IH = = 3 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 3) = Lựa chọn đáp án B x+2 y z −3 và mặt cầu (S): x + y + z + x − y − 21 = Số Câu 53 Cho đường thẳng ∆ : = = −1 −1 giao điểm ( ∆ ) ( S ) là: R = IA = AB cos 450 = IH A Hướng dẫn giải: B.1 C.0 D.3 Đường thẳng ( ∆ ) qua M = ( −2;0;3) có VTCP u = ( −1;1; − 1) Mặt cầu ( S ) có tâm I = (1; 2; − 3) bán kính R=9 Ta có MI = ( 3; 2; −6 ) u , MI  = ( −4; −9; −5 ) ⇒ d ( I; ∆) = u , MI  366   = u Vì d ( I , ∆ ) < R nên ( ∆ ) cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Lựa chọn đáp án A Trang 39/51 x+2 y−2 z +3 mặt cầu (S) : x + y + ( z + ) = Tọa độ giao = = điểm ( ∆ ) ( S ) là: Câu 54 Cho đường thẳng d : A A ( 0; 0; ) , B ( −2; 2; −3) B A ( 2;3; ) C A ( −2; 2; −3) D ( ∆ ) (S) không cắt Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:  x = −2 + 2t  y = + 3t  ⇒ t = ⇒ A ( −2; 2; −3)  z = −3 + 2t   x + y + ( z + )2 =  Lựa chọn đáp án C x = 1+ t  Câu 55 Cho đường thẳng ( ∆ ) :  y = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z − 67 = Giao  z = −4 + 7t  điểm ( ∆ ) ( S ) điểm có tọa độ: A ( ∆ ) (S) không cắt B A (1; 2;5 ) , B ( −2;0; ) C A ( 2; −2;5 ) , B ( 4;0;3) D A (1; 2; −4 ) , B ( 2; 2;3) Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: x = 1+ t y = t = ⇒ A (1; 2; −4 )  ⇒   z = −4 + 7t t = ⇒ B ( 2; 2;3) 2  x + y + z − x − y + z − 67 = Lựa chọn đáp án D x −1 y −1 z + = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: Câu 56 Cho điểm I (1;0; ) đường thẳng d : A ( x − 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = D ( x + 1) + y + z = 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( d ) qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI    Gọi H hình chiếu I (d) Ta có: IH = d ( I ; AB ) = = u  AB  ⇒ R = IH +   =9   Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A Trang 40/51 x +1 y − z − = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: Câu 57 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 27 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( d ) qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI    = 18 u Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : IH = d ( I ; AB ) =  AB  ⇒ R = IH +   = 27   2 Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y −1 z + = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: Câu 58 Cho điểm I (1;0; ) đường thẳng d : A ( x − 1) + y + z = 12 B ( x − 1) + y + z = 10 C ( x + 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = 16 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1) Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH = d ( I ; AB ) = u , MI    = u  AB  ⇒ R = IH +   = 10   Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + y + z = 10 Lựa chọn đáp án B x = 1+ t  Câu 59 Cho điểm I (1;0; ) đường thẳng d :  y = + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt  z = −2 + t  đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = 3 16 2 C ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆ qua M = (1;1; − ) có vectơ phương u = (1; 2;1) Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI  = ( 5; −2; −1) Trang 41/51 Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH = d ( I ; AB ) = u , MI    = u IH 15 ⇒R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án B Xét tam giác IAB, có IH = R  x = −1 + t  Câu 60 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d :  y = + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I z = + t  cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI    = 18 u Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH = d ( I ; AB ) =  AB  ⇒ R = IH +   = 36   2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 Lựa chọn đáp án D x +1 y − z − = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: Câu 61 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 24 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 18 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 