Phép biến hình phép tịnh tiến toán 11

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP BIẾN HÌNH Phương pháp: + Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng, xác định điểm điểm M  mặt phẳng Điểm M  gọi ảnh M qua phép biến hình  Kí hiệu: f phép biến hình đó, M  ảnh M qua phép f Ta viết: M   f  M  hay f  M   M  hay f : M Lưu ý : f M  hay M  M + Điểm M gọi tạo ảnh, M  ảnh + f phép biến hình đồng  f  M   M , M  H Điểm M gọi điểm bất động, điểm kép, bất biến + f1 , f phép biến hình f f1 phép biến hình  Nếu H hình tập hợp điểm M   f  M  , với M  H , tạo thành hình H  gọi ảnh H qua phép biến hình f , ta viết: H   f  H  + Phép dời hình: Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức với hai điểm M , N ảnh M , N  chúng, ta ln có: M N   MN (Bảo tồn khoảng cách) + Tính chất (của phép dời hình):  ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng  HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng + Tia thành tia + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Tam giác thành tam giác (Trực tâm  trực tâm, trọng tâm  trọng tâm,…) + Đường trịn thành đường trịn (Tâm biến thành tâm: I  I , R  R ) + Góc thành góc Dạng 1: Tìm ảnh qua phép biến hình Phương pháp: + Cần nhớ cách viết phương trình đường thẳng, đường trịn, elip + Sử dụng cơng thức phép biến hình để tìm ảnh HDedu - Page Bài Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M  xM ; yM  có ảnh điểm  x '  xM  M '  x '; y '  theo công thức F :  Tìm tọa độ điểm A ' ảnh điểm A 1;  qua phép  y '  yM  biến hình F HD:  x '  xM    A '  0;  Theo quy tắc, A '  f  A  ta có:   y '  yM   Bài Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M  xM ; yM  có ảnh điểm  x '  xM M '  x '; y '  theo công thức F :  Viết phương trình đường trịn  C '  ảnh đường tròn  y '   yM  C  :  x  1   y   2  qua phép biến hình F HD: Cách 1: Gọi M  xM ; yM    C    xM  1   yM    (1) 2  x '  xM x  x '  M Với F  M   M '  x '; y ' , theo quy tắc:  thay vào (1) ta có:  y '   yM  yM  y '  x ' 1    y '  2    x ' 1   y '   2 Vậy  C ' :  x  1   y    Cách 2: Đường trịn C  có tâm I 1;  A 1;    C   F  I   I ' 1; 2  : tâm  C ' F  A   A ' 1; 4    C ' Vậy đường tròn  C '  có tâm I ' 1; 2  bán kính R  I ' A '    C ' :  x 1   y    Bài  x  x   M   f (M )   Cho phép biến hình f : M ( x; y )  Tìm ảnh điểm  y  y  sau qua phép biến hình: a) A(1; 2) b) B(1;2) c) C (2; 4) HD: a) A  f ( A)  (1;5) b) B  f ( B)  (7;6) c) C  f (C )  (3; 1) HDedu - Page Bài  x  x  y  Cho phép biến hình sau: f : M ( x; y )  M   f (M )   Tìm ảnh  y  x  y  điểm sau qua phép biến hình: c) C (2; 4) b) B(1;3) a) A(2;1) HD: a) A  f ( A)  (4;3) b) B  f ( B)  (4; 4) c) C  f (C )  (7; 7) Bài  M   f ( M )  (2 x ; y  1) Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f : M ( x; y)  Tìm ảnh đường thẳng () : x  y   qua phép biến hình f Cách 1:  x  2 x  M   f (M )    Ta có: f : M ( x; y )   y  y   x  x    y  y    x   3( y  1)    x  y    M ( x; y)  () : x  y      Vì M ( x; y )  ()   Cách 2: Lấy điểm M , N  () : M  N  M   f ( M )  (4;1)  M (2;0)  Chọn   N   f ( N )  (2;0)  N (1; 1) M , N  ( ) : M  N  M  () : M (2;0)   M   f ( M )  ( 4;1)  N  () : N (1; 1)  N   f ( N )  (2;0) Lúc phương trình đường thẳng  ' phương trình đường thẳng M ' N ' : x  y 1   () : x  y   1  M   f ( M )  ( x  ; y  1) Tìm ảnh Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f : M ( x; y )  đường thẳng đường trịn sau qua phép biến hình: a) () : x  y   b) (C ) : ( x  1)  ( y  2)  c) ( E ) : x2 y  1 HD: a) Cách 1:  x  x  f : M ( x; y ) I   M   f (M )     y  y   x  x    y  y  Vì M ( x; y)  ()  ( x  3)  2( y  1)    x  y    M ( x; y)  () : x  y   HDedu - Page Cách 2: Lấy M , N  () : M  N  M  () : M (5 ;0)   M   f ( M )  (2;1)  N  () : N (3 ; 1)   N   f ( N )  (0; 2) ()  ( M N ) : x  y 1   PTTQ () : x  y   2 Cách 3: Vì f phép dời hình nên  '/ /  (HS tự chứng minh) M  () : M (5 ;0)   M   f ( M )  (2;1) () / / ()  () : x  y  m  (m  5) M (2;1)  ()  m  4  () : x  y   b) Cách 1:  x  x   x  x  f : M ( x; y )   M   f (M )     y  y   y  y  Vì M ( x; y )  (C ) : ( x  1)  ( y  2)   ( x  4)  ( y  3)   M ( x; y)  (C ) : ( x  4)  ( y  3)  Cách 2: + Taâm I(  1;2) f (C)    (C)  BK : R = + Taâm I= f [ I(  1;2)]  (4;3)   BK : R= R =  (C) : (x  4)2  (y  3)2  c) Ta có:  x  x   x  x  f : M ( x; y )   M   f (M )     y  y   y  y  Vì M ( x; y)  ( E ) : x2 y ( x  3)2 ( y  1)2  1  1 3  M ( x; y)  ( E) : Bài ( x  3)2 ( y  1)2    M   f ( M )  ( x  1; y  2) Tìm ảnh đường Cho phép biến hình M ( x; y ) I  sau qua phép biến hình: a) () : x  y   b) (C ) : ( x  3)2  ( y  1)  c) ( P) : y  x HD: a) x  y   Bài b) ( x  2)  ( y  1)  Cho phép biến hình c) ( y  2)2  4( x  1) f : M ( x; y) I   M   f ( M )  ( x  ; y  1) Tìm ảnh đường tròn (C ) : ( x  1)  ( y  2)  qua phép biến hình HD: (C ) : ( x  2)2  ( y  3)  HDedu - Page Dạng 2: Kiểm tra phép biến hình có phải phép dời hình khơng Phương pháp: Bước 1: Lấy hai điểm M , N tìm ảnh hai điểm M , N qua phép biến hình M ', N ' Bước 2: Tính khoảng cách MN , M ' N ' Bước 3: Nếu MN  M ' N ' phép dời hình ngược lại  M   f ( M )  (3x; y) Đây có phải phép dời hình Bài Cho phép biến hình f : M ( x; y)  không? HD: Lấy hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 )  M   f ( M )  (3 x1; y1 )  f : M ( x1 ; y1 )  Ta có:   N   f ( N )  (3 x2 ; y2 )  f : N ( x2 ; y2 )  Và MN  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 , M N   9( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 Nếu x1  x2  M N   MN  Đây phép dời hình Bài Cho hai phép biến hình sau, đâu phép dời hình  M   f ( M )  ( y ; x  2)  f : M ( x; y )    M   g ( M )  ( x ; y  1)  g : M ( x; y )  HD: f phép dời hình g khơng phải phép dời hình Bài Cho hai phép biến hình sau, đâu phép dời hình  M   f ( M )  ( y  ;  x)  f : M ( x; y )    M   g ( M )  ( x;3 y )  g : M ( x; y )  HD: f phép dời hình g khơng phải phép dời hình Bài Cho phép biến hình: f : M ( x; y)   M   f ( M )  ( x  ; y  1) Chứng minh f phép dời hình Bài Cho phép biến hình: f : M ( x; y)   M   f ( M )  ( x  1; y  2) Chứng minh f phép dời hình HDedu - Page Bài Cho phép biến hình: f : M ( x; y)   M   f ( M )  ( x  ; y  1) Chứng minh f phép dời hình HD: Lấy hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 )  M   f ( M )  ( x1  3; y1  1)  f : M ( x1 ; y1 ) I  Ta có:   N   f ( N )  ( x2  3; y2  1)  f : N ( x2 ; y2 ) I   M N   ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  MN Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho  , a, b số thực Xét phép biến hình biến M thành  x '  x.cos   y.sin   a M’ cho:   y '  x.sin   y.cos   b a) Cho hai điểm M ( x1 , y1 ); N ( x2 , y2 ) Gọi M’, N’ ảnh M N qua phép biến hình Tìm tọa độ M’, N’ b) Tính khoảng cách MN M’N’ c) Phép biến hình có phải phép dời hình khơng d) Khi   Chứng tỏ phép biến hình phép tịnh tiến HD: a) Ta có:  x  x1.cos   y1.sin   a M '  F (M )   M '  yM '  x1.sin   y1.cos   b  xN'  x2 cos   y2 sin   a N '  F (N )    yN'  x2 sin   y2 cos   b b) Ta có: MN   xN  xM    yN  yM  M 'N '   2  xN '  xM '    yN '  yM '   x2  x1    y2  y1   x2  x1    y2  y1   2  cos   x2  x1   sin   y2  y1   sin   x2  x1   cos   y2  y1  2 c) Theo b suy MN  M ' N '  F phép dời hình HDedu - Page  M ( x; y )  M '(3x; y ) * Giả sử qua F2 : Ta có:  N ( x1 ; y1 )  N '(3x1 ; y1 )  MN   x  x 2   y  y 2 1    M ' N '   x1  x 2  16  y1  y 2  Vì MN  M ' N '  F2 khơng phải phép dời hình d) Nếu    M '( x1  a; y1  b); N '( x2  a; y2  b)  MM '  NN '  (a; b)  F phép tịnh tiến theo u (a; b) Bài Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình sau: - Phép biến hình F1 biến điểm M ( x, y) thành M '( y, x) - Phép biến hình F2 biến điểm M ( x, y) thành M '(3x, y) Trong hai phép biến hình phép phép dời hình HD: Xét F1 có: M ( x, y) thành M '( y, x) ; N ( x1 , y1 ) thành N '( y1 , x1 )  MN  M ' N '  ( x1  x)2  ( y1  y)2  F1 phép dời hình Tương tự: F2 khơng phải phép dời hình CHUYÊN ĐỀ 2: PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp:  Tv : M M  MM '  v  Tv (M) = M, Tv (N) = N  M ' N '  MN  Tv : M(x; y)  M(x; y) Khi đó:  x '  x  a y '  y  b HDedu - Page Dạng 1: Tìm ảnh, tọa độ, phương trình ảnh qua phép tịnh tiến Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: x '  x  a u (a; b) Phép tịnh tiến Tu : M ( x; y )  M '( x '; y')   y'  y b Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến Tu với u(4; 2) 1) Tìm ảnh A(5;3); B(2; 2) qua Tu 2) Biết ảnh điểm M M '(10; 3) Tìm tọa độ M 3) Tìm ảnh đường thẳng (d ) : 3x  y   qua Tu 4) Tìm ảnh đường trịn (C ) :  x     y    qua Tu 2 5) Biết ảnh đường thẳng (d) (d ') : x  y   Tìm (d) 6) Biết ảnh đường tròn (C ) (C') :  x     y  1  16 Tìm (C ) 2 HD:  xA'  xA  a     A '(9;1) 1) Gọi A '  Tu ( A)    y A'  y A  b    Tương tự: B '(6; 4)  xM '  xM  a  x  xM '  a  10    M  M (6; 1) 2) Gọi M '  Tu ( M )    yM '  yM  b  y M  y M '  b  3     xM '  xM  a  x  xM '   M 3) M '  Tu ( M )    yM '  yM  b  yM  yM '  Vì M ( xM ; yM )  (d ) : 3x  y     xM '     yM '      xM '  yM '  15  Vậy phương trình đường thẳng (d’) là: 3x  y  15  Cách khác: HDedu - Page Vì ud (4;3)  u (4; 2)  (d ') / /(d )  (d ') : 3x  y  c  (c  5) Lấy A(1;2)  (d )  Tu A  A '  A'(5;0) Vì A '(5;0)  (d ') : 3x  y  c   c  15  (d ') : 3x  y 15  Hoặc: Lấy hai điểm A, B thuộc d tìm ảnh A’, B’ Khi phương trình (d’) phương