Hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f  x   f 1  x    x Giá trị tích phân  f '  x  dx A B Lời giải Ta có  C D f   x  dx  f  x   f 1  f 0 0    f 0       f 0  f 1     Từ f  x   f 1  x    x      f  f         f 1      Vậy I   f '  x  dx  f 1  f 0    Chọn C 5 Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0  f 1  Biết e x  f  x   f   x  dx  ae  b   Tính Q  a 2018  b 2018 A Q  2017  Lời giải Ta có e B Q  C Q  D Q  2017 1 /  f  x   f   x  dx  e x f  x  dx  e x f  x        x 0  ef 1  f 0 f  0 f 11  e 1 a   2018 Suy    Q  a 2018  b 2018  12018  1  Chọn B  b     Câu Cho hàm số y  f  x , y  g  x  có đạo hàm liên tục 0;2  thỏa mãn  f '  x  g  x  dx  2,  f  x  g '  x  dx  Tính tích phân I    f  x  g  x  dx / 0 A I  1 C I  B I  D I  / Lời giải Ta có I    f  x  g  x  dx    f '  x  g  x   f  x  g '  x  dx 2   f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x  dx    Chọn C 0 x2 Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục  0; thỏa  1  A f       x2 Lời giải Từ  1 B f      1 f t  dt  x sin  x  Tính f     1 C f      1  D f       f t  dt  x sin  x  , đạo hàm hai vế ta xf  x   sin  x    x cos  x  1 Cho x  ta f 2      sin    cos       2 1 f    Chọn C   Câu Cho hàm số f  x  liên tục a;  với a  thỏa x  a A f 4   x Lời giải Từ  a B f 4   f t  dt   x với x  a Tính f 4 t2 C f 4   f t  f x   dt   x , đạo hàm hai vế ta t2 x2 x Suy f  x   x x   f    4  Chọn C D f  4  16 Vấn đề Kỹ thuật đổi biến e 2017 1 2017 f  x  dx  Tính tích phân I   Câu Cho  0 A I  x f  ln  x  1 dx  x   D I  C I  x d x xd x dt Lời giải Đặt t  ln  x  1, suy dt     x 1 x 1 x   t   Đổi cận:   2017   x  e 1  t  2017 Khi I  B I  2017 f  t  dt   2017  f  x  dx   Chọn A Câu Cho hàm số f  x  liên tục   A I   f f sin x  cos xdx  Tính tích phân I   f  x  dx  0 D I  10 x  t  x , suy tdt  dx x f  x   t  Đổi cận  Suy     x   t   x  C I   x  dx  Đặt t   Xét  x  dx  4, B I  Lời giải  Xét  f  x  dx  x  f t  2dt    f t  dt  1 f sin x  cos xdx  Đặt u  sin x , suy du  cos xdx    x   u  Đổi cận  Suy   f sin x  cos xdx   f t  dt    x   u 1  0   3 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Chọn C 0 Câu Cho hàm số f  x  liên tục    f  tan x  dx  4, A I  B I   Lời giải Xét   x f x  d x  Tính tích phân I   f  x  dx x 1 C I  D I  f tan x  dx  Đặt t  tan x , suy dt  dt dx  tan x  1 dx   dx  cos x 1 t  x   t   1  f t  f x  Đổi cận:  Khi  f tan x d x  d t  dx         t 1 x 1 x   t 1  0   1 f x  x f x  Từ suy I   f  x  dx   dx   dx    Chọn A x 1 x 1 0 Câu Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn   tan x f cos x  dx  1, 2 f 2 x  dx x A I  B I  C I   Lời giải ● Xét A   tan x f cos2 x  dx  Đặt t  cos x  e I  e2 D I  f  ln x  x ln x dx  Tính tích phân Suy dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t tan xdx   tan xdx   dt 2t   t   x   Đổi cận:     x   t      1 1 f t  f t  f x  f x  1 Khi  A    dt   dt   dx   dx  2 t t x x f ln x  e2 ● Xét B   x ln x e Suy du  2 dx  Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du dx  dx  dx    x x ln x x ln x x ln x 2u   x  e  u  Đổi cận:    u    x  e  4 f x  f u  f x  Khi  B   du   dx   dx  2 u x x ● Xét tích phân cần tính I   f 2 x  dx x     1  dx  dv  v   Đổi cận:   x   Đặt v  x , suy      v   x v      x      4 f v  f x  f x  f x  dv   dx   dx   dx    Chọn D Khi I   v x x x 1 1 2 1  Câu 10 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ;2 , thỏa f  x     I  f x  1 f    x   Tính tích phân  x  x dx x 1 A I  C I  B I     x   t   1   Lời giải Đặt x  , suy dx   dt Đổi cận:   t t  x    t      Khi I   2 Suy I   2  1 1     f   f   f    t     t   x     dt   dt   dx   t  t 1 x 1 1  2 t2       f   f x  f   x  2 f x   x   x  x2 dx   dx   dx   dx 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2     x 1 1   dx   x   d x   2      x x  x 2 2    I  Chọn A 2 D I  Câu 11 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa f  x   f x    cos x với x   3 Tính I  f x d x  3  C I  2   3   x  t   2  dx  dt Đổi cận:  Lời giải Đặt t  x   3 3  x  t    2   A I  6  B I  3 Khi I    f t  dt  3 3  Suy I   3 3   f t  dt  3 3    f t   f t  dt    f x  dx 3 3 3   D I   cos 2t dt  3   CASIO cos t dt  12   I  Chọn D 3 Câu 12 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  , thỏa f  x  x  3  x  với x   Tích phân  f  x  dx 2 A B 10 C 32 D 72  x  2  t  1  Lời giải Đặt x  t  t  3, suy dx  5t   dt Đổi cận    x   t   Khi 2 1 1 1 f  x  dx   f t  t  35t   dt   2t  15t   dt  10 Chọn B Câu 13 Cho hàm số f  x , g  x  liên tục  0;1, thỏa m