50 câu hình học ôn thi vào 10

Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD   ACB  BDC cân C/m góc AOC CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)  chung 2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ADB ∽ ABE , có E  = sđ cung BE  (góc tt dây) Sđ ABE Sđ  = sđ BE  (góc nt chắn BE ) BDE   ACB  3/C/m AOC   ABC  (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt caét * Do ABOC nt AOC   ACB   AOC   ACB  nhau)  ABC cân A ABC  = sđ BEC  (góc tt dây); sđ BDC  = sđ BEC  (góc nt) * sđ ACB  = ACB  maø  BDC B 4/ Ta coù I chung; IBE∽ICB  = BDC  (do CD//AB)  BDC   BCD  ABC  BDC cân   ECB  (góc tt dây; góc nt chắn cung BE) IBE IE IB   IB2=IE.IC IB IC  = sñ ( DB   BE  ) mà BDC cân B Xét IAE ICA có I chung; sđ IAE  = sñ (BC-BE)   = sñ CE=  sñ ECA    BC  sñ IAE DB  IAE∽ICA IA IE  IA2=IE.IC Từ vàIA2=IB2 IA=IB IC IA Bài 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân Quay ABC vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo A 1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4  AB=5; ABA’ vuông BBH2=AH.A’H C' K O A’H= BH = AH AA’=AH+HA’= H B C AO= 25 25 2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ CC’ACA’C’ A' Hình 52 Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường tròn)AC’A’C hình chữ nhật 3/ C/m: AKHC thang cân:  ta có AKC=AHC=1vAKHC nội tiếp.HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà OAC cân OOAC=OCAHKC=HCAHK//ACAKHC hình thang  Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH) KAO+OAC=KCH+OCAHình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân 4/ Khi Quay  ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón 2 Sxq= p.d= 2.BH.AB=15 3 V= B.h= BH2.AH=12 Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ= MP2 b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP 1/ a/ C/m MPOI thang vuông Vì OIMI; COIO(gt) CO//MI mà MPCO MPMIMP//OIMPOI thang vuông b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông IMP=1v hay QMP=1v QP đường kính (O) Q; O; P thẳng hàng 2/ Tính góc CSP: Ta có sđ CSP= sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM C P M S H A I B O J Q D Hình 53 2 CM=QD  CP=QD  sñ CSP= sñ(AQ+CP)= sñ CSP= sñ(AQ+QD) = sđAD=45o Vậy CSP=45o 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì  AOM cân O; I trung điểm AO; MIAOMAO tam giác cân M AMO tam giác  cung AM=60o MC = CP =30o  cung MP = 60o  cung AM=MP  goùc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.) MHP ∽MQP đpcm b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  QHP Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP cân H QHP=120oJ nằm đường thẳng HO HPJ tam giác mà HPM=30oMPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP P nằm đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm Bài 54: Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn C/m AC//MO MD=OD Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF Xác định vị trí điểm M d để MAB tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp B 1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt BOM=OMB MA=MB MO đường trung trực ABMOAB Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn CAAB Vậy AC//MO d E F O D C A H Hình 54 C/mMD=OD Do OD//MB (cùng CB)DOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)DOM=DMODOM cân Dđpcm 3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ AFM= sđcungAE(góc nt chắn cungAE) EAM=A FM Sđ EAM= sd cungAE(góc tt dây) MAE∽MFAđpcm 4/Vì AMB tam giác đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB Ta có AB=AM= OM  OA =R S AMBO= BA.OM= R2  Squaït=   R 120 R R 3   R = S= R2 = 360 3 2R R = Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C C/m AMN=BMC C/mANM=BMC DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx Chứng tỏ M trung điểm DC x D y M C E F A N Hình 55 B O 1/C/m AMN=BMA Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NMDCNMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA 2/C/m ANM=BCM: Do cung AM=MB=90o.dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông cân M)MAN=MBC=45o Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg) 3/C/m EFAx Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB)  AND=CNB Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB  EF//AB mà ABAx  EFAx 4/C/m M trung điểm DC: Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN) NMC vuông cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm Bài 56: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF C/m AECD nt C/m:CD2=CE.CF Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE C/m IK//AB A F K C x M D O I E B Hình 56 1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF Xét hai tam giác CDF CDE có: -Do AECD ntCED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD ntCDF=CBF(cùng chắn cung CF) Và sđ CBF= sđ cung BC(góc tt dây)FDC=DEC Mà sđ CAD= sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Do AECD nt BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)DCF=DCE.Từ và CDF∽CEDđpcm 3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD xCF= xCE.