Đề toán lớp 10 học kì 2 (10)

ĐỀ THI HỌC KÌ - Môn TOÁN Lớp 10 Thời gian làm 90 phút Năm học 2012 – 2013 I Phần chung cho tất học sinh: (8,0 điểm) Câu I: (3,0 điểm) Giải bất phương trình sau: x − 3x − a) (3x − 9)(x − 3x + 2) > b) ≤0 c) x + > − x − 4x Câu II: (3,0 điểm) 3π a) cho sin α = − (π < α < ) Tính cos α , tan α , cot α cos 2α b) Chứng minh rằng: (1 + cot α ) sin α + (1 + tan α ) cos α = sin α + cos α (với sin α , cos α ≠ 0) Câu III: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 4), B(4; 3), C(2; 7) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh AB ∆ABC b) Viết phương trình đường tròn có tâm trọng tâm G ∆ABC qua điểm A II Phần riêng – Phần tự chọn: (2,0 điểm) A Phần 1: ( Theo chương trình Chuẩn) Câu IVa: (2,0 điểm) a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (m − 1) x − 2(m − 1) x − = b) Cho tam giác ABC có A = 60 0, AB = 5, AC = Tính cạnh BC, diện tích S, đường cao AH ∆ABC A Phần 2: ( Theo chương trình Nâng cao) Câu IVb: (2,0 điểm) a) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ R: (m − 1) x − 2(m − 1) x − ≥ b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình tắc hypebol (H), biết (H) qua hai điểm M ( 2; ) , N (−3; 4) Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2012 – 2013 Môn TOÁN Lớp 10 Câu Ý Nội dung a) • (3x − 9)(x − 3x + 2) > 1đ •Bảng xét dấu: −∞ x +∞ 3x – – | – | – + + – + | + x − 3x + VT – + – + Tập nghiệm bất phương trình là: S = ( 1; 2) b) x − 3x − ≤0 • 1đ − 4x •Bảng xét dấu: −∞ x -1 3/4 + – | – x − 3x − − 4x + | + – | VT + – || + ∪ (3; +∞ ) +∞ + – – Tập nghiệm bất phương trình là: S = [−1; ) ∪ [4; +∞) c) x + > − x ⇔ x + 20 x + 25 > 49 − 56 x + 16 x 1đ 1  ⇔ 12 x − 76 x + 24 < ⇔ x − 19 x + < ⇔ x ∈  ;6 ÷ 3  a) 2đ • cos α = ± − 25 = ± 3π ⇒ cos α < Vậy cos α = − • π < α < sin α = • tan α = cos α 4 •cot α = •cos2 α = − 2sin α = 25 b) cos α sin α VT = (1 + )sin α + (1 + ) cos3 α 1đ sin α cos α = sin α + cos α sin α + cos3 α + sin α cos α = sin α (sin α + cos α ) + cos α (sin α + cos α ) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 = sin α + cos α 0.25 a) Cho tam giác ABC với A(1; 4), B(4; 3), C(2; 7) 1đ Viết PTTQ đường thẳng chứa cạnh AB ∆ABC uuur • AB = (3; −1) r nên VTPT AB n = (1;3) pttq AB :1( x − 1) + 3( y − 4) = ⇔ x + y − 13 = b)  14  G  ; ÷ • Trọng tâm ∆ABC 1đ 3  bán kính đường tròn là: 2 20    14  R = GA = 1 − ÷ +  − ÷ = 3  3  Phương trình đường tròn tâm G qua A: 2 7  14  20  x− ÷ + y − ÷ = 3  3  4a a) 1đ (m − 1) x − 2(m − 1) x − = (*) • m = 1: (*) trở thành: – = ⇒ (*) vô nghiệm • m ≠ : (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = (m − 1)2 + (m − 1) ≥ ⇔ m(m − 1) ≥ ⇔ m ∈ ( −∞;  ∪ (1; +∞) Kêt luận: phương trình có nghiệm m ∈ ( −∞;  ∪ (1; +∞) 5b b) • BC = AB + AC − AB AC cos A 1đ = 25 + 64 − 2.5.8 = 49 ⇒ BC = 1 • S∆ ABC = AB AC sin A = 5.8 = 10 (đvdt) 2 2.S 20 • S∆ ABC = BC AH ⇒ AH = ∆ ABC = BC a) (m − 1) x − 2(m − 1) x − ≥ (*) 1đ •Với m = 1: (*) trở thành: −1 ≥ ⇒ (*) vô nghiệm m − > m > •Với m ≠ : (*) nghiệm ∀ x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ ⇔  m(m − 1) ≤   ⇒ không tồn m thỏa mãn đề b) (H) qua hai điểm M ( 2; ) , N (−3; 4) 1đ x y2 Phương trình tắc (H) có dạng: − =1 a2 b2 0.25 0.25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,5 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 Vì M ( 2; ) ∈ ( H ) ⇒ a − = ⇔ 6a − b + a b = b 16 N (−3; 4) ∈ ( H ) ⇒ − = ⇒ 16a2 − 9b2 + a2 b2 = 2 a b 2 2 6a − 4b + a b = b2 = 2a2 a2 = ⇔ ⇔ Giải hệ:    2 2 16a − 9b + a b = a = b = Kết luận phương trình (H) x y2 − =1 Hết - 0,25 0,25 0,25 ... 16a2 − 9b2 + a2 b2 = 2 a b 2 2 6a − 4b + a b = b2 = 2a2 a2 = ⇔ ⇔ Giải hệ:    2 2 16a − 9b + a b = a = b = Kết luận phương trình (H) x y2 − =1 Hết - 0 ,25 0 ,25 0 ,25 ... thỏa mãn đề b) (H) qua hai điểm M ( 2; ) , N (−3; 4) 1đ x y2 Phương trình tắc (H) có dạng: − =1 a2 b2 0 .25 0 .25 0,50 0,50 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,50 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 0,50 0,50 0 ,25 Vì M ( 2; ) ∈ (... cos α ) Điểm 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,5 0,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 = sin α + cos α 0 .25 a) Cho tam giác ABC với A(1; 4), B(4; 3), C (2; 7) 1đ Viết PTTQ đường thẳng