Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về hệ phương trình và hình phẳng oxy đặng việt hùng

Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ VIỆT NAM TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN ĐẶC SẮC HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HÌNH PHẲNG OXY (Sách quý, bán không tặng) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]  x + y + xy = ( x + y )( xy + ) −  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + ( x + y ) = + − y Lời giải x + y ≥ ĐK:  Ta có: PT (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy + ( x + y ) − y ≤1 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = xy ( x + y − 1) ⇔ ( x + y − 1) = xy ( x + y − 1) 2 ⇔ ( x + y − 1)( x + y − − xy ) = ⇔ ( x + y − 1)( x − 1)( y − 1) = • Với x = ⇒ + y = − y ⇔ y = − x ≤ • Với y = ⇒ x + x + = ⇔  ⇔ x = −1 x + 2x +1 = • Với x + y = ⇒ x + ( x − x + 1) = x + ⇔ ( x − x + 1) = (1 − x ) + x Đặt a = − x; b = x ta có: a + b ≥ ( a2 + b2 ) = a + b ⇔  ⇔ a =b≥0 ( a − b ) = x ≤ 3− Khi − x = x ⇔  ⇔x=  x − 3x + =   − −1 +     Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) ; 1; −  ;  ;  3  2     x+3  = ( x + y )( y − 1)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   y − + − x = x + 16  Lời giải:  y ≥ ;x ≤ ĐK:  Khi đó: PT (1) ⇔ x + y − ( y − 1) = ( x + y )( y − 1)  x + y ≥ Đặt u = x + y ; v = y − ( u; v ≥ ) Ta có: u − 2uv − 3v = ⇔ ( u + v )( u − 3v ) = ⇒ u = 3v ⇔ x + y = y − ⇔ x = y − 2 Thay vào (2) ta có: 2 x + + − x = x + 16 ⇔ ( x + ) + 16 − 16 x + 16 ( − x ) = x + 16 ⇔ ( − x ) + 16 ( − x ) = x + x Đặt t = ( − x ) ≥ ta có: 4t + 16t = x + x  2t = x ⇔ ( 2t − x )( 2t + x + ) = ⇔   2t = − x − ( loai ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Với 2t = x ⇒ ( − x ) = x ≥ x 4 + 27 ⇔ ⇔x= ⇒y= 18 9 x = 32  y2 2 x − x + x + y =  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x x2 + y2 = y  Lời giải: ( ) ĐK: x ≥ Thế PT(2) vào PT(1) ta có: x − x + x + y = ⇔ x ( ) x −2 + x +y 2 (2 − x ) = ⇔ ( x ( x2 + y ) ) )( x = x − 2 x − x2 + y = ⇔  2 4 x = x + y y2 + 657 ⇔ (16 + y ) = y ⇔ y − y − 144 = ⇔ y = ± 2   y 4y 4 x = x + y x + y2 = x =   x = 0; y =    3 2 Với x = x + y ⇒  ⇔ ⇔ ⇔    2y 2  x = 1; y = ± 2 x = x = y x = y    3   + 657    Kết luận: Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) ; 1; ± ;  4; ±       Với x = ⇒ (16 + y ) = ( ) ( x + y + 1) xy + y = y ( x + y + 3)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + − y − x − + x + x + y − = ) )( ( (1) (2) Lời giải:  x ≥ −1  ĐK:  y ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 1) y ( x + 1) = y ( 3x + y + 3)  x + x + y − ≥ Đặt  a2   3a  y = b ( a, b ≥ ) ⇒  + 3b  ab = b  + 4b      ( x + 1) = a; ⇔ ab ( a + 6b ) = b ( 3a + 8b ) ⇔ b ( a + 6ab − 3a 2b − 8b3 ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = (3) Vì y ≥ ⇒ b = b  15b  y > a − ab + 4b =  a −  + > 2  Do (3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b ⇒ ( x + 1) = y ⇒ x + = y Thế y = x + vào (2) ta ⇔ ( ( x + − x +1− )( ) x + − x − x − + x2 + x − = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn )( x − + ) x2 + x + x + − = (4) Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ) ( ( Do x ≥ ⇒ x + + x − > nên (4) ⇔ ( x + − x + 1) x − + x + x − = ⇔ x − + x2 + x − = x + + x − Đặt x + + x −1 ) (5) x + + x − = t ( t ≥ ) ⇒ t = x + + x + x − = x + + x + x − ⇒ x + x2 + x − = t = −2 t2 − t2 − Khi (5) trở thành − = t ⇔ t − 2t − = ⇔  2 t = Do t ≥ nên có t = thỏa mãn ⇒ x + + x − = ⇔ x + = − x − 1 ≤ x ≤ 17 4 − x − ≥  x − ≤ 13 1 ≤ x ≤ 17  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 13 ⇔ x =  x =  x + = x + 15 − x −  x − = 4 ( x − 1) = ⇒ 2y = 13 17 17  13 17  + = ⇒ y = Thử lại ( x; y ) =  ;  thỏa mãn hệ cho 4 4 8  13 17  Đ/s: ( x; y ) =  ;  4 8 1 + ( x − y + 1) = 1+   ( x − y + 2) ( x − y + 1) Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   2 ( x + ) x + y + − y + = − x + y + x + ( ) (1) (2) Lời giải: ĐK: x − y + > 0; x + y + ≥ 0; y + ≥ 0; x + y + x + ≥ (*) Đặt ( x − y + ) = t ≥ Khi (1) trở thành + (t − 2) t = 1+ 3 ⇔ (t − 2) + t − = t + t ⇔ f (t − 2) = f (t ) t −2 (3) Xét hàm số g ( u ) = u + u với u ∈ ℝ có g ' ( u ) = 3u + > 0, ∀u ∈ ℝ  t = −1 ⇒ g ( u ) đồng biến ℝ Do (3) ⇔ t − = t ⇔  t = Kết hợp với t ≥ ⇒ có t = thỏa mãn ⇒ ( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) = ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta ⇔ ( x + 2) Đặt (a ( ( x + 2) ( ) 2x + − x +1 = − x + = a; ) 2x + − x + = − 2x2 + 5x + ( x + 1)( x + 3) (4) x + = b ( a, b ≥ ) Khi (4) trở thành − b ) ( a − 2b ) = a − 2b − ab ⇔ ( a + b )( a − b )( a − 2b ) − ( a + b )( a − 2b ) = ⇔ ( a + b )( a − 2b )( a − b − 1) = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn (5) Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  a = 2b Với x ≥ −1 ⇒ a + b = x + + x + > Do (5) ⇔  a = b + • x +1 ≥  x + ≥  a = 2b ⇒ x + = x + ⇔  ⇔ ⇔ x=− 2 x + = ( x + 1)  x = − 1 ⇒ y = − Thử lại x = y = − thỏa mãn hệ cho 2 •  x ≥ −1  x ≥ −1 a = b +1 ⇒ 2x + = x +1 +1 ⇔  ⇔ 2 x + = x + + x + 2 x + = x +  x ≥ −1  x ≥ −1    x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −1) ⇔  x + = ⇔  x = −1 ⇔   x = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 3;3)  x =   x +1 = Thử lại ( x; y ) = {( −1; −1) , ( 3;3)} thỏa mãn hệ cho   1  Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −1) , ( 3;3) ,  − ; −    2    x2 + y2 x + xy + y + = x+ y  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình   3 xy − x − = − y + x − + x + y + (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − ≥ 0; x + y + ≥ 0; xy − x − ≥ (*) Khi có ( x + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + y ) ≥ ( x + y ) 2 x2 + y2  x + y  ⇒ ≥  ≥0⇒   2 x2 + y2 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 (3) ( x + xy + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + xy + y ) ≥ ( x + y ) x + xy + y  x + y  ⇒ ≥  ≥0⇒   Từ (3) (4) ta có 2 x + xy + y 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 (4) x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + y Dấu " = " xảy ⇔ x = y ≥ Do (1) ⇔ x = y ≥ Thế y = x vào (2) ta x − x − = − x + x − + 3x + ⇔ x − x + = − x + x − + x + (5)  x + = a ≥ Đặt  ⇒ x − = 2a + b − Khi (5) trở thành 3ab = −2a − b + + b + 4a  x − = b ≥ ⇔ b + ( 3a − 1) b + 2a − 4a − = Coi phương trình bậc hai ẩn b với a tham số Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Xét ∆ = ( 3a − 1) − ( 2a − 4a − ) = a + 10a + 25 = ( a + ) •  − 3a + a + = −a + b = ≥0⇒ b = − 3a − a − = −2a −  b = −a + ⇒ x − = − x + ⇔ x − + x + = (6) Với x > ⇒ VT (6) > 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với ≤ x < ⇒ VT (6) < 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với x = vào (6) ta thấy thỏa mãn Do (6) ⇔ x = ⇒ y = Đã thỏa mãn (*) • b = −2a − ⇔ 2a + b + = ⇒ x + + x − + = Phương trình vơ nghiệm Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ( x + x ) x − y + = x + x + y +  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ( x − ) x + x + + ( y + ) y + y + = x + y (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − y + ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + x ) x − y + − ( x + x ) + ( x − y − 1) = ⇔ ( x2 + x ) ( ) x − y + − + ( x − y − 1) = ⇔ ( x + x ) ( x − y + 8) − + x− y +8 +3 ( x − y − 1) =   x2 + x ⇔ ( x − y − 1)  + 1 = ⇔ ( x − y − 1) x + x + + x − y + =  3+ x − y +8    ( ) (3)  11  Ta có x + x + + x − y + =  x +  + + x − y + > 2  Do (3) ⇔ x − y − = ⇔ y = x − Thế y = x − vào (2) ta ( x − 2) x2 + x + + ( x − + ) ( x − 1) + ( x − 1) + = x + ( x − 1) ⇔ ( x − ) x + x + + ( x + 1) x − x + = x − Đặt x + x + = a; (4) x − x + = b ( a, b ≥ )  a2 + − b2   a2 + − b2  Khi (4) trở thành a  − 2 + b + 1 = a − b 2     ⇔ a ( a − b − 3) + b ( a − b + 3) = ( a − b ) ⇔ ( a − b3 ) + ab ( a − b ) − ( a − b ) − ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ab − − 2a − 2b ) = ⇔ ( a − b )  ( a + b ) − ( a + b ) − 3 =   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ⇔ ( a − b )( a + b + 1)( a + b − 3) = (5) a = b Do a, b ≥ ⇒ a + b + > nên (5) ⇔ ( a − b )( a + b − 3) = ⇔  a = − b •  x2 + x + ≥  x + x + ≥ 1   a = b ⇒ x2 + x + = x2 − x + ⇔  ⇔ ⇔ x= 2  x + x + = x − x + x =  ⇒y= • 1 1 1 − = − Thử lại ( x; y ) =  ; −  thỏa mãn hệ cho 2 2 2 a = − b ⇒ x + x + = − x − x + ⇒ x + x + = x − x + 11 − x − x + x ≤ 5 − x ≥ ⇔ x2 − x + = − x ⇔  ⇔  2 8 x + x − = 9 ( x − x + ) = ( − x ) x ≤  x = −1 ⇒ y = −1 − = −2 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −2 )    x = −1  ⇔  ⇔ 7 7 1 x = ⇒ y = − = − ⇒ ( x; y ) =  ; −   x =  8 8 8      Thử lại ( x; y ) = ( −1; −2 ) ,  ; −   thỏa mãn hệ cho  8       1  Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ,  ; −  ,  ; −    8   2   ( )  x2 + ( x + y ) x + y − = y y + y − (1)  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ) ( y + x + ) y + y + = x ( y + x + ) (2) Lời giải: x + y −1 ≥ x + y ≥   ĐK: 3 y − ≥ (*) ⇒ y + x + > 0; y + x + > 0; ⇔ y ≥   y + y + ≥ y + y + > Khi từ (2) ⇒ x > Xét phương trình (1) ta có Với x > y ≥ ( ) ( ) ⇒ VT (1) > y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với < x < y ⇒ VT (1) < y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với x = y vào (1) ta thấy thỏa mãn Do (1) ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta Đặt (x + x + ) x3 + x + = x ( x + 3x + ) (3)  x3 + x + = a + x x +x +4 =a >0⇒ 2 2 x ( x + 3x + 8) = x ( 2a + x ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Khi (3) trở thành a ( a + x ) = x ( 2a + x ) ⇔ x3 − 5ax + 4a x − a = x = a ⇔ ( x − a ) ( 2x − a ) = ⇔  2 x = a • x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x2 + ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅ x = x + x + x + = •  x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x + ⇔  ⇔ ⇔ x =  4 x = x + x + ( x − ) ( x + 1) = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 2; ) Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2; )  x3 + xy − y = x y + y − x,  Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2x2 − y +  x + y = x +1 ( )  Lời giải Phương trình thứ hệ tương đương với x3 + xy + x − x y − y − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1) = ⇔ x = y Khi phương trình thứ hai trở thành Đặt x+ x2 + = ⇔ ( x + 2) x2 + = ( x2 + ) x x ( x + 1) x + = u; x = v ( u > 0; v > ) ta thu ( 2v uv = + ) u = ( u + ) v ⇔ uv ( 2v − u ) = ( 2v − u ) ⇔   2v = u uv = ⇔ x3 + x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = x = 2v = u ⇔ x + = x ⇔  x = Phương trình ẩn x có nghiệm S = {1;3} dẫn đến ( x; y ) = (1;1) , ( 3;3) Thử lại nghiệm hệ ban đầu 2 4 x + xy + y + x + y = 2, Câu 10 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  8 − x + y = Lời giải Điều kiện x ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với 2 x + y = t 2 x + y = t ⇔ (2x + y ) + 2x + y − = ⇔  t + t − = t ∈ {−2;1} x =  y = u; u ≥  y = u; u ≥ Xét t = ⇒ y + y = ⇔  ⇔ ⇔ u =1⇒  y =1 ( u − 1) ( u + u + u + ) = 8u + u = Xét t = −2 ⇒ x + y = −2 ⇔ − x = y + ⇒ y + ≥  y = −3 Ta có y + + y − = ⇔ y + + ( y + 3)( y − 3) = ⇔  8 + ( y − 3) y + = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy y + = v, v ≥ ⇒ v3 − 6v + = Đặt Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] (1) Xét hàm số f ( v ) = v − 6v + 8; v ≥ ⇒ f ′ ( v ) = 3v − Ta có f ′ ( v ) = ⇔ v = ± Khảo sát hàm số có f ( ) < f ( ) ⇒ f (v) > f (0) = − >0 1  Do (1) vơ nghiệm Kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) ,  ; −3  2  2 xy − y + 3x = y, Câu 11 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 2 y − + x + y − = y + 19 x − 28 Lời giải Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x = y xy + 3x − y − y = ⇔ ( x − y ) ( y + 3) = ⇔  ⇔ x= y  y = −3 Phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x − + x + 3x − = x + 19 x − 28 ⇔ 2 x − + x + x − = ( x − 3) + x + x − x − = a; x + 3x − = b ( a ≥ 0; b > ) ta thu Đặt a = 2a + b = 8a + b ⇔ 4a + 4ab + b = 8a + b ⇔ a ( a − b ) = ⇔  a = b • a=0⇔ x=  −1 − −1 +  • a = b ⇔ x − = x + 3x − ⇔ x + x − = ⇔ x ∈  ;    Đối chiếu điều kiện thử trực tiếp suy nghiệm x = y = ( x − y + 1) y − + xy + x + = y Câu 12 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 9 ( y − 1) − x = ( − y ) x − x + Lời giải Điều kiện y ≥ ;3 x − x + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương ( x − y + 1) y − + xy + x = y − ⇔ ( x − y + 1) y − + ( x − y + 1)( y + 1) = ⇔ ( x − y + 1) ( ) y −1 + y + = ⇔ y = x +1 Phương trình thứ hai trở thành x − x = ( − x ) x − x + ⇔ ( x − 1) + x − = ( − x ) Đặt − 3x = t ; x − x + = y • ( − x )(1 − 3x ) − ( x − 1) ( y ≥ ) ta thu hệ phương trình t + x − = ( − x ) y t = y ⇒ t − y = ( − x )( y − t ) ⇔ ( t − y )( t + y + − x ) = ⇔   t + y = x −  y + x − = ( − x ) t 1   + 13 x ≤ x ≤ t = y ⇔ − x = 3x − x + ⇔  ⇔ ⇔x=− 3 2 3 x − x + = x − x + 3 x + x − =   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy  x ≥ • t + y = x − ⇔ 3x − x + = x − ⇔  (Hệ vô nghiệm) 13 x − 16 x + =  13 + − 13 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = − ;y= 6 ( x − y + ) x + y + + x ( + x ) = y − 4, Câu 13 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + y − + 15 x + = y − Lời giải Điều kiện x + y ≥ 3; y ≥ 2; x ≥ − 15 Phương trình thứ hệ tương đương với ( x − y + ) x + y + + x2 + x + − y2 = ⇔ ( x − y + 2) x + y + + ( x + 2) − y = ⇔ ( x − y + ) x + y + + ( x + y + )( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) ( x + y + + x + y + ) = ⇔ y = x + 2 Khi phương trình thứ hai trở thành 4 Phương trình cho tương đương với Đặt 2− 2 x − 15 x + 1 + = ⇔ − + 15 + = x x x x x − + 15 x + = x Điều kiện x ≥ 1 = a; 15 + = b ( a ≥ 0; b ≥ ) ta thu hệ phương trình x x a + b = b = − a b = − a ⇔ ⇔   4 a − 6a + 27 a − 54a + 32 = a + ( a − 3) = 17 a + b = 17 (∗) Ta có ( ∗) ⇔ a − 6a + 9a + 18a − 54a + 32 = ⇔ ( a − 3a ) + 18 ( a − 3a ) + 32 = ⇔ ( a − 3a + )( a − 3a + 16 ) = ⇔ ( a − 1)( a − ) ( a − 3a + 16 ) = ⇒ a ∈ {1; 2} ⇒ Kết luận tốn có nghiệm x = 1; y = ∈ {−14;1} ⇒ x = x xy  ( x − y ) + x + y = Câu 14 [ĐVH]: Giải hệ phương trình:  4 x + 3x + y = ( x + y − ) + x + y  Lời giải x + y > Điều kiện:  3 x + y ≥ xy 2 (1) ⇔ ( x + y ) − + − ( x + y ) = ⇔ ( x + y − 1) ( x − y ) + x + y  = ⇔ x + y = (Do x + y > )   x+ y Thay vào (2) ta 2x − x + = x − 24 x + 29 ⇔ x + − = x − 24 x + 27 ⇔ = ( x − 3)( x − ) 2x + +  x = ⇒ y = − ⇔  = x − ( *)  x + + Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( x + 1)2 + x − y ≥  ĐK:  x + y − ≥ (*) x − y ≥  Khi (1) ⇔ ( x + 1) − y + x2 − x = x − y + ( x + 1) + x − y − x = x − y + ⇔ ( x − y + 1)( x + y + 1) = x − y + 2 ( x + 1) + x − y + x ( x + 1) + x − y + x ⇒ Do x − y ≥ ⇒ x − y + ≥ > nên (3) ⇔ ( x + 1) (3) + x2 − y + x = x + y +  y ≥ −1  y ≥ −1  y + ≥ ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 2 x + x = y + y ( x − y )( x + y + 1) = ( x + 1) + x − y = ( y + 1) (4) 2 x − y + ≥ 2 x − y + ≥   Từ (1) (2) ta có  x + y − ≥ ⇒  x + y − ≥ 3 x + 3y − >  x + 3y − >  ⇒ ( x − y + 1) + ( x + y − ) + ( x + y − 3) > ⇒ ( x + y ) > ⇒ x + y + > >  y ≥ −1  y ≥ −1 Do (4) ⇔  ⇔ x − y = y = x Thế y = x vào (2) ta + x − = 3 x − 3b −  a=  1 + 2a = 3b  Đặt a = x − ≥ 0; b = x − ⇒  ⇔ 4a − 3b = 4  3b −  − 3b3 =    b =  3b −   3 Ta có   − 3b ⇔ 13b − 9b + 6b = ⇔ b =   b = Với b = ⇒ a = − ⇒ Loại a ≥ Với b = ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = Với b = ⇒ x − = ⇔ x = 11 11 ⇒y= 4   11 11   Thử lại ( x; y ) = (1;1) ,  ;   thỏa mãn hệ cho  4     11 11   Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;    4   Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] x +1  2  x + 3x − y = x + y + Câu 28 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x − + y − = + xy − y +  Lời giải: x ≥ 1; y ≥  ĐK:   xy − x + ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x + 3x − y = x + y + x + ⇔ x + 3x − y − x + y + x + 3x − y − x − = ⇔ x2 − x − y − y2 x + 3x − y + x + y 2 + x − 2y x + 3x − y + x + =0   x + y −1 ⇔ ( x − 2y)  +  = (1) 2 x + 3x − y + x +   x + 3x − y + x + y Do x ≥ 1; y ≥ : (1) ⇔ x = y vào PT (2) ta có: y −1 + y − = 1+ y2 − y +  y − =  y = ( loai ) y − ⇒ a + b = + ab ⇔ ( a − 1)( b − 1) = ⇔  ⇔  y − =  y = 3; x = Vậy x = 6; y = nghiệm PT cho Đặt a = y − 1; b =  x + + y + = y Câu 29 [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 x + − y + = x Lời giải: Ta có: PT ( ) ⇔ x + − x = y + ⇔ = y2 + ⇔ x2 + + 2x = x +1 + x ⇒ x +1 = y +3 + y2 + vào PT(1) ta có: + y2 + y +3 y2 + = 3y y ≥ ⇔ ( y + 3) + = y y + ⇔ y + 19 = 12 y y + ⇔  4 25 y + 190 y + 361 = 144 y + 432 y ⇔ y = ⇒ x = nghiệm HPT cho  x − y + y = x + y Câu 30 [ĐVH]: Giải hệ phương trình   y − + x + + y + y = 10 Lời giải:    y ≥ 1; x ≥ −1 y − 2x ĐK:  Khi đó: PT (1) ⇔ ( x − y ) + = ⇔ ( x − y ) 1 − =0  y + x + y  y + 2x + y 2 x + y ≥   Do y ≥ ⇒ y + 2x + y ≤ 1 = nên PT (1) ⇔ x = y vào PT(2) ta có: 3+ y − + y + + y + y = 10 ⇔ y −1 −1 + y + − + y2 + y − =   ⇔ ( y − 2)  + + y +  = ⇔ y = ⇒ x = nghiệm PT  y −1 +1  y +1 +   Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 8; ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng cho đường tròn (C ) : x + y − x − y = điểm A(−1; 3) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường trịn (C) có diện tích 10 Lời giải: Tâm I (1; 2); R = Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) tâm I nên I giao điểm đường chéo AC BD Suy C(3;1) Gọi α góc hợp đường chéo AC BD suy S ABCD = AC.BD.sin α = 10 ↔ 5.2 5.sin α = 10 ↔ sin α = ↔ α = 90 Nên ABCD hình vng Phương trình AC : x + 2y – = Suy phương trình BD 2x – y =  x =  2 x − y =  y = 2x  y = Tọa độ B D nghiệm hệ phương trình  ↔ ↔  2  x = x + y − 2x − y = 5 x − 10 x =    y = Vậy tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD (3 ;1) ; (0 ;0) (2 ;4) Câu [ĐVH]: Cho hai đường tròn (C1 ) : x + y − x − y − 14 = 0, (C2 ) : x + y − x + y − 20 = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) A, B cắt (C2) C, D cho AB = 7; CD = Lời giải: Xét đường tròn ( C1 ) ( C2 ) ta dễ dàng tìm d ( I1 ; ∆ ) = d ( I ; ∆ ) = nên có trường hợp ( ∆ ) sau: TH1: đường thẳng ( ∆ ) song song với I1 I cách I1 I khoảng =3 Phương trình I1 I 2x + y – = Suy phương trình ( ∆ ) 2x + y + m = d ( ∆; I1 I ) = m = − ⇒ ( ∆ ) : x + y + − = =3↔   m = −3 − ⇒ ( ∆ ) : x + y − − = m+3 TH2 : đường thẳng ∆ qua trung điểm I1 I khoảng cách từ I1và I2 đến ∆ =3 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy 3  M  ;0  trung điểm I1 I 2  3  Phương trình ( ∆ ) qua M : a  x −  + by = 2  d ( I1 ; ∆ ) = a − +b a + b2 =3↔ 35 a + ab + 8b = ( vô nghiệm a b không đồng thời =0) Vậy có đường thẳng ∆ thỏa mãn x + y + − = x + y − − = Đ/s: x + y + − = 0; x + y − − = Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC biết đường cao trung tuyến xuất phát từ A 6x – 5y – = x – 4y + = Tính diện tích tam giác ABC biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành đường cao từ đỉnh B qua E(1; –4) Lời giải: Dễ dàng tìm tọa độ điểm A ( 2;1) G ( xG ;0 ) trọng tâm tam giác, mà G thuộc trung tuyến suy tọa độ G ( −2;0 ) 1  Gọi M trung điểm BC ta có: AG = 2GM ⇒ tọa độ M  −4; −  2    1  M  −4; −  ∈ BC Ta có:   ⇒ BC : x + y + 23 = 2  BC ⊥ AH : x − y − =  Giả sử: B ( 6t − 1; −3 − 5t ) , C ( −7 − 6t ;5t + ) ⇒ BE = ( − 6t ;5t − 1) , AC = ( −9 − 6t ;5t + 1) t = −1 Mà BE AC = ⇔ ( − 6t )( −9 − 6t ) + ( 5t − 1)( 5t + 1) = ⇔ 61t + 42 − 19 = ⇔  19 t =  61 +) Với t = −1 ⇒ B ( −7; ) , C ( −1; −3) ⇒ BC = 61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 39 d ( A, BC ) BC = 61 = 2 61 +) Với t = 19 99  53 278   541 217  ⇒ B ;− ; ,C  −  ⇒ BC = 61 61   61 61  61  61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 99 3861 d ( A, BC ) BC = = 2 61 61 122 Đáp số: S ABC (1) = 39 3861 ; S ABC ( ) = 122 Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC có M(1; –2) trung điểm AB, trục Ox phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc đường thẳng qua N(–3; 0) P(0; 2) Tìm A, B, C diện tích tam giác Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Lời giải: Điểm A thuộc Ox, gọi tọa độ A ( a; ) B, C thuộc đường thẳng qua N ( −3; ) & ( 0; ) → pt BC : x − y + = Giả sử tọa độ B ( 3b; 2b + ) , mà M (1; −2 ) trung điểm AB nên ta có hệ: a + 3b = a = 11 ↔ ⇔ ⇒ A (11;0 ) & B ( −9; −4 ) 2b + = −4 b = −3 Gọi phân giác góc A AD, từ M kẻ đường thẳng d cắt AD AC E F: ⇒ pt ( d ) : x = 1, E = ( d ) ∩ AD → E (1; ) ⇒ F (1; ) ( M F đối xứng qua E) Suy phương trình AC là: x + y − 11 = ( A, F ∈ AC )  28  Từ ta xác định tọa độ điểm C nghiệm AC BC: C  ;   13 13  1 2.11 − 3.0 + 40 560 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = d ( A; BC ) BC = = 2 13 13 13 560  28  Đáp số: A (11; ) , B ( −9; −4 ) , C  ;  , S ABC = 13  13 13  Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng d1 : 2x + y – = qua điểm M(1; –1) cắt đường thẳng ( d ) : x − y − = A, B cho AB = Lời giải: Gọi I tâm đường tròn ( C ) cần tìm, I ∈ ( d1 ) ⇒ I ( t ; − 2t ) Vì đường trịn ( C ) cắt ( d ) : x − y − = theo dây cung AB = nên ta có: ( d( I / ( d2 ) ) ) 9t − 30t + 39  AB  = R − ⇔ R = ( ∗)    2 Mặt khác đường tròn ( C ) qua M (1; −1) → (1 − t ) + ( 2t − ) = R ↔ 5t − 22t + 26 = R ( ∗∗) Từ ( ∗) & ( ∗∗ ) ⇒ t = 9t − 30t + 39 = 5t − 22t + 26 ⇔  t = 13 Vậy có đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề là: ( x − 1) + ( y − ) = / ( x − 13) + ( y + 22 ) = 585 2 2 Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; -1) cắt đường trịn tâm I(4; 0) bán kính R = A, B cho MA = 3MB Lời giải: Gọi n = ( a; b ) VTPT đường thẳng d qua M (1; −1) ⇒ pt ( d ) : a ( x − 1) + b ( y + 1) = ↔ ax + by − a + b = Vì P( M / (C )) = IM − R = −15 < ⇒ điểm M nằm dường tròn Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Mà: P( M / (C )) = MA.MB = −15 ⇒ − MA.MB = −15 ⇔ 3MB.MB = 15 ⇔ MB = ⇒ MA = ⇒ AB = MA + MB = Vậy ta viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường trịn tâm I ( 4; ) & R = cho theo dây cung AB = 3a + b  a = −2b  AB  = 5⇔ Do AB = ⇒ d ( I / ( d )) = R −   = 5⇔   a + b2 b = a 2 +) Với a = −2b, chọn b = −1 → a = ⇒ pt ( d ) : x − y − = +) Với b = 2a, chọn a = → b = ⇒ pt ( d ) : x + y + = Đáp số: ( d1/2 ) : x − y − = 0; x + y + = Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A ngoại tiếp (C ) : x + y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết điểm A thuộc tia Ox Lời giải: ( C ) có O ( 0;0 ) , r = Điểm A thuộc tia Ox suy A ( a; ) , a > Từ O hạ OI vuông góc AB, ta tính được: OA = OI r = =2 o sin 45 sin 45o Ta có: OA2 = ⇔ a = ⇔ a = ±2 ⇒ A ( 2;0 ) AB/AC qua A ( 2;0 ) nên AB/AC có dạng: a ( x − ) + by = 0, a + b ≠ b Mặt khác: cos ( AB / AC , Ox ) = cos 45o = a +b 2 = ⇔ a = ±b Nên giả sử: AB : x + y − = 0; AC : x − y − = Kẻ OA cắt BC H ( k ,0 ) OH = r ⇔ k = ± Mà AH ⊥ BC = { H } ⇒ B, C ∈ x = ± +) TH1: B, C ∈ x = suy ra: B ( ) ( 2; − , C ( 2; − ) ( +) TH2: B, C ∈ x = − ⇒ B − 2; + , C − 2; −2 − ) ) Vậy có tọa độ đỉnh tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu là: ( ) ( A ( 2;0 ) , B ± 2; ∓ , C ± 2; −2 ± ) (C1 ) : x + y − x + y − = Câu [ĐVH]: Cho hai đương trịn  có tâm I J Gọi H tiếp điểm 2 (C2 ) : x + y − 10 x − y + 30 = (C1) (C2) Gọi d tiếp tuyến chung ngồi khơng qua H (C1) (C2) Tìm giao điểm K d IJ Viết phương trình đường trịn qua K tiếp xúc với (C1) (C2) H Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Lời giải: Nhận xét: ( C1 ) có tâm I ( 2; −1) & R1 = ( C2 ) có tâm J ( 5;3) & R1 = Ta có: IJ = = R1 + R2 Suy ( C1 ) & ( C2 ) tiếp xúc với Mà H tiếp điểm đường tròn: 19   xH = 2 ( xI − xH ) = −3 ( xJ − xH )  19  ↔ HI = −3HJ ⇔  ⇔ ⇒H ;   5 2 ( yI − yH ) = −3 ( yJ − yH ) y =  H K giao tiếp tuyến chung d IJ nên ta có:  x = 11 2 ( xI − xK ) = ( xJ − xK ) ⇔ KI = 3KJ ↔  ⇔ K ⇒ K (11;11)  yK = 11 2 ( yI − yK ) = ( yJ − yK ) K thuộc đường tròn ( C ) ( C ) tiếp xúc ( C1 ) & ( C2 ) H nên tâm M ( C ) trung điểm KH 2 37   31   37 31   ⇒ M  ;  , R(C ) = MH = ⇒ pt ( C ) :  x −  +  y −  = 36   5  5  2 37   31   Đáp số: K (11;11) , ( C ) :  x −  +  y −  = 36   5  Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm (C ) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) hai điểm B C cho AB = BC Lời giải: Gọi B(m, n) Do A nằm (C) AB = BC nên dễ thấy B trung điểm AC Ta có: (C ) : x + y − x + y + = hay ( x − 3) + ( y + 1) = ⇒ I ( 3, −1) , R = 2 ⇒ IA = ( −2, ) = ( −1, ) ⇒ nIA = ( 2,1) ⇒ ( IA ) : ( x − 1) + y − = : x + y − = Gọi M, N giao điểm IA với (C) Hoành độ giao điểm M,N nghiệm hệ  y = − 2x 2 x + y − =  y = − x ⇔ ⇔   2 2 ( x − 3) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( − x ) = 5 x − 30 x + 41 =  15 + 5+4 ,y=− x =  15 + 5 +   15 − −5 +  5 ⇔ ⇒ M  ,− , ; N   5   5  15 − −5 +   ,y= x = 5  Ta có: AB AC = AM AN = 16 ⇒ AB = 16 ⇒ AB = ⇒ ( m − 1) + ( n − 3) = ⇒ m + n − 2m − 6n + = 2 Mà B nằm (C) nên ta có hệ Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  n = 1, m = 2 m + n − 2m − 6n + =  m = 2n +  ⇒ ⇒  2 m + n − 6m + 2n + = 5n − 6n + =  n = , m =  B ( 3,1) ⇒ C ( 5, −1) ⇒ d : x + y − =  ⇒  7 1  13  B , ⇒ C  , −  ⇒ d : x + y − 10 =   5  5  Vậy đường thẳng cần tìm: x + y − = , x + y − 10 = Câu 10 [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: x + y − x + 12 = I(8; 5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (T) đồng thời đường thẳng AB qua I (A, B hai tiếp điểm) Lời giải: (T ) : x + y − x + 12 = ⇒ J ( 4, ) , R = Gọi M ( 0, m ) ⇒ MJ = ( 4, − m ) ⇒ ( AB ) : ( x − ) − m ( y − ) = Ta có:  M ( 0, ) m = R2  = d ( J / ( AB ) ) = = ⇔ −16 + 5m = ⇔  ⇔   12  12 2 m = IM M 0, 16 + m 16 + m     −16 + 5m •  IM = + 42 =  M ( 0, ) ⇒  ⇒ thỏa mãn −7 = < IM ( AB ) : x − y − = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) = 2  •  12 34  IM = 42 +   =   5   12   M  0,  ⇒   5  12 ( AB ) = x − y − 20 = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) =     12    + 20 5 ⇒l 161 = > MI 34  12  42 +   5 oại Đ/s: M(0; 4)  d1 : x + y + =  Câu 11 [ĐVH]: Cho đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường trịn có tâm I giao d : x − y =  điểm d1 d2 đồng thời cắt d3 AB cho AB = Lời giải: •  xI = −   xI + y I + =   1 I = d1 ∩ d ⇒  ⇒ ⇒ I − ,   2  xI − y I + =  y =  I Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy • d ( I / d3 ) = − − 2 + 22 = 2  AB  101 ⇒ R = ( d ( I / d3 )) +   = 20    7  1 101 Suy phương trình đường trịn cần tìm là:  x +  +  y −  = 2  2 20   7  1 101 Đ/s:  x +  +  y −  = 2  2 20   (C1 ) : ( x − 1) + y = Câu 12 [ĐVH]: Cho đường trịn  Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp (C ) : ( x − )2 + ( y − 2) =  xúc với đường tròn (C1) cắt đường tròn (C2) theo dây cung có độ dài 2 Lời giải: 1  (C1 ) : ( x − 1) + y = ⇒ I (1,0 ) , R1 =  (C ) : ( x − )2 + ( y − 2)2 = ⇒ J ( 2, ) , R = 2  Gọi ( d ) : ax + by + c = • a+c = R1 = d ( I / d ) = ⇔ a + b = ( a + c ) (1) a2 + b2 • 2 2 2a + 2b + c R2 −  = = d (J / d) =   a2 + b2   2 Suy d ( J / d ) = 2d ( I / d ) ⇒ 2a + 2b + c a + b2 =2 a+c a2 + b2 ⇒ 2a + 2b + c = a + c  2a + 2b + c = 2a + 2c  2b = c ⇔ ⇔  2a + 2b + c = −2a − 2c  4a + 2b + 3c = • ( d ) : − x + y + =  a = −b  a = −b, c = 2b 2b = c ⇒ (1) : a + b = ( a + 2b ) ⇔ a + 8ab + 7b = ⇔  ⇒ ⇒  a = −7b  a = −7b, c = 2b ( d ) : −7 x + y + = •  c = −2a  c = −2a, b = a 2 4a + 2b + 3c = ⇒ (1) : 4a + ( 4a + 3c ) = ( a + c ) ⇔ 12a + 8ac + c = ⇔  ⇔  c = −6a  c = −6a, b = a ( d ) : x + y − = ⇔ ( d ) : x + y − = Vậy ( d ) : − x + y + = ; −7 x + y + = ; x + y − = ; x + y − = Câu 13 [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x − y = 0; d : x + y − = 0; d3 : x − y = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A ∈ d1; C ∈ d2 ; B, D ∈ d3 Lời giải: Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Gọi A ( 3a, a ) , C ( c,5 − 2c ) , I tâm hình vng ⇒ I trung điểm AC thuộc BD   3a + c a + − 2c  , I   ⇒  2  ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (1) x = y  I I   3a + c a + − 2c  , I   Ta có: ⇒   2  ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (2) x = y  I I Từ (1) (2) suy ra: a = 1, c = ⇔ A ( 3,1) ; C (1, 3) ⇒ I ( 2, ) ⇒ IA = ⇒ ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = 2 Tọa độ giao điểm B,D nghiệm hệ phương trình:  x − y =  x = y  x = y =  B ( 3, 3) , D (1,1) ⇔ ⇔ ⇒  2 ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = ( x − ) =  x = y =  B (1,1) , D ( 3,3) Vậy A ( 3,1) ; C (1,3) , B ( 3,3) , D (1,1) A ( 3,1) ; C (1,3) ; B (1,1) , D ( 3,3) Câu 14 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A( −1; 2) ; C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, BM đường thẳng vng góc với CE M ; N trung điểm của BM P giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM: x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải Gọi I tâm hình vng ta có I (1;0 ) , AC = ( 4; −4 ) suy phương trình BD: x − y − = Do IA = IB = IC = ID = AC = 2 ⇒ B, D ∈ ( C ) : ( x − 1) + y =  x = y +  B ( −1; −2 ) , D ( 3; ) Tọa độ B, D thỏa mãn  ⇔ ( x; y ) = ( −1; −2 ) , ( 3; ) ⇒  2  D ( −1; −2 ) , B ( 3; ) ( x − 1) + y = Lại có BM: x − y − = nên chọn B ( 3; ) , D ( −1; −2 ) ; N trung điểm BM nên AN song song với CE Tọa độ trung điểm E ( −1;0 ) ⇒ ( CE ) : x + y + = ; (AN): x + y − = M ∈ ( CE ) : M ( −2m − 1; m ) 7 6 BM CE = ⇔ m = − ⇒ M  ; −  ⇒ DM : x − y − = 5 5 x − 3y − =  19  Tọa độ điểm P thỏa mãn  ⇒ P ;−  5  x + y − = Câu 15 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết điểm M(–3; –1) N(2; –1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trình x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Ta có MN = ( 5;0 ) ⇒ ( BC ) ≡ ( MN ) : y = −1 , suy (MQ) qua M vng góc với BC: x = −3 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Q ∈ ( AB ) : x − y + = ⇒ Q ( −3; ) ; B ∈ ( AB ) ⇒ B ( −6; −1) (NP) qua N vuông với (BC): x = ; (PQ) qua Q song song với (BC): y = ⇒ P ( 2; ) x + y − =  9 (AP) qua P vuông góc với (AB): x + y − = ⇒ A :  ⇔ A − ;   2 x − y + =  9 C = ( AP ) ∩ ( BC ) ⇒ C ( 5; −1) Vậy ta có A  − ;  , B ( −6; −1) , C ( 5; −1)  2 Câu 16 [ĐVH]: Trong mặt phẳng vớ i hệ t ọa độ vng Oxy, cho đường trịn (C ) : x + y − x + y − 11 = đường thẳng d : x − y + = Gọi A; B hai điểm thuộc đường  22 11  thẳng d, C điểm thuộc đường tròn (C) Biết điểm H  ;  giao điểm AC với đường tròn  5  7 (C) , điểm H  − ;  trung điểm cạnh AB Xác định tọa độ điểm A, B, C biết diện tích tứ giác  5 AHIK 24 hoành độ điểm A dương Lời giải  12 16  Đường trịn (C) có tâm I ( 2; −1) , R = Ta có IH =  ;  nên IH song song với d, IH : x − y − 11 =  5 Ta có d ( I ; AB ) = nên d tiếp xúc với (C), suy d ( K ; IH ) = d ( H ; AB ) = 1 1 S AHIK = S IHK + S AHK = R.d ( K ; IH ) + AK d ( H ; AB ) = 24 ⇔ 4.4 + AK = 24 ⇔ AK = 2 2 4 x − y + = 4 x − y + =  2  6  7    39   18 39  A ( x; y ) ; x > ⇒  x +  +  y −  = 64 ⇒  y ∈  ; −5 ⇒ A  ;  Suy B ( −6; −5) 5  5 5  5    x >  x >   26 17   22 11  Phương trình đường AC: x + y − 33 = ⇒ C  ; −  C  ;  5   5 Câu 17 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; 0) đường tròn (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y = Tìm tọa độ điểm B C nằm (C1) (C2) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất, với xB < Lời giải: Nhận thấy diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn O trực tâm tam giác ABC Và ta có: OC ⊥ AB , OA ⊥ BC Khi gọi B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) xB = xC OA ⊥ BC Ta lại có: AB = ( xB − 1; yB ) , OC = ( xB ; yC ) , OB = ( xB ; yB ) , AC = ( xC − 1; yC ) Mặt khác: CO ⊥ AB ⇔ AB.CO = ⇔ xB ( xB − 1) + yB yC = ⇔ yB yC = xB − xB2 ⇔ yB2 yC2 = xB4 − xB3 + xB2 ( ∗)  x + y B2 =  yB2 = − xB2 Và  B2 ⇒ 2  xC + yC =  yC = − xB (− Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn ) < xB < Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn tốn đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thay vào ( ∗) ta có: ( − x )( − x ) = ( x B B Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] − xB2 ) ⇔ xB3 − xB2 + 10 = ⇔ ( xB + 1) ( xB2 − xB + 5) = ⇔ xB = xC = −1 B Khi tọa độ điểm B C cần tìm là: B ( −1; ±1) , C ( −1; ±2 ) Câu 18 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho hình thoi ABCD có BAD = 600 Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho MB + NB = AB Biết P ( ) 3;1 thuộc đường thẳng DN đường phân giác góc MDN có phương trình d : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh D hình thoi ABCD Lời giải: Giả thiết: BAC = 60o ⇒ ∆ABD & ∆CBD tam giác Theo ta có: AM = BN , BM = CN  DAM = DBN = 60o  ⇒ ∆ADM = ∆BDN ⇒ ADM = BDN Ta có:  AD = BD  AM = BN  Tương tự ta có: ∆BMD = ∆CND ⇒ NDC = MDB Từ suy MDN = 60o Gọi Q điểm đối xứng P qua đường phân giác: d : x − y + = Suy điểm Q thuộc DM Suy tam giác PDQ tam giác ⇒ DP = PQ = 2d ( P, ( d ) ) = Điểm D ∈ ( d ) : x − y + = ⇒ D Ta có: ⇒ PD = ( ( ) ( 3d − 6; d 3d − − + d − ) xP − y P + =6 ) ( ( )   d = 3 +  D + 3;3 + = 36 ⇔  ⇒  D − 6;1 d =   ( ) ( Vậy có điểm D thỏa mãn u cầu tốn là: D + 3;3 + , D ) ) − 6;1 Câu 19 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x − y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu B xuống 9 2 đường chéo AC Biết M  ;  ; K(9; 2) trung điểm AH CD Tìm toạ độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD biết hồnh độ đỉnh C lớn Lời giải: Ta có: B ∈ d1 ⇒ B ( b; 2b + ) , C ∈ d ⇒ C ( c; c − )( c > ) Gọi E điểm đối xứng B qua C nên → E ( 2c − b; 2c − 2b − 12 ) Trong tam giác ABE, CK đường trung bình nên K trung điểm AE Trong tam giác AHE có M, K trung điểm AH AE nên MK trung bình tam giác: Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy 72 76   72 16   ⇒ HE = MK =  ;  ⇒ H  2c − b − ; 2c − 2b −  5   5    Ta có: CK = ( − c; c + ) , BC = ( c − b; c − 2b − ) , BH =  2c − 2b − 72 86  27   ; 2c − 4b −  , MC =  c − ; c −  5  5   Lại có: BH vng góc AC ( H ∈ AC ) , CK vng góc BC: b =  2c − 3bc + 23b − 23c + 49 = CK BC =   ⇔ ⇔ ⇔  c = ( L ) 126 594  BH MC =  4c − 6bc + b − 46c + =  c =   ⇒ B (1; ) , C ( 9; ) , mà K trung điểm CD ⇒ D ( 9;0 ) Mặt khác, C trung điểm BE, E (17; ) , KA = KE ⇒ A (1;0 ) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A (1;0 ) , B (1; ) , C ( 9; ) , D ( 9;0 ) Câu 20 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): ( x − 5) + ( y − 6) = 32 Biết đường thẳng AC AB qua điểm M(7; 8) N(6; 9) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD Lời giải:  I ( 5; )  Đường trịn ( C ) :  10 I ( 5;6 ) tâm hình thoi: R =   Ta có: AC qua I (5;6), M (7;8) ⇒ u AC ( 2; ) ⇒ AC : x − y + = Đường thẳng BD qua I ( 5;6 ) vng góc với AC nên phương trình BD : x + y − 11 = Gọi n AB = ( a; b ) ⇒ AB : a ( x − 6) + b( y − 9) = 0, Mặt khác R = d ( I ; AB ) ⇒ ( a2 + b2 ≠ ) a + 3b 32 = ⇔ ( 9a − 13b )( 3a + b ) = a + b2 +) Với 9a = 13b chọn a = 13, b = ⇒ AB :13 x + y − 159 = 13 x + y − 159 =  75 86   35 46  Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC :  ⇒ A ;  ⇒ C  ;   11 11   11 11  x − y +1 =  35 46  Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C  ;  ⇒ CD :13 x + y − 79 =  11 11  13 x + y − 79 = Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD :  ⇒ C ( −5;16 ) ⇒ D (15; −4 )  x + y − 11 = +) Với 3a = −b chọn a = 1, b = −3 ⇒ AB : x − y + 21 = Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  x − y + 21 = Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC :  ⇒ A ( 9;10 ) ⇒ C (1; ) x − y +1 = Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C (1; ) ⇒ CD : x − y + = x − 3y + = Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD :  ⇒ C ( 7; ) ⇒ D ( 3;8 ) x + y − 11 =  Kết luận: Vậy có hình thoi thõa mãn yêu cầu toán Câu 21 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho hai đường trịn (O1) (O2) có bán kính cắt A(4;2) B Một đường thẳng qua A N(7; 3) cắt đường tròn (O1) (O2) D C Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết đường thẳng nối tâm O1, O2 có phương trình x − y − = diện tích tam giác BCD 24 Lời giải: qua A ( 4; ) Phương trình đường thẳng CD  ⇒ CD : x − y + = u = ( 3;1) Mặt khác A,B, đối xứng qua đường thẳng d: x − y − =  AB.ud = Gọi B ( a; b ) ⇒  (với I trung điểm AB)  I ∈ d ( a − ) + ( b − ) = a =  ⇒ ⇒ B ( 5;1) Ta có:  a + b + b = − − =    S BCD = 1 24 12 CD.d ( B; CD ) = CD = ⇒ CD = 10 2 5 10 Mặt khác nhận thấy ∆BCD cân B BCD = BDC ( chứa cung AB đường tròn nhau) Gọi K hình chiếu vng góc B lên CD ta có: K ( 3t − 2; t ) ⇒ BK ( 3t − 7; t − 1) ⇒ BK uCD = ⇒t = 11  23 11  ⇒K ;   5   41 17  u = ⇒ C (1;1) ⇒ D  ;  33   11  72    Gọi C ( 3u − 2; u ) ⇒ KC =  3u −  +  u −  = ⇒    5 17   41 17  ⇒ C  ;  ⇒ D (1;1) u =  5  2  41 17   41 17  Kết luận: B ( 5;1) C (1;1) , D  ;  B ( 5;1) , C  ;  , D (1;1)  5  5 Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 5  Câu 22 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :  x −  + ( y − 1) = Xác 4  định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C), đỉnh A D thuộc trục Ox Lời giải: ( C ) : tâm 5  I  ;1 , R = 4  Phương trình đường thẳng d trung trực AD, BC xác định: 5  Qua I  ;1 vng góc với Ox ⇒ d : x = 4  Ta có: d ( I ; AD ) = < R = AD cắt (C) Đặt độ dài cạnh hình vng m ta có: d ( I ; BC ) = m − < R m = 2 m2  BC  Mặt khác  + ( m − 1) = ⇔  ⇒m=2  +  d ( I ; BC )  = R ⇒  m = −2    Với m = ta có: A ( 0;0 ) , D ( 2;0 ) , B ( 0; ) , C ( 2; ) A ( 2;0 ) , D ( 0;0 ) , B ( 2; ) , C ( 0; ) Luyện thi trực tuyến www.Moon.vn Facebook: Lyhung95 ... Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng... Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 5  Câu 22 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :  x −  + ( y − 1) = Xác... www.Moon.vn )( x − + ) x2 + x + x + − = (4) Facebook: Lyhung95 Tuyển chọn toán đặc sắc Hệ PT hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ) ( ( Do x ≥ ⇒ x + + x − > nên (4) ⇔ ( x + − x + 1) x − +