f  x   n f 1  x   g  x  với m, n số thực khác  f  x  dx   g  x  dx  Tính m  n 0 B m  n  C m  n  Lời giải Từ giả thiết m f  x   n f 1 x   g  x  , lấy tích phân hai vế ta A m  n   m f  x   n f 1  x dx  g ( x )dx    1 Suy m  n  f 1  x  dx  (do   Khi 0 f  x  dx   g  x  dx  ) Xét tích phân  D m  n  1 x   t   f 1  x  dx Đặt t   x , suy dt  dx Đổi cận:    x   t  0 1 f 1  x  dx   f t  dt   f t  dt   f  x  dx  1  2 Từ 1 2, suy m  n  Chọn C Câu 14 Cho hàm số f  x  xác định liên tục  0;1, thỏa mãn f '  x   f ' 1  x  với x  0;1 Biết f 0  1, f 1  41 Tính tích phân I   f  x  dx A I  41 B I  21 C I  41  f  x    f 1 x   C Lời giải Ta có f '  x   f ' 1  x   D I  42 f 01, f 1 41 Suy f 0    f 1  C      C  42 Suy f  x    f 1 x   42   f  x   f 1 x   42 1 0     f  x   f 1  x  dx   42dx  42 1 1  2   f  x  dx   f 1  x  dx Vì f '  x   f ' 1  x   0 Từ 1 2, suy  f  x  dx   f 1  x  dx  21 Chọn B 0 Câu 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x với x   Tính I   f  x  dx 4 A I   B I  C I   5 Lời giải Đặt u  f  x  , ta thu u  u  x Suy 3u  1 du  dx D I  x   u   Từ u  u  x , ta đổi cận  Khi I   u 3u  1 du  Chọn D  x   u    Cách khác Nếu tốn cho f  x  có đạo hàm liên tục ta làm sau:   f 0    f 0   f 0    Từ giả thiết f  x   f  x   x    *       f 2     f 2   f 2    Cũng từ giả thiết f  x   f  x   x , ta có f '  x  f  x   f '  x  f  x   x f '  x   Lấy tích phân hai vế  f '  x  f  x   f '  x  f  x  dx  x f '  x  dx    0   f  x   f  x   2 2  *       xf  x   f  x  dx       f  x  dx       0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần Câu 16 Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x f   x .e f  x dx  f 3  ln Tính I   e f  x  dx 0 A I  B I  11 C I   ln D I   ln 3 3 u  x du  dx   f x  f x  f x    Lời giải Đặt  Khi x f x e d x  x e  e   dx     f x    f x     d v  f x e d x   v  e   0   Suy  3.e f 3  e f x  dx   e f x  dx    Chọn A   Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa mãn      f '  x  cos2 xdx  10 f 0  Tích phân  f  x  sin xdx B I  7 A I  13  Lời giải Xét  C I  D I  13 u  cos x du   sin xdx    f '  x  cos2 xdx  10 , đặt      dv  f '  x  cos xdx  v  f  x    Khi 10   f '  x  cos xdx  cos xf  x    0     f  x  sin xdx  10   f 0   f  x  sin xdx    f  x  sin xdx  10  f 0  13 Chọn D Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn  f  x  1 dx  f 1  Tích phân 1 x f '  x  dx A 1 B  C D  Lời giải Ta có 1 Xét t  x 1 f  x 1 dx     f t  dt  hay  f  x  dx  1 u  x   du  dx 1 tf ' t d t  xf '  x  dx Đặt          2 dv  f '  x  dx  v  f  x    1  1 1 tx2 x f '  x  dx    tf ' t  dt   xf  x   f  x  dx     3  Chọn C 2 2 0   t x x f '  x  dx    Khi  Câu 19 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2 Biết f 0  f  x  f 2  x   e x x  0;2 Tính tích phân I   x  3x 14 B I   Ta có I    x  3x  f '  x  f x  4 x với dx 32 Lời giải Từ giả thiết f  x  f 2  x   e x  f 'x  f x  A I   2 C I   16 D I   16 x 2   f 2   4 x   u  x  3x 2     du  3 x  x  dx dx Đặt  f 'x      dv  dx  v  ln f x        f x    Khi I   x  x  ln f  x  f 21 2   3 x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3J Ta có J    x  x  ln f  x  dx 0 x  2t  2  t   2  2  t  ln f 2  t  d 2  t     2  x   2  x  ln f 2  x  d 2  x     x  x  ln f 2  x  dx   2 0 Suy J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f 2  x  dx    x  x  ln f  x  f 2  x  dx    x  x  ln e x 2 4 x dx    x  x 2 x  x  dx  0 Vậy I  3 J   32 16  J  15 15 16 Chọn D      Câu 20 Cho biểu thức S  ln 1   2  sin x  e cot x dx , với số thực m  Chọn khẳng định khẳng định sau   n   m A S  B S        C S  cot    ln sin    m    m        D S  tan    ln     m    m   2  sin x  e cot x dx   Lời giải Ta có  m2  cot x  dx    sin x e e cot x  sin xe cot x dx m2 2 cot x     m m 2 cot x  2 m      sin x   e cot x dx  sin x  m2   1  d sin x   sin x e  m2 e cot x dx  m  sin xe     Xét   2 e cot x dx  m2  Từ 1 2, suy I  sin x e cot x    1  sin  m2 cot  e m 4m   cot           S  ln sin e m   cot   ln sin  Chọn C 2     4 m    m  4m    Vấn đề Tính a, b, c tích phân  ln 9  x  dx  a ln  b ln  c Câu 21 Biết với a, b, c   Tính P  a  b  c A P  13 B P  18   u  ln 9  x   du  2 x2 dx Lời giải Đặt   9 x   dv  dx     v  x    C P  26 D P  34 2 Khi I   x  3 ln 9  x    1  ln 12 ln   x  ln  x  x  x  3 9 x2   dx  ln  ln   1   dx   x  a      ln  ln    b  6  P  13 Chọn A     c  2 Nhận xét Ở chọn v  x  thay x để rút gọn cho  x , giảm thiểu biến đổi  Câu 22 Biết   x  x  ex x 1 e  dx   ln  p   với m, n, p số nguyên dương Tính tổng P  m  n  p x    e.2 m