18 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI    = 18 u Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH = d ( I ; AB ) = ⇒ IH = R IH ⇒R= =2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 2 Lựa chọn đáp án A Câu 62 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : x +1 y − z − = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho IAB = 30o là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 2 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 36 2 Trang 42/51 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 66 2 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 46 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI    = 18 u Gọi H hình chiếu I D Ta có: IH = d ( I ; AB ) = ⇒ R = IA = 18 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 Lựa chọn đáp án A ( ) Câu 63 Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; −7 tiếp xúc trục tung là: ( ) + ( y + 3) ( ) + ( y − 3) A ( x − 3) + y − + ( z + ) = 61 B ( x − 3) + y − + ( z + ) = 58 C ( x + 3) + ( z − ) = 58 D ( x − 3) + ( z + ) = 12 2 2 Hướng dẫn giải: ( ) ( 2 ) Gọi H hình chiếu I 3; 3; −7 Oy ⇒ H 0; 3; ⇒ R = IH = 58 ( Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 3) + y − Lựa chọn đáp án B Câu 64 Phương trình mặt cầu có tâm I ( ) C ( x − ) A x + ( + ( y − 3) + ( z − ) = 90 B x − Gọi H hình chiếu I ( ( ) + ( y − 3) + ( z − ) D ( x + ) + ( y + 3) + ( z + ) Hướng dẫn giải: + ( z + ) = 58 ) + ( y + 3) + ( z + ) = 86 2 5;3;9 tiếp xúc trục hoành là: 2 ) ) ( 5;3;9 Ox ⇒ H ( Vậy phương trình mặt cầu là: x − Lựa chọn đáp án C ) 2 2 = 14 2 = 90 ) 5; 0;0 ⇒ R = IH = 90 + ( y − 3) + ( z − ) = 90 ( ) Câu 65 Phương trình mặt cầu có tâm I − 6; − 3; − tiếp xúc trục Oz là: ( ) + ( y + 3) + ( z − C ( x + ) + ( y + ) + ( z − A x + 2 2 Hướng dẫn giải: ) − 1) ( ) + ( y + 3) + (z − D ( x + ) + ( y + ) + ( z − 2 + = ( B x + 2 = ) ( ) + 1) 2 − = = ) Gọi H hình chiếu I − 6; − 3; − Oz ⇒ H 0;0; − ⇒ R = IH = ( Vậy phương trình mặt cầu là: x + ) + ( y + 3) + (z − ) 2 + = Lựa chọn đáp án A Câu 66 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 4;6; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 26 B ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 C ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 34 D ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 104 2 2 2 2 2 2 Trang 43/51 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 4;6; −1) Ox ⇒ H ( 4;0; ) ⇒ IH = d ( I ; Ox ) = 37  AB  ⇒ R = IH +   = 37 + 37 = 74   Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 Lựa chọn đáp án B Câu 67 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 2 ) 3; − 3; cắt trục Oz hai điểm A, B cho tam giác IAB là: ( ) + ( y − ) + z = C ( x + ) + ( y − ) + z = A x + 2 2 B x − Gọi H hình chiếu I ( 2 2 Hướng dẫn giải: ⇒ IH = R ( ) + ( y + ) + z = D ( x − ) + ( y + ) + z = 2 2 ) 3; − 3; Oz ⇒ H ( 0;0;0 ) ⇒ IH = d ( I ; Ox ) = IH ⇒R= =2 2 ( Vậy phương trình mặt cầu : x − ) + ( y + 3) 2 + z = Lựa chọn đáp án D Câu 68 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 3; 6; −4 ) cắt trục Oz hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB là: A ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 B ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 45 C ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 36 D ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 3; 6; −4 ) Oz ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒ IH = d ( I ; Ox ) = 45 S ∆AIB 2S IH AB  AB  = ⇒ AB = ∆AIB = ⇒ R = IH +   = 49 IH   Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 2 Lựa chọn đáp án A Câu 69 Mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S): A ( 2;1;1) B ( 2;1;0 ) C ( 2;0; ) D (1; 0;0 ) Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 2;1; −1) Ox ⇒ H ( 2;0; ) ⇒ IH = d ( I , Ox ) = 2  AB  ⇒ R = IH +   =4   2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 ⇒ ( 2;1;1) ∈ ( S ) Lựa chọn đáp án A Trang 44/51 Câu 70 Gọi (S) mặt cầu có tâm I (1; −3; ) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB Điểm sau không thuộc mặt cầu (S): ( ) ( A −1; −3; ) ( B 3; −3; 2 ) D ( 2; −1;1) C 3; −3; −2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1; −3;0 ) Ox ⇒ H (1;0; ) ⇒ IH = d ( I ; Ox ) = ⇒ IH = R IH ⇒R= =2 3 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 3) + z = 12 ⇒ ( 2; −1;1) ∉ ( S ) 2 Lựa chọn đáp án D Câu 71 Cho điểm I ( −1;0; ) đường thẳng d : x − y −1 z −1 = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc d là: A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = 10 D ( x − 1) + y + z = 10 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua I ( 2;1;1) có vectơ phương : u = (1; 2;1) ⇒ d ( I ; d ) = u , MI    = u Phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A Câu 72 Cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d : x −1 y − z = = Phương trình mặt cầu có tâm I cắt −1 đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2018 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2016 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2019 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1;7;5 ) d ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒ IH = d ( I ; d ) = S ∆AIB = IH AB 2S  AB  ⇒ AB = ∆AIB = 8020 ⇒ R = IH +   = 2017 IH   Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 2 Lựa chọn đáp án B Câu 73 Cho điểm A (1;3;1) B ( 3; 2; ) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oz có đường kính là: A 14 B 14 C 10 Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0;0; t ) Oz IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0;0;3) D ⇒ R = IA = 14 ⇒ đường kính là: 14 Lựa chọn đáp án B Trang 45/51 Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2;1) B ( 0;1;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục hồnh có đường kính là: A B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( t ;0; ) Ox Vì IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 2;0; ) D 12 ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A Câu 75 Cho điểm A ( 2;1; −1) B (1; 0;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A 2 B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0; t ; ) Oy IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0; 2; ) D ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A x −1 y − z − = = Mặt cầu qua −1 −2 hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm là:  13 17 12  3  4 7  13  A  ; ;  B  ; ;  C  ; ;  D  ; ;   10 10  2  3 3 5 5  Hướng dẫn giải:  13 17 12  Gọi I (1 + t ; − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ I  ; ;  10  10 10  Lựa chọn đáp án A x y −3 z Câu 77 Cho điểm A (1;3;0 ) B ( 2;1;1) đường thẳng d : = = Mặt cầu (S) qua hai 1 Câu 76 Cho điểm A ( 0;1;3) B ( 2; 2;1) đường thẳng d : điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm (S) là: A ( 4;5; ) B ( 6;6;3) C ( 8;7; ) D ( −4;1; −2 ) Hướng dẫn giải: Gọi I ( 2t ;3 + t ; t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 8;7; ) Lựa chọn đáp án C Câu 78 Cho điểm A (1;1;3) B ( 2; 2;0 ) đường thẳng d : x y − z −3 = = Mặt cầu (S) 1 −1 qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm (S) là:  −11 23  A  ; ;   6 6 Hướng dẫn giải:  23  B  ; ;  6 6  Gọi I ( t ; − t ;3 + t ) d IA = IB ⇒ t = −  25  C  ; ;  6 6   19  D  ; ;  6 6  11  −11 23  ⇒I ; ;   6 6 Lựa chọn đáp án A Trang 46/51 x = t  Câu 79 Cho đường thẳng d :  y = −1 + 3t Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng z =  góc chung đường thẳng d trục Ox là: 2 A ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 B ( x + 1) + y + ( z + ) = 2 C ( x − 1) + y + z = Hướng dẫn giải: 1 1   D  x −  + y +  z −  = 3 2   Gọi A ( t ; −1 + 3t ;1) ∈ d ; B ( t ';0; ) ∈ Ox ⇒ AB = ( t '− t ;1 − 3t ; −1) , ud = (1;3;0 ) , i = (1;0;0 ) 2  AB.ud = 1  1 1  Ta có:  ⇒ t = t ' = R = ⇒  x −  + y +  z −  =  3 2   AB.i = Lựa chọn đáp