Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (viết tắt là GTLN – GTNN hoặc min – max) của biểu thức có chứa môđun số phức là một dạng toán vận dụng cao thường gặp trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán những năm gần đây, đây là dạng toán ít được đề cập đến trong sách giáo khoa Giải tích 12, do đó đã gây không ít bỡ ngỡ và khó khăn cho các bạn học sinh trong quá trình tiếp cận và tìm hướng giải quyết bài toán.
GTLN - GTNN CỦA MƠĐUN SỐ PHỨC A BÀI TỐN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Trong số phức z thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu toán hàm số biến vừa tìm II CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP: Để giải lớp tốn này, chúng tơi cung cấp cho học sinh bất đẳng thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường U U tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Giải: U TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường trịn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2: Cho hai đường trịn (T1 ) có tâm I, bán kính R ; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính R Tìm vị trí U U R R điểm M (T1 ) , điểm N (T2 ) cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ https://toanmath.com/ R R Giải: U Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn (T1 ) hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 ) hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) Với điểm M bất khì (T1 ) điểm N (T2 ) Ta có: MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN =R1 + R2 + IJ =AD Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R1 + R2 = BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ BÀI TỐN CƠNG CỤ 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị U U trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH = const Đẳng thức xảy M ≡ H ; N ≡ I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ U B – BÀI TẬP Câu Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z =− + i 5 B z= − i 5 C z =−1 + 2i D z = − 2i Câu Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i Số phức z có môđun nhỏ A z= + 2i B z =−1 + i C z =−2 + 2i D z= + 2i Câu Cho số phức z thỏa mãn z − = z − i Tìm mơ đun nhỏ số phức w = z + − i C Tìm giá trị nhỏ z Câu Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = A A https://toanmath.com/ B B C D 2 D iz2 − + 2i =4 Tìm giá trị lớn biểu Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 3i + = T 2iz1 + z2 thức= A 313 + 16 B 313 C 313 + D 313 + Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 3i = z + − 2i , tìm phần ảo số phức có mơđun nhỏ nhất? 10 A 13 B C −2 D − 13 Câu Xét số phức z1= − 4i z2= + mi , ( m ∈ ) Giá trị nhỏ môđun số phức A B C D z2 bằng? z1 Câu Số phức z sau có mơđun nhỏ thỏa | z |= | z − + 4i | : A z =− − 2i B z= − i z= C + 2i D z = −3 – 4i Câu Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn z − ( m − 1) + i = z − + i = z − + 3i A 66 B 130 C 131 D 63 Câu 10 Cho số phức z thoả mãn z = Đặt w = (1 + 2i ) z − + 2i Tìm giá trị nhỏ w A B C D Tìm giá trị nhỏ , số phức w thỏa mãn w − − 3i = Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z − − i = z − w A 17 + Câu 12.= Cho số phức z B 13 + C 13 − D 17 − −m + i , m ∈ Tìm mơđun lớn z − m ( m − 2i ) A B C D D 10 Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn z + − i = z − 3i Tính mơđun nhỏ z − i A 10 B C Câu 14 Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ w M + mi biểu thức P = z + − z − i Tính mơđun số phức = A w = 309 B w = 2315 C w = 1258 D w = 137 Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i =3 Tìm mơđun lớn số phức z − 2i A 26 + 17 B 26 − 17 C 26 + 17 D 26 − 17 Giá trị lớn Câu 16 Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn iz + − i = z1 − z2 = z1 + z2 https://toanmath.com/ A B C D Câu 17 Gọi T tập hợp tất số phức z thõa mãn z − i ≥ z + ≤ Gọi z1, z2 ∈ T số phức có mơ đun nhỏ lớn T Khi z1 − z2 bằng: A − i B − i D −5 2017 Câu 18 Trong tập hợp số