e ln n  e    A P  Lời giải Ta có I   Tính A   B P  C P  x    x  x  ex x  x   dx  x d x  x x      e.2   e.2   D P  A  A x dx Đặt t    e.2 x   dt  e ln 2.2 x dx   x dx  dt   e.2 x e ln  x   t    e Đổi cận:     x   t    2e  2 e Khi A  dt  ln t e.ln e t e.ln  2 e   e    2e e  ln  ln 1   e ln  e e ln  e     m4     1 e   ln 1    n   P  m  n  p  Chọn C Vậy I      e ln  e     p 1    Câu 23 Biết x  2 x  cos x  cos x   sin x  x  cos x A P  B P   Lời giải Ta có I     x  cos x  x  cos x x  cos x  dx   c với a, b, c số hữu tỉ Tính P  ac  b  C P   x  x cos x  cos2 x   1 sin x   dx  a  b  ln  dx  2 d  x  cos x   sin x dx    x  cos x  dx   x  cos x x  cos x 0 1    x  sin x  ln x  cos x          ln     ln 8     a       b    P  ac  b  Chọn C    c 2      D P  ln Câu 24 Biết  e ln b dx   ln  a a  b với a, b   Tính P  a  b a 1  e B P  C P  D P  2x x A P  1 ln Lời giải Ta có I   ln ln   ln e x 1  e x dx   ln  e x   e x dx  ln ln  e x  1dx  ln ln e x dx  e x  2  ln ln  e x dx ln ln   td t td t  2x e t 1 e x  1dx Đặt t  e x   t  e x  , suy tdt  e x dx  dx  ln   x  ln  t  Đổi cận:      x  ln  t  ln Khi  e x  1dx   ln 3  t 1   t dt  dt   1  dt  t  ln    ln    t  1  t    t 1 2   a  Vậy I   ln  2      P  a  b  Chọn D   2  b  Câu 25 Biết   x  1 dx x  x x 1 A P  12  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c C P  24 B P  18 Lời giải Ta có I   dx x  x  1  x 1  x D P  46 x 1  x    x  x  1  x 1  x  1   dx    2du  Đặt u  x   x , suy du    x  x   x   u   Khi I  Đổi cận     x   u     2   3  1 du  u2 u 3 2 1  dx x  x 1 x  x  1 dx  1   2      2  1  a  32   3 2 1     32  12    b  P  46 Chọn D   12    32 1     c   Câu 26 Biết sin x  cos x   sin x  2 A P  10 dx  a b c với a, b, c   Tính P  a  b  c B P  12  Lời giải Ta có I   C P  14  sin x cos x   sin x  2 dx   D P  36 sin x cos x  cos x   cos x dx x   t    Đặt t  cos x   dt  2 sin xdx Đổi cận:    x  t0    Khi I    1 t 3 t  3t 2 3  3  t    3  t     3 2 dt   t  t  3t dt     t   t dt a  16   16 12      b  12  P  36 Chọn D     c  x ex  dx  a  e b  e c với a, b, c   Tính P  a  b  c 2x x xe A P  5 B P  4 C P  3 D P  Câu 27 Biết  Lời giải Ta có  x  ex  dx   4x xe x e x  x  4e x x dx   xe x e  x  2e x  x x dx  4   1 1 1 dx     x  dx   x  x       e 1  e 4      e e e e   x 1 x ex 2 x 2e x a        P  a  b  c  4 Chọn B b  1     c     Câu 28 Biết 2 x  2 x dx  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c A P   B P  C P  D P     dx  4 sin 2udu x  cos u với u   0;  Suy x  cos2 u    Lời giải Đặt      x   u    Khi I  Đổi cận       x   u        16    u cos  cos u sin u.cos udu sin 2udu   u  cos u  sin    4 u cos cos udu  8 1  cos u .cos udu   cos udu   1  cos 2u  du     sin u    4 x  2.sin 2u  e Câu 29 Biết I   a            P  Chọn C b  4      c    ln x  ln x b với a, b    Tính P  b  a dx   a e  2 ln x  x  1 A P   B P   e e ln x  ln x  ln x  x  1 Lời giải Ta có dx   Đặt t  C P   ln x  / ln x  ln x   dt   dx  dx      ln x  x  ln x  x   ln x  x  1    x 1 t  e 2   Đổi cận:  Khi I    tdt   t   2  x et    e 2    Câu 30 Biết x cos x   1 x  x  A P  37 Lời giải Ta có I       t     1 x  x  1 x  x  x t dx        t  t cos tdt   x   Suy I   x        t   t   D P  41    x  x dx   x  t  cos t   2   Chọn B e  2 C P  35 dx   x cos x 2 e 2 2 3 với a, b, c số nguyên Tính P  a  b  c  b c  x cos x x cos x Lại có I    dx  a  B P  35   D P  10 ln x  ln x dx ln x  x   ln x  x  12   d t      t cos t 1 t  t  dt   x  x cos xdx   x  x cos xdx   x       x  x cos xdx  2  x cos xdx     x  x cos xdx    I   x cos xdx Tích phân phần hai lần ta I     2 3  36 3 a        P  a  b  c  35 Chọn C b  36     c     Vấn đề Tính tích phân hàm phân nhánh  x  Câu 31 Cho hàm số f  x     2x   e 3e 1 2e 2 A I  x  x  7e  2e 2 Tính tích phân I   f  x  dx 1 B I  9e 1 2e 2 C I  Lời giải Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   e x dx    x  1 dx  1 1 D I  11e  11 2e e 1 Chọn C 2e 1   Câu 32 Cho hàm số f  x  xác định  \   , thỏa f   x   , f 0  f 1  Giá trị biểu thức   2 x 1     f 1  f 3 B  ln15 Lời giải Ta có f   x   x 1 A ln15 C  ln15    ln 1  x   C1     f x    dx  ln x 1  C     x 1  ln 2 x 1  C      ln 1  2.0  C1   C1   f 0   D  ln15 ;x  ;x   f 1    ln 2.11  C   C     ln 1  x   x    f 1  ln     Do f  x           f 3  ln  ln 2 x 1  x        f 1  f 3   ln  ln   ln15 Chọn C Câu 33 Cho hàm số f  x  xác định \ 2;1, thỏa mãn f   x   1 , f 3  f 3  f 0  Giá trị x  x 2 biểu thức f 4   f 1  f  4 1 C ln 80  D ln  ln  3 1  1     Lời giải Ta có f   x    x  x   x 1 x   1   