CHUYEN DE TOAN 12 LUYEN THI CAO DANG DAI HOC 2012 2013

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y  f x  ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M  x0 ; y0    C   Tính đạo hàm giá trị f '  x0   Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0  x  x0   y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k  Giải phương trình: f '  x   k , tìm nghiệm x0  y0  Phương trình tiếp tuyến dạng: y  k  x  x0   y0 Chú ý: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  , đó:  Nếu d //   d  : y  ax  b  hệ số góc k = a  Nếu d     d  : y  ax  b  hệ số góc k   a Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A  xA ; y A    C   Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k,  d  : y  k  x  xA   y A   f  x   k  x  xA   y A  Điều kiện tiếp xúc  d   C  hệ phương trình sau phải có nghiệm:    f ' x  k Tổng quát: Cho hai đường cong  C  : y  f  x   C ' : y  g  x  Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với  f  x   g  x  hệ sau có nghiệm   f '  x   g '  x  Cho hàm số y  x  x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến  (C): i Tại điểm có hoành độ x  ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x  y  2009  iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d2 : x  24 y  2009  Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x +  x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt  g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác  m  g  m      m  2   g  0    S  xB  xC  m Vì xB , xC nghiệm g(x) =    P  xB xC  Tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với nên ta có: f   xC  f   xB   1  xB xC  3xB  2m   3xC  2m   1  xB xC 9 xB xC  6m  xB  xC   4m2   1  9  6m  m   4m2   1  2m2  10  m   (nhận so với điều kiện) Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com 2x (ĐH KhốiD 2007) x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB   ĐS: M   ; 2  M 1;1   m Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y  x3  x  (*) (m tham số) (ĐH KhốiD 2005) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng 5x  y  ĐS: m=4 Cho hàm số y  x  3mx  x  3m  Cm  Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y  x  x3   m  1 x  x  m Cm  Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y  Cho đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x  Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  x  Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x  Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 10 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) Lời giải: y f(x)=4x^3-6x^2+1 a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ =  x = hay x = BBT : x y' y  +  0 CĐ  -7 + + -6 CT x -5 + -4 -3 -2 -1 1 b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – -2 Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) –  4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) -4  x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – =   15  x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; y '    4 15 21 -6 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y  f x  ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ:  Nghiệm phương trình f '  x   hoành độ điểm cực trị Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com  f  Nếu   f  f  Nếu   f '  x0   ''  x0   '  x0   ''  x0   hàm số đạt cực đại x  x0 hàm số đạt cực tiểu x  x0 Một số dạng tập cực trị thường gặp  Để hàm số y  f  x  có cực trị  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trục hoành  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trục tung  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trục hoành  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trục hoành  Để hàm số y  f  x  có cực trị tiếp xúc với trục hoành a    y '   yCĐ yCT   xCĐ xCT   yCĐ  yCT    yCĐ yCT   yCĐ  yCT    yCĐ yCT   yCĐ yCT  Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y  ax3  bx2  cx  d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị 1 Cho hàm số y  x3  mx   m   x  Định m để: a Hàm số có cực trị b Có cực trị khoảng  0;   c Có hai cực trị khoảng  0;     Định m để hàm số y  x3  3mx  m2  x  b2  4ac đạt cực đại x = 3 Cho hàm số y = x -3x +3mx+3m+4 a Khảo sát hàm số m = b Định m để hàm số cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y  x3  3mx2  x  3m  Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Cho hàm số y  x3  1  2m  x2    m  x  m  Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 1 Cho hàm số y  x3  mx   2m  1 x  m   Cm  Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương ĐS: m  4    Cho hàm số y   x3  3x  m2  x  3m2  (1), m tham số (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ ĐS : b m   Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com   Cho hàm số y  mx  m2  x  10 (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH KhốiB năm 2002)  m  3 b ĐS :  0  m  Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y  f x  có tập xác định miền D  f(x) đồng biến D  f ' x   , x  D  f(x) nghịch biến D  f ' x   , x  D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f  x   ax  bx  c Nếu   f(x) dấu với a b b Nếu   f(x) có nghiệm x   f(x) dấu với a x   2a 2a Nếu   f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số       * x1  x2    P  *  x1  x2   P  S  S    Cho hàm số y  x   m  1 x   m  1 x  Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng  2;   * x1   x2  P  Cho hàm số y  x3   2m  1 x  12m  5 x  a Định m để hàm số đồng biến khoảng  2;   b Định m để hàm số nghịch biến khoảng  ; 1 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm  (C1) (C2) điểm chung (1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1  (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2   b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x   2m   Cho hàm số y  x3  kx  a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3  kx2   có nghiệm Cho hàm số y  x3  3x  (ĐH KhốiD 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m  , m  24 4 Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m tham số) (ĐH KhốiA 2002) a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 1  k  ĐS: b  , c y  x  m2  m k   k   Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB   xB  xA 2   yB  y A 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  điểm M(x0;y0) Ax0  By0  C d  M ,.   A2  B Cho hàm số y  x3  3mx2  3x  3m   Cm  Định m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé 2x  2 Cho hàm số  C  : y  Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x 1 2x  Cho hàm số  C  : y  Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ x 1 Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y  mx  (*) (m tham số) (ĐH KhốiA 2005) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y  f  x, m  ta đưa dạng F  x, y   mG  x, y  Khi tọa độ điểm cố định có nghiệm  F  x, y   hệ phương trình  G  x, y   Cho hàm số y  x3   m  1 x  3mx  Cm  Chứng minh  Cm  qua hai điểm cố định m thay đổi Cho hàm số  Cm  : y  1  2m x4  3mx2   m  1 Tìm điểm cố định họ đồ thị Chứng minh đồ thị hàm số y   m  3 x3   m  3 x   6m  1 x  m  Cm  qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y (x^3-2x^2-0.5) y  f  x  có đồ thị (C “) y  f  x  có đồ thị (C’) y = f(x) có đồ thị (C) y  f  x   0, x  D Do ta phải y  f  x  có f   x   f  x  , giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên x  D nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 (C) y (C') (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  x2  12 x  b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x  x  12 x  m f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x) y 4 2 (ĐH Khối A2006) y x -6 -16 -4 a -14 -2 -12 -10 -8 x -6 -4 -2 -2 -2 -4 -4 Trang -6 -6 ĐS: b 4