Các dạng toán về biểu thức đại số

1 Website:tailieumontoan.com CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán biểu thức đại số Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán biểu thức đại số thường kì thi gần Chuyên đề gồm mục lớn sau: Chủ đề 1: Rút gọn phân thức hữu tỉ Chủ đề 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức biến Chủ đề 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức nhiều biến Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức Chủ đề 5: Biểu thức chứa thức toán liên quan Các vị phụ huynh thầy cô dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề biểu thức đại số giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Trang Chủ đề Rút gọn phân thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 14 15 15 16 19 Chủ đề Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện Dạng 1: Sử dụng phương ph{p ph}n tích Dạng 2: Sử dụng phương ph{p hệ số bất định Dạng 3: Sử dụng phương ph{p hình học Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 24 25 27 28 28 34 Chủ đề Một số phƣơng pháp chứng minh đẳng thức Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Dạng 3: Sử dụng phương ph{p đổi biến Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 49 50 51 53 53 54 56 58 63 Chủ đề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan Dạng 1: Các toán biến đổi thức thường gặp Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa toán Dạng 3: Các toán tổng dãy có quy luật Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa có nhiều ẩn Dạng 5: Rút gọn biểu thức toán liên quan Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải Fb: Trịnh Bình 77 78 83 84 87 97 101 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: C{c bước rút gọn biểu thức hữu tỷ Tìm ĐKXĐ: Ph}n tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất nhân tử khác Phân tích tử thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung  Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ x4  x3  2x  2x4  3x3  2x2  6x  Thí dụ Rút gọn biểu thức A  Lời giải Ta có:   x           x  x     x    x  1 x    6x    2x     3x  6x    2x     x    3x  x     x     x   2x  3x     x    x   2x  1 x4  x3  2x2   x   x  2x  x  x   x x  2x  3x  2x 2 2 4 2 2 2 Điều kiện x{c định A x  2, x   Ta có:  x    x  1 x    x  A  x    x   2x  1 2x  2 Vậy với x  t   x1 A  2x  Thí dụ Rút gọn biểu thức B  2xy  x  z  y 2x2  z  y  2xz Lời giải Ta có: B  z  x  2xy  y x    z   x  y    z  x  y  z  x  y   2xz  z2  y 2  x  z  y2 Với x  y  z  0,x  y  z   B   x  z  y  x  z  y  zxy xyz  Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan x4  5x2  Thí dụ Cho biểu thức A  x  10x2  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị A 2x   Lời giải a) Ta có:           x  1 x     x  1 x  1 x   x      x  x    9x    x  x  1   x  1   x  1 x     x  1 x  1 x   x   x4  5x   x  x  x   x x   x  x4  10x2 2 2 2 Điều kiện x{c định A x  1, x  3 Ta có: A  x  1 x  1 x   x     x   x    x  1 x  1 x   x    x   x   b) Ta có: A0  x   x     x  2  x  3 x  3 c) Ta có:  2x    x4 2x       x  3  2x   7 Với x = A   x   x          1.6   x  3 x        1.7 Với x = - A khơng x{c định 2x3  7x  12x  45 Thí dụ Cho biểu thức B  3x  19x2  33x  a) Rút gọn B b) Tìm x để B > Lời giải a) Ta có:       x    3x  10x     x    3x  9x    x      x    3x  1   2x  7x  12x  45   2x  6x    x  3x   15x  45    x    2x  x  15    x    2x  6x    5x  15    x    2x     3x  19x  33x   3x  9x  10x  30x   3x   3 Fb: Trịnh Bình 2 2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều kiện x{c định A x  3, x  Ta có:  x    2x    2x  B  x    3x  1 3x  2 b) Ta có:    x     3x     x    x     2x  2x   B0      3x   3x   x    x       2x     x     Vậy để B > x  x y2  x2 y2  xy  x2 Thí dụ Cho biểu thức: P    với   2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y x  0; y  0; x  y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2  y2  10   x  3y  Lời giải 1) Với x  0; y  0; x  y ta có:   2 2 xy  x y  x  y  x  y   xy  P  x   x  xy  y xy  x  y    xy xy  x  y    x  y  x  y    x xy  x  y  x  xy  y 2   2 xy  x  y  x  xy  y   x xy  x  y  x  xy  y  xy xy   x xy xy 2) Ta có: x2  y2  10   x  3y   x  2x   y  6y     x  1   y    Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x  Lập luận   (tm)  y  3 Nên thay x  1; y  3 vào biểu thức P  x  y   3    xy  3    x   2x Thí dụ Cho biểu thức: A     : 2   1 x 1 x 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A Lời giải a) ĐKXĐ: x  1; x    x  1  x     x   x2  A     2x  x2   2 x     x  2x  2x x  1(ktm) b) A nguyên, mà x nguyên nên 1  2x  , từ tìm  x  0(tm) Vậy x  c) Ta có: A  A  A    2x   x  Kết hợp với điều kiện : 1  x  2  Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Ví dụ Tính tổng: S  1 1     1.3 3.5 5.7 2007.2009 Lời giải Ta có: 1  n  2  n  1       n n   n n  2 n n  2 Do đó: S 1 1 1  1  1004        1     2 3 2007 2009   2009  2009 Ví dụ Cho M  Fb: Trịnh Bình 2.1  1  2.2   2 1 2 2  2.3   3 2 3    2.2012   2012  2012  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tính giá trị biểu thức M Lời giải Ta có: 2a  a a   1  a  a  12 Do đó: 1 1 1        2 2 3 2012 20132  1 20132 M  1 Ví dụ Rút gọn biểu thức: M  1.2   2.3 2   2.n   n  n  1 Lời giải Ta có: 2k   k  k  1  2k  k  k  1  1  k  k  1 Do đó: M n  n  1 1 1 1 1 1            2 2  n  1 2 3 n n  n  1  n  1 Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức:      M               n  Lời giải Ta có: 1 k   k  1 k  1   k2 k2 k2 Do đó:  n  1 n  1  1.3.2.4  n  1 n  1 1.3 2.4 3.5 2 n2 2.32.4 n 1.2.3  n  1 3.4.5  n  1 n  n     2.3.4 n n 2n 2.3.4  n  1 n M Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  Bài tập vận dụng  x2  2x  2x2   1   Câu Rút gọn biểu thức sau: A   2    2x  8  4x  2x  x   x x   x1 x2  x  x2  :      x x2  x  x2  2x   x Câu Cho biểu thức : P  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nhỏ P x  Câu Tìm tích: M  14  54   17  34   114  19   4x 8x2   x  2  :   Câu Cho biểu thức : A       x  x   x  2x x  a) Tìm điều kiện x{c định, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  1 c) Tìm giá trị x để A   x4   x8  Câu Cho biểu thức P    : 1    x  1  x 1 x 1  x  x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình x2  3x    x2  2x  2x 2   1   Câu Cho biểu thức A   2    2x  8  4x  2x  x   x x  a) Tìm x để giá trị A x{c định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu Cho biểu thức M  x4  x2  x2    x6  x  x  x  4x  a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Câu Rút gọn biểu thức: Câu Rút gọn biểu thức: P  x x 2   a  1  a   a x  a 1  a   a x2  2 1 a  4a  a  a  7a  14a  Câu 10 Cho biểu thức sau:  2x  2x   21  2x  8x P   1 : 2  4x  12x  13x  2x  20 2x   4x  4x  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên b) Tính giá trị P x  d) Tìm x để P  Câu 11 Cho P  a  4a  a  a  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 12 Tính: A  1 1     3 3 HƢỚNG DẪN GIẢI x  Câu Điều kiện:  x   x  2x  2x 2  A  1     2x  8  4x  2x  x   x x   x  2x  x2  x  2x     x2  4   x   x2   x   x2      x  2x   x  1 x   2x     x2  x2 x2    x        x  x    4x    x  1  x    x x   x  x    x  1 x    2x 2x  x    x   x2   4x  4x  4x x  x x2    2 Vậy A  x1 với 2x x   x  Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1; x  1 Rút gọn P ta có: P  x2 x 1  1 x    2 2 x x x x1 1 1  0  0 b) P   x 1 x 1 x 1 x 1  x 1   x  Vậy với x  x  0; x  1 P  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com a) Ta có: P  x2 x2   1   x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Khi x  1; x   Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x    Dấu "  " xảy x 1 x  Vậy GTNN P  x  Câu 2 Nhận xét được: n    n  1  1  n  1  1 Do đó:       4 M   1   1  2  2 2   1   16  1 18  62  2   1  20    1 20  401  18  2 Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  2  4x 8x   x   4x   x   8x x    x   A  :   :    2  x x  x  x x x  2  x x  2x        8x  4x  8x x   2x  8x  4x 3x  :  :   x   x  x  x     x   x  x  x    4x   x    x   x  x x  2 3x 4x2  x3  x  1 4x2  1  4x  x     b) A  1  x  x3  4x2   x3  x x3 Vậy x  3; x  0; x  2 A  c) A   Câu a) Với x  ta có:   x2  x   x  x4 x2  x  : P    x  1 x  x   x   x  x   x2  x     x   x2  x   x2  x  2x  x2  x     :    x  1 x  x   x  x   x   x  x  x 9             x   x  1  x   x  1  x   x  Vậy x  P  x3 x2   x  2(tm) 23  b) x2  3x     Thay x  vào P ta có: P  2  13  x  1(ktm) Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com Cho biểu thức: P   x  1  x   x2   x  1  x   x (với 1  x  1) Tính giá trị biểu thức P x   2019 Câu 31 (HSG Thái Bình 2011) Chứng minh rằng: 87 1 88      89 2011 2010 45 Câu 32 (HSG Chuyên Hưng Yên 2019-2020) Rút gọn biểu thức A  2    20  20 HƢỚNG DẪN GIẢI Câu a) Điều kiện: x  y; x  1; y  x3  x2  y  y  x3 y  x2 y x  xy  y  x  y  x y P  (x  y)(1  y)(1  x) (1  y)(1  x) x2  x2 y  x  y 1 x  x  xy  y  b) Đặt S   1 1 1         2 2 2017 20182 1 1  Ta có    1     n (n  1)  n n   n(n  1) (n  * )  1  1  1   1   n n 1 n n 1   1  1  1  Áp dụng đẳng thức ta S                  2  