trình A ' B ' 4) Cách 1:  x  xM  a  x  xM '  M '  Tu ( M )   M '  M  yM '  yM  b  yM  yM '  M ( xM ; yM )  (C)   xM     yM      xM '      yM '       xM '     yM '    2 2 Vậy phương trình đường trịn (C ') : ( x  9)  ( y  4)  Cách 2: Để viết phương trình đường trịn ta cần biết tâm bán kính, mà qua phép tịnh tiến bán kính khơng đổi nên ta cần tìm ảnh tâm I(5;6) qua phép tịnh tiến  x  xI  a    I '  Tu (I)   I'  I '(9; 4)  yI'  yI  b    Vậy phương trình đường trịn (C ') : ( x  9)  ( y  4)  5) Biết ảnh đường thẳng (d) (d ') : x  y   Tìm (d) Cách 1: ud ' (3; 1)  u (4; 2)  (d ') / /( d )  ( d ) : x  y  c  (c  2) Lấy A '(2;0)  (d ') A'  Tu ( A)  A(2;2) Vì A(2; 2)  (d )  c  4  (d ) : x  y   x '  x  Cách 2: Gọi A '( x '; y ')  (d '); A( x; y )  (d ); A '  Tu ( A)   y'  y  Vì A( x '; y ')  (d ')  x ' y '   ( x  4)  3( y  2)    x  y   HDedu - Page 6) Biết ảnh đường tròn (C ) (C') :  x     y  1  16 Tìm (C ) 2 Cách 1: Gọi I '(2;1)  Tu ( I )  I (6;3)  (C ) : ( x  6)  ( y  3)  16 Cách 2: x '  x  A '( x '; y ')  (C'); A( x; y )  (C); A '  Tu ( A)   y'  y  A '( x '; y ')  (C ')   x '    y ' 1  16   x      y   1  16   x     y  3  16 2 2 2 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho u  (2; 4) Tìm ảnh hình sau qua Tu 1) M (1; 3) 2) (d ) : 3x  y   3) (C ) : x  y  3x  y   4) ( E ) : x2 y  1 25 HD: 1) M '(1;1) 2) (d ') :3x  y  19  3) (C ') : x  y  x  y   4) ( E ') : ( x  2)2 ( y  4)2  1 15 Bài Qua Tu với u  (1;5) 1) Biết ảnh M M '(3; 2) Tìm tọa độ M 2) Biết ảnh đường tròn (C ) (C ') : x  y  x  y   Tìm (C ) HD: 1) M (4; 3) 2) (C ) : x  y  14 y  40  Bài Tìm véctơ tịnh tiến phép biến hình biết: 1) M (1;3) biến thành M '(3; 2) HDedu - Page 10 2) Đường tròn (C ) : x  y  x  y   biến thành (C ') : x  y  HD: Gọi u  (a; b) x '  x  a 1) Ta có Tu : M ( x; y )  M '( x '; y ')   y'  y  a a  2  u  (2; 1) Thay số suy  b  1 x '  x  a 2) Ta có Tu : O( x; y )  O '( x '; y ')   y'  y  a (C ) : x  y  x  y    ( x  3)  ( y  2)  14  O(3; 2) 0   a a  3   u  (3; 2) (C ') : x  y   O '(0;0)   0   b b  2 Bài Nêu cách vẽ ảnh đường thẳng, đường trịn, tam giác, hình vng qua phép tịnh tiến theo véctơ v nói rõ quan hệ ảnh với hình ban đầu HD: + Để tìm ảnh (d ') đường thẳng ( d ) phép tịnh tiến theo véctơ v Ta lấy tùy ý điểm M  (d ) , dựng MM '  v Từ M ' kẻ đường thẳng (d ') / /(d ) (d) (d') M M' v Đường thẳng ( d ) (d ') hai đường thẳng song song trùng HDedu - Page 11 + Để tìm ảnh (C ') (C ) qua Tv ta dựng OO '  v đường trịn (C ') có tâm O ' bán kính bán kính đường tròn (C ) O O' R R v Như đường tròn (C ') (C ) hai đường tròn + Để dựng ảnh A ' B ' C ' tam giác ABC qua Tv , ta dựng AA '  v; BB '  v; CC '  v Khi tam giác ABC A ' B ' C ' hai tam giác A A' C C' B' B v + Để dựng ảnh A ' B ' C ' D ' hình vng ABCD qua Tv , ta dựng AA '  v; BB '  v; CC '  v; DD '  v Khi hình vng A ' B ' C ' D ' ABCD hai hình D C v A D A' C' B' B Bài Qua phép tịnh tiến Tu với u  Đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ Trong trường hợp thì? HDedu - Page 12 1) d trùng d’ 2) d song song d’ 3) d cắt d’ HD: Lấy M  d Gọi Tu : M  M '  MM '  u 1) Nếu d  d '  M '  d  giá véctơ u song song trùng d 2) d không song song d '  M ' d  u, MM ' không phương nên giá véctơ u cắt đường thẳng d 3) d cắt d ' : Khơng xảy phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Bài Cho hình bình hành ABCD Tìm tất phép tịnh tiến biến đường thẳng CD thành đường thẳng AB biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC HD: Gọi Tu phép tịnh tiến cần tìm Ta có: D  CD  Tu ( D)  AB     Tu ( D)  AB  BC  B  u  DB D  AD  Tu ( D)  BC   Bài Cho phép tịnh tiến Tu phép tịnh tiến Tv Với điểm M Tu biến M thành M’ Tv biến M’ thành M’’ Chứng tỏ phép biến hình biến M thành M’’ phép tịnh tiến HD: MM ''  MM '  M ' M ''  u  v  a không đổi Bài Cho phép tịnh tiến Tu với u(4; 3) 1) Tìm ảnh A(1; 4); B(3;7) qua Tu 2) Biết M '(2;6) ảnh M qua Tu Tìm tọa độ M 3) Tìm phương trình ảnh đường thẳng (d ) : x  y   HDedu - Page 13 4) Biết ảnh đường tròn (C) (C') :  x  1  y  25 Tìm (C) HD: 1) A '(5;1); B '(1; 4) 2) M (2;9) 3) (d ') : x  y  18  4) (C) :  x  3  ( y  3)  25 Bài 10 Cho v  (1;2); A(3;5); B(1;1) đường thẳng (d ) : x  y   đường trịn ( A;5) 1) Tìm tọa độ A ', B ' ảnh A B qua Tv 2) Tìm tọa độ C cho A ảnh C qua Tv 3) Tìm phương trình đường thẳng (d’) ảnh (d) qua Tv 4) Tìm ảnh đường trịn qua Tv HD: 1) A '(2;7); B '(2;3) 2) C (4;3) 3) (d ') : x  y   4) (C ') :( x  2)  ( y  7)  25 Bài 11 Cho A(1; 4) Tìm tọa độ B cho A  Tv ( B) trường hợp sau: 1) v(2; 3) 2) v(2;1) 3) v(3; 2) 2) B(1;3) 3) B(2;6) HD: 1) B(1;7) HDedu - Page 14 Bài 12 Tìm v cho Tv (M )  M ' biết 1) M (10;1); M '(3;8) 2) M (5; 2); M '(3; 4) HD: 1) v(13;7) 2) v(2; 2) Bài 13 Cho (d ) : x  y   0; v(m;1) Tìm m để Tv biến (d) thành HD: Ta có: Tv (d )  (d )  v / /ud  m  m 2 Bài 14 Tìm m để  C  : x  y  x  2my   ảnh đường tròn  C ' :  x  1   y  3  2 qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3;5  HD: Đường trịn  C  có tâm I  2; m  , bán kính R  m2  2  1   m  m  3  Đường trịn  C ' có bán kính tâm I '  1; 3 , bán kính R '  Ta có  2 Bài 15 Cho parabol  P  : y  x  mx  Tìm m cho  P  ảnh  P ' : y   x  x  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   0,1 HD: Giả sử M  x; y    P  ảnh M  x '; y '   P ' qua phép tịnh tiến theo vectơ v   0;1 x  x ' x '  x   y    x2  2x   y   x2  2x   y  y '  y '  y  Ta có  Vậy khơng tồn m HDedu - Page 15 Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C ' :  x   m    y   m  2 C  :  x  m  2   y   m 2  10 ;  10 Biết  C '  Tv   C   Tìm v ? HD:   I   m; m  3 Ta có   v  II '   2; 8 I '  m ; m      Dạng 2: Sử dụng phép tịnh tiến để tìm tập hợp, quỹ tích điểm Phương pháp: + Tìm điểm N cho tập hợp điểm N hình (H) xác định + Từ giả thiết phép tịnh tiến Tv biến N thành M + Khi tập hợp điểm M ( H ')  Tv ( H ) Bài Cho đường tròn (O ) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường tròn Tìm quỹ tích điểm M ' cho MM '  MA  MB HD: + Tập hợp điểm M đường tròn tâm O + MM '  MA  MB  MM '  MB  MA  AB  M '  TAB (M ) Vậy tập hợp điểm M ' đường tròn (O ') ảnh đường tròn (O ) qua TAB Bài Cho hai đường tròn (O ) (O ') cắt hai điểm A, B Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O ) (O ') P, Q Tìm tập hợp điểm M cho AM  PQ HD: Gọi I , J trung điểm AP, AQ , K hình chiếu O lên JO ' AM  PQ  IJ  OK  M  TOA ( K ) HDedu - Page 16 Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), cho AD  R Dựng hình bình hành DABM DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm đường trịn cố định HD: Vì DABM DACN hình bình hành nên: A TAD : A  D  BM  CN  AD  TAD : B  M  TAD : ABC  DMN  TAD : C  N D O O'  TAD : O  O '  OO '  R B C Vậy tâm O ' đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm (O ) M N Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến (O) B P, Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ, NPQ HD: Vẽ trực tâm H K tam giác MP; NPQ Chỉ P HMBA; KNBA hình bình hành nên H  TBA (M ); K  TBA (N) mà M , N  (O)  H , K nằm M H đường tròn (O ') ảnh đường tròn (O ) qua TBA trừ hai A O B điểm A A' với AA '  BA K N Q Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB=2R NM dây cung lưu động có độ dài R (M nằm A N) AN cắt BM H, AM cắt BN K 1) Chứng minh HK véctơ khơng đổi 2) Tìm tập hợp điểm H Suy tập hợp điểm K 3) Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHK HD: HDedu - Page 17 1) Chỉ H trực tâm tam giác KAB  HK  AB  K MHNK nội tiếp đường trịn đường kính HK Chỉ KMN ∽ KBA  I P N KN MN    cos K  K  600 AK AB M H A NM 2R KH  PN   sin 60 B O Vì HK có hướng độ lớn khơng đổi nên HK khơng đổi 2) Vì AHB  1200  H nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB  K ảnh cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB qua THK 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAHK  IH  IK ; HIK  HAK  600  ΔHIK HI không đổi  I ảnh cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB qua THI Bài Cho đường tròn (O) đoạn thẳng AB cố định C điểm di động (O) Vẽ hình bình hành ABCD a) Tìm tập hợp điểm D b) Vẽ tam giác DCE vng cân D Tìm tập hợp điểm E HD: a) D  TAB (C )  tập hợp D đường tròn (O ') ảnh (O ) qua E O1 TAB A B b) Gọi a véctơ vng góc với AB có độ dài AB suy C D a không đổi ΔDCE vuông cân D nên DE   a O' O mà D  (O ')  E hai đường tròn (O1 );(O2 ) ảnh (O ') qua Ta T a E O2 HDedu - Page 18 Bài Cho (O; R) hai điểm A, B định đường trịn Lấy C di động đường trịn Tìm tập hợp trực tâm H ΔABC HD: Kẻ đường kính AA '  HCA ' B hình bình hành nên H  TA' B (C ) C A' mà C  (O)  H nằm đường tròn (O ') ảnh (O ) qua TA ' B H O A  B  Bài Cho B(2; 4); C (4;6) điểm A nằm đường tròn I ;2 , với I (0;3) Trực tâm H nằm đường thẳng x  y   Tìm tọa độ trực tâm H HD: Gọi B ' đối xứng B qua I suy B '(2; 2) H   I '; R  ảnh  I ; R  A B' qua TB 'C I  TB 'C ( I )  I '  I '(6; 1)  ( I ') : ( x  6)  ( y  1)  x  y 1   x  4  Vì H  (d )  ( I ')    2 ( x  6)  ( y  1)   y  3 H B C I' Dạng 3: Dựng hình Phương pháp: Bước 1: Phân tích: Bài tốn dựng hình thỏa mãn điều kiện (*) thường quy dựng điểm M thuộc đường (L) cho trước Điều kiện (*) thường liên kết điểm M phải dựng với điểm N thuộc đường (C ) Bước 2: Cách dựng Dựa vào phần phân tích bước 1, ta tiến hành bước để có điểm M HDedu - Page 19 Bước 3: Từ bước ta phải chứng minh điểm M thỏa mãn