Đang tải... (xem toàn văn)
Mẫu latex luận văn thạc sĩ phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện đại học đà nẵng.LATEX 1 là một hệ thống soạn thảo rất phù hợp với việc tạo ra các tài liệukhoa học và toán học với chất lượng bản in rất cao. Đồng thời, nó cũng rấtphù hợp với các công việc soạn thảo các tài liệu khác từ thư từ cho đến nhữngcuốn sách hoàn chỉnh. LATEX sử dụng TEX 2 làm bộ máy định dạng.
\documentclass[12pt,a4paper,oneside,openright]{book} \usepackage{float} \usepackage{longtable} \usepackage{tocloft} \usepackage[utf8]{vietnam} \usepackage{pdfpages} \usepackage{indentfirst} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,fancyhdr} \usepackage{amsthm,amsxtra,latexsym, amscd} \usepackage[top=3.5cm, bottom=2.5cm, left=3.5cm, right=2.0cm] {geometry} \usepackage[unicode]{hyperref} \usepackage{titlesec} \usepackage{titletoc} \usepackage{boxedminipage,fancybox} \usepackage{makecell} \usepackage{multirow} \usepackage{diagbox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tikz} \usepackage{subfig} \usepackage[english]{babel} \usepackage{lipsum} %.Định dạng lại chapter,section,subsection,subsubsection \def\chaptertitlename{\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont{CHƯƠNG}} \titleformat{\chapter}[display] {\vspace{-2cm}\normalfont\Large\filcenter\bfseries} {{{\chaptertitlename\,}\thechapter}} {0pc}{{}\MakeUppercase} % \titleformat{\section}{\bfseries}{}{0pt}{\thesection.\,} \titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{}{0pt}{\hspace{1.2cm}\thesubsection.\,} \setcounter{secnumdepth}{3} \renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection}} \titleformat{\subsubsection}{\large\bfseries\itshape}{}{0pt}{\hspace{2cm}\thesubsubsection.\,} % \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}%Danh lai so thu tu \renewcommand{\labelenumi}{\theenumi )}%Danh lai so thu tu \renewcommand{\theequation}{\thechapter.\arabic{equation}}% Danh lai so cong thuc toan \newcommand*\circled[1]{\tikz[baseline=(char.base)]{ \node[shape=circle,draw,inner sep=1pt] (char) {#1};}} \numberwithin{subsection}{section} \newtheoremstyle{theorem}% name {0pt}% Space above {0pt}% Space below {\it}% Body font {}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent) {\bfseries}% Thm head font {.}% Punctuation after thm head {.5em}% Space after thm head: " " = normal interword space; % \newline = linebreak {}% % Định dạng mục lục \titlecontents{chapter} [0cm] % left margin {\addvspace{-14pt}} {% % above code % numbered format \bfseries{CHƯƠNG \thecontentslabel.