đpcm 4/C/m: IK//AB Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)KIC=BACKI//AB Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng N P J Q I K M A B O Hình 57 1/ C/m:BM//OP: Ta có MBAM (góc nt chắn nửa đtròn) OPAM (t/c hai tt caét nhau)  MB//OP 2/ C/m: OBNP hình bình hành: Xét hai  APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP  POA=NBO (đồng vị)APO=ONB PO=BN Mà OP//NB (Cmt)  OBNP hình bình hành 3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PMOJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ONABONOJI trực tâm OPJIJOP -Vì PNOA hình chữ nhật P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP MNOP thang cânNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn · · cung NM)  IPO=IOP IPO cân I Và KP=KOIKPO Vậy K; I; J thẳng hàng Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuông cân Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ C/m JDCI nội tiếp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung điểm DH Hình 58 I 1/C/m ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách): -Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)ABC vuông C.Vì OCAB trung điểm OAOC=COB=1v  cung AC=CB=90o CAB=45 o (góc nt nửa số đo cung bị chắn) C D N A O J K B H ABC vuoâng cân C Mà BtAB có góc CAB=45 o  ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= sđ cung AC =45o Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIB ADC∽AIJđpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND -Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ -Do DH JBAB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta coù: DN AN NH AN DN NH  ;    maø JK=KBDN=NH JK AK KB AK JK KB Bài 59: Cho (O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc góc AMB C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác E C M N A B O 1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc góc AMB: -Do AB CD trung điểm O AB CD.Cung AD=DB=CB=AC=90 o sđ AMD= sđcungAD=45o D Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc góc AMB 3/C/m: AM.DN=AC.DM Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)AMC∽DMNđpcm 4/Khi ON=NM ta c/m MOB tam giác Do MN=ONNMO vcân NNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1vOMB=MOB.Mà OMB=OBM OMB=MOB=OBMMOB tam giác 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 84: Cho ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m:KM.JA=KA.JB 1/C/m A;O;I thẳng hàng: Vì BMI=IMC(gt)  cung IB=IC Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)AI phân gíc  cân ABC AIBC.Mà BOC cân O có góc tâm chắn cung OI phân giác góc BOC A K O  E J B M N C I Hình 84 đpcm 2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC AIBC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)AJC+AKC=2v đpcm 3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vuông JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc tam giác AMC) 2 Mà sđ MAC= sđ cung MC sđMCA= sđ cung AM sđKMA= sđ(MC+AM)= sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA JBA~KMAđpcm  34 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F Chứng minh BDCF nội tiếp Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O) AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Hình 85 F C E I J  O’ A D  O B 1/Cm:BDCF nội tiếp: Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)đpcm 2/C/m: CD2=CE.CF Ta có Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt) CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vuông có DC đường cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF Vì EDF vuông D(cmt)FDED hay FDO’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.đpcm 3/C/m IJ//AB Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Ta có CDEF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính DO  35 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 86: Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ:IC2=IA.IB Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN b/ E; F; M; N nằm đường tròn 1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt I Hình 86 hai đtròn ICK=IDK=1v đpcm C 2/C/m: IC2=IA.IB E Xét hai tam giác M ICE ICBcó góc I A D chung sđ ICE=  O sđ cung CE (góc O’ tt dây) B N F K sđ CE (góc nt cung bị chắn)ICE=IBCICE~IBCđpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD IC=IDI nằm trênđường Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB trung trực CD Chứng minh tương tự ta có:ID =IA.IB  -Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vuông IC=ID ICK=IDKCK=DKK nằm đường trung trực CD.