điều kiện toán Bước 4: Biện luận Ta xem trường hợp không dựng M, trường hợp dựng điểm M dựng điểm M Bài Cho hai đường thẳng song song a, b Điểm A nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa b Điểm B nằm nửa mặt phẳng bờ b khơng chứa a Tìm hai điểm M  a; N  b cho NM  a độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn HD: Giả sử tìm M , N thỏa mãn toán A Gọi M  a, N  b; M N  a  M N  MN không đổi A' Qua TM N A  A '; M  N  AM  A ' N 0 a  AM  MN  NB  A ' N  MN  NB  A ' B  MN b M' M0 M N N' N0 Dấu xảy N  N '  A ' B  b  M  M ' hình chiếu M lên a B Vậy N  N '; M  M ' độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn Bài Cho tam giác ABC, dựng đường thẳng d song song BC cho d cắt AB, AC M N cho AM  CN HD: Giả sử dựng đường thẳng (d) thỏa mãn toán A Gọi K  TNM (C )  AK phân giác góc A Cách dựng: Dựng phân giác Ax góc A N M Mà MN / / BC  K  BC Vậy K chân đường vng góc góc A B K x Dựng K  Ax  BC KM / / AC ( M  AB) , MN / / BC ( N  AC ) Chứng minh: Các em AM  MK mà MNCK hình bình hành nên AM  CN HDedu - Page 20 C Bài tốn có nghiệm hình Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R); (O; R1 ) Một điểm A (O; R) , xác định điểm M (O; R) điểm N (O; R1 ) cho MN  OA HD: Qua TOA M  N ; mà M  (O; R)  N  ( A; R) mà N  (O; R1 )  N  ( A; R)  (O; R1 ) Xác định M: Vẽ ( A; R)  N  ( A; R)  (O; R1 ) Kẻ tia Nx / /OA cắt (O; R) M Bài Cho (a) : x  y   0; (b) : x  y   0; A(3; 2); B(5;0) Tìm M  (a); N  (b) cho MA  NB ngắn HD: Lấy I (1;0)   a  Gọi J hình chiếu vng góc I lên (b) suy J (0; 2) Qua TIJ (a)  (b); AM  A ' N1  AM  BN  A ' N1  BN mà với điểm N  (b)  A ' N  NB  A ' B   AM  NB   N  N1 x   (3; 2) Vì A '  TIJ ( A)  A '(2;0)  pt : ( A ' B) : y   N1 :  y  Vậy N (4;0); M(3; 2) Dạng 4: Xác định yếu tố hình vẽ Bài Cho tứ giác lồi ABCD điểm M xác định AB  DM CBM  CDM Chứng minh ACD  BCM HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ AB HDedu - Page 21 Bài Cho tứ giác ABCD có A  600 ; B  1500 ; D  900 ; AB  3; CD  12 Tính độ dài cạnh AD BC HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BA BC = 6, AD = Bài Cho ABC Dựng hình vng BCDE phía ngồi tam giác Từ D E dựng đường vng góc với AB, AC Chứng minh hai đường vng góc với đường cao AH ABC đồng qui HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BE , ABC  AED Bài Cho tứ giác ABCD có AB  BC  CD  a; BAD  750 ; ADC  450 Tính AD HD: Gọi TBC ( A)  A '  ΔCA ' D cân nên A ' CD  1800  CDA  CED  600  ΔCA ' D  A ' DA  150 ; AA '  BC  CD  A ' D  a  AA ' D  1500 Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác ADA '  AD  a  Bài Cho hai đoạn thẳng AB CD có độ dài cắt I cho AIC  600 Chứng minh AC  BD  HD: TAB ( B)  B '  AC  BD  BB ' BD  DB ' (1) D Chỉ ΔCDB '  DB '  Thay vào (1) suy đpcm B A I B' C Bài Cho hình bình hành ABCD kẻ đường cao BH , BK  H  AD; K  CD  Gọi E trực tâm tam giác BKH Cho HK  m; BD  n Tính EB theo m, n HD: Chỉ EHDK hình bình hành HDedu - Page 22 TKD ( K )  D; TKD ( E )  H Gọi TKD ( B)  P  EB  HP  KP  BD  n; EB  HP  PK  HK  n  m  BE  n  m Bài Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Gọi H, K hình chiếu M lên AB, AC Chứng minh BC.MA  AB.MH  AC.MK HD: Gọi B '  TAM ( B); C '  TAM (C )  AMB ' B; AMC ' C hình bình hành BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) , AD  R Dựng hình bình hành DABM ; DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm (O; R) Bài Cho tam giác ABC, vẽ hình chữ nhật BCDE bên tam giác Gọi d1 , d đường thẳng qua D, E vng góc AB, AC d1 cắt d K 1) Phép tịnh tiến theo EB biến d1 , d điểm K thành đường nào, điểm 2) Suy AK  BC Bài 10.Tìm ảnh điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến Tv trường hợp sau: a) v = (1; 1) b) v = (2; 1) e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) Bài 11.Cho điểm A(1; 4) Tìm toạ độ điểm B cho A  Tv (B) trường hợp sau: a) v   2; 3 b) v = (2; 1) e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) Bài 12.Tìm toạ độ vectơ v cho Tv  M   M / trường hợp sau: a) M(10; 1), M’(3; 8) b) M(5; 2), M(4; 3) c) M(–1; 2), M(4; 5) d) M(0; 0), M(–3; 4) c) M(5; –2), M(2; 6) f) M(2; 3), M(4; –5) HDedu - Page 23 Bài 13.Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x  y + = Tìm phương trình đường thẳng (d’) ảnh (d) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau: a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) Bài 14.Trong mpOxy, cho đường tròn (C):  x  1   y    Tìm phương trình đường trịn (C) ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau: a) v   4; 3 b) v = (2; 1) Bài 15.Trong mpOxy, cho Elip (E): c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) x y2   Tìm phương trình elip (E) ảnh (E) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau: a) v   4; 3 b) v = (2; 1) Bài 16.Trong mpOxy, cho Hypebol (H): c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) x y2   Tìm phương trình Hypebol (H) ảnh 16 (H) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau: a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) Bài 17.Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x Tìm phương trình Parabol (P) ảnh (P) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau: a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) Bài 18.Cho đường thẳng d: x + 2y – = vectơ v = (2; m) Tìm m để phép tịnh tiến Tv biến d thành Bài 19.Trong mặt phẳng Oxy, cho v  3;4  đường thẳng  : x  y   Viết phương trình đường thẳng  ' ảnh  qua phép tịnh tiến Tv Bài 20.Trong mặt phẳng Oxy, cho v  3;2  đường tròn  C  : x  y  x  y   Viết phương trình đường trịn  C ' ảnh  C  qua phép tịnh tiến Tv HDedu - Page 24 ... hình Tìm tọa độ M’, N’ b) Tính khoảng cách MN M’N’ c) Phép biến hình có phải phép dời hình khơng d) Khi   Chứng tỏ phép biến hình phép tịnh tiến HD: a) Ta có:  x  x1.cos   y1.sin   a M... F2 phép dời hình d) Nếu    M ''( x1  a; y1  b); N ''( x2  a; y2  b)  MM ''  NN ''  (a; b)  F phép tịnh tiến theo u (a; b) Bài Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình sau: - Phép biến hình. .. hình sau: - Phép biến hình F1 biến điểm M ( x, y) thành M ''( y, x) - Phép biến hình F2 biến điểm M ( x, y) thành M ''(3x, y) Trong hai phép biến hình phép phép dời hình HD: Xét F1 có: M ( x, y)