3  2017 2018  = 2018   2018 (điều phải chứng minh) 2018 Câu Từ giả thiết cho ta có: 1    xz  yz  xy  2xy  2xz  2yz  x y z  x2  y2  z2  x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz  x  y  z  xyz  x2  y2  z2 số hữu tỉ Vậy ta có điều phải chứng minh Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com Câu a) Rút gọn T: Với a  b,a  0, b  , ta có: T a  b  ab a b Vậy : T  a  a b  b a  b3  a  b3  : a  b  ab a b  a b   a  b  ab a b   a b ab   a b a b    ab , với a  b,a  0, b  ab b) Chứng tỏ T > a  b  ab Ta có: T   T ab a b  , với a  b,a  0, b  (kết câu 1.a) ab ab   a b  ab   (vì ab  0, a  b  với a  b,a  0, b  ) Vậy T > Câu Ta có ngay: A  20  45  125  405    15  18  B  94  94      2    2.2  2.2 2.1   2 1    2 1 2  2.1   2 1  2 1  2 1 2 1  Câu Ta có:    1    (do2   0) 2.3    2.3 3.4     3.4 2018.2019       2018 2018.2019      P  1 1       2.3  3.4   2018.2019  2.3  3.4  2018.2019   2.3 3.4 2018.2019     2018  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC ab ab 10 Website:tailieumontoan.com 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020  2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 1.2 .2017   4.5 .2020   1.2020  2020  1010   2.3 .2018   3.4.5 .2019  2018.3 6054 3027  Câu a) Điều kiện x  0; x  A   x 1 1 : x x  x  x x  x  x 1 x x  x  x 1 x x 1     x x x 1  x 1 x x x 1   x2  x      x 1 x  x 1  x 1   x 1  x 1 b) Ta có: T  B  2A2  x  5x  8x  2025   x  1  x  5x  8x  2025  2x  4x   x  7x  4x  2023  x  8x  16  x  4x   2003    x    x    2023  Vì x2   2  0,  x     T  2003 x  x     Dấu “=” xảy      x  2  x   x   x   Vậy với Tmin  2003  x  Câu a) Rút gọn biểu thức P :  Điều kiện : a  0, b  ab P  P:      ab  a  b a  b a b Fb: Trịnh Bình   a b    a  b a  b a b  P    a  b  ab  ab  a b  a  b a  b  a  b  a  b    a  b  a  b   a  b TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com b) Ta có: a  a  2019  2018    b  2020  2019 b      P  a  b  2018    2019  1 2018  2   a  2018    b  2019   2019   2018  2019 Câu 1) Điều kiện  a    1 a 1 a 1 Q     a  2a   a  a   a  a  1 a  1 a   1 a   a  a2        a  2a    1 a  1 a a   a  a   a   a         a2  1 a 1 a      a   a   a   a  1 a  1 a  a  1  a   a   a2      a 1 a   a   a  a (do a  0)  a   a  a2 1  1  a  a 1 a  1 a (do  a  1)     1 a  1 a   1 a  1 a 1 a  1 a  a 1  a  a   a   a2 2a   a2  (1  a)  a     a2 1 1  a  a  a2 1 (1  a) a  a2 1 (1  a) a 2) Điều kiện  a  Ta có: Q3   a  1 Xét hiệu : Q3  Q   a  1   a  1   a  1  a  1  1   a  1 a   1 a   1  a(a  1)(a  2)   Mà Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com a    a   a    a  a  1 a    a     Q3  Q   Q3  Q Vậy Q3  Q Câu   10    15  15    16  15   .      