Bài toán cực trị của modun số phức

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính.. , với là tâm đường tròn, là điểm chạy trên đường tròn.[r]

(1)

GTLN - GTNN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC A BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN

1 PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Trong số phức z thoảmãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn

Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến

Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu toán hàm số biến vừa tìm II CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢMÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

1 PHƯƠNG PHÁP:

Để giải lớp tốn này, chúng tơi cung cấp cho học sinh bất đẳng thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau:

U

BÀI TỐN CƠNG CỤ 1:U

Cho đường trịn ( )T cốđịnh có tâm I bán kính R điểm A cốđịnh Điểm M di động đường trịn ( )T Hãy xác định vịtrí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ

U

Giải:

TH1: A thuộc đường tròn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A

AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I

TH2: A khơng thuộc đường trịn (T)

Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sửAB < AC.

+) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥AI−IM =AI−IB=AB

Đẳng thức xảy M ≡B AM ≤AI+IM =AI+IC=AC Đẳng thức xảy M ≡C

+) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có:

AM ≥IM−IA=IB−IA=AB Đẳng thức xảy M ≡B

AM ≤AI+IM =AI+IC=AC Đẳng thức xảy M ≡C

Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn

U

Cho hai đường trịn ( )T1 có tâm I, bán kính RR1R; đường trịn

(2)

U

Giải:

Gọi d đường thẳng qua I, J;

d cắt đường tròn ( )T1 hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt ( )T2 hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC)

Với điểm M bất khì ( )T1 điểm N ( )T2 Ta có: MN ≤IM +IN≤IM +IJ+JN =R1+R2+IJ = AD Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D

1

MN ≥ IM −IN ≥ IJ−IM−JN = IJ−R +R =BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C

Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn

M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ U

Cho hai đường trịn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với ( )T Tìm vị trí điểm M ( )T , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ

U

Giải:

Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn ( )T J

Với M thuộc đường thẳng ∆, N thuộc đường trịn ( )T , ta có: MN ≥IN−IM ≥IH−IJ =JH =const

Đẳng thức xảy M ≡H N; ≡I

Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ

B – BÀI TẬP

Câu 1.Trong số phức thỏa mãn điều kiện z+3i = + −z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?

A

5

z= − + i B

5

z= − i C z= − +1 2i D z= −1 2i Câu 2.Trong số phức z thỏa mãn z− −2 4i = −z 2i Số phức z có mơđun nhỏ

A z= +3 2i B z= − +1 i C z= − +2 2i D z= +2 2i Câu 3.Cho số phức z thỏa mãn z− = −1 z i Tìm mơ đun nhỏ số phứcw =2z+ −2 i

A 3

2 B

3

2 C 3 D

3 2 Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z− −3 4i =1 Tìm giá trị nhỏ z

(3)

Câu 5.Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1− + =3i iz2− +1 2i =4 Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2iz1+3z2

A 313 16+ B 313 C 313 8+ D 313+2 Câu 6. Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z+ −2 3i = + −z 2i , tìm phần ảo số phức có

mơđun nhỏ nhất?

A 10

13 B

2

5 C −2 D

2 13 − Câu 7.Xét số phức z1= −3 4i z2 = +2 mi, (m∈) Giá trị nhỏ môđun số phức

1 z

z bằng?

A 2

5 B 2 C 3 D

1 Câu 8. Số phức z sau có mơđun nhỏ thỏa | | |z = − +z |i :

A

2

z= − − i B z= − i

C

3 2 z= + i

D z= −3 – 4i Câu 9.Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn z−(m− + =1) i

1

z− + = − +i z i

A 66 B 130 C 131 D 63

Câu 10.Cho số phức z thoả mãn z =2 Đặt w= +(1 2i z) − +1 2i Tìm giá trị nhỏ w

A 2 B 3 C 2 D

Câu 11.Cho số phức z thỏa mãn z− − =1 i 1, số phức w thỏa mãn w− −2 3i =2 Tìm giá trị nhỏ z−w

A 17+3 B 13+3 C 13−3 D 17−3

Câu 12.Cho số phức

( ),

1

m i

z m

m m i

− +

= ∈

− −  Tìm mơđun lớn z

A 2 B 1 C 0 D 1

2 Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z+ − = −1 i z 3i Tính mơđun nhỏ z i−

A 3

10 B

4

5 C

3

5 D

7 10

Câu 14.Cho số phức z thoả mãn z− −3 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ

biểu thức 2

2

P= +z − −z i Tính mơđun số phức w=M +mi

A w =2 309 B w = 2315 C w = 1258 D w =3 137 Câu 15.Cho số phức z thỏa mãn z− +1 2i =3 Tìm mơđun lớn số phức z−2 i

A 26 17+ B 26 17− C 26 17+ D 26 17− Câu 16. Giả sử z1,z2 hai số số phức zthỏa mãn iz+ 2− =i z1−z2 =2 Giá trị lớn

(4)

A 3 B 2 C 3 D 4

Câu 17. Gọi T tập hợp tất số phức z thõa mãn z i− ≥2 z+ ≤1 Gọi z z1, 2∈T số phức có mơ đun nhỏ lớn T Khi z1−z2 bằng:

A 4−i B 5−i C − +5 i D −5 Câu 18.Trong tập hợp số phức, gọi z1, z2 nghiệm phương trình 2017

0

z − +z = , với z2 có thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z−z1 =1 Giá trị nhỏ P= −z z2

A 2016

2 −

B 2017 1− C 2016 1− D 2017

2 −

Câu 19.Cho số phức z thỏa mãn z z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= z3+3z+ − +z z z

A 15

4 B 3 C

13

4 D

3 Câu 20.Cho số phức z, w thỏa mãn z = 5, w=(4 3− i z) + −1 2i