\,}% }% {} % unnumbered format {\dotfill\bfseries\thecontentspage\newline} \titlecontents*{section} [0cm] % left margin {\addvspace{-14pt}} {% % above code % numbered format \small{\thecontentslabel }% }% {} % unnumbered format { \dotfill\thecontentspage\newline} \titlecontents*{subsection} [0cm] {} {% % left margin % above code % numbered format {\hspace{1.2cm}\thecontentslabel }% }% {} % unnumbered format { \dotfill\thecontentspage\newline} \theoremstyle{theorem} \newtheorem{theorem}{Định lí}[section] \newtheorem{dl}[theorem]{Định lí} \newtheorem{hq}[theorem]{Hệ quả} \newtheorem{corollary}[theorem]{Hệ quả} \newtheorem{problem}{Bài tốn} \newtheorem{main}{Định lý bản} \newtheorem{bd}[theorem]{Bổ đề} \newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề} \newtheorem{md}[theorem]{Mệnh đề} \newtheorem{proposition}[theorem]{Mệnh đề} \newtheorem{theorem1}{Tính chất}[chapter] \newtheorem{tc}[theorem1]{Tính chất} \newtheoremstyle{definition}% name {4pt}% Space above {4pt}% Space below {}% Body font {}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent) {\bfseries}% Thm head font {.}% Punctuation after thm head {.5em}% % Space after thm head: " " = normal interword space; \newline = linebreak {}% \theoremstyle{definition} \newtheorem{dn}[theorem]{Định nghĩa} \newtheorem{definition}[theorem]{Định nghĩa} \newtheorem{note}[theorem]{\bf Chú ý} \newtheorem{vd}[theorem]{\bf Ví dụ} \newtheorem{example}[theorem]{Ví dụ} \newtheorem{nx}[theorem]{\bf Nhận xét} \newtheorem{remark}[theorem]{Nhận xét} \begin{document} \addtocontents{toc}{\protect{\pdfbookmark[0]{MỤC LỤC}{toc}}} %Thêm mục lục vào bookmark \fontsize{14pt}{14pt}\selectfont% Chon cỡ font \setlength{\baselineskip}{21pt}%Dãn dịng 1,5=21/14 %khoảng cách phía cơng thức tốn \setlength{\belowdisplayskip}{2pt} %khoảng cách phía cơng thức tốn \setlength{\parskip}{4pt}% khoảng cách paragrap \titlespacing*{\section}{0pt}{0pt}{0pt} \titlespacing*{\subsection}{0pt}{0pt}{0pt} % -%Dinh nghia viet tat \newcommand{\x}{\mathbf{x}} \newcommand{\z}{\mathbf{z}} %\def\en{\enskip\enskip} \renewcommand{\contentsname}{\centerline{\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont{ MỤC LỤC}}} \makeatletter\renewcommand{\ps@plain}{ \renewcommand{\@oddhead}{} \renewcommand{\@evenhead}{} \renewcommand{\@oddfoot}{} \renewcommand{\@evenfoot}{} } \makeatother % -Bìa -\font\td=t5-lmb10 at 14pt \setlength{\fboxsep}{1pt} \begin{boxedminipage}[t]{15.5cm} \begin{boxedminipage}[t]{15.4cm} \begin{titlepage} \begin{center} \vspace{0.5cm} {\bf ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG}\\ {\bf TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM}\\ {\textbf{ }} \end{center} \vspace{2cm} \begin{center} \bf {\td ĐINH THỊ H} \end{center} \vspace{3cm} \begin{center} \Large\bfseries\MakeUppercase{PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN} \end{center} \vspace{3cm} \begin{center} {\bf {LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC}} \end{center} \vspace{4cm} \vfill \begin{center} {\bf ĐÀ NẴNG - NĂM 2018} \end{center} \end{titlepage} \end{boxedminipage} \end{boxedminipage} % -Bìa -\newpage \font\td=t5-lmb10 at 14pt \setlength{\fboxsep}{1pt} \begin{boxedminipage}[t]{15.5cm} \begin{boxedminipage}[t]{15.4cm} \begin{titlepage} \begin{center} \vspace{0.5cm} {\bf ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG}\\ {\bf TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM }\\ {\textbf{ }} \end{center} \vspace{2cm} \begin{center} \bf ĐINH THỊ H \end{center} \vspace{0.6cm} \begin{center} \Large\bfseries\MakeUppercase{PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN} \end{center} \vspace{0.5cm} \begin{center} Chun ngành: Tốn giải tích\\ Mã số: 8.46.01.02 \end{center} \vspace{2cm} \begin{center} {\bf {LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC}} \end{center} \vspace{1.5cm} \begin{center} \bf Người hướng dẫn khoa học:\\ TS Phan A \end{center} \vspace{2.5cm} \vfill \begin{center} {\bf ĐÀ NẴNG - NĂM 2018} \end{center} \end{titlepage} \end{boxedminipage} \end{boxedminipage} \newpage \chapter*{DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU} \thispagestyle{empty} \baselineskip 21pt \begin{center} \begin{tabular}{ l l l} \hline \textbf{Ký hiệu} & \textbf{Tên tiếng Anh}& \textbf{Ý nghĩa}\\ \hline $\mathbb{R}^n$ & n-dimensional vectors & không gian vector n chiều\\ $\lambda_i$ & real eigenvalues & giá trị riêng thực\\ $e_i$ & real eigenvectors & vector riêng thực\\ $|\cdot|$ & standard Euclidean norm & chuẩn Euclide\\ $\partial f(x)/\partial x_i$ & partial derivative & đạo hàm riêng theo biến $x_i$\\ $\nabla$ & gradient & gradient\\ $\phi$ & implicit function & hàm ẩn\\ $x^*$ & local minimum & cực tiểu địa phương\\ $L(x,\lambda)$ & Lagrange function & hàm số Lagrange\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{equation} Lấy $\mu^*_0 = 0$ sử dụng $g_0(x) \triangleq 0$, ta thấy từ điều kiện suy $\{0,\{\mu^*_j| j \in J\}\}$ thỏa mãn điều kiện K-T (QP)$_0(x^*,H,J)$ Tương tự, viết điều kiện $\{0,\{\mu^*_j|j \in J\}\}$ cặp K-T (QP)$_0(x^*,H,J)$, suy (\ref{eq3023}) (\ref{eq3024}) $\blacksquare$ \begin{md} \label{md35} Nếu $\{d,\{\mu_j | \forall j \in J \}\}$ cặp K-T (QP)$_0(x^*,H,J)$ \begin{equation*} c \ge \sum_{\substack{j \in J \\ j \ne 0}} \mu_j, \end{equation*} \noindent $\{d, \xi = 0, \{\bar{\mu}_j | \forall j \in \bar{J}\}\}$ cặp K-T (QP) $_0(x^*,H,\bar{J})$ $$\bar{J} = J \cup \{0\}, \; \bar{\mu}_j = \mu_j, \; \forall j \in \bar{J}, \; j \ne 0, \; \bar{\mu}_0 = c \sum_{\substack{j \in J \\ j \ne 0}} \mu_j.$$ \end{md} \textbf{Chứng minh:} Từ giả thiết ta suy $$\nabla f(x) + \sum\limits_{j \in J}\mu_j\nabla g_j(x) + Hd = 0, \; g_j(x) + \nabla g_j(x)'d \le 0, \; \forall j \in J,$$ $$\mu_j \ge 0, \; \mu_j[g_j(x) + \nabla g_j(x)'d] = 0, \forall j \in J.$$ Sử dụng định nghĩa $\bar{J}, \bar{\mu}_j$ thực tế $g_0(x) \triangleq 0$, ta thấy từ có mối quan hệ suy $$\nabla f(x) + \sum\limits_{j \in J}\bar{\mu}_j\nabla g_j(x) + Hd = 0, \; c = \sum\limits_{j \in J}\bar{\mu}_j,$$ $$g_j(x) + \nabla g_j(x)'d \le 0, \; \forall j \in \bar{J},$$ $$\bar{\mu}_j \ge 0, \; \bar{\mu}_j[g_j(x) + \nabla g_j(x)'d] = 0, \; \forall j \in \bar{J}.