phức, gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = , với z2 có C −5 + i Giá trị nhỏ P= z − z2 thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z − z1 = 2016 − A B 2017 − 2016 − C 2017 − D Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = z + z + z − z + z A 15 B Câu 20.Cho số phức z , w thỏa mãn z = , w = A B Câu 21 Cho số phức z thỏa mãn z + A + C 13 D ( − 3i ) z + − 2i Giá trị nhỏ C w : D 5 Tính giá trị lớn z = z B + C + D + a + bi, ( a, b ∈ ) thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i có mơ đun nhỏ Câu 22 Biết số phức z = Tính M= a + b A M = 26 B M = 10 C M = D M = 16 Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M.m A 13 B 39 C 3 D 13 Câu 24 Cho số phức z ≠ thỏa mãn z ≥ Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= z +i z A B C D Câu 25 Nếu z số phức thỏa z= z + 2i giá trị nhỏ z − i + z − A B C D Giá trị lớn z + + i Câu 26 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = A 13 + B C D 13 + Câu 27 Cho hai số phức u , v thỏa mãn u − 6i + u − − 3i =5 10 , v − + 2i = v + i Giá trị nhỏ u − v là: https://toanmath.com/ 10 10 10 B C D 10 3 Câu 28 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 13 = , với z1 có phần ảo dương Biết A số phức z thỏa mãn z − z1 ≤ z − z2 , phần thực nhỏ z A 2 B C D Câu 29 Cho số phức z thỏa mãn ( z + ) i + + ( z − ) i − = 10 Gọi M , m giá trị lớn S M +m giá trị nhỏ z Tính tổng = A S = B S = 21 D S = C = S 21 − Câu 30 Cho 2018 phức z thoả mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị = M + mi nhỏ biểu thức P = z + − z − i Tính mơđun 2018 phức w A w = 314 B w = 309 C w = 1258 D w = 1258 z ′ + − 3i = z ′ − − 6i Tìm giá trị nhỏ Câu 31 Cho hai số phức z , z ′ thỏa mãn z + = z − z′ A 10 B 10 C D Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Giá trị nhỏ biểu thức P= z + + z − + z − z − 4i bằng: A + 15 B + C + 14 15 D + Câu 33 Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A B C D Câu 34 Cho số phức z1 = 3i , z2 =−1 − 3i , z3= m − 2i Tập giá trị tham số m để số phức z3 có mơđun nhỏ số phức cho { } C ( −∞; − ) ∪ ( A − 5; ( ) B − 5; ) D − 5; 5; +∞ z max z − + 2i = a + b Tính a + b Câu 35 Cho số phức z thỏa mãn z − = A B C D Số phức z − i có mơđun nhỏ là: Câu 36 Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = A +2 Câu 37 Cho số phức z thỏa A B z ≥ 2 +1 C 5−2 B B z= + i z+i z D C https://toanmath.com/ − Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P = Câu 38 Tìm số phức z cho z − ( + 4i ) =5 biểu thức P = z + − z − i A z= + 5i D C z= + 2i đạt giá trị lớn D z= + 3i Câu 39 Cho số phức z thỏa điều kiện z + 4= z ( z + 2i ) Giá trị nhỏ z + i ? A B C D Câu 40 Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i =3 Tìm mơđun nhỏ số phức z − + i A B C 2 D Câu 41 Cho số phức z= x + yi với x, y ∈ thỏa mãn z − − i ≥ z − − 3i ≤ Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P= x + y Tính tỉ số M m 14 B C D Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn z − i = z + − 3i + z − + i Tìm giá trị lớn M z − + 3i ? A A M = B M = C M = 10 D M = + 13 Câu 43 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − + 2i = w = z + + i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng: A B C D z= z= z= Khẳng định Câu 44 Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 + z2 + z3 = sai ? A z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 B z13 + z23 + z33 ≤ z13 + z23 + z33 3 3 3 C z1 + z2 + z3 ≥ z1 + z2 + z3 3 3 3 D z1 + z2 + z3 ≠ z1 + z2 + z3 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn −2 − 3i z +1 = Giá trị lớn môđun số phức z − 2i C D z Câu 46 Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = số thực Giá trị nhỏ biểu + z2 thức P = z + − i là? A B A B C 2 D Câu 47 Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − − 4i = biểu thức M = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z + i A z + i = B z + i = 41 41 C z + i = D z + i = Tìm giá trị lớn biểu thức Câu 48 Cho số phức z w thỏa mãn z + w =3 + 4i z − w = T= z + w A max T = 14 B max T = C max T = 106 D max T = 176 10 Giá trị lớn nhỏ z Câu 49 Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = A https://toanmath.com/ B C D 10 Câu 50 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + = 5, z2 + − 3i = z2 − − 6i Giá trị nhỏ z1 − z2 là: A B C Câu 51 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = A B −1 (1 + i ) z D Đặt m = z , tìm giá trị lớn m C +1 D Câu 52 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A B C 20 20 D 15 Câu 53 Trong số phức z thỏa mãn z = z − + 2i , số phức có mơ đun nhỏ B z = + i C z= +i Giá trị lớn z Câu 54 Cho số phức thỏa mãn z − + 2i = A z = B + A − C 2 + D z= + i D + Câu 55 Cho số phức z thỏa điều kiện z + 4= z ( z + 2i ) Giá trị nhỏ z + i ? B A C D Câu 56 Có giá trị nguyên m để có số phức z thỏa z − ( m − 1) + i = z − + i = z − + 3i C 131 B 65 A 66 Câu 57.Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Đặt A = A A < 2z − i Mệnh đề sau đúng? + iz B A > Câu 58 Trong tập hợp số phức z thỏa mãn: A + C A ≤ D A ≥ z + 2−i = Tìm mơđun lớn số phức z + i z +1− i B + Câu 59 Cho số phức z thỏa mãn z − z + = D 130 C − D − ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tính | w | , với w = z − + 2i A | w |= B | w |= C | w |= D | w |= Tìm giá trị lớn z Câu 60 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = A 13 B + 13 C + 13 D 13 − 1+ i z; ( z ≠ ) mặt phẳng tọa độ ( A , B , C A′, B′, C ′ không thẳng hàng) Với O gốc tọa độ, khẳng định sau đúng? A Tam giác OAB vuông cân A B Tam giác OAB C Tam giác OAB vuông cân O D Tam giác OAB vuông cân B z z′ Câu 61 Gọi điểm A , B biểu diễn số phức= https://toanmath.com/ a bi ( a, b ∈ R, b > ) thỏa mãn z = Tính = Câu 62 Xét số phức z =+ P 2a + 4b z − z + đạt giá trị lớn A P = B P= − C P = D P= + Giá trị nhỏ z Câu 63 Cho số phức z thỏa mãn z − = A B C D −1 Giả sử biểu thức P = z đạt giá trị lớn nhất, giá trị Câu 64 Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i = a1 + b1i nhỏ z z= ( a1 , b1 ∈ ) a2 + b2i z= ( a2 , b2 ∈ ) Tính S= a1 + a2 A S = B S = 10 C S = D S = Gọi m = max z , n = z số Câu 65 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = phức w= m + ni Tính w 2018 A 51009 B 61009 C 21009 D 41009 Câu 66 Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Giá trị M m 3 13 3 13 B C D 8 Giá trị lớn biểu thức P= z − Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn z − 2i ≤ z − 4i z − − 3i = A là: A 10 + B 13 C 10 D 13 + Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = A z =−1 − 2i B z = − 2i C z =−1 + 2i D z = + 2i M ( x; y ) điểm biểu diễn cho z Câu 69 Cho z số phức thay đổi thỏa mãn (1 + i ) z + − i = mặt phẳng phức Tìm giá trị lớn biểu thức T = x + y + A + 2 B C D Câu 70 Trong số phức z thỏa mãn z − i = z − − 3i Hãy tìm z có mơđun nhỏ 27 + i 5 A = z 27 B z =− − i 5 27 C z =− + i 5 Câu 71 Cho số phức z , tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện A B C D z= − i 5 −2 − 3i z +1 = − 2i D Câu 72 Trong số phức thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm mơđun nhỏ số phức z + i A B C + D Câu 73 Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính M + m ? https://toanmath.com/ 17 C M + m = D M + m = 2 Tìm giá trị lớn biểu , iw + + 2i = Câu 74 Cho số phức z , w thỏa mãn z − + 3i = A M + m = B M + m = T 3iz + w thức = A 578 + 13 B 578 + 554 + 13 C D 554 + Câu 75 Trong số phức z thỏa z 4i , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi A Khơng tồn số phức z0 B z0 C z0 D z0 Câu 76 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 ≤ z≤ 3 B −1 +1 ≤ z≤ 6 C −1≤ z ≤ +1 D −1≤ z ≤ +1 Câu 77 Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z − − 2i = 10 Tìm mơđun lớn số phức z A + B D C Câu 78 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z =−1 + i B z= + 2i C z= + 2i D z =−2 + 2i Câu 79 Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i =2 Tìm mơđun lớn số phức z A 5+6 B 11 + 6+4 C Câu 80 Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = z + z2 D + số thực Giá trị lớn biểu thức P = z + − i A 2 C B 2 D Câu 81 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ P = thỏa mãn z ≥ Tính 2M − m 10 A M − m = B M − m = 2 z +i , với z số phức khác z D M − m = C M − m = Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn z + − i = z − 3i số phức w = Tìm giá trị lớn w z A w max = 10 B w max = 10 C w max = ( ) ( D w max = ) Câu 83 Xét số phức z= a + bi , ( a, b ∈ ) thỏa mãn z − z − 15i= i z + z − Tính F =−a + 4b z − + 3i đạt giá trị nhỏ A F = https://toanmath.com/ B F = C F = D F = Câu 84 Gọi M m giá trị lớn nhất, nhỏ môđun số phức z thỏa mãn z − = Tính M + m A B C D Câu 85 - 2017] Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình − 3i + iz = z − − 9i , thỏa mãn z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 A B C 56 D 31 z gọi z1 z2 số phức có mơđun nhỏ Câu 86 Trong số phức z thỏa mãn z + = lớn Khi mơđun số phức w= z1 + z2 A w = + B w = 2 C w = D w = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: Câu 87 Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = A − B +1 C 5+2 D 5−2 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 88 Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = z Khi M − m A 15 B 10 D C 20 Câu 89 Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1 − − 5i = z2 − z + 4i = z − + 4i Tính M= z1 − z2 P = z − z1 + z − z2 đạt giá trị nhỏ A B C D 41 Câu 90 Số phức z sau có mơđun nhỏ thỏa | z |= z − + 4i : A z = −3 – 4i B z= − i z= + 2i D z =− − 2i C Câu 91 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A ( 4; ) M điểm biển diễn số phức z thoả mãn điều kiện z − = z + − i Tìm toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ A M (1; ) B M ( 2; ) C M ( −1; − 1) D M ( −2; − ) Tìm giá trị lớn z + + i Câu 92 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = A 13 + B 13 + C D Câu 93 Tìm giá trị lớn P = z − z + z + z + với z số phức thỏa mãn z = 13 C D 10 Gọi M1 , M điểm biểu diễn số phức z Câu 94 Cho số phức z thỏa mãn z + 3i + z − 3i = A B có mơđun lớn nhỏ Gọi M trung điểm M1M , M ( a; b ) biểu diễn số phức w , tổng a + b nhận giá trị sau đây? A https://toanmath.com/ B C D ( a + b) + (b − a ) Nên z1 − z2 = 2 = z1 Ta lại có = z1 + − i ≤ z1 + − i = z1 + ⇒ z1 ≥ − Suy z1 − z= 2 z1 ≥ 2 − a b < Dấu " = " xảy = −1 Vậy m= z1 − z2 = 2 − 16 Câu 102 Cho số phức z1 =−2 + i , z2= + i số phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 + z − z2 = 2 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M − m 17T A 15 T B T 17T 17T C 11 Hướng dẫn giải T D T T T Chọn D x + yi ( x, y ∈ ) Giả sử z = 16 ⇔ x + yi + − i + x + yi − − i = 16 ⇔ x + ( y − 1) = Ta có: z − z1 + z − z2 = 2 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I ( 0;1) bán kính R =2 Do m = , M = Vậy M − m = Câu 103 Cho số phức z thỏa mãn z −1 Tìm giá trị lớn biểu thức = z + 3i P = z + i + z − + 7i A Chọn B https://toanmath.com/ B 10 C Hướng dẫn giải D Gọi z= x + yi với x, y ∈ , gọi M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Ta có: z −1 ⇔ z − = z + 3i ⇔ ( x − 1) + yi = x + ( y + 3) i = z + 3i ⇔ ( x − 1) + y2 = x + ( y + 3) ⇔ ( x − ) + ( y − 3) = 20 2 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) tâm I ( 2;3) bán kính R =2 Gọi A ( 0; −1) , B ( 4;7 ) điểm biểu diễn số phức z1 = −i , z2= + 7i Dễ thấy AB 4= R nên AB đường kính đường tròn A, B thuộc đường tròn ( C ) Vì = ( C ) ⇒ MA2 + MB = AB = 20 Từ đó: P = z + i + z − + 7i = z + i + z − − 7i =MA + MB ≤ (1 + 22 )( MA2 + MB ) =10 MB = MA MA = ⇒ Dấu " = " xảy 20 MB = MA + MB = Vậy max P = 10 z2 − − 2i = Tìm giá trị lớn Câu 104 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − 3i = P= z1 − z2 A P = B P = C P= + 34 Hướng dẫn giải D P= + 10 Chọn C Gọi M ( x1 ; y1 ) điểm biều diễn số phức z1 , N ( x2 ; y2 ) điểm biểu diễn số phức z2 ⇔ ( x1 + ) + ( y1 − 3) = suy M ( x1 ; y1 ) nằm Số phức z1 thỏa mãn z1 + − 3i = 2 đường tròn tâm I ( −2;3) bán kính R1 = Số phức z2 thỏa mãn z2 − − 2i = suy N ( x2 ; y2 ) nằm ⇔ ( x2 − 1) + ( y1 + ) = 2 đường tròn tâm J (1; −2 ) bán kính R2 = + 34 + 1= + 34 MN đạt giá trị lớn R1 + IJ + R2 = Ta có z1 − z2 = Câu 105 Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = z Khi số phức z A z= + 5i https://toanmath.com/ B z= + 2i C z= − i D z = + 2i Hướng dẫn giải Chọn D có Do z − − 4i = nên tập điểm M biểu diễn số phức đường tròn ( x − ) + ( y − ) = 2 tâm I ( 2;4 ) bán kính R = Mà OM = z Gọi A, B giao OI đường tròn ( x − ) + ( y − ) = 2 Tọa độ nghiệm hệ phương trình x = ( x − )2 + ( y − )2 = ⇔ x = ⇒ A 1;2 , B 2;4 ( ) ( ) y = 2x y = x Khi OA ≤ OM ≤ OB ⇒ z =OA ⇔ z =1 + 2i Câu 106 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ′ Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ′ Biết M , M ′ , N , N ′ bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z + 4i − A 34 B Chọn C Gọi z =a + bi ⇒ M ( a; b ) , M ′ ( a; −b ) C 13 D Hướng dẫn giải Ta có: z ( + 3i ) =( a + bi )( + 3i ) = 4a − 3b + ( 3a + 4b ) i ⇒ N ( 4a − 3b;3a + 4b ) , N ′ ( 4a − 3b; −3a − 4b ) Vì MM ′ NN ′ vng góc với trục Ox nên M , M ′ , N , N ′ bốn đỉnh hình chữ 2 ( 2b= ) ( 6a + 8b ) MM ′ = NN ′ a + b = nhật 0⇔ ⇔ ( 3a − 3b ) + ( 3a + 3b ) ( −2b ) = b 0,3 a b ≠ + ≠ MN ⊥ MM ′ b ≠ 0,3a + 4b ≠ Khi đó: z + 4i − = ( a − 5) + ( b + ) i = ( a − 5) + ( b + ) 2 = ( a − 5) + ( − a ) 2 = 2a − 18a + 41 = 9 1 2 a − + ≥ 2 2 Vậy giá trị nhỏ z + 4i − 9 a = ⇒ b =− 2 Câu 107 Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A B C Hướng dẫn giải Chọn A Gọi số phức z= x + yi , với x, y ∈ Suy −1 ≤ x ≤ Theo giả thiết, ta có z = ⇔ x + y = https://toanmath.com/ D Khi đó, P = + z + − z = Suy P ≤ (1 ( x + 1) + y2 + ( x − 1) + y 2= 2x + + 2 − 2x + 22 ) ( x + ) + ( − x ) hay P ≤ , với −1 ≤ x ≤ − 2x ⇔ x = − , y = ± 5 Câu 108 Trong số phức z thỏa z 4i , gọi z0 số phức có mơ đun nhỏ Khi Vậy Pmax = 2 x + = A Không tồn số phức z0 B z0 D z0 Hướng dẫn giải C z0 Chọn D Cách 1: Đặt z a bi (a, b ) Khi z 4i (a 3) (b 4) Suy biểu diễn hình học số phức z đường trịn ( C ) tâm I ( −3; −4 ) bán kính R=5 Gọi M ( z ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: M ( z ) ∈ ( C ) z= OM ≥ OI − R= Vậy z bé M (= z) ( C ) ∩ IM Cách 2: a cos a 3 cos Đặt b 2sin b 4 2sin z a b (2 cos 3) (2sin 4) 29 12 cos 16sin 3 29 20 cos sin 29 20 cos( ) z0 Câu 109 Gọi n số số phức z đồng thời thỏa mãn iz + + 2i =3 biểu thức T = z + + 2i + z − 3i đạt giá trị lớn Gọi M giá trị lớn T Giá trị tích M n A 13 B 10 21 D 21 C 13 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi z= x + yi , với x, y ∈ Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z ⇔ ( x + ) + ( y − 1) = Theo giả thiết, iz + + 2i =3 ⇔ z + − i = https://toanmath.com/ 3i MA + 3MB , với A ( −5; −2 ) B ( 0;3) Ta có T = z + + 2i + z −= Nhận xét A , B , I thẳng hàng IA = 3IB Cách 1: Gọi ∆ đường trung trực AB , ta có ∆ : x + y + = T MA + 3MB ≤ PA + PB Dấu “ = ” xảy M ≡ P M ≡ Q = x + y + = −8 − −2 + −8 + 2 + ⇔ P Giải hệ ; ;− Q 2 2 2 ( x + ) + ( y − 1) = = M max = T 21 Khi Vậy M n = 10 21 Cách 2: Ta có A , B , I thẳng hàng IA = 3IB nên IA + 3IB = 2 ⇒ MA2 + 3MB = MI + IA + MI + IB = 5MI + IA2 + 3IB = 105 ( Do T = ( ) 2 MA + ( ) 3MB ) ≤ ( MA 2 + 3MB ) = 525 hay T ≤ 21 = M max = T 21 Dấu “ = ” xảy M ≡ P M ≡ Q Khi Vậy M n = 10 21 Giá trị lớn z + + i Câu 110 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = A 13 + C Hướng dẫn giải B Chọn A D 13 + M2 M1 I H Gọi z= x + yi ta có z − − 3i = x + yi − − 3i = x − + ( y − 3) i nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường Theo giả thiết ( x − ) + ( y − 3) = 2 tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = Ta có z + + i = x − yi + + i = x + + (1 − y ) i = https://toanmath.com/ ( x + 1)2 + ( y − 1)2 Gọi M ( x; y ) H ( −1;1) HM = ( x + 1)2 + ( y − 1) Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn x= + 3t Phương trình HI : , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y= + 2t { ;3 + ;3 − nên M + , M − 13 13 13 13 13 9t + 4t =1 ⇔ t =± = Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 + z= z= Khẳng định đúng? Câu 111 Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa z= A z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3 ≠ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3 > z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Kí hiệu Re : phần thực số phức 2 2 + Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) (1) Ta có z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 + Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + Re ( z1 z2 z2 z3 + z2 z3 z3 z1 + z3 z1 z1 z2 ) 2 2 ( = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + Re z1 z2 z3 + z2 z3 z1 + z3 z1 z2 2 2 2 2 ) = = + Re ( z1 z3 + z2 z1 + z3 z2 ) = + Re ( z1 z2 + z3 z3 + z3 z1 ) (2) Từ (1) ( ) suy z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Các h khác: B C suy D đúngLoại B, C z= z3 ⇒ A D sai Chọn z= z= z= vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Cách 2: thay thử z= Câu 112 Cho z= x + yi với x , y ∈ số phức thỏa mãn điều kiện z + − 3i ≤ z + i − ≤ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x + y Tính M +m 156 156 A B 60 − 20 10 C D 60 + 10 − 20 10 + 20 10 5 Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ y B x 10 -1 5 -1 10 I K J A 10 - Theo ra: z + − 3i ≤ z + i − ≤ ⇔ ( x + ) + ( − y − 3) 2 ≤ ( x − ) + ( y + 1) 2 ≤5 2 x + y + ≤ ⇔ 2 ( x − ) + ( y + 1) ≤ 25 ⇒ tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền mặt phẳng (T ) thỏa mãn 2 x + y + ≤ 2 ( x − ) + ( y + 1) ≤ 25 đường tròn - Gọi A ( 2; −6 ) , B ( −2; ) giao điểm đường thẳng x + y + = ( C ′ ) : ( x − ) + ( y + 1) 2 = 25 - Ta có: P = x + y + x + y ⇔ ( x + ) + ( y + 3) =P + 25 2 R Gọi ( C ) đường tròn tâm J ( −4; −3) , bán kính = P + 25 - Đường tròn ( C ) cắt miền (T ) JK ≤ R ≤ JA ⇔ IJ − IK ≤ R ≤ IA ⇔ 10 − ≤ 25 + P ≤ ⇔ 40 − 20 10 ≤ P ≤ 20 20 m ⇒M = = 40 − 20 10 Vậy M + m = 60 − 20 10 Câu 113 Tìm số phức z thỏa mãn z − − i =5 biểu thức T = z − − 9i + z − 8i đạt giá trị nhỏ A z = + 6i z= − 2i B z= + 5i C z= − 2i D z = + 6i Hướng dẫn giải Chọn D M I K A M0 B Từ giả thiết z − − i =5 suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I (1;1) , bán kính R = = 10 = 2.IM Xét điểm A ( 7;9 ) B ( 0;8 ) Ta thấy IA https://toanmath.com/ Gọi K điểm tia IA cho IK = 5 IA ⇒ K = ;3 2 IM IK chung ⇒ ∆IKM ∽ ∆IMA ( c.g c ) Do = = , góc MIK IA IM MK IK 2.MK ⇒ = = ⇒ MA = MA IM 2.MB ( MK + MB ) ≥ 2.BK = 5 8i MA + = Lại có: T = z − − 9i + z − = ⇒ Tmin = 5 ⇔ M = BK ∩ ( C ) , M nằm B K ⇒ < xM < Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x = 2 x + y − = y = ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ: ⇒M = (1;6 ) 2 x = 25 ( x − 1) + ( y − 1) = y = −2 Vậy z = + 6i số phức cần tìm Câu 114 Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tính | w | , với w = z − + 2i A | w |= B | w |= C | w |= D | w |= 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) ⇔ ( z − + 2i )( z − − 2i ) = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) z − + 2i =0 ⇔ ( z − − 2i ) = ( z + 3i − 1) Trường hợp : z − + 2i =0 ⇒ w =−1 ⇒ w =1 (1) Trường hợp 2: z − − 2i = z + 3i − Gọi z= a + bi (với a, b ∈ ) ta 2 a −1 + (b − 2) i = − ( a − 1) + ( b + 3) i ⇔ ( b − ) = ( b + 3) ⇔ b = Suy w = z − + 2i = a − + i ⇒ w = ( a − ) + ≥ ( ) Từ (1) , ( ) suy | w |= Câu 115 Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị = M + mi nhỏ biểu thức P = z + − z − i Môđun số phức w A w = 1258 B w = 309 Chọn A - Đặt z= x + yi , với x, y ∈ https://toanmath.com/ C w = 314 Hướng dẫn giải D w = 137 Ta có: z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) i =5 ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = , hay tập hợp 2 điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; ) , bán kính r = - Khi : P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 2 ⇒ 4x + y + − P = , kí hiệu đường thẳng ∆ - Số phức z tồn đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) ⇔ d ( I; ∆) ≤ r ⇔ 23 − P ≤ ⇔ P − 23 ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 Suy M = 33 m = 13 ⇒ w = 33 + 13i Vậy w = 1258 Câu 116 Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn 2 Môđun số phức z A B 13 D 10 C 10 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z= x + yi với x, y ∈ gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Oxy , ta có z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 2 Và P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 2 Như P = x + y + 3= ( x − 3) + ( y − ) + 23 ≤ 42 + 22 ( x − 3) + ( y − ) 2 + 23 = 33 x = x −3 y −4 = = t ⇔ y = Dấu “=” xảy t = 0,5 10 4 ( x − 3) + ( y − ) = Vậy P đạt giá trị lớn z= + 5i ⇒ z = Câu 117 Gọi M m giá trị lớn nhỏ P = thỏa mãn z ≥ Tính tỷ số A M =5 m Chọn B https://toanmath.com/ B z+i , với z số phức khác z M m M =3 m M = m Hướng dẫn giải C D M = m z +i ⇒ (T − 1) z= i z Nếu T = ⇒ Khơng có số phức thoả mãn yêu cầu toán i i Nếu T ≠ ⇒= z z ⇔= ≥ ⇒ T −1 ≤ T −1 T −1 Gọi T = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình trịn tâm I (1;0 ) có bán kính R = M = OB = OI + R = ⇒ m = OA = OI − R = M ⇒ = m Câu 118 Cho số phức z thỏa mãn z + = ( z − 2i )( z − + 2i ) Tìm giá trị nhỏ P = z + − 2i A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = Hướng dẫn giải Chọn B z − 2i = ⇔ z − 2i ( z + 2i − z − + 2i ) =0 ⇔ z + 2i = z − + 2i Do tập hợp điểm N biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy điểm A ( 0; ) Ta có z + = ( z − 2i )( z − + 2i ) đường trung trực đoạn thẳng BC với B ( 0; −2 ) , C (1; −2 ) 1 Ta có BC = (1;0 ) , M ;0 trung điểm BC nên phương trình đường trung trực BC 2 ∆ : x − =0 Đặt D ( −3; ) , DA = , d ( D, ∆ ) = N P = z + − i = DN Khi , với điểm biểu diễn cho z = , d ( D, ∆ )} Suy P { DA= https://toanmath.com/ Câu 119 Gọi z = x + yi , 26 ( x y ∈ ) số phức thỏa mãn hai điều kiện z − + z + = z− − A xy = 2 i đạt giá trị lớn Tính tích xy B xy = 13 Chọn A C xy = Hướng dẫn giải 16 D xy = Đặt z = 36 x + iy ( x , y ∈ ) Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x + y = Đặt x 3= cos t , = y sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P = z − − π i = 18 − 18 sin t + ≤ 4 3π 3 π i ⇒ z =− − Dấu xảy sin t + =−1 ⇒ t =− 4 2 Câu 120 Xét số phức z= a + bi ( a, b ∈ ) thỏa mãn a+b Tính z − − 2i = z + − 2i + z − − 5i đạt giá trị nhỏ B + A Chọn B Cách 1: w với w= x + yi Đặt z − − 2i = C − Hướng dẫn giải ( x, y ∈ ) Theo ta có 20 + x + = ( ( x + 1) + ( y − 3) x2 + y + 2x + + = + 2x + ) 2( ( x + 1) + ( y − 3) = 2 ( x + 1) + y2 + ( ) Vậy GTNN P đạt z =2 + + i https://toanmath.com/ ( x + 1) + ( y − 3) ≥ 2( y + y − ) ≥ y + − y = x = −1 x = −1 P = ⇔ y (3 − y ) ≥ ⇔ = y 2 x + y = w =2 ⇔ x + y =4 ( x + 4) Ta có P = z + − 2i + z − − 5i = w + + w + − 3i = = D + + y2 + ( x + 1) + ( y − 3) 2 ( x + 1) + ( y − 3) 2 ) Cách 2: ⇒ M ∈ ( I ; ) với I = ( 3; ) z − − 2i = ⇒ MI = P = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB với A = (1; ) , B = ( 2;5 ) Ta có IM = ; IA = Chọn K ( 2; ) IK = Do ta có IA.IK = IM ⇒ IA IM = IM IK AM IM MK = =2 ⇒ AM = MK IK P MA + = MB ( MK + MB ) ≥ 2BK Từ đó= ⇒ ∆IAM ∆IMK đồng dạng với ⇒ Dấu xảy M , K , B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK Từ tìm = M ( 2; + ) Cách 3: Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z= a + bi Đặt I = ( 3; ) , A ( −1; ) B ( 2;5 ) Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn ( C ) có tâm I , bán kính R = cho biểu thức= P MA + MB đạt giá trị nhỏ Trước tiên, ta tìm điểm K ( x; y ) cho MA = MK ∀M ∈ ( C ) Ta có MA = MK ⇔ MA2 = MK ⇔ MI + IA = MI + IK ⇔ MI + IA2 + MI IA = MI + IK + MI IK ⇔ 2MI IA − IK = 3R + IK − IA2 (*) IA − IK = (*) ∀M ∈ ( C ) ⇔ 2 3R + IK − IA = ( ( ) ( ) ( ) ) −4 x = 4 ( x − 3) = IA − IK =⇔ ⇔ y = 4 ( y − ) = Thử trực tiếp ta thấy K ( 2; ) thỏa mãn 3R + IK − IA2 = Vì BI =12 + 32 =10 > R = nên B nằm ( C ) R2 = nên K nằm ( C ) Vì KI =< Ta có MA + MB = MK + MB = ( MK + MB ) ≥ KB Dấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA + MB nhỏ M giao điểm ( C ) đoạn thẳng BK Phương trình đường thẳng BK : x = https://toanmath.com/ Phương trình đường trịn ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = 2 x = x = x = ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ 2 x y − + − = y = + = − y ( ) ( ) ( ) Thử lại thấy M 2; + thuộc đoạn BK Vậy a = , b= + ⇒ a + b = + Câu 121.Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A P = 15 B P = Hướng dẫn giải Chọn B Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P = 1+ z + 1− z ≤ (1 ( C P = 10 ) + 32 ) + z + −= z 2 ( ) 10 (1 + 1) = 10 += z D P = Vậy Pmax = Câu 122 Cho số phức w , z thỏa mãn w + i = 5w = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i B + 13 A C 53 Hướng dẫn giải D 13 Chọn C Gọi z= x + yi , với x, y ∈ Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z Theo giả thiết, 5w = ( + i )( z − ) ⇔ ( w + i ) = ( + i )( z − ) + 5i ⇔ ( − i )( w + i ) = z − + 2i ⇔ z − + 2i = Suy M ( x; y ) thuộc đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 2i MA + MB , với A (1; ) B ( 5; ) Ta có P = z − − 2i + z − − = Gọi H trung điểm AB , ta có H ( 3; ) đó: ( = P MA + MB ≤ MA2 + MB ) hay P ≤ MH + AB Mặt khác, MH ≤ KH với M ∈ ( C ) nên P ≤ KH + AB= https://toanmath.com/ ( IH + R ) + AB = 53 2 M ≡ K 11 Vậy Pmax = 53 hay z= − 5i w= − i 5 MA = MB Tìm giá trị lớn module số phức w= z + 2i ? Câu 123 Biết z − = A B + 2+ C − Hướng dẫn giải D 5− Chọn B Quỹ tích M ( z ) đường trịn tâm I (1, ) bán kính R = Còn w = z + 2i =MA với A ( 0, ) Khi w max = IA + R = + Câu 124 Trong số phức z thỏa mãn z = z − + 4i , số phức có mơđun nhỏ A z= + i C z = i Hướng dẫn giải B z = Chọn D D z = + 2i Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi Khi đó: z = z − + 4i ⇔ x + yi = x − yi − + 4i ( x − )2 + ( y − )2 ⇔ x + y − = Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường thẳng ⇔ x2 + y = x + yi = x2 + y = ( − y )2 + y = Suy ra: x + yi bé ( x + 2y −5 = ) y2 − y + + = 5( y − 2) + ≥ y = ⇒ x = Câu 125 Cho số phức z thỏa mãn z − = z + i Tìm giá trị nhỏ P = z A Pmin = 10 B Pmin = 10 10 C Pmin = 5 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z= a + bi , ( a, b ∈ ) Ta có: P= z= a + b2 Mà z − = z + i Hay a + ib − = a + ib + i ⇔ ( a − 3) + ib = a + ( b + 1) i ⇔ ( a − 3) + b = a + ( b + 1) 2 ⇔ b = − 3a Lúc P= z = = a + b2 = a + ( − 3a ) = 24 144 10 10 x − x + + ≥ 10 100 5 https://toanmath.com/ 10a − 24a + 16 D Pmin = Câu 126 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A= + A B Chọn A Ta có: A =1 + 5i z C Hướng dẫn giải D 5i 5i ≤1+ =1 + =6 Khi z =i ⇒ A =6 z z z Câu 127 Xét số phức z thỏa mãn z − + z − i ≤ 2 Mệnh đề đúng? A < z < 2 B Chọn A Cách Chọn z = i Cách C z > < z < 2 Hướng dẫn giải D z < 2 ≥ z − + z − i= ( z − + z − i ) + z − i ≥ z −1− ( z − i ) + z − i = i −1 + z − i = 2 + z − i ≥ 2 hay z = i ⇒ z = i =1 Dấu " = " xảy z − i = Giá trị lớn z − i Câu 128 Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i = A Chọn D Cách = z − + 3i = B C Hướng dẫn giải ( z − i ) − ( − 4i ) D ≥ z − i − − 4i ⇒ z − i ≤ + − 4i ⇒ z − i ≤ Cách Đặt w= z − i Gọi M điểm biểu diễn w hệ trục tọa độ Oxy với I ( 3; −4 ) ⇒ M nằm đường tròn ( C ) tâm z − + 3i = ⇒ w − + 4i = ⇒ MI = I ( 3; −4 ) , bán kính R = = OI + R = + = Ta có z − i = w = OM Vậy max OM = ON = OI − R Lưu ý: Nếu đề hỏi “Giá trị nhỏ z − i ” OM https://toanmath.com/ ... gọi z1 z2 số phức có mơđun nhỏ Câu 86 Trong số phức z thỏa mãn z + = lớn Khi mơđun số phức w= z1 + z2 A w = + B w = 2 C w = D w = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: Câu 87 Cho số phức z thỏa... Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = z Khi số phức z A z= + 5i https://toanmath.com/ B z= + 2i C z= − i D z = + 2i Câu 106 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ′ Số phức. .. z2 + z3 ≠ z1 + z2 + z3 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn −2 − 3i z +1 = Giá trị lớn môđun số phức z − 2i C D z Câu 46 Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = số thực Giá trị nhỏ biểu + z2 thức P