Phân dạng các bài toán tích phân phạm minh tứ

TÍCH PHÂN I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong • Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong • Từ suy cơng thức : xlim →x S ( x ) − S ( x0 ) = f ( x0 ) x − x0 Định nghĩa tích phân • Cho hàm f liên túc khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số : F(b)-F(a) gọi tích phân f từ a đến b , ký hiệu : b ∫ f ( x)dx a • Có nghĩa : b )dx ∫ f ( x= F (b) − F ( a ) a b a • Gọi F(x) nguyên hàm f(x) F ( = x) F ( b ) − F ( a ) : b )dx ∫ f ( x= a b F ( x= ) F (b) − F ( a ) a • Trong : - a : cận , b cận - f(x) gọi hàm số dấu tích phân - dx : gọi vi phân đối số -f(x)dx : Gọi biểu thức dấu tích phân II Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K , a,b,c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f ( x)dx = a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ( Gọi tích chất đổi cận ) a b ∫= f ( x)dx a b a b c ∫ a b f ( x)dx + ∫ f ( x)dx c b b a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ( Tích phân củ tổng hiệu hai tích a phân tổng hiệu hai tích phân ) b b a a ∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx ( Hằng số k dấu tích phân , đưa ngồi dấu tích phân ) Ngồi tính chất , người ta cịn chứng minh số tính chất khác : Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] : b ∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b] a b b a a Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx ( Bất đẳng thức tích phân ) Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] với hai số M,N ta có : M ≤ f ( x) ≤ N Thì : b M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ N ( b − a ) ( Tính chất giá trị trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác , mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm ngun hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , cơng thức phép tốn lũy thừa , phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ x2 + 1 c/ ∫ ( ( x 1+ x ) ( x x4 −1 + a/ ∫ = dx + x 1 2 ⇒ ∫ x − 1d 1 ) x2 ∫ ( x + 1) b/ x x − x + ln + x Giải ) dx ( x x4 −1 + dx ) dx ∫ d/ x3 + x − x + dx x4 − x2 +  2x x2 −1 x2 +  x  x  + = dx 2x x2 −1 +     dx ∫1  ∫ 2  + + + x x x  1   2 2 x2 −1 + ∫ d x2 + = x2 −1 + x2 + = + − 1 2 ) ( ) ) ( ( b/ ( x + − 1) ∫0 ( x + 1)3 dx =∫0 ( x + 1)3 1 x2   ( x + 1)2 x +1  1  − + = − + dx =∫  dx   3 ∫0  x + ( x + 1)2 ( x + 1)3  dx + + + x x x ( ) ( ) ( )       1 1 d ( x + 1) d ( x + 1) d ( x + 1) 1 1 ln ⇒ I= ∫ − 2∫ + = x + + − = ln + ∫ x +1 x + ( x + 1) 0 ( x + 1) ( x + 1) c/ ∫ ( x x − x + ln + x ( x 1+ x ∫( ⇒= I d/ ∫ ( ) ( ln (1 + x ) d (1 + x= ) ) 1+ x (1 + ) − ln x3 + x − x + = dx x4 − x2 + ( )  ln + x   x −1 + = dx ∫1  + x 1+ x x    x − dx + ∫ = − + ln 2 ) )= dx 2  ) ( x)   ∫1   (  ( x − x ) dx  ∫  x − x +  + 2  ) ) 3 − x  + ln + x = 1 2 ( x −1 + ∫ ( x − 1) dx + 2 ∫ (x 2dx − 1) ( )   dx 1+ x x   ln + x ( ) = ∫ d ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ln ( x − 1) 2  1 1   ∫  x − − x +  dx + ∫  x − − x +  dx 2 2 x −1  1 x −1  + ln + − − − ln = x +  2 x +1 2  x −1 x +1 Ví dụ Tính tích phân sau π a/ ∫ 2sin x ( sin x − 1) π + cosx b/ dx ∫ 2sin sin x dx x + 3cos x π  2+ x c/ ∫ ln   dx 4− x  2− x  −1 ∫ b/ x2 −1 ∫1 x ( x + 1) dx Ví dụ Tính tích phân sau e2 a/ ln x + ∫e x ln x dx s inx+ 1+tanx dx cos x d/ π π + sin x c/ ∫ dx sin 2 x π d/ ∫ sin 3x.cosxdx B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt b v (b ) a v(a) • Bước 4: Tính ∫= f ( x)dx = ∫ g (t )dt G(t ) • Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(b) v(a) v(b) v(a) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu a2 − x2 x2 − a2 Cách chọn π π  =  x a sin