đpcm 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)IE.IF=IM.IN b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính IF IN chất tỉ lệ thức ta có:  Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ với IM IE hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung IEM~INFIEM=INF.Mà IEM+MEF=2vMEF+MNF=2vđpcm Sđ CBI=  36 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 87: ChoABC có góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O) A I E D x Hình 87 H B F O C 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ADH+AEH=2vADHE nt 2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh AEB ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF -Tứ giác BDHF ntHED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF ntECH=EFH(cùng chắn cung HE) EFH=HFDFH phân giác DEF -Tứ gáic BDHF ntFDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)EDC=CDFDH phân giác góc FDEH là… 4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IHIA=IE=IH= AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông)IAE cân IIEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do OEC cân ôû O OEC=OCE xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vaäy OEIE điểm E nằm đường tròn (O)đpcm  37 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 88: Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O)) Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD Chứng tỏ FA.EC=FD.EA A E  O Hình 88  O’ C B D F K 1/C/m AOC AO’D thẳng hàng: -Vì AB CD Góc ABC=1vAC đường kính (O)A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng 2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v AEK+AFK=2vđpcm 3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ACD Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ADF=ACE ACE+ACK=2vADF+ACK=2vK nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)EAC=FADđpcm  38 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 89: Cho ABC có A=1v.Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr Hình 89 O’ A O M I N B K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng: -Vì M trung điểm dây ABOMAB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) KBO=KAO  góc OBK=OAK mà OBK=1v OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v đpcm 2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v AMK+ANK=2v đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’) -Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OAAK điểm A nằm đường tròn (O)đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’) -C/m K nằm BC: Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC Nhưng AMKN hình chữ nhậtMKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghóa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2vK;B;C thẳng hàng đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr Vì OKO’ vuông K có đường cao KA.p dụng hệ thue=ức lượng tam giác vuông có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI= AKđpcm  39 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vuông góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F Cm:BDEF nội tiếp Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH E Hình 90 B A O I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính ACABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn) FBE=EDF=1vđpcm 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BFAE EDAF nên C trực tâm AEFGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)đpcm 3/ Cm:DIMF nt: Vì AC BD(gt) DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vuông góc với dây DB)ADB cân A AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)Đường tròn ngoại tiếp AEF có tâm nằm đường AM góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)DIM+DFM=2vđpcm 4/ 40 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 91: Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt M Cmr: ADEM nội tiếp Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn ADEM hình gì? Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC B O A O’ C E D M 1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) ADM+AEM=2vđpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường tròn; -Ta có sđADE= sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)ABM=AMC Hình 91 Tương tự ta có AMB=ACM Hai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhauCặp góc cònlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2vBAM=MAC=1v hay OAAM điểm A nằm đtròn… 3/ADEM hình gì? Vì BAM=1vABM+AMB=1v.Ta có MA tt đtrònDAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật 4/Cm: MD.MB=ME.MC Tam giác MAC vuông A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vuông MAB có MA2=MD.MBđpcm  41 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA Cm: MN//DB Cm: BMEN hình vuông Hình 92 A B N M E K D C 1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt)  đpcm 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có: Vì ABCD hình vuông nên nội tiếp đường tròn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vA;K;C nằm đtròn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường tròn.Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)BDE~KAN BD BE  đpcm KA KN 3/ Cm:MN//DB.Vì AKCN CBAN ;AK cắt BC MM trực tâm tam giác ANCNMAC.Mà DBAC(tính chất hình vuông)MN//DB 4/Cm:BNEM hình vuông: Vì MN//DBDBM=BMN(so le) mà DBM=45oBMN =45oBNM tam giác vuông cânBN=BM.Do BEDB(gt)và o o BDM=45 MBE=45 MBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMNBMEN hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN hình vuông  42 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN tam giác cân F N I Q A E B P M O D C 1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).