ln 1  x   ln x  2  C1 ; x  2     3    1   f x    dx   ;2  x    ln 1  x   ln  x  2  C  x  x 2    1   ;x 1   ln  x 1  ln  x  2  C   3 1 1  f 0     ln 1  0  ln 0  2  C    C  ln  3 3 1  f 3  f 3    C1  C  ln 10 1 1 Ta có f 4   f 1  f    ln  ln  ln  C  C1  C  ln  Chọn B 3 3 A 1 ln 20  3 B 10 Hàm dấu tích phân f 2  x  cos  x  f  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x    cos  x  x  x  Ta tìm     f  x   2 cos  x     f   dx  2  cos   dx   Chọn B 2      0 1 Cách Theo Holder 1 1  1    f  x  cos  x  dx    cos  x  dx   f  x  dx  2 0   2     Câu 89 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa f    0,        f   x  Tích phân   f  x  dx  3 x  sin x  x  f    dx  6 0 dx A   C 3 B  D  x  sin x  x  f    dx  6, kết hợp với Lời giải Tích phân phần  ta  sin xf  x  dx    f    ta   3  x  sin xf  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x    sin x   f  x   sin x  f '  x   sin x  f ''  x   cos x Ta tìm   4  Hàm dấu tích phân f  Vậy   f   x   dx   8 cos x  dx  Chọn B 0 Cách Theo Holder     2   3    sin xf  x  dx    sin xdx  f  x  dx  3 16   0    3      Câu 90 Cho   f '  x  hàm số f x e 1 A I  đạo hàm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f 1  dx    x  1 e x f  x  dx  có B I  e 1 Tính tích phân I   f  x  dx e2 Lời giải Tích phân phần e D I  C I  e    x  1 e x f  x  dx , kết hợp với f 1  ta  xe x f '  x  dx   e 1 Hàm dấu tích phân  f '  x  xe x f '  x  nên ta liên kết với  f  x    xe x   Ta tìm     f '  x   xe x   f  x    xe x dx  1  x  e x  C   C  f 0 1 Vậy f  x   1  x  e x    f  x  dx   1  x  e x dx  e  Chọn C 0 Cách Theo Holder 1 1  e  1 e 1 e        xe x f '  x  dx    x e x dx   f '  x  dx     4  0 Câu 91 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 0  0, f 1    f  x  dx 29  f '  x    dx  Tích phân ex e 1 A e 2 e 1 e 1 e 2 B D e 1e  2 C  f '  x  Lời giải Hàm dấu tích phân  x  nên ta cần tìm thơng tin liên quan f '  x  e Từ giả thiết f 0  0, f 1  ta nghĩ đến 1 f '  x  dx  f  x   f 1  f 0   0  f '  x   f ' x   x       e  Với số thực  Do ta có hàm dấu tích phân f '  x  nên liên kết với bình phương  ex  e x  ta có   1 2 f '  x  f' x x      e x  dx   d x   f ' x d x       e x  ex   e dx    0  1    2   e 1  e 1   1 e 1 e 1   f 'x    x   Ta cần tìm  cho     e  dx  hay e 1   1       x e 1 e 1 e    f 'x   f 'x  1  e x  dx    e x , x   0;1 Với      x x e  e  e 1  e  e   ex ex ex f  0 0, f 11 Suy f '  x     f x    dx   C  C   e 1 e 1 e 1 e 1 e x 1 e 2    f  x  dx  Chọn A e 1 e 1 Cách Theo Holder 2  1   f 'x   f '  x  x         f '  x  dx     e dx    d x e x dx  e  1  x  x e e 1 e     0 Vậy f  x   Câu 92 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 0  0, f 1    x  f '  x  dx  f x  Tích phân  1 x A   ln  dx  ln  2 1 ln   B  C Lời giải Tương tự trước, ta có   ln  D     1 ln  f '  x  dx  f  x   f 1  f 0   0    x  f '  x  f '  x  nên liên kết với bình phương   x f '  x   1 x  1   f ' x   Ta tìm    ln  ln  1 x Do ta có hàm dấu tích phân     f x    ln     1 x dx   ln  Mà f 0  0, f 1   C    f x   f x  Vậy   1 x   ln    2 ln x   x ln  dx    ln x   x 1 x        ln x   x  C  ln x   x  ln   dx    ln    ln  x  2  ln  Chọn C Cách Theo Holder 30       x d  ln x   x    2     1 1  12    f '  x  dx     x f '  x  dx    x  f '  x  dx    1 x 0   ln   Câu 93 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;1, thỏa mãn f 1  0,  dx 1 x  ln   1  1  f '  x  dx  112   x 1 f  x  dx  16 Tính tích phân I   f  x  dx 1 84 A I  B I  35 C I  Lời giải Như trước, ta chuyển x f  x  dx  1 35 D I  168 16 thông tin f '  x  cách tích phân phần Đặt   du  f '  x  dx   u  f  x       x3   d v  x d x  v      1 1 x3 1 1 f  x    x f '  x  dx  f 1  f 1   x f '  x  dx Tới ta bị vướng f 1 giả  3 3 1 1 1 1 thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau   du  f '  x  dx   u  f  x      với k số   x3   k dv  x dx  v     1 3     x x Khi  x f  x  dx    k  f  x      k  f '  x  dx  1    1 1 x f  x  dx  Khi  x3  1       k  f 1    k  f 1     k  f '  x  dx      3   1  f 1 Ta chọn k cho 1 k   k  3 Khi 1 16   x f  x  dx     x 1 f '  x  dx     x 1 f '  x  dx  16 3 1 1 1 Hàm dấu tích phân  f '  x  ,  x 1 f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x 1    f '  x   7  x 1  f  x   7   x 1 dx   x  x  C Ta tìm    35 35 84 f 1  C    f  x    x  x  Vậy I   f  x  dx  4 1 Cách Theo Holder 1 1  2 16 16     x 1 f '  x  dx     x 1 dx   f '  x  dx  112  256  1  1 1 2 Câu 94 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  0,   f '  x   f x  dx  ln  Tích phân 2  x  1 A  ln B  f  x  dx  ln C  ln 31 D  ln 2 dx   ln f x  Lời giải Như trước, ta chuyển   x  1 dx  ln  thông tin f '  x  cách tích phân phần Đặt   u  f x    du  f '  x  dx         dv  dx   v       x  1 x 1     1 f x  f x  f 'x  f 1 f 0  f '  x  Khi  d x    d x     dx Tới ta bị vướng f 0 giả thiết khơng x  0 x  x 1  x  1 cho Do ta điều chỉnh lại sau   u  f x     du  f '  x  dx    với k số   dv  dx   v  k      x  1 x 1     1 f x      1 Khi  dx    k  f  x      k  f '  x  dx     x 1   x 1  0  x  1    1  k  f 0     k  f '  x  dx  x   f 1  Ta chọn k cho 1  k   k  1 1 f x  x x Khi ln    dx   f '  x  dx   f '  x  dx   ln 2 x  x   x  1 0  x x   Hàm dấu tích phân  f '  x  , f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x   x 1 x x Ta tìm   1   f 'x    f x    dx  x  ln x   C x 1 x 1   C  ln 1   f  x   x  ln  x  1  ln 1 Vậy f 0  f  x  dx   ln Chọn B Cách Theo Holder 1 2 3 2  x    x  dx  f '  x  dx    ln 2   ln 2   ln 2   f ' x d x                x  1       x  0   Câu 95 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, đồng biến 1;2, thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx   f  x .f '  x  dx  Tích phân  f  x  dx A B D 2 C Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  , f  x  f   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x    f  x  Nhưng khai 2 triển vướng   f  x  dx nên hướng không khả thi Ta có   f  x .f '  x  dx  f x  2  f 2  f 1 f 2     f 2   2 (do đồng biến f 2  f 1  ) Từ f 1  f 2  ta nghĩ đến  f '  x  dx  f  x   f 2  f 1    1 Hàm dấu tích phân  f   x  , f   x  nên ta liên kết với  f   x     2 f 1 Ta tìm      f '  x     f  x   x  C  C   2 Vậy f  x   x     f  x  dx  Chọn A 32 1;2 nên Câu 96 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  ,  f  x  dx    f   x  trị f 2 f  x  dx  Giá   A  B  1 C Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  f 2  D   1 2   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x  f  x    f  x  Nhưng khai triển vướng f  x  f '  x  dx nên hướng không khả thi  Tích phân phần  f  x  dx  kết hợp với f 1  0, ta 1  xf  x  f '  x  dx   Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  xf  x  f '  x  nên ta liên kết với bình phương  f  x  f '  x    x  f x  3 3 Ta tìm     f  x  f '  x    x   f  x  f '  x  dx    xdx    x C 2 2   C  f 0 2 3   f  x   1  x   f 2     32 Chọn A Câu 97 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;2, thỏa mãn f 2  ,  x f  x  dx  15   f '  x  dx  32 Giá trị tích phân  f  x  dx A  2 B  C  D Lời giải Hàm dấu tích phân  f '  x  x f  x  Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có tìm khơng Tích phân phần  x f  x  dx  kết hợp với f 2  , ta 15 x f   x  dx  32 Áp dụng Holder lần ta 4  4  2  2  32 4      x f   x  dx    x xf   x  dx    x dx   x  f '  x  dx                0  0 0 0 2       x dx    x dx   f '  x  dx       2 3 1048576  32       x dx     f '  x  dx        625  Dấu ''  '' xảy ra, tức xf '  x   kx  f '  x   kx thay vào   f '  x    f '  x   x  f  x    xdx  dx  32 tìm k  x f  21  C   C  1 2 x2 1    f  x  dx   Chọn B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có Vậy f  x    f '  x   x  x  x  x f '  x    Do  2 0  f '  x  dx  x dx  x f   x  dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu ''  '' xảy nên f '  x   x     (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM 33 Câu 98 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  ef 0 1 dx   f '  x  dx  Mệnh đề sau ? f  x  0   A f 1  2e e 1 Lời giải Ta có   ln f  x  B f 1  e   e 1 1 dx    f '  x  dx   f x  0 2e e 1 D f 1  e   e 1  AMGM 2   dx  f '  x  dx    f ' x    f x     f x     f 1  ln f 1  ln f 0  ln f 0  Mà C f 1   ln e  2 dx   f '  x  dx  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f '  x    f x  f 'x   f x  f  x  0      f  x  f '  x  dx   xdx  f x  Theo giả thiết f 1  ef 0 nên ta có  x  C   f  x   x  2C  2C  e 2C   2C  e 2C  C  e 1 2 2e  f    Chọn C   e 1 e 1 e 1 Câu 99 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1, có đạo hàm dương liên tục  0;1, thỏa mãn f 0    f x   2x   1  f  x    f '  x   dx  f '  x  f  x  dx Tính I  f  x  dx       0 e 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có A I    B I  e  1 e 1 C I  f  x    f '  x    f '  x      f Suy Mà  f x  f x   3  f '  x  f x  f x   f '  x  f  x  2  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx    f  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx nên dấu ''  '' xảy ra, tức  0  f '  x      e 1 3 D I  f 'x  f x   f x   f x   f 'x   f x  x C f ' x  1  dx   dx  ln f  x   x  C   f x   e f x  2 x Theo giả thiết f 0   C   f  x   e    f  x  dx    e 1 Chọn A Câu 100 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1, có đạo hàm dương liên tục  0;1, thỏa mãn  1 f 0  1, f 1  e Tính giá trị f         A f    B f        Lời giải Hàm dấu tích phân xf '  x  f x   x 1 C f    e   f ' x  f x  f x   mx  m f x  , x   0;1 Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm xf '  x  f x  34 dx  1 D f    e   muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f ' x  xf '  x  với m  x  0;1 f ' x  f x  , Do ta cần tìm tham số m  cho   f 'x     dx  m  mx   f x     xf '  x  f x  dx hay ln f  x  m x2  m  ln f 1  ln f 0   m m  m     m 2 m  m  m  f ' x   4x Với m  đẳng thức xảy nên f x  Để dấu ''  '' xảy ta cần có     f ' x  f x  dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C   f 0  1  C    f  x   e x   f    e Chọn C Theo giả thiết        f 1  e Cách Theo Holder 1  xf '  x  2  f '  x   f 'x  f 1      dx     x dx    xdx  dx  ln    f  x   f  x   f x  f 0   0 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f 'x  f x  xf '  x   kx , thay vào  f x  dx  ta k  f ' x   x (làm tiếp trên) f x  Câu 101 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn   f  x  f '  x  dx  f 0  1, f 1  Tính giá 1 trị f     1 1  1 A f    B f    C f    e       Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với 1 D f    e   Hàm dấu tích phân  f  x  f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x  f '  x  , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f  x  f '  x   m  m f  x  f '  x  với m    Do ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx 0 hay  m  m f x    m  m Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m   f x  f 'x   Với m  đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x      f  x  f '  x   1 1 f x   f  x  f '  x   1    f  x  f '  x  dx   dx   x   1 (vô lý) 0 0  f  x  f '  x      f  x  f '  x  dx   dx  f x   x  C   f  x   x  2C   f 0   1 Theo giả thiết   C    f  x   x      f       1 f    Chọn A   35 Cách Ta có  f  x  f '  x  dx  f x   1 f 1  f 0   Theo Holder 1 1 2      f  x  f '  x  dx    12 dx   f  x  f '  x  dx  1.1    0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k, thay vào  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy f '  x  f  x   (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục 1;2, thỏa mãn  f 1  1, f 2  16 Tính giá trị f A f    B f  f '  x    dx  24 xf  x     2  C f    D f     f '  x       f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f '  x  , muốn ta Lời giải Hàm dấu tích phân  xf  x  x f x  f x  2 phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x     mx  m f '  x  với m  x  1;2 xf  x  f x  Do ta cần tìm tham số m  cho   f '  x    f 'x      xf  x   mx  dx  m  f  x  dx   hay 24  2m 4 m f x   24  2m  m  f 2   2m f 1   24   12 m  m  16  2m Để dấu ''  '' xảy ta cần có 24   12 m  m  16  f '  x    16 x  f '  x   x Với m  16 đẳng thức xảy nên  xf  x  f x    f 'x  f x  dx   x dx  f  x   x  C   f x   x C    f 1   C    f  x   x   f  Chọn D Theo giả thiết    f  16     2 f 'x  f 'x  dx  2. dx  f  x    f 2  f 1  Cách Ta có    f x  f x  1   Theo Holder 2 f' x        dx         f  x   1 2 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f 'x  f x  f 'x  xf  x  2  f '  x   x2 x dx    xdx   dx  24  36 xf  x  xf  x   1 f 'x  k x  f 'x  f x   kx , thay vào  f 'x  f x  dx  ta k  Suy  x (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân Câu 103 Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f   x   e x  x f  2  2e, f 0   e Mệnh đề sau đúng? A f 2  e 1 B f 2  2e  e C f 2  e  2e D f 2  12 36 Lời giải Từ giả thiết x f   x   e x  x ta có  x f   x  dx   e x  x  dx 1 u  x   du  dx Đặt      dv  f   x   v  f   x    2  x2  Khi 1  x f   x    f   x  dx  e x    0  2  x2   x f   x   f  x   e x    0   2 f  2  f  0   f 2  f 0  e  1  f 2  e 1 (do f  2  2e, f 0  e ) Chọn A Câu 104 Cho hàm số 3 S   f  x  dx  1 f  x  dương liên tục 1;3, thỏa max f  x   2, B    C   f  x   f  x  dx   dx   1 biểu thức 1 Lời giải Từ giả thiết ta có  f  x   , suy f  x    f x  1;3 dx đạt giá trị lớn nhất, tính I   f  x  dx f x  A Suy f  x   1;3  3 1 dx   f x  Khi S   f  x  dx  f  x  dx   D 3 1 dx    dx    f  x  dx f x  f x  1   25 f  x  dx 5   f  x  dx      2 25 25 (dạng t 5  t   t  5t  t     )   4  Dấu "  " xảy f  x  dx  Chọn D Câu 105 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f  x   f   x   với x   f 0  Giá trị lớn f 1 A e  Lời