A   15  15  82 5   5    5    15   15    Câu 10 Điều kiện a  a)  a a  a  a P   a  a  a   a    a    a 2  a   a 1     a a   a  a 1  a a  4a     a 2 a    a        a a a 2 a 2 a  a 2 a     a 1  a  a a   a  a  a  b) Điều kiện a  Ta có:  1 9 P  a  a     a     2 4  1   a   a  (tm) 2 Vậy MaxP  a  4 Dấu “=” xảy  a  Câu 11 Điều kiện a  0; x  Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com x  a 1 1 a  a2  a  1 a  2a   a  2a  2a  a 1 (a  1)2 a  2a  a  2a   2a  a 1  a  1 a  a 1  a 1 a 1  a  1  2 a2  a  a2  a    a 1  a 1 a 1   a2  a   0 a 1  a  2a   a  a  a   1a  a 1 a 1   x  a   P  x  x2 x 1 1 x  2x  x x 1 1  x 1 x   x 1  x  1 x 1 x 1  1 x  1 2 a 1 a 1   a  1 a 1a  2a  Vậy P  2a  Câu 12     2    x  y  x  y y       x  y x  y  x  2y x x  y y         x  y  xy  x  y  xy y y x x    x  y  2x  4y xy x  y        2(x  y)  3(x  y)  x  y  xy xy     x  y   x    5 xy  x  y  x  y x  y  xy 1  x  y  xy  xy  x  y  xy    Fb: Trịnh Bình x y  0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com x 1 y xy Vậy x 1 y  a  a  b2 a  a  b2   a  a  b2 a  a  b2  Câu 13 P        a  b  a  a  a  b2 a  2  a  a  b2 a  b2   a  a 2b , :  b   a  b 0 b2 a  a  b2   a  a  b  a a  b  a  a  b  2a a  b a   a  b2   b2 a a  b 4a a  b b2 a a  b2   b2 a a  b a a  b2  a  b2 a    a  b2   a  b2 a0  2  a b Câu 14 A  x  a  a  x  2x a a  x  2x a  = x x 2 x a x a x x  x  a  x +) Với x  a x  a  x  a nên A =  x a x a  x  2x x 2 x +) Với  x  a x  a   x  a  a  x nên A = a xx a x  a x Câu 15 a) Với x  0; x  , ta có:  x3 x 2   A   :  x x 8  x  x    Fb: Trịnh Bình  x3 x 2  x 2 x2 x 4      x x  x  x    x2 x 4   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com  x 2   x 2 x2 x 4 x x  x2 x 4   Ta có x  14    2.3    Khi đó, ta có: A  3   2   A   2   14     b) Ta có A2  24   2  3    x 3  24  3      8 3    Do A  nên A   Câu 16 a) + Biến đổi x4 x 4 x x 2  x x  1 x = + Biến đổi x 1 1 x + Ta có A  + Vậy A   x 1 x 1 x :      x 2  x 1 x 2 x 1 x 1  x 1 x 1  x 1   x 2 x  x x x 1      x   x 1  x 1 x 1  x 1  x 1   x 1 x 1  x , với điều kiện x  0, x  b) Ta có: A  2018 2018  1 x  1 2018  x  2018 x  2018   x  2018 Vì x  0, x  x nguyên nên x 2; 3; 4; ; 2018 Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn tốn Câu 17 Ta có: A Fb: Trịnh Bình  a 2a b  ab :  ab  ab TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com  2(1  a) ab(1  a)  Khi a  0; b  , ab a+ b a + b = ab  1 ab a  b 1  1 a b  1 (1  )      Dấu “ = “ xảy  b  4; a  Vậy giá Do A   b 2 b b 1 trị lớn A a  b  4 Câu 18 Ta có:   a3  a 2 a 1 P  1 a   a  1  a 1  a          1 a 1 a  a  a 1  P   a    a a 1 a 1    1 a  a  a 1 P  1 a  (Do a   a   a   0)   a  a   P   1 a  a  a 1a  a a 1 a P a 1 a 1 a a 1 a 1 Câu 19 a) P    x 2 x 1  x 3 5 x  3x  x  x4 x 5  x 2 x 1  x 3 5 x   3x  x   x 1 x 5  ( x  2)( x  5)  ( x  3)( x  1)  (3x  x  5) ( x  1)( x  5) x  x  ( x  1)( x  5)  ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  5) Ta có P  2   + Với Fb: Trịnh Bình  x 2 x 5 x 2 x 5  2    x5 0 x 5  x  12 x 2 x    x  25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x  12  x  144 + Với Câu 20 Điều kiện : x  0, x   x  1 A 2 x 1  x2  x  x x 1   x x x 1  x 1  x x 1  2x  x  2 x x 1   1 3   x x   x  x     x     4  2 4 1 Vậy A  Dấu "  " xảy  x    x  4 (tm) Câu 21  x  1 x2  y  x2  y2 x a) Ta có: Q   y :  x  x2  y2  x  x2  y2 x  x2  y    y x2  