án C x = t'  x = 2t   Câu 80 Cho hai đường thẳng d :  y = t d ' :  y = − t ' Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn z = z =   thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là: A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x − ) + y + z = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y + 1) + z = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi A ( 2t ; t ; ) ∈ d ; B ( t ';3 − t ';0 ) ∈ d ' ⇒ AB = ( t '− 2t ;3 − t '− t ; −4 ) , ud = ( 2;1;0 ) , ud ' = (1; −1; )  AB.ud = t = ⇒ A ( 2;1; ) Ta có:  ⇒  AB.ud ' = t ' = ⇒ B ( 2;1;0 ) ⇒ I ( 2;1; ) R = ⇒ ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y + z − = = Gọi ( S ) −1 −2 mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng: Câu 81 Cho điểm A ( −2; 4;1) B ( 2;0;3) đường thẳng d : 1169 Hướng dẫn giải: A B 873 C Gọi I (1 + 2t ; −2 − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒ t = 1169 16 D 967 −11 1169 ⇒ IA = 4 Lựa chọn đáp án A  x = + 2t  Câu 82 Cho điểm A ( 2; 4; −1) B ( 0; −2;1) đường thẳng d :  y = − t Gọi ( S ) mặt cầu z = 1+ t  qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu ( S ) bằng: A 19 Hướng dẫn giải: B 17 C 19 D 17 Trang 47/51 Gọi I (1 + 2t ; − t ;1 + t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ R = IA = 19 đường kính 19 Lựa chọn đáp án A Câu 83 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = ⇔ R = d ( I ; ( Oxy ) ) ⇔R= = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 2 Lựa chọn đáp án B Câu 84 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y = ⇔ R = d ( I ; ( Oxz ) ) 2 = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 Lựa chọn đáp án A Câu 85 Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) sau tiếp xúc với trục Ox: ⇔R= A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Ox ) ⇔R= yI2 + z I2 = 52 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 2 Lựa chọn đáp án C Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 86 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải : Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Oz ) ⇔ R = xI2 + yI2 = 20 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 87 Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương trình mặt cầu sau 2 phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): Trang 48/51 A ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = C ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ' ) đối xứng với ( S ) qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' ( S ' ) đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R ' = R = Ta có : I ' (1; 2; −3) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 Lựa chọn đáp án D Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II ′ thuộc mặt phẳng ( Oxy ) II ′ ⊥ ( Oxy ) Cả đáp án dễ dàng tìm tọa độ I ′ nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian việc tìm đáp án Câu 88 Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − ) 2 = Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz: A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I ( −1;1; ) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ' ) đối xứng với ( S ) qua trục Oz nên tâm I' ( S ' ) đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R ' = R = Ta có : I ' (1; −1; ) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh không nhớ tính chất đối xứng, tọa độ điểm đối xứng qua trục tọa độ Câu 89 Đường tròn giao tuyến ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 cắt mặt phẳng (Oxy) 2 có chu vi : A 7π Hướng dẫn giải: B 7π C 7π D 14π Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Ta có : d ( I ; ( Oxy ) ) = zI = Gọi r bán kính đường trịn (C) giao tuyến mặt cầu ( S ) mặt phẳng (Oxy), ta suy : r = R −  d ( I ; ( Oxy ) )  = Vậy chu vi (C) : 7π Lựa chọn đáp án B Lưu ý: Để hiểu làm nhanh học sinh nên vẽ minh họa hình học từ rút cơng thức tổng qt xác định bán kính đường trịn giao tuyến hướng dẫn giải Trang 49/51