giải Từ B giả thiết e 1 e f x   f x   , e e 1 nhân thêm D e C hai vế cho ex để thu đạo hàm e x f  x   e x f   x   e x , x    e x f  x    e x , x   Suy  e x f  x   dx  e x dx  e x f  x       0 f 0  f 1   e 1  ef 1 1 f 0  e 1 e 1 Chọn B e Câu 106 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục  0;1, thỏa mãn f 1  2018 f 0 Giá trị nhỏ 1 dx    f   x  dx    f  x  A ln 2018 B ln 2018 C m  e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 f  x  M  dx    f   x  dx   dx  ln f  x  f x     f  x  0 biểu thức M   Câu 107 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1  1  x    f  x  dx  f 0 37 D m  2018e  ln f 1 f 0   ln 2018 Chọn B f   x  dx   Giá trị nhỏ nhật biểu thức A B C  Lời giải Tích phân phần D  3 1  1 x  f   x  dx   , ta f 0    1 x  f  x  dx 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2  1  x  f  x  dx   1  x  dx    f  x  dx Từ suy   f  x  2 0    f  x  dx  f 0   1  x  3   f  x  dx   1  x  f  x  dx   1  x  dx Vậy 1 dx  f 0   Chọn D  Câu 108 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] thỏa mãn xf  x  dx  max f  x   Tích phân [0; 1] khoảng khoảng sau đây?  3  5 A ;   B  ; e 1    4        e x f  x  dx  f  x  dx thuộc D e 1;  e x f  x  dx    xf  x  dx x  C  ;  Lời giải Với số thực    ta có e f  x e x   x  dx   f  x  e x   x dx   e x   x dx 0 Suy     f  x  dx   e x   x dx   e x   x dx  e 1    e  Chọn C   0;1  0;1   2     0 e x x Câu 109 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục 0;1 Đặt g  x     f t  dt Biết g  x   f  x  với x  0;1 , tích phân 1 dx có giá trị lớn g x   A B 2 C D x   g 0   Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1     g 'x   f x  Theo giả thiết g  x   g 'x  t Suy  Do  g x  g 'x  f  x    g x   g 'x   t dx   1dx , t  0;1  g x  t g x  x t 1   g 'x  g x   1 1  t   1 t g t  g 0  g t  1 dx   1  x  dx  Chọn B g x  x Câu 110 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f  x    3 f t  dt  g  x  với x  0;1 , tích phân  g  x dx có giá trị lớn A B D   g    g  x   0, x   0;1 f t  dt , ta có      g 'x   f x  C x Lời giải Từ giả thiết g  x    3 38  g '  x    g 'x    g x    Theo giả thiết g  x   f  x   g x  2 t Suy 2 t g x  dx   t 3 dx , t  0;1  g x   x 2 t 3  g t   g 0  t  g t   t  2 3  g  x dx    x  1 dx  Chọn B   Do g 'x   x Câu 111 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn  0;1, thỏa mãn f  x   2018   f t  dt với x  0;1 Biết giá trị lớn tích phân  f  x  dx có dạng ae  b với a, b   Tính a  b A B 1009 C 2018 D 2020   g 0   2018 Lời giải Đặt g  x   2018   f t  dt , ta có  g  x   0, x   0;1     g 'x   f x  g 'x  g 'x   g x     Theo giả thiết g  x   f  x   g x  x g 'x  t Suy  g x  t t dx   2dx , t  0;1  ln g  x   2x 0 t  ln g t   ln g 0  2t  ln g t   2t  ln 2018  g t   2018.e 2t Do 1 f  x  dx   g  x  dx  2018  e x dx  1009e x  0  1009e 1009 Chọn A x2 Câu 112 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 Đặt g  x     f t  dt Biết g  x   xf  x  với x  0;1 , tích phân  g  x  dx có giá trị lớn B e 1 C D e    g     Lời giải Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x   0;1  g '  x   xf  x     g 'x   g x   g 'x    Theo giả thiết g  x   xf  x   g x  A x2 g 'x  t Suy  g x  t t t 0 dx   1dx , t  0;1  ln g  x   x  ln g t   ln g 0  t  ln g t   t  g t   e t Do g  x  dx   e x dx  e 1 Chọn B  0 Nhận xét Gọi F t  nguyên hàm hàm số f t  đoạn 0; x  Khi g  x    F t  x2 /   F  x   F 0   g '  x    F  x    x  F /  x   xf  x    / Câu 113 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1, thỏa f '  x   f  x   0, x  0;1 Giá trị lớn biểu thức 1 dx f x  f 0. e 1 e f 'x   1, x  0;1 Lời giải Từ giả thiết f '  x   f  x   0, x   0;1 ta có f x  A t Suy  B f 'x  f x  t e 1 e C t t 0 dx   1dx , t   0;1  ln f  x   x D e 1  ln f t   ln f 0  t  f t   f 0 e t 39 Do f 0. 1 e 1 dx   x dx  Chọn B f x  e e Câu 114 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn    f  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx  Lời giải Theo Holder A B  C  D 2       1    cos xf  x  dx    cos xdx  f  x  dx   f  x  dx 0    Suy  f  x  dx  (Đến bạn đọc chọn A)   Dấu ''  '' xảy f  x   k cos x thay vào  f  x  dx  ta     f  x  dx  k  cos xdx  k.sin x 0   0 Điều hồn tồn vơ lý Lời giải Ta có    f  x  dx   0     a  a cos xf  x  dx      a, b      với cos xf  x  dx     2      a  b   b   bf  x  dx     Theo Holder    2  a  b     a cos x  b  f  x  dx    a cos x  b  dx  f  x  dx   0 Lại có   a cos x  b  2 a  b   Từ suy   Do  dx   a  2b  2 f  x  dx   a  2b  với a, b   a  b   a  b 2      Chọn