y2 x2  y2 x    x x2  y2 x x2  y2  x2  x2  y2  y x2  y2 y  xy  x2  y2 x  y x  y xy Vậy Q  xy  xy xy với x  y  b) Ta có: Thay x  3y (thỏa mãn ĐK) v|o biểu thức Q, ta được: Q 3y  y 3y  y Vậy Q   2y 4y  2 x  3y Câu 22 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com  A x y   2x xy y  x xy y xy  3y xy x x  3x y  3y x  y y  2x x  y y    x x    x  y x  xy  y x  x y    y   x y x y   x y  y  x y y  x y x 3 y   xy  y  x  y x  xy  y với x, y  x  y x y 3 Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x, y  x  y Câu 23 a) ĐKXĐ: x  0; y  0, y  1,x  y  P  x  b)     x   y  y  xy  x y   x  y 1 y    x y x 1   x  y  x  xy  y  xy  x  y 1 y  x 1    x  xy  y   P   x  xy  y   x  y   y 1      x 1 1 y  Ta có:  y   x    x   x  Kết hợp với điều kiện x    x   x  0;1; 2; 3; 4 Thay v|o phương trình P    Ta  x; y    4;  ;  2;  Câu 24 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com   a  b2 ab ab    a  b    ab  ab 2 2 a  b a  b  a  b    2 ab ab   a  b    a  b  a  b a  b a  b  a  b  a  b   P   a  b    a  b  a  b  a  b  ab   ab  ab a  b a  b 2b a  b a  b2  a  b a  b   ab  ab ab  ab    a  b2 a  b2 a  b2 b Vì a – b =  a = b + theo BĐT AM – GM: a  b2  b  1  b 2b2  2b  1 P   = 2b +   2b    2  b b b b b Câu 25 a) ĐKXĐ: x  0; y  0, xy  P    x  y  xy   x  y  xy  xy  :   xy  x  y  xy     xy   xx y y y x xx y  y y x  xy  xy  x  y  xy      xy x 1  x 1  y  b) Với x   2 P 1  x x 1  y  x  1  x 1  y   x 2   1  1 1 2     2        42    1 1  1 2 52  2 13 Câu 26 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x3 x 2 x x   1  a) P      :    x x 2 x 1   x 1 x 1      x3 x 2 x   x 1 x 1     :  x 2 x  1  x  x  x            x3 x 2x2  x 2  x 2  x 2    x 1 x 1   x  x  1  x  1    x x 1 x 1 x x 1 x x  0; x  1 x 1  b)  1  x x 1 P  1   x 1 *   16 x   Vậy x    x 1 x 1  *  1   x 3   0 x   tm  x 1  1 P Câu 27 Với điều kiện x  0,x  , ta có: P x2 x    x 1 x  x 1   x 1 x x  x 1   x   x  1 x  1  2x  x  x  1 x  x  1 x x  x  2  x  x  1 x  x  1  x  1 x    x    x  1 x  x  1 x  x    x x2 x   2x  x   x 1 x  x 1  x 1 Ta có với điều kiện x  0,x   x  x   x   0P x 2 x x 1  x 2 x 1  1 Do P nguyên nên suy P   Fb: Trịnh Bình x 1 2 x 2 x x 1   x  (loại) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Câu 28 Ta có A  x2  x x2  x   x x  x 1 x  x 1   x 1  x   x   2x   Do B   2A  x    x     x  x Câu 29 Ta có:  a2            62 42 62   1 62    1   1  Vì a  nên a   Do  a  1  hay a  2a   Câu 30   P   x    x2    x2       P2  1  x     x2    1  x  1  x  Mà P   x  1  x   x2   x  1  x   x   P  1  x  Với x   2019 P 2019 2018 Câu 31 Với n số nguyên dương ta có:  n  1 n  n 1  n 1  n        n  1 n n n 1 n n 1  n n 1 Suy ra: A   1 Lại có: Fb: Trịnh Bình 2  2011  n  1  A 2  n  2     1 n 1 2011 2010  1  2     2010  2011 87  89 89    n 1  n 2010   n n  n 1     88  1   1    2011 2011   45  45  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Câu 32 Ta có     20  20 15  2      2       A2 Fb: Trịnh Bình  20 5  4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC