TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC BIÊN SOẠN: NGUYỄN CƠNG NHỰT PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHUN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC  0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com CHUN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số • Tìm tập xác đònh hàm số • Xét biến thiên hàm số: + Tính y′ + Tìm điểm đạo hàm y′ không xác đònh + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò hàm số • Vẽ đồ thò hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thò (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y′′ – Tìm điểm y′′ = xét dấu y′′ + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thò + Xác đònh số điểm đặc biệt đồ thò giao điểm đồ thò với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thò để vẽ xác + Nhận xét đồ thò: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thò Một số ví dụ khảo sát hàm số thường gặp: Dạng 1: Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y = x − 3x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: • D=R • y' = 3x − x • Cho x = y' = ⇔ 3x − x = ⇒  x = lim y = −∞; lim y = +∞ • • x → −∞ x → +∞ BBT (2;+∞) (−∞;0) • Vậy: hs tăng (0;2) Hs giảm Đồ thị: Hs đạt cực đại (0;2), cực tiểu (2;-2) y' ' = x − • Cho y' ' = ⇔ x − = ⇒ x = ⇒ y = Vậy hs nhận điểm n I(1;0) làm tâm đối xứng Cho x = −1 ⇒ y = −2; x = ⇒ y = Dạng2: Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (a ≠ 0) y = −x + 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: • D=R • y ' = −4 x + x • Cho y ' = ⇔ −4 x + x = x = x = ⇒ ⇒  x =  x = ±1 lim y = −∞; lim y = −∞ • • • x → −∞ x → +∞ BBT Vậy: hs tăng (−1;0) ( −∞;−1) (1;+∞) (0;1) Hs giảm Hs đạt cực đại (-1;2) (1;2), cực tiểu (0;1) Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị: y = ⇔ − x4 + 2x2 + = Cho  x2 = + ⇒ ⇒ x = ± 1+ 2  x = − 2( L) y= Dạng3 Hàm số biến ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d y= Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: x +1 x −1 R \ {1} • D= y' = −2  ∆ ≤ •  a = b =  c ≤ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔    a <  ∆ ≤ g( x ) = ax + bx + c 3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai • Nếu ∆ < g(x) dấu với a − : b 2a • Nếu ∆ = g(x) dấu với a (trừ x = ) • Nếu ∆ > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a g( x ) = ax + bx + c 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai ∆ > ∆ >   x1 < x2 < ⇔  P > 0 < x1 < x2 ⇔  P >   S < S > • • • với số 0: x1 < < x2 ⇔ P < Bài 1: Định m để hàm số ln đồng biến y = x + x + mx + m a) • D=R y' = 3x + x + m • Hàm số ln đồng biến • Vậy: với m≥3 ∆ ' ≤ ⇔ y' ≥ ⇔  a = > ⇒ − 3m ≤ ⇒ m ≥ hs ln đồng biến D y = mx − (2m − 1) x + (m − 2) x − b) • D=R y ' = 3mx − 2(2m − 1) x + m − • Hàm số ln đồng biến 4m − 4m + − 3m(m − 2) ≤ (m + 1) ≤ ∆ ' ≤ ⇔ ⇔ ⇔ y' ≥ ⇔  m > m > a = 3m > ⇔m>0 • Vậy: với m>0 hs ln đồng biến D y = x + 3x + (m − 1) x + 4m Bài 3: Định m để hàm số • nghịch biến ( - 1; 1) D=R y' = 3x + x + m − • ⇔ y '≤ Hàm số nghịch biến ( - 1; 1) af ( −1) < ⇔ x1 < −1 < < x af (1) < 3(3 − + m − 1) < m < ⇔ ⇔ 3(3 + + m − 1) <  m < − ⇒ m < −8 • Vậy: m < −8 hs nghịch biến ( - 1; 1) y = x + (m − 1) x − (2m + 3m + 2) x Bài 4: Định m để hàm số • (2;+∞) tăng D=R y ' = x + 2(m − 1) x − (2m + 3m + 2) • (2;+∞) ⇔ y '≤ Hàm số tăng 7 m + m + ≤ ∆' ≤      ∆ ' > 7 m + 7m + >  ⇔  ⇔  af ( 2) ≥ 3(−2m + m + 6) ≥   − 2(m − 1)  S −5 − • Vậy: ≤m≤2 (2;+∞) hs tăng y = x − 3(m + 1) x + x − m Bài 5: Cho hàm số x1 , x m Xác định để hàm số cho đạt cực trị x1 − x ≤ • D=R y ' = x − 6(m + 1) x + • x1 , x Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiĨu t¹i ⇔ ⇔ x − 2(m + 1) x + = Pt cã hai nghiƯm pb lµ x1 , x cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ m > −1 + ⇔ ∆' = (m + 1) − > ⇔  m < −1 − • x1 , x y '= ph¬ng tr×nh (1) x1 + x = 2(m + 1); x1 x = Theo ®Þnh lý Viet ta cã Khi ®ã x1 − x ≤ ⇔ ( x1 + x ) − x1 x ≤ ⇔ 4( m + 1) − 12 ≤ 2 ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ ( 2) − ≤ m < −1 − Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ cđa m lµ − + < m ≤ vµ Bài 6: CMR hs sau ln có cực đại, cực tiểu: y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m a) • D=R y ' = x − 6mx + 3(m − 1) • y ' = ⇔ x − 6mx + 3(m − 1) = Cho ∆ ' = 9m − 9m + > ⇒ hs sau ln có cực đại, cực tiểu đpcm y = (m + 2) x + x + mx − Bài 7: Tìm m để hs • D=R y ' = 3(m + 2) x + x + m • có cực đại, cực tiểu cho ⇔ y' = hs có cực đại, cực tiểu có nghiệm phân biệt m ≠ −2  m ≠ −2  m ≠ −2  m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  ∆ ' > 9 − 3m(m + 2) > − < m < − 3m − 6m + > • Vậy: m ≠ −2  − < m < hs có cực đại, cực tiểu 1 y = x − (m − 1)x + 3(m − 2)x + 3 Bài 8: Cho hàm số Với giá trị của m hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hồnh độ điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = GIẢI: y ' = mx − 2(m − 1)x + 3(m − 2) TXĐ: D = R biệt x1, x2 Hàm số có cực đại cực tiểu y’ = có nghiệm phân m ≠ m ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔ 2 − 2− 2