đpcm 2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhậtO trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua MM trung điểm NC OM đường trung bình ANCOM//AN hay AN//DB 3/Cm:F;E;M thẳng hàng Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhậtAIE OAB tam gíc cân IAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB IAE=ABO(so le)IEA=EACEF//AC hay IE//AC Vì I trung điểm AN;M trung điểm NCIM đường trung bình ANCMI//AC .Từ và Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng F;F;M thẳng hàng 4/C/mPEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếpPNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAPENP=EPNPEN cân E  43 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm:AB.PE=EB.PF Cm:SAEF=2SAPQ Gọi M trung ñieåm AE.Cmr: MC=MD A B M P E Q D F C 1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường tròn: Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vuông)ABEQ nội tiếp ABE+AQE=2v mà ABE=1vAQE=1v.Ta có AQE vuông Q có góc QAE=45oAQE vuông cânAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o APFD nội tiếpAPF+ADF=2v mà ADF=1vAPF=1v ECF=1v  Từ E;P;Q;F;C nằm đường tròn đường kính EF 2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: -Vì ABEQ ntBAE=BQE(Cùng chắn cung BE) -Vì QPEF ntPQE=PEF(Cùng chắn cung PE) BAE=PFE đpcm 3/Cm: :SAEF=2SAPQ Theo cm AQE vuông cân QAE= AQ  QE = AQ Vì QPEF nt PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung S  AE  AQP~AEF AEF    = S AQP  AQ    =2đpcm 4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM 44 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vuông góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B J O F H K E D C I 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh) 2/Cm HKOI Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O OI đường cao thứ ba OIAB Ta có OKIH ntOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OIAB ADAB OI//ADOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE OKH=OCEHK//AB.Mà OIAB OIKH 3/Cm: HJ.KC=HE.KB Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp: VìAHBE;EJ//AD ADABEJABBJ đường cao thứ ba tam giác ABEBJAE Vì E trung điểm DH;EJ//ADEJ đường trung bình tam giác 2 ADHEJ//= AB;BF= BC mà BC//=ADJE//=BFBJEF hình bình hànhJB//EF.Mà BJAEEFAE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1vABFE nt  45 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 96: Cho ABC, phân giác góc góc góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với đường thẳng AB; BC; AC Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AEAJ C/m: AI.AJ=AB.AC Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KIAN x B P C K y Q N M A I D Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vuông góc với CD AM Chứng minh KHDM nt Chứng minh:AB=CK+AM 46 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 99: Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC A D M B E N C F 1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngđpcm 2/Cm:AFCD nội tiếp: -Do ADCE hình bình hànhBC//AEgóc BCA=ACE(so le) 2 -sđCAE= sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= sđ cung AE CAE=AFE.BCN=BFAAFCD nội tiếp 2/Cm CN.CF=4BE.BF -Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)BAE~BFA AB BE AB2=BE.BF  BF AB Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạngAC2=CN.CF.Nhưng ta lại có AB= AC.Do đó trở thành: AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF Từ  đpcm 4/cm MN//AC Do ADCE hbhBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)ACM=CMNMN//AC  47 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 100: Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E Chứng minh BNI cân PKEN nội tiếp Chứng minh AN.BD=AB.BN Chứng minh I trực tâm MPN IE//BC 1/C/m BNI cân Ta có sđBIN= sđ(AP+BN) sđIBN= sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt) BIN=IBNBNI cân N 2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp: A P M F E K O I B C N Vì cung AM=MBANM=MPB hay KPE=KNEHai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…đpcm 3/C/m AN.DB=AB.BN Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)đpcm 4/ Chứng minh I trực tâm MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có: sđ AFD= sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường tròn.) sđ ADF= sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường tròn.) Mà Cung AP=PC;MB=AMAFD=ADFAFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ANMP hay NA đường cao NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP C/m IE//BC.Ta có BNI cân N có NE phân giác NE đường trung trực BIEB=EIBEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIBEI//BC   Hết 48 ... c/m MN phân giác góc BMNBMEN hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN hình vuông  42 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC... chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAPENP=EPNPEN cân E  43 50 BÀI ƠN TẬP HÌNH HỌC THI THPT - ĐƯỜNG TRỊN - VIETMATHS.NET Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với... vuông.Hai tam giác vuông COM CND có góc C chung OCM~NCDCM.CN=OC.CD Từ  ta có CD=2R;OC=R.Vậy trở thành:CM.CN=2R2 không đổi.vậy tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí vị trí M 4/Do COPM hình