B f  x  dx  max   2    a  b        Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số a  b   Cách tìm giá trị lớn P  ta làm sau: a  2b Nếu b    P  (chính đáp án sai mà làm trên)  a     a  t  a b a  b   b  t  2t  b Nếu b   P    Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE dị tìm Kết 2 a  2b t2 2  a      b  2 a t      a  2b b a  2b  Vậy dấu ''  '' để toán xảy  thay ngược lại điều kiện, ta     f  x   b 2 cos x  1  cos x   f x    b 2 cos x  1 dx   b     thu GTLN P  Lúc    cos x  1 f  x  dx     dx       40 Cách khác Đưa bình phương Hàm dấu tích phân f 2  x , f  x , cos xf  x  nên ta liến kết với  f  x    cos x    Với số thực ,  ta có     0  f  x    cos x     f  x  dx   cos x    f  x  dx   cos x   2 dx          f  x  dx              đạt giá trị nhỏ Ta có 2    2 1 3                      2      Ta cần tìm ,  cho      Vậy với    ;    ta có     1   f  x   cos x        f  x  dx     cos x  1 3 f  x  dx    f  x   cos x     Dấu ''  '' xảy f  x             Suy  Câu 115 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn   sin xf  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx  A B  C  D 2 Lời giải Liên kết với bình phương  f  x    sin x   cos x   Ta có   f  x    sin x   cos x  dx    0    f  x  dx    sin x   cos x  f  x  dx    sin x   cos x  dx   2  f  x  dx            2 Phân tích      2     2  2           Chọn C 2      Câu 116 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1, thỏa mãn  f  x  dx   e x f  x  dx  Gọi m giá trị nhỏ tích phân 0   f  x  dx Mệnh đề sau đúng? A  m  B  m  C  m  D  m     a   ae x f  x  dx    Lời giải Từ giả thiết, ta có      b   bf  x  dx     Theo Holder 1 1  2 x   a  b     ae  b  f  x  dx    ae x  b  dx  f  x  dx   0 Lại có 41  ae x  b  dx   a e x  2abe x  b  dx   Suy  Do 0 e 1 a  e 1 ab  b a  b  với a, b   a  b  2 e 1 a  e 1 ab  b         a  b   1   f  x  dx  max    3,1316 Chọn D   1     e e   e 1 a  e 1 ab  b       2  f  x  dx  Câu 117 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn 1  f  x  dx   0 x f  x  dx  Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx A B C D    a    a x f  x  dx    Lời giải Từ giả thiết, ta có     b   bf  x  dx     Theo Holder 1 1 2 2 a  b    a x  b f  x  dx    a x  b dx  f  x  dx   0 Lại có    a   x  b dx   Do  a ab   b2 a  b  Suy  f  x  dx  với a, b   a  b  a ab  b         a  b       f  x  dx  max    Chọn D   a ab 2    b     2    Cách Liên kết với bình phương  f  x    x       Ta có   f  x    x    dx            f  x  dx    x   f  x  dx    x   dx  0     f  x  dx             2 2          1         18 3 Phân tích      Câu 118 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, thỏa x f  x  dx  31 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta 42 D 923521 2  2                2      31    x f  x  dx      x xf  x  dx      x dx    x f  x  dx     x dx   f  x  dx               Suy f  x  dx  314 2 3  x dx      1  3875 Dấu ''  '' xảy f  x   kx nên k  x dx  31  k    f  x   x Chọn B Câu 119 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đến cấp 0;2  thỏa f 0  f 1  f 2  Giá trị nhỏ tích phân   f ''  x  dx A B  Lời giải Ta có C  f ''  x  dx  x dx  f ''  x  dx      2 0 D 1 2      x f ''  x  dx    Holder udv x f ''x dx  f ' 1  f 0  f 1 ; 2  Holder  f ''  x  dx  3  x  2 f ''  x  dx      1    2 1  f ''  x  dx   x  2 dx     udvx f ''2x dx  Suy   f ''  x  2  f ' 1  f 2   f 1 2 dx   f ' 1  f 0  f 1   f ' 1  f 2  f 1  f 0  f 1  f 2   Chọn B   2 a  b  Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a  b  Câu 120 Cho hàm số f  x  có đạo hàm 1;3 f 1  0, max f  x   10 Giá trị nhỏ tích phân 1;3   f '  x  A B C 10 D 20 Lời giải Vì max f  x   10   x  1;3 cho f  x   10 1;3    x  1;3 cho f  x   10 f 0 Theo Holder x0 x0 x0  x0     12 dx  f '  x  dx   x 1  f '  x  dx f ' x d x              1 2  x0 2  x0   Mà   f '  x  dx    f  x     f  x   f 1  10      x0 Từ suy   f '  x  dx  10 x 1 x0 2 10 10 Chọn B     f '  x  dx    f '  x  dx   x 1 1 1 43 dx ...  t sin 2018 t   x sin 2018 x d t  d t   sin2018 t  cos2018 t  sin 2018 x  cos2018 x dx sin 2018   t   cos2018   t  0 2018   x sin 2018 x x sin 2018 x  sin 2018 x d x... dx 2018 2018 2018 2018 2018  sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos2018 x 0   Suy I          sin 2018 x   sin 2018 x sin 2018 x  I   dx    dx   dx  2018 2018 sin 2018. .. sin 2018 x  cos 2018 x  sin 2018 x  cos 2018 x sin x  cos x      Đặt x  u  ta suy      sin 2018 x cos2018 u cos2018 x dx   du   dx 2018 2018 2018 2018 2018 sin x  cos x