t ↔ − ≤ t ≤  =  x a cost ↔ ≤ t ≤ π a   π π x ↔ t ∈ − ;  = sin t  2   a π  x ↔ t ∈ [ 0; π ] \   = cost 2    π π =  x a tan t ↔ t ∈  − ;      x a cot t ↔ t ∈ ( 0; π ) = a2 + x2 a+x a−x ∨ a−x a+x x=a.cos2t x=a+ ( b − a ) sin t ( x − a )( b − x ) b Quan trọng em phải nhận dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : β *∫ dx ( ∆ < ) = α ax + bx + c  * áp dụng để giải toán tổng quát : β * β ∫ α + 2x − x β 1 dx du ∫α = ∫ 2 a u k +     α b  −∆ a  x+  +     2a   2a    −∆ = , du dx  2a  b 2a Với :  u x+ = = ,k  β dx = ∫ α ( 3) − ( x − 1) β ∫ α dx (a +x ) 2 k +1 (k ∈ Z ) dx Từ suy cách đặt : x − = sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ − x dx b/ ∫ Giải 1− 2x c/ dx ∫ π π a/ Đặt x=sint với : t ∈  − ;   2  x = ↔ sin t = → t = • Suy : dx=costdt :  π  x = ↔ sin t = → t = 2 • Do : f(x)dx= − x dx =1 − sin tcostdt=cos 2tdt = (1 + cos2t ) dt π • Vậy : b/ Đặt : x = 0 ∫ f ( x)dx = ∫ (1 + cos2t ) dt = π 1 1  π  π −1   t + sin 2t  =  −  = 2  2 2  π π sin t t ∈  − ;   2  x=0 ↔ sint=0 → t=0 • Suy : dx = costdt ⇒  1 π t →t sin =  x= ↔= 2  + x − x2 dx • Do : ∫ = dx − x2 π 2 ∫ 1 = dx    − x  2 π ∫ = ∫ dt 20 1 = costdt − sin t π π = t 2 2 c/ Vì : + x − x =4 − ( x − 1) Cho nên : π π x −1 ( *) 1−1   x = ↔ sin t = = → t =  π • Suy : dx= costdt :  ⇒ t ∈ 0;  → cost>0  6  x = ↔ sin t = − = → t = π  2 1 • Do : f(x)dx= = dx = dx = cos tdt dt 2 + 2x − x (1 − sin t ) − ( x − 1)   • Đặt : = x − 2sin t t ∈  − ;  ↔ = sin t  2 π • Vậy : dx ∫= dt ∫ f ( x)= π π t= 6 Ví dụ 2: Tính tích phân sau a/ c/ ∫ 1 dx + x +1 ∫x b a − x2 12 x − x − 5dx b/ ∫2 x − x + dx d/ ∫ * Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( ( a + x2 ) dx ) x + a , a − x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t) Ví dụ : Tính tích phân sau 1 ∫ x2 + dx Giải : • Đặt : x2 + = x − t ⇒ x = t −1 2t  x =0 → t =−1; x =1 → t =1 − • Khi :  t2 +1 dx = 2t  • Do : ∫ 1− 1− −2t t + dt 1− dx = dt = = ln t = − ln − ∫ ∫ t + 2t t −1 x +1 −1 −1 Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ( ∫x − x dx Giải • Đặt : t=sinx , suy dt=cosxdx x=0,t=0 ; Khi x=1 , t= π ) • Do : f(x)dx= x − x dx= sin t − sin tcostdt=sin 2t cos tdt= π  − cos4t    dt 4  π 12 1 1π π  • Vậy : I= ∫ f ( x)dx = sin 4t  == (1 − cos4t ) dt =− t ∫ 80 8  16 II Đổi biến số dạng Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt b u (b ) a u (a) • Bước 4: Tính ∫= f ( x)dx = ∫ g (t )dt G(t ) • Kết luận : I= G (t ) Nhận dạng : u (b) u (a) TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ β P( x) dx α ax+b A DẠNG : I= ∫ * Chú ý đến công thức : ( a ≠ 0) β m β β m dx = ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ∫ α a α ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến β u (b) u (a) β β P( x) m ∫α ax+b dx =α∫ Q( x) + ax+b dx =α∫ Q( x)dx + mα∫ ax+b dx Ví dụ : Tính tích phân : I= x3 ∫1 x + dx Giải Ta có : f ( x=) Do : x 27 = x − x+ − 2x + 8 2x + 27  27 13 27 x3 1 1 3 2 dx = x − x + − dx = x − x + x − ln x + = − − ln 35     ∫1 x + ∫1  8 x +   8 16 16 1 Ví dụ 2: Tính tích phân : I= ∫ x2 − dx x +1 Giải x −5 = x −1 − x +1 x +1 x2 −   1  dx= ∫  x − −  dx=  x − x − ln x +  = x +1 x +1 2  5 Ta có : f(x)= Do : ∫  +1 − + ln     B DẠNG : β ∫ α ax P( x) dx + bx + c Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt β Công thức cần lưu ý : β u '( x) dx = ln u ( x) ∫ α α u ( x) Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ví dụ 3: Tính tích phân : I= ∫x x + 11 dx + 5x + Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 3) + B ( x + ) x + 11 x + 11 A B = = + = x + x + ( x + 2)( x + 3) x + x + ( x + 2)( x + 3) Ta có : f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy B=1 + x+2 x+3 1 x + 11   Vậy : ∫ = ∫ + = dx  dx x + 5x + x+2 x+3 0 Do : f(x)= ( 3ln x + + ln x + ) =0 ln − ln Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) ( x + 5) + 2x + 2x + 1 = 2 + = 2 + − x + 5x + x + x + ( x + )( x + 3) x + 5x + x + x + Ta có : f(x)= Do : I= ∫ f ( x)dx =  ∫  x 2x + 1   x+2  + − =  ln x + x + + ln = ln − ln  dx + 5x + x + x +  x +   Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm kép Cơng thức cần ý : β ∫ α β u '( x)dx = ln ( u ( x) ) α u ( x) Thơng thừơng ta đặt (x+b/2a)=t x3 Ví dụ : Tính tích phân sau : I= ∫ dx x + 2x +1 Giải Ta có : ∫x 3 x x dx = ∫ dx + 2x +1 x + ( ) Đặt : t=x+1 suy : dx=dt ; x=t-1 : x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do : ∫ ( x + 1) x3 dx= ∫ ( t − 1) t dt= Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I=  1 1 1 dt=  t − 3t + ln t +  = ln −  t1  2 ∫  t − + t − t 1 ∫ 4x 4x dx − 4x +1 Giải 4x 4x Ta có : = x − x + ( x − 1)2  x =0 ↔ t =−1 dt ;  x = ↔ t = 1 1 ( t + 1) 4x 4x 1 1   Do : ∫ dx = dx dt = = −2  +  dt =−  ln t  = 2 ∫ ∫ ∫ t t t  t  −1 4x − 4x +1  −1 −1  0 ( x − 1) Đặt : t= 2x-1 suy : dt = 2dx → dx = Tam thức : f ( x) = ax + bx + c vô nghiệm : b  u= x +  P( x) P( x) 2a  Ta viết : f(x)= = ; 2 2  b   −∆   a ( u + k ) k = −∆ a  x +  +     2a 2a   2a     Khi : Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫x x dx + 4x + Giải • Ta có : ∫x 2 x x dx = ∫ dx + 4x + ( x + 2) + • Đặt : x+2=tant , suy : dx= ↔ tan t = x = dt ; ⇒  2 ↔ tan t = cos t x = t tan t − dt  sin t  • Do : ∫ dx = = −  dt = − ln cost − 2t ) (1) (  2 ∫ ∫ t1 + tan t cos t t1  cost  t1 ( x + 2) + t2 x t 1  2  tan t = ↔ + tan t = ↔ cos t = → cost1 = Từ :  1  2 = ↔ + = ↔ = → = tan t tan t 17 c os t c ost  17 17  t cost • Vậy : ( − ln cost − 2t ) = − ( ln cost − 2t2 ) − ( ln cos t1 − 2t1 )  = − ln + ( t2 − t1 ) t1 cost1 cost cost1 17 2 • ⇔ − ln = + ( t2 − t1 ) ( arctan4-arctan2 = ( arctan4-arctan2 ) − ln ) − ln Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I= 17 x3 + x + x + dx ∫0 x2 + Giải x + 2x + 4x + = x+2+ 2 x +4 x +4 2 x + 2x + 4x +  dx  1 2 • Do : ∫ dx = ∫  x + + = + J (1)  dx =  x + x  + ∫ 2 x +4 x +4 x +4 2  0 • Ta có : 2 Tính tích phân J= ∫x dx +4 • Đặt : x=2tant suy : dx = x = → t =   π dt ;  π ↔ t ∈ 0;  → cost>0 cos t  x = → t =  4  π • Khi : π • Thay vào (1) : I= + C DẠNG : π 1 14 π dt = t = dx dt = 2 ∫0 x += ∫ ∫ 4 + tan t cos t 20 β ∫ α ax π P( x) dx + bx + cx + d Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có nghiệm bội ba Công thức cần ý : β ∫ α x m dx = Ví dụ 8: Tính tích phân : I= 1 β m −1 1− m x α x ∫ ( x + 1) dx Giải Cách 1: • Đặt : x+1=t , suy x=t-1 : x=0 t=1 ; x=1 t=2 t −1 1 1  1 12 • Do : ∫ dx = ∫ dt = ∫  −  dt =  − +  = t t t   t 2t 1 ( x + 1) 1 x Cách 2: 1) − ( x += 1 − 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x • Ta có : = ( x + 1)   1  1 1 = − = − + dx dx    ∫0 ( x + 1)3 ∫0  ( x + 1)2 ( x + 1)3   x + ( x + 1)2  =     x4 Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ dx x − ( ) −1 • Do : x Giải • Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 : x=-1 t=-2 x=0 t=-1 • Do : x4 ∫ ( x − 1) −1 dx= −1 −1 ∫ −2 ( t + 1) t dt= −1 t + 4t + 6t + 4t + dt= ∫−2 t3 −1 −1  −2 • ⇔ ∫  t + + + +  dt =  t + 4t + ln t − −  = − ln t t t  t t  −2 2 −2  Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu 1 Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I= ∫ ( x − 1)( x + 1) Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) dx 11 ∫  t + + t + t 33 + 1  dt t3  • Ta có : A ( x + 1) + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1) A B C = + + = 2 x − ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)  A=  1 = A  Khi (1) • Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số :  ⇔ = − C  C = −  2 ( A + B ) x + ( A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C =1 ⇔ B =A − C − =1 + − =− ⇔ 4 ( x − 1)( x + 1) 1 1 1  + −  ∫2 ( x − 1)( x + 1) ∫2  x − ( x + 1) ( x + 1)2  dx   1 1 3 ln= ln ⇔= I  ln ( x − 1)( x + 1) + = ( x + 1)  4 4 • Do : 3 dx = Cách 2: • Đặt : t=x+1, suy : x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 4 dt t − (t − 2) 1 1  = = − dt dt dt   ∫3 t ( t − ) ∫3 t ( t − ) ∫ ∫  t ( t − ) t  4 11  1  1 t −2 4 ln t  ln = ⇔I − dt − = dt   ln − =  ∫  ∫ 22 2t −2 t  t  4 t 3 3 = dx 2 ( x − 1)( x + 1) • Khi : I= ∫ ( 3t − 4t )  3t − 4t ( 3t + )  3t − 4t   − = −  +    t  t − 2t  t t   t − 2t  1  3  ln t − 2t −  3ln t − t   3= ln     3t − 4t −  − =   t − 2t  t − 2t   3t − 4t    • Do : I= ∫  −  +   dt= t − 2t  t t   3 Hoặc : = t − 2t 2 1  t − (t − 4)   t+2 1 1 2  Hoặc : =  = − = − − 2    t (t − 2)  t (t − 2)   t − t   t − t t    • Do : I=  1 2 1 t −2 2 1 1 2 1 1 − − 2= ln + = ln + − ln −= ln − ln −    dt      ∫ t t  4 2 3 4 6 3t −2 t t  4 Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I= x2 ∫ ( x − 1) ( x + ) dx 2 Giải Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 , dx=dt : x=2 t=1 ; x=3 t=2 x2 Do : ∫ = dx 2 ( x − 1) ( x + ) 2 t + 1) ( t + 2t + dt ∫ dt ∫1= t ( t + 3) t ( t + 3) Cách 1; ( Hệ số bất định ) t + 2t + At + B C Ta có : = + = t ( t + 3) t t +3 ( At + B )( t + 3) + Ct 2= ( A + C ) t + ( A + B ) t + 3B t ( t + 3) t ( t + 3) π I=∫ b CĐ Y Tế – 2006 sinx − cosx π π π 2 + sin2x dx KQ: ln Giải π π sin xdx s inx a I = ln dx = = = − ln + cosx = ∫0 ∫ ∫ + + sin x cos x c osx 1+cosx x ( ) 0 sin x + cos x.cos π b I sin xdx π sinx − cosx dx ∫ ∫= + sin2x π π 4 sinx − cosx = dx ( sinx+cosx ) π π π π sinx − cosx ∫π sinx+cosx dx (1) π π π π Vì : s inx+cosx= sin  x +  ; ≤ x ≤ ⇒ ≤ x + ≤ ⇔ sin  x +  > 4 2 4 4   Do : s inx+cosx = s inx+cosx Mặt khác : d ( s inx+cosx ) = ( cosx-sinx ) dx π π d ( s inx+cosx ) ln = − ln s inx+cosx = − ln1 − ln  = π sinx+cosx Cho nên : I = ∫− π Ví dụ Tính tích phân sau π a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 I=∫ cos2x dx KQ: KQ: ln3 ( sin x − cosx + 3) π b CĐ KTKT Đông Du – 2006 cos2x dx 2sin2x + Giải π a I = ∫ I=∫ cos2x ( sin x − cosx + 3) dx Vì : cos x = cos x − sin x = ( cosx+sinx )( cosx-sinx ) cos2x Cho nên : f ( x)dx = = dx ( sinx-cosx+3) ( cosx-sinx ) cosx+sinx dx ) ( ( sinx-cosx+3) π  dt= ( cosx+sinx ) dx; x = → t = 2, x = → t = Đặt : t s inx-cosx+3 ⇒  = t −3 1 1  f ( x)= = dx dt  − 3  dt t t  t  π Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫  1  14 − = dt  − +  = t2 t3  32  t 4t  2  dt cos xdx → cos2xdx= dt =  cos2x  b I = ∫ + 2sin x ⇒  dx Đặt : t = + 2sin2x  x = → t = 1; x = π → t =  π 32 π Vậy :I = 3 cos2x dt = = = dx ln t ln3 ∫0 1+ 2sin2x ∫ 41 t 4 Ví dụ Tính tích phân sau : π 4sin3 x I=∫ dx + cosx a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 KQ: π sin3x − sin3 3x dx b CĐ Bến Tre – 2006 I = ∫ + cos3x π π π Giải π − cos2 x 4sin3 x 2 ∫0 1+ cosx dx= 4∫0 1+ cosx sinxdx=4∫0 (1− cosx ) sinxdx=4 (1− cosx ) = a =I ( ) π sin3x − sin3 3x dx + cos3x b I = ∫ Ta có : sin 3x − sin 3x = sin 3x (1 − sin 3x ) = sin 3x.cos 3x  dt=-3sin3xdx → sin3xdx=- dt Đặt : t = + cos3x ⇒   x = → t = 2; x = π → t =  π Vậy : ∫ ( t − 1)  1 11 f ( x)dx =− ∫ dt = ∫  t − +  dt =  t − 2t + ln t 32 t 31 3 2 1 2 t  =− + ln 1 Ví dụ Tính tích phân sau π a I = ∫ π sin x − sin x cot gx dx sin x ∫ −π π − x) dx π + x) sin( sin( π π c I = b I = π 2 4 d I = ∫ cos x( sin x + cos x)dx ∫ sin x dx 0 Giải a I = π ∫ π   s inx  −  sin x − sin x sin x   cot gx dx = ∫ cot xdx sin x s inx π π 3 π π 3   = ∫ 1 − sin x  cot xdx = ∫ − cot x cot xdx  π  π π π − x) cosx-sinx b I = = dx dx ∫ ∫ − π sin( π + x) π cosx+sinx − 2 π sin( π d ( cosx+sinx ) cosx+sinx = ∫ cosx+sinx ln= π π − − 2 π π π − cos2x   + cos4x   dx = ∫ 1 − 2cos 2x +  dx   0 0  ∫ sin x dx = ∫ c I = π 2 π π 1 3π 3  3  = ∫  − cos2x+ cos4x  dx =  x − sin 2x + sin 4x  = 32  8  16 0 π 4 d I = ∫ cos x( sin x + cos x)dx Vì : sin x + cos x = − sin 2 x Cho nên : π π π π π 12 1   sin os2xdx= os2xdxsin x cos xdx = sin x − sin x = − I= x c c  ∫0  ∫ ∫ 2  0 0 2 Ví dụ Tính tích phân sau π π b I = ∫ a I = ∫ sin xdx π sin x cot gx dx π π d */I = ∫ ( cos x − sin x )dx c I = ∫ tg x + cot g x − 2dx π π π 0 Giải ( a I = ∫ sin xdx =− ∫ cos x ) π sinxdx=- ∫ 1 − 2cos x + cos x  d ( cosx ) π 2   =  −cosx+ cos x − cos x  =   15 π b I = ∫ π sin x cot gx dx 1  2tdt = dx = − dx → −2tdt   sin x sin x cot x ⇒ t = cot x ↔   x = π → t = 3; x = π → t =  Đặt : =t −∫ == ∫ dt 2t =− ( 1) Vậy : I = 2tdt t 3 1 π π π π π π c I = ∫ tg x + cot = g x − 2dx Vì : tanx-cotx= = )2 dx ∫ t anx-cotx dx ∫ ( t anx-cotx sinx cosx sin x − cos x cos2x − = = −2 = −2 cot x cosx sinx s inxcosx sin2x  π π  t anx-cotx0;x ∈  ;  4 3  π π 4 6 π π cos2x cos2x Vậy : I = t anx-cotx dx t anx-cotx dx dx dx = − + = − + ) ) ∫ ∫π ( ∫π ( ∫ sin2x π π sin2x π π ln ( ln sin x ) π4 − 12 ( ln sin x ) π3 = π d I = ∫ ( cos x − sin x )dx (1) π π π 2 Đặt : x = − t → dx =−dt , x =0 → t = ; x = → t =0 Do :  π  π  = = I ∫  cos  − t  − sin  t   ( − dt )  2     π  π ∫( π ) sin t − cost= dt ∫( ) sin x − cosx dx ( 2) Lấy (1) +(2) vế với vế : I = ⇒ I = Ví dụ Tính tích phân sau π π π cos x ∫ dx (NNI-2001) π sin x a ∫ tan xdx (Y-HN-2000) b π cos2x ∫0 ( sinx+cosx+2 ) dx (NT-2000) c π d π π sin x ∫0 cos6 x dx ( GTVT-2000) e − 2sin x ∫0 + sin x dx (KB-03) sin x ∫0 − cos2 x dx f Giải π sin x (1 − cos x ) 1 4 a ∫ tan xdx Ta có : f ( x) =tan x = = = −2 +1 cos x cos x cos x cos x π π π π π Do : I =∫ f ( x)dx =∫  1 dx  −2 + 1 dx =∫ (1 + tan x ) − [ tan x + x ] 2 π cos x  cos x π  cos x π 4 3 π π π     =  t anx+ tan x  −  − +  = 12   π  4  π  π  2 − −2 −2+  = + 3  12  12  * Chú ý : Ta cịn có cách phân tích khác : f ( x) = tan x = tan x ( tan x + − 1) = tan x (1 + tan x ) − tan x = tan x (1 + tan x ) − ( tan x + 1) + Vậy : I = π π π 3 2 + 1 dx ∫  tan x (1 + tan x ) − ( tan x + 1)= ∫ tan x π π 4 π dx dx − + dx cos x π∫ cos x π∫ 4 π π  1 π π 1  1 I =  tan x − t anx+x  =  3 − +  −  − +  = +  3  12 3  π 3 π b cos2x ∫ ( sinx+cosx+2 ) dx cos2x Ta có : f ( x) = = ( sinx+cosx+9 ) π π 4 cos x − sin x ) ( cosx-sinx )( cosx+sinx ) (= 2 ( sinx+cosx+9 ) ( sinx+cosx+9 ) 3  ( cosx+sinx )  ∫0  ( sinx+cosx+2 )3  ( cosx-sinx ) dx (1)   π  cosx+sinx=t-2.x=0 → t=3;x= → t= + 2, Đặt : t s inx+cosx+2 ⇒  = t −2 1 1 dt = −  dt ( cosx-sinx ) dx ⇒ f ( x)dx =3 dt =   t t  t Do= : I ∫= f ( x)dx Vậy :   1 1 1  1  2+2   −  − +  = − 1+ I = ∫  −  dt =  − +  = − +    t t   t t  3   2+ 2+   9 2+   ( sin t + cost ) = ( sin t + cost ) sin t − cost )( −dt ) ( cost − sin t ) dt f ( x) ( = ( sin t + cost+9 ) ( sin t + cost+9 ) +2 ( ) ( ) π cos x ∫ dx = π sin x c cos x Ta có : f = ( x) = sin x (1 − sin x= ) − 3sin x + 3sin x − sin x 1 = − + − sin x 4 sin x sin x sin x sin x π π π π 2 dx dx − cos2x  Vậy : I =∫ (1 + cot x ) − 3∫ + 3∫ dx − ∫   dx sin x π sin x π  π π  4 4 π 1   5π 23 = − cot x + 3cot x + x − x + sin x  = + 12  π π sin x d ∫ = dx c os x π π π − cos x dx ∫0 cos6 x =   dx ∫0  cos6 x − cos4 x = 1 dx dx − ∫0 cos4 x cos2 x ∫0 (1 + tan x ) cos2 x π = π ∫ (1 + tan x ) 2 π π 1 dx − ∫ (1 + tan x ) dx = cos x cos x π ∫ (1 + tan x + tan x ) d ( tan x ) − ∫ (1 + tan x ) d ( t anx ) π π 1   1  =  t anx+ tan x + tan x − t anx- tan x  =  tan x + tan x  = 5   3  15 π π π 2 π π d ( − cos2x ) sin x sin x 2sin x e ∫ dx = dx = dx = − = − ln − cos2x = ln ∫ ∫ ∫ + cos2x − cos2x 4 − cos x − cos2x 0 4− 0 π π π π − 2sin x d (1 + sin x ) 1 cos2 x f ∫ = =ln + sin x =ln dx = dx ∫ ∫ + sin x + sin x + sin x 2 0 4 Ví dụ Tính tích phân sau : π π 2 a ∫ sin x cos xdx b π c I = π π sin x dx ∨ J ∫0 s inx+= 3cosx sin x ∫ + 2cos3x dx cos x dx ⇒ K ∫0 s inx+ = 3cosx π 3 Giải π π a ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − cos x ) cos x.s inxdx = ∫ ( cos x − cos x ) d ( cosx ) 2 0 π 1  =  cos x − cos x  = 7  35 cos2x dx s inx ∫π cosx- π π 2 π π sin x −3sin x d (1 + cos x ) 1 b ∫ ln − ∫ − ∫ = − ( ln + cos x ) = dx = dx = + 2cos3x + cos x + cos x 6 0 π π π sin x + cos x 1 16 = = dx dx dx ∫0 s inx+ 3cosx ∫ ∫ π 201 20  sin  x +  s inx+ cosx 3  2   x π  d  tan  +   1 1    Do : = = = π  x π  π x π x π x π sin  x +  2sin  +  cos  x+  tan  +  2cos  +  tan  +  3  2 6  6 2 6 2 6 2 6   x π  π d  tan  +   π 1 x π    Vậy : I = ∫ = ln tan  +  = ln = ln (1) 20 x π 2 6 tan  +  2 6 c = Ta có : I + J 2 π - Mặt = khác : I − 3J π sin x − 3cos x = dx ∫0 s inx+ 3cosx 6 ∫ (sin x − )( 3cosx sin x + 3cosx s inx+ 3cosx π ) dx π Do : I − 3J = (2) ∫ ( s inx- 3cosx ) dx =( −cosx- s inx ) =− 0  3 −1  = ln − I I + J = ln  16 4 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ :  −1   =  I − J =−  J 16 ln + π ( 3) π π π Để tính K ta đặt t = x − → dt = dx ⇔ x = ; t = 0.x = → t = π π cos ( 2t+3π ) π π   cos  t+3  − sin  t+3  2 2   Vậy : K =∫ −1 cos2t dt =− I J = ln − sint+ 3cost −∫ dt = Ví dụ 10 Tính tích phân sau π π a ∫0 + sin x dx ( CĐ-99) b π π ∫ ( sin c dx ∫ + s inx+cosx (ĐH-LN-2000) 10 x + cos10 x − sin x cos x ) dx (SPII-2000) d π π 4 a ∫ dx = x + sin π ∫ ( s inx+cosx ) dx (MĐC-2000)  π s inxsin  x+   6 ∫ π π π  dx = ∫ dx = tan  x −  = π 4  cos  x −   4  Giải π b dx ∫ + s inx+cosx x Đặt : t = tan ⇔ dt = 1 cos x dx = 1 2dt π x ; x = → t = 0, x = → t = 1 + tan  dx; ⇔ dx = 2 2 1+ t 1 2dt 2dt = dt ∫= = ( 2) 2 ∫0 ∫ 2t − t (1 + t ) t + 2t + ( t + 1)2 + 2+ + 1+ t2 1+ t2  du; t = → tan u = ; t = → tan u = dt = cos u  t +1 tan u ⇒  Đặt := 2dt 2  f (t )dt = du 2du = = 2  cos 2u tan + u t + + ( ) ( )  u2   u2 Vậy : = ( u2 − u1= I ∫ 2du = 2u = )  arxtan − arctan  u1 u1   Vậy : I = π ∫ ( sin c 10 x + cos10 x − sin x cos x ) dx Ta có : sin10 x + cos10 x − sin x cos x ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x )( cos6 x − sin x ) = ( cos2 x − sin x )( cos2 x − sin x )( cos4 x + sin x + cos2 x sin x ) 1 + cos4x − cos8x 15 1   = cos 2 x 1 − sin 2 x  = cos 2 x − sin x = − = + cos4x+ cos8x 16 32 32 32   π π π 15 π 1 15π  15  Vậy : I = sin x = + sin x + ∫0  32 + cos4x+ 32 cos8x  dx = 32.8 64 32 0 π dx  π s inxsin  x+   6 π π  π  π π Ta có :  x +  − x = ⇒ sin  x +  − x  =sin  x +  cosx-sinxco  x +  = (*) 6 6  6 6     d ∫ π π π   sin  x +  cosx-sinxco  x +  6 6  Do : f ( x) = =  = π π π       s inxsin  x+  s inxsin  x+  s inxsin  x+   6  6  6 π π   π  π  cos  x+  cos  x+   3  cosx cosx  π   ⇒=    dx I ∫ f ( x)dx = − = 2∫  − =  ln s inx − ln sin  x+   π π sinx    6 π π  sinx  sin  x +  sin  x +    6 6     π I= ln s inx 3 ln = − ln = ln 2  π π sin  x+   6 π π * Chú ý : Ta có cách khác 1 = = f(x)=  π   s inxsin  x+  s inx  s inx+ cosx  sin x  6   π π 3 ( ( + cot x ) π ) 2d + cot x 3 Vậy : I = = − −2 ln + cot x = dx ln ∫π + cot x sin x ∫π + cot x = π 6 ( ) Ví dụ 11 Tính tích phân sau π a π 2 s inxcos x ∫0 + cos2 x dx (HVBCVT-99) b ∫ cos x cos 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) π π c π d dx ∫ cos x (ĐHTM-95) Giải π s inxcos3 x cos x dx (sin x)dx = ∫0 + cos2 x ∫0 + cos x a sin x ∫0 cos6 x + sin x dx (ĐHNT-01) (1) −2sin x cos xdx = − sin xdx dt =  Đặt : t = + cos x ⇒  π cos x = t − 1; x = → t = 2; x = → t = 1 2 ln − 1 ( t − 1) 1  Vậy : = − = − = ln t − t = I dt dt ( ) ( )   ∫2 t ∫1  t  2 π b ∫ cos x cos 2 xdx + cos2x + cos4x = (1 + cos2x+cos4x+cos4x.cos2x ) 2 1 1  = + cos2x+ cos4x+ cos6x 1 + cos2x+cos4x+ ( cos6x+cos2x )  = 4  Ta có : f (= x) cos x cos = 2x π π 1 1 π 1  1  Vậy : I =  x + sin x + sin x + sin x  = ∫0  + cos2x+ cos4x+ cos6x  dx = 16 16 48 4  π c sin x ∫ cos x + sin 6 x dx Vì : d ( sin x + cos = x ) ( 6sin x cos x − 6cos5 x sin = x ) dx 6sin x cos x ( sin x − cos x ) ⇔ d ( sin x + cos x ) = 3sin x ( sin x − cos x )( sin x + cos x ) dx = −3sin x cos xdx = − sin xdx ⇒ sin xdx = − d ( sin x + cos x ) π π π 6 sin x d ( sin x + cos x ) 6 Vậy : ∫ − ∫ = − ln ( sin x + cos x ) = dx = ln 6 cos x + sin x ( sin x + cos x ) 3 0 π π π π 1  dx dx  d ∫ = + tan x ) d ( t anx ) = = (  t anx+ tan x  = 2 ∫ ∫ cos x cos x cos x   4 Ví dụ 12 Tính tích phân sau π π a ∫ sin11 xdx ( HVQHQT-96) b ∫ sin x cos xdx (NNI-96) 0 π π c ∫ cos x cos xdx (NNI-98 ) d ∫ + cos2x dx (ĐHTL-97 ) 0 Giải π a ∫ sin11 xdx Ta có : sin11 x sin10 x.s inx= (1-cos x ) s inx= (1-5cos x + 10 cos3 x − 10 cos x + 5cos5 x − cos x ) s inx π Cho nên : = I ∫ (1-5cos x + 10 cos x − 10 cos x + 5cos5 x − cos x ) s inxdx 5 1  π −118 =  cos x − cos x + cos5 x − cos x + cos3 x − cosx  = 21 7 0 π b ∫ sin x cos xdx Hạ bậc :  − cos2x   + cos2x  sin x cos x = (1 − cos2x ) (1 + cos x + cos 2 x )    = 2    =(1 + cos x + cos 2 x − cos2x-2cos 2 x − cos3 x ) 1 1+cos4x  1+cos4x   =+ cos2x-cos 2 x − cos3 x ) = + cos2x− cos2x  (   8 2   2 1 cos6x+cos2x  = (1 + cos2x-cos4x+cos4x.cos2x ) = 1 + cos2x-cos4x+  16 16   ( + 3cos x + cos6x-cos4x ) 32 π π 1 1  Vậy I =∫ ( + 3cos x + cos6x-cos4x ) dx = x + sin x + sin x − sin x  = 64 32.6 32.4 32  32  0 π d ∫ = π + cos2x= dx ∫ π cos xdx =  π π    s inx − s inx π =     ∫ cosx = dx (1 + 1= ) 2  π2  π    ∫ cosxdx − ∫ cosxdx  π 0    III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến số dạng * Sử dụng công thức : b b 0 )dx ∫ f (b − x)dx ∫ f ( x= Chứng minh : x = → t = b x = b → t = • Đặt : b-x=t , suy x=b-t dx=-dt , ⇒  • Do : b ∫ f ( x)dx = ∫ b ) f (b − t )(−dt= b ∫ b f (b − t )dt = phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính tích phân sau ∫ f (b − x)dx Vì tích phân khơng π a/ π 4sin xdx ∫ ( s inx+cosx ) 5cos x − 4sin x ∫ ( s inx+cosx ) π π b/ 3 dx sin x ∫0 sin x + cos6 x dx c/ ∫ log (1 + t anx ) dx d/ π sin x cos x f/ ∫ dx sin x + cos3 x e/ ∫ x (1 − x ) dx n m Giải π 4sin xdx a/ I = ∫ ( s inx+cosx ) (1) Đặt : π π  dt =−dx, x =0 → t =2 ; x =2 → t =0  π  π π  4sin  − t  t= −x⇒ x= −t ↔  cos t   2  f ( x)dx = dt ) = dt = − f (t )dt ( cost+sint )  (  π  π   sin  − t  + cos  − t         Nhưng tích phân khơng phụ thuộc vào biến số , : π I = f (t )dt ∫= π 4cosx ∫ ( sinx+cosx ) dx ( 2) π Lấy (1) +(2) vế với= vế ta có : I π π ( s inx+cosx ) dx I = ⇒ ∫0 ( s inx+cosx )3 ∫0 ( s inx+cosx )2 dx π π  ⇔= = I 2∫ dx tan  x − = 2 π 4  cos  x −   4  π b/ I = ∫ 5cos x − 4sin x ( s inx+cosx ) dx Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau : π π 5cos x − 4sin x 5sin t − cos t 5sin x − 4cosx I= dx = − dt = ∫0 ( s inx+cosx )3 ∫π ( cost+sint )3 ∫0 ( s inx+cosx )3 dx ( 2) π π Vậy : I = ∫ π 1 π  dx = ∫ dx = tan  x −  =1 ⇒ I = π 4  cos  x −   4  ( s inx+cosx ) π c/ ∫ log (1 + t anx ) dx Đặt : π π  dx =−dt , x =0 → t = ; x = → t =0  4 π π  t= −x→x= −t ⇔  4  f ( x)dx= log (1 + t anx ) dx= log 1 + tan  π − t   ( −dt )     − tan t  Hay: f (t=) log 1 + ) log ( −dt=) log 2 − log t  ( −dt= + tan t  + tan t  Vậy : I = π π 4 ∫ f (t )dt = ∫ dt − ∫ log π π π π ⇔I= tdt ⇒ I = t = π sin x d/ I = ∫ dx (1) sin x + cos x π  sin  − t  2  d ( −t ) ∫π  π  = π  sin  − t  + cos  − t  2  2  π cos x dx I (2) ∫0 cos= x + sin x π π cos x + sin x Cộng (1) (2) ta có : I = ∫ dx = cos x + sin x 6 ∫ dx = π π π x = ⇒I= e/ ∫ x m (1 − x ) dx Đặt : t=1-x suy x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx n 0 1 Do : I = ∫ (1 − t ) t (−dt ) = ∫ t (1 − t ) dt = ∫ x n (1 − x)m dx m n n m MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN π π 4sin x ∫0 + cosx dx cosx+2sinx ∫ cos x + 3sin x dx (XD-98 ) π π 3 s inxcos x ∫0 + cos2 x dx x + s inx dx ( HVNHTPHCM-2000 ) cos x π ∫ x5 (1 − x3 ) dx (ĐHKT-97 ) x sin x ∫ + cos x dx π π 6 ( AN-97 ) + s inx  ∫ ln   dx ( CĐSPKT-2000 )  1+cosx  ∫ s inx+2cosx ∫0 3sin x + cosx dx ( CĐSPHN-2000) π π x sin x ∫ dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) cos x + β * Dạng : I = ∫ α asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c' β Ta phân tích : sin x cos x ∫0 sin x + cos3 x dx 10 Cách giải : asinx+bcosx+c ∫ α a 's inx+b'cosx+c' B ( a ' cosx-b'sinx ) C dx = A+ + a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' - Sau : Quy đồng mẫu số - Đồng hai tử số , để tìm A,B,C - Tính I : β B ( a ' cosx-b'sinx )  C I= ∫α  A + a 's inx+b'cosx+c' + a 's inx+b'cosx+c' Ví dụ Tính tích phân sau : β β  dx dx Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c' C = + ( )  ∫ α  α a 's inx+b'cosx+c' VÍ DỤ ÁP DỤNG π π s inx-cosx+1 a ∫ dx ( Bộ đề ) s inx+2cosx+3 b cosx+2sinx ∫ cos x + 3sin x dx ( XD-98 ) π π c s inx+7cosx+6 ∫0 4sin x + 3cos x + dx s inx-cosx+1 ∫ s inx+2cosx+3 dx Ta có : cos x − 3sin x + dx ∫ sin x + 3cos x + Giải π a d I = B ( cosx-2sinx ) s inx-cosx+1 C f ( x) = = A+ + s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 Quy đồng mẫu số đồng hệ số hai tử số :  A = −  A − 2B =  A − B ) s inx+ ( 2A+B ) cosx+3A+C  (  ⇔ f ( x) = ⇒ 2 A + B =−1 ⇔  B =− Thay vào (1) s inx+2cosx+3 3 A + C =    C =  (1) π π 2 π π d ( s inx+2cosx+3) 4 π  1 − − − − ln s inx+2cosx+3 − J I= dx ∫0   ∫0 s inx+2cosx+3 + ∫0 s inx+2cosx+3 dx = 10 5 π 4 I= − − ln − J ( ) 10 5 - Tính tích phân J : π dx  dt ; x t 0, x = = → = = →t =  cos x  x Đặt : =t tan ⇒  ⇔= J 2dt 2dt  f ( x)dx = =  2t 1− t2 + t t + 2t + 3 + +  1+ t2 1+ t2 2dt ∫ ( t + 1) +2 (3) Tính (3) : Đặt :  du t = → tan u = = → tan u == u2 u1 ; t = dt = os c u  tan u ⇒  = t +1 2du = du  f (t )dt = 2 cos u  cos 2u   u2 2 π 4  tan u1 = Vậy : j= ∫ du = ( u2 − u1 ) ⇒ I =I =− − ln − ( u2 − u1 )  2 10 5 u  tan u =  π b cosx+2sinx ∫ cos x + 3sin x dx; B ( 3cos x − 4sin x ) cosx+2sinx C f ( x) = = A+ + → (1) cos x + 3sin x cos x + 3sin x cos x + 3sin x Giống phàn a Ta có : A = π ; B = − ;C=0 5 π  ( 3cos x − 4sin x )  π 2  Vậy : I = + ln   x − ln cos x + 3sin x  = ∫0  − cos x + 3sin x  dx = 5  10 ... thi riêng , mong em học sinh ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho thân Sau tơi lấy số ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân sau : ∫ a (x + x2 b ∫ dx 1+ x 1 + 3x + ) dx Giải 1 ∫ a ( x + 3x +... số dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn Phương pháp chung , khéo léo cách giải hay Sau đay minh họa số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau 2 a dx ∫1 x ( x + 1) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Giải... lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính tích phân sau : π a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I = ∫ sin 2x + sin x + cos x dx π