$$ Đây điều kiện K-T $\{d, \xi = 0, \{\bar{\mu}_j|j \in \bar{J}\}\}$ liên quan với (QP) $_c(x,H,\bar{J})$ $\blacksquare$ \begin{md} \label{md36} Nếu $\{x^*, (\mu^*_1, ,\mu^*_r) \}$ cặp K-T (ICP), $x^*$ gọi điểm tới hạn $f + cP$ với $c$ thỏa mãn: \begin{equation*} c \ge \sum_{j = 1}^{r} \mu^*_j \end{equation*} \end{md} \textbf{Chứng minh:} Theo Mệnh đề \ref{md34}, tồn $\mu^*_0 \le 0$, cho $\{d^* = 0, (\mu^*_0, \mu^*_1, ,\mu^*_r)\}$ cặp K-T (QP)$_0(x^*, H, \{0,1, ,r\})$ Từ Mệnh đề \ref{md35}, $c \le \sum\limits_{j=1}^{r}\mu^*_j$, $\{d^* = 0, \xi^* = 0\}$ nghiệm tối ưu (QP)$_c(x^*,H,\ {0,1, ,r\})$ Theo Mệnh đề \ref{md33}, $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ $\blacksquare$ \begin{bd} \label{bd38} Nếu $X$ tập compact, với $x \in X$ tồn vector $\bar{\mu}(x) = [\bar{\mu}_1(x), ,\bar{\mu}_r(x)]$ cực tiểu $\mu = (\mu_1, ,\mu_r)$ hàm số \begin{equation} \label{eq325} q_x(\mu) = | \nabla f(x) + \sum_{j=1}^{r} \mu_j \nabla g_j(x)|^2 + \sum_{j=1}^{r}[P(x) - g_j(x)]^2 \mu^2_j \end{equation} Hàm $\bar{\mu}(.)$ liên tục $X$, $(x^*,\mu^*)$ cặp K-T (ICP) với $x^* \in X$, \begin{equation*} \bar{\mu}(x^*) = \mu^* \end{equation*} \end{bd} \textbf{Chứng minh:} Để thấy tính vector cực tiểu phương trình (\ref{eq325}), dạng bậc hai $q_x(\mu)$ \begin{equation*} |\sum_{j=1}^{r} \mu_j \nabla g_j(x)|^2 + \sum_{j=1}^{r}[P(x) - g_j(x)]^2\mu^2_j, \end{equation*} \noindent trừ $\mu = 0$ Thật vậy, dạng 0, $\mu_j = 0$, $\forall j = 1, ,r$ với $P(x) > g_j(x)$ đồng thời $ \sum_{j=1}^{r}\mu_j \nabla g_j(x) =0$ Vì \begin{equation*} \sum_{\substack{1 \le j \le r\\ j \in J(x)}} \mu_j \nabla g_j(x) = \end{equation*} Vì $\{\nabla g_j(x) |\ j \in J(x)\}$ tập độc lập tuyến tính theo giả thuyết điều cho thấy $\mu_j =0$ với $j$ với $g_j(x) = P(x)$ Vì $\mu =0$ Tính liên tục $\bar{\mu}$ theo sau tính liên tục $\nabla f, \nabla g_j$, $P$ Nếu $(x^*, \mu^*) $ cặp K-T (ICP), $q_{x^*}(\mu^*) = 0$ Vì $\mu^*$ cực tiểu $q_{x^*}(\cdot)$ cho thấy $\mu^* = \bar{\mu}(x^*)$ $\blacksquare$ \begin{md} \label{md37} Cho $X \subset \mathbb{R}^n$ tập compact cho, với $x \in X$, tập gradient \begin{equation*} \{\nabla g_j(x) | \ j \in J(x) \}, \end{equation*} \noindent độc lập tuyến tính Khi tồn số thực $c^* \ge 0$ cho với $c > c^*$: \begin{itemize} \item[a)] Nếu $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ $x^*\in X$, tồn $\mu^* \in \mathbb{R}^r$ cho $(x^*,\mu^*)$ cặp K-T (ICP) \item[b)] Nếu $(x^*,\mu^*)$ cặp K-T (ICP) $x^* \in X$, $x^*$ điểm tớn hạn $f + cP$ \end{itemize} \end{md} \textbf{Chứng minh:} Giả sử \begin{equation*} c^* = \max\limits_{x \in X} \sum_{j = 1}^{r} \bar{\mu}_j(x), \end{equation*} \noindent phương trình đạt cực đại theo giả thuyết $X$ tập compact $\bar{\mu}_j(.)$ liên tục theo Bổ đề \ref{bd38} (a) Nếu $x^* \in X$ điểm tới hạn $f + cP$, theo Mệnh đề \ref{md33}, $\{d = 0, \xi = P(x^*)\}$ nghiệm tối ưu (QP)$_c(x^*,H,\{0,1, ,r\})$ Vì vậy, tồn $\mu^*_0, \mu^*_1, ,\mu^*_r$ cho \begin{equation} \label{eq326} \nabla f(x^*) + \sum_{j=0}^{r} \mu^*_j \nabla g_j(x^*) = 0, \; c = \sum_{j=0}^{r}\mu^*_j, \end{equation} \begin{equation} \label{eq327} \mu^*_j \ge 0, \; \mu^*_j[g_j(x^*) - P(x^*)] = 0, \; \forall j = 0,1, ,r \end{equation} Vì $g_0(x) \triangleq 0$, ta được: \begin{equation*} \nabla f(x^*) + \sum_{j=1}^{r}\mu^*_j \nabla g_j(x^*) = 0, \; \mu^*_j[g_j(x^*) - P(x^*)] = 0, \; \forall j = 1, ,r \end{equation*} Sử dụng phương trình Bổ đề \ref{bd38}, $\mu^*_j = \bar{\mu}_j(x^*)$ với $j = 1, ,r$ Nếu $c > c^*$, ta có \begin{equation*} \mu^*_0 = c - \sum_{j=1}^{r}\mu^*_j = c - \sum_{j=1}^{r}\bar{\mu}_j(x^*) \ge c - c^* > \end{equation*} Vì $0 = \mu^*_0[g_0(x^*) - P(x^*)] = -\mu^*_0P(x^*)$, $P(x^*) = 0$ $x^*$ thực cho tốn (ICP) Khi từ phương trình (\ref{eq326}) (\ref{eq327}), $\{x^*, (\mu^*_1, ,\mu^*_r)\}$ cặp K-T cho (ICP) (b) Nếu $(x^*, \mu^*)$ cặp K-T cho (ICP) $x^* \in X$, theo Bổ đề \ref{bd38}, ta có $\mu^* = \mu(x^*)$ Nếu $c > c^*$ $$c > \sum_{j=1}^{r} \mu^*_j,$$ \noindent sử dụng Mệnh đề \ref{md36}, ta $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ $\blacksquare$ Hai mệnh đề tương tự Mệnh đề 3.1.7 sử dụng giả thiết lồi vị trí giả định độc lập tuyến tính \begin{bd} \label{bd310} Giả sử $X \subset \mathbb{R}^*$ tập thỏa mãn với $x \in \mathbb{R}$ hệ bất phương trình $d$ \begin{equation*} g_j(x) + \nabla g_j(x)'d \le 0, \; \forall j \in J(x), \end{equation*} \noindent có nghiệm Cố định $H > 0$, giả sử tồn số thực $c \ge 0$ có tính chất sau: Với $x \in X$, (QP)$_0(x,H,J(x))$ có tập nhân tử Lagrange \begin{equation*} \{\mu_j(x) | \forall j \in J(x) \}, \end{equation*} \noindent thỏa mãn \begin{equation*} c^* \ge \sum_{j\in J(x)}\mu_j(x) \end{equation*} Khi với $c > c^*$, ta có: \begin{itemize} \item[(a)] Nếu $x^* \in X$ điểm tới hạn $f + cP$ $x^* \in X$, tồn $\mu^* \in \mathbb{R}^r$ cho $(x^*, \mu^*)$ cặp K-T cho (ICP) \item[(b)] Nếu $(x^*, \mu^*)$ cặp K-T cho (ICP) $x^* \in X$, $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ \end{itemize} \end{bd} \textbf{Chứng minh:} a) Giả sử $x^*\in X$ điểm tới hạn Đặt $\{d^*, \{\mu_j(x^*)|j \in J(x^*)\}\}$ tương ứng cặp K-T (QP)$_0(x^*,H,J(x^*))$ Đặt $c > c^*$, $c > \sum\limits_{j \in J(x^*)}\mu_j(x^*)$, từ Mệnh đề \ref{md35} $\{d^*, \xi = 0\}$ nghiệm tối ưu (QP)$_c(x^*,H,J(x^*))$ Vì $x^*$ điểm tới hạn, Mệnh đề \ref{md33} cho thấy $$d^* = 0, \; P(x^*) = 0.$$ Từ Mệnh đề \ref{md34}, $\{x^*, (\mu^*_1, ,\mu^*_r)\}$, \begin{equation*} \mu^*_j = \left \{ \begin{array}{ll} \mu_j(x^*) \qquad \textrm{với} \; j \in J(x^*), \; j \ne 0, \\ \qquad \textrm{với} \; j \ne J(x^*), \; j \ne \end{array} \right \end{equation*} cặp K-T (ICP) b) Giả sử $\{x^*, (\mu^*_1, ,\mu^*_r)\}$ cặp K-T (ICP) $x^* \in X$ Khi theo Mệnh đề \ref{md34}, $d^* = 0$ nghiệm tối ưu (QP)$_0(x^*,H,J(x^*))$ Giả sử $\mu_j(x^*)$ nhân tử Lagrange thỏa mãn $c^* \ge \sum\limits_{j \in J(x^*)}\mu_j(x^*)$ theo giả thiết Từ Mệnh đề \ref{md35} $\{d^* = 0, \xi^* = 0\}$ nghiệm tối ưu (QP)$_c(x^*,H,J(x^*))$ với $c \ge c^*$ Sử dụng Mệnh đề \ref{md33}, ta có $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ với $c \ge c^*$ $\blacksquare$ \begin{md} \label{md39} Giả sử $g_1, ,g_r$ lồi $\mathbb{R}^n$ tồn vector $\bar{x}$ cho: \begin{equation*} g_j(\bar{x}) < 0, \forall j = 1, ,r \end{equation*} Khi với tập compact $X$, tồn số thực $c^* > 0$ cho với $c > c^*$: \begin{itemize} \item[(a)] Nếu $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ $x^* \in X$, tồn $\mu^* \in \mathbb{R}^r$ cho $(x^*, \mu^*)$ cặp K-T cho (ICP) \item[(b)] Nếu $(x^*, \mu^*)$ cặp K-T cho (ICP) $x^* \in X$, $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ \end{itemize} \end{md} \textbf{Chứng minh:} Cố định $H > 0$, theo tính lồi $g_j$, ta có $$g_j(x) + \nabla g_j(x)'(\bar{x} - x) \le g_j(\bar{x}) < 0, \; \forall x \in \mathbb{R}^n, \; j = 1, ,r.$$ Do với $x \in \mathbb{R}^n$, (QP)$_0(x,H,J(x))$ có $\bar{d} = (\bar{x} - x)$ nghiệm xác định Giả sử $d(x)$ nghiệm tối ưu $\{\mu_j(x)|j \in J(x)\}$ tập nhân tử Lagrange tương ứng Ta có $d(x)$ cực tiểu $$\nabla f(x)'d + \frac{1}{2}d'Hd + \sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x)[g_j(x) + \nabla g_j(x)'d]$$ với $d$, $$\mu_j(x)[g_j(x) + \nabla g_j(x)'d(x)] = 0, \; \forall j \in J(x).$$ Do \begin{align}\label{eq3028} \begin{split} &\nabla f(x)'d(x) + \frac{1}{2}d(x)'Hd(x)\\ &\le \nabla f(x)'(\bar{x} - x) + \frac{1}{2}(\bar{x} - x)'H(\bar{x} - x)\\ &+ \sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x)[g_j(x) + \nabla g_j(x)'(\bar{x} - x)]\\ &\le \nabla f(x)'(\bar{x} - x) + \frac{1}{2}(\bar{x} - x)H(\bar{x} - x) + \sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x)g_j(\bar{x})\\ &\le \nabla f(x)'(\bar{x} - x) + \frac{1}{2}(\bar{x} - x)'H(\bar{x} - x) - b\sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x), \end{split} \end{align} $$b = \min\{-g_j(\bar{x})|j = 1, ,r\} > 0$$ Ta có \begin{align}\label{eq3029} \begin{split} \le \frac{1}{2}|H^{-1/2}\nabla f(x) + H^{1/2}d(x)|^2 &= \frac{1}{2}\nabla f(x)'H^{-1}\nabla f(x)\\ & + \nabla f(x)'d(x)\\ & + \frac{1}{2}d(x)'Hd(x) \end{split} \end{align} Kết hợp (\ref{eq3028}) (\ref{eq3029}), ta có $$\sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x) \le c(x), \; \forall x \in \mathbb{R}^n,$$ $$c(x) = [\frac{1}{2}\nabla f(x)'H^{-1}\nabla f(x) + \nabla f(x)'(\bar{x} - x) + \frac{1}{2}(\bar{x} x)'H(\bar{x} - x)]/b.$$ Cho tập compact $X$ cố định $H > 0$, xác định $$c^* = \max\limits_{x \in X} c(x),$$ ý $$c^* \ge c(x) \ge \sum\limits_{j \in J(x)}\mu_j(x), \; \forall x \in X.$$ $\blacksquare$ \begin{md} \label{md311} Giả sử $f, g_1, ,g_r$ hàm lồi $\mathbb{R}^n$ (ICP) có vector nhân tử Lagrange $\mu^* = (\mu^*_1, ,\mu^*_r)$, theo nghĩa $\mu^*_j \ge 0, \; \forall j = 1, ,r$, \begin{equation*} \inf\limits_{x\in \mathbb{R}^n} \{f(x) + \mu^{*'}g(x) \} = \inf\limits_{g(x) \le 0}f(x) \end{equation*} \end{md} Khi đó, với $c > \sum_{j=1}^{r}\mu^*_j$, vector $x^*$ cực tiểu toàn cục $f + cP$ $x^*$ cực tiểu toàn cục (ICP) \begin{vd} \label{vd31} Cho $n = 2, r = 1$, với $x = (x_1,x_2)$, $f(x) = (x_1-1)^2 + x^2_2, \; g_1(x) = x^2_1$ Trong đó, $f$ $g_1$ hàm lồi (ICP) có nghiệm tối ưu $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = \}$ Xét hàm số: \begin{align} \begin{split} f(x) + cP(x)&=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 + c\max\{0,x^2_1 \} \\ &=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 +cx^2_1 \end{split} \end{align} Với số thực $c > 0$, hàm số có điểm tới hạn $\{x_1(c),x_2(c) \}$ \begin{equation*} x_1(c) = 1/(1 + c), \; x_2(c) = \end{equation*} \end{vd} Như nghiệm tối ưu $\{x^*_1 = 0,x^*_2 = \}$ (ICP) không điểm tới hạn $f + cP$ với số thực $c > 0$ dương Ngược lại, không điểm số điểm tới hạn $\{x_1(c), x_2(c) \}, \; c > 0$ nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = \}$ khơng điểm quy $[\nabla g_1(x^*) = 0]$, xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng $\mu^*_1$ Như Mệnh đề \ref{md37} áp dụng cho tập compact chứa $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = \}$, giả thiết Mệnh đề \ref{md311} bị vi phạm Bởi khơng tồn $\bar{x}$ cho $g_1(\bar{x}) < 0$, giả thiết Mệnh đề \ref{md39} bị vi phạm \begin{vd} \label{vd32} Cho $n = 1, r = 2$, với $x$ \begin{equation*} f(x) = 0, \; g_1(x) = -x, \; g_2(x) = - x^2 \end{equation*} Hàm số $P(x)$ có dạng: \begin{equation*} P(x) = \max\{0, -x, - x^2 \}, \end{equation*} \end{vd} Vì $f(x) \triangleq 0$ điểm tới hạn $f + cP$ không phụ thuộc vào $c$ Chúng \begin{equation*} x = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5}), \; x = 0, \; \le x \end{equation*} Trong số này, có $x \ge 1$ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề \ref{md37} áp dụng cho điểm với $c^* = 0$ Các điểm tới hạn $\frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$ $0$ khơng bao hàm Mệnh đề \ref{md37} tập tương ứng gradient $\{\nabla g_j(x) | g_j(x) = P(x), \; j = 1,2 \}$ phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề \ref{md39} \ref{md311} khơng áp dụng $g_2$ hàm khơng lồi %Ví dụ minhh họa dạng khó khăn khơng thể tránh khỏi cố gắng để giải (ICP) cực tiểu $f + cP$ Phương pháp cực tiểu bị thu hút mức tối thiểu tồn cục khơng thể đạt $\frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$ giá trị bắt đầu gần giá trị độc lập Tình tương tự xảy liên quan với phương pháp hàm phạt bậc hai %\section{Sự mở rộng tốn hỗn hợp cực trị có điều kiện} %Xét tốn cực trị có điều kiện sau: % %$$ %\left \{ \begin{array}{ll} %min \; f(x)\\ %h(x) = 0\\ %g(x) \le %\end{array} \right %$$ % %\begin{md} %Cho $X \subset \mathbb{R}^n$ tập compact cho với $x \in X$ tập gradient %$$\{\nabla g_j(x), \nabla h_i(x) | j \in J(x), j \ne 0, i \in I(x) \},$$ %\noindent độc lập tuyến tính Tồn số thực $c^* \ge 0$ cho với $c > c^*$: % %\begin{itemize} %\item[(a)] Nếu $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ $x^* \in X$, tồn $\mu^* \in \mathbb{R}^r$ $\lambda^* \in \mathbb{R}^m$ cho $(x^*, \mu^*, \lambda^*)$ ba K-T cho (NLP) %\item[(b)] Nếu $(x^*, \mu^*, \lambda^*)$ ba (NLP) $x^* \in X$, $x^*$ điểm tới hạn $f + cP$ %\end{itemize} %\end{md} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%dang gan nhan %%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \chapter*{KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ } \addcontentsline{toc}{chapter}{\bfseries{Kết luận}} Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu từ số tài liệu tác giả hoàn thành luận văn thu kết sau: - Luận văn hệ thống số kết quan trọng không gian tôpô Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình mở rộng chuỗi Taylor - Luận văn nghiên cứu tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình, trình bày phương pháp hàm phạt để giải toán Đề tài dự kiến đóng góp phần nhỏ vào việc giải tốn cực trị có điều kiện cho phương trình bất phương trình Trong tương lai, nghiên cứu áp dụng rộng rãi mở rộng phạm vi nghiên cứu nhiều toán phức tạp khác \newpage % -Tài liệu tham khảo % \pagenumbering{roman} %\setcounter{page}{2} \renewcommand{\bibname}{\centerline{\fontsize{16pt}{16pt}\selectfont{ TÀI LIỆU THAM KHẢO}}} \begin{thebibliography}{99} \addcontentsline{toc}{chapter}{\bf TÀI LIỆU THAM KHẢO} \vspace{-1.0cm} % \leftline{\bf{Tiếng Việt}} %\bibitem{tuyen3} %Luận văn Phạm Thị Thu Thuận (20 ), \textit{Bài toán cực trị ứng dụng}, Đại học Đà Nẵng %\leftline{\bf{Tiếng Anh}} %Chiristopher \bibitem[1]{David} David G Luenberger (1973), \emph{Introduction to Linear and Nonlinear Programming}, Addison Wesley Publishing Company \bibitem[2]{Dimitri} Dimitri P.~Bertsekas (1996), \textit{Constrained Optimization and Lagrange multiplier methods}, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts \bibitem[3]{Gateaux} Daryoush Behmardi and Encyeh Dehgha Nayeri (2008), ``Introduction of Fréchet and Gâteaux Derivation'', \textit{Applied Mathematical Science}, Vol 2, no 20, 975-980 %\bibitem{Choban1} %Özgür Yeniay (2005), ``Penalty function methods for constrained optimization with genetic alorithms'', \textit{Mathematical and Computational Applications}, Vol 10, No 1, pp 45-56 \end{thebibliography} \end{document} ... cực trị có điều kiện cho bất phương trình thành tốn bao gồm cực trị có điều kiện cho phương trình sử dụng kết tốn cực trị có điều kiện cho phương trình để tính tốn điều kiện cần thiết, điều kiện. .. vspace{0.3cm} Phương pháp hàm phạt phương pháp dùng để tìm nghiệm cho tốn cực trị có điều kiện Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải toán cực trị có điều kiện thơng qua việc giải tốn cực trị tự Các loại hàm. .. tốn cực trị có điều kiện, phương pháp hàm phạt để giải tốn đó; đồng ý hướng dẫn thầy giáo TS Phạm Quý Mười, em chọn đề tài: “emph {Phương pháp hàm phạt cho tốn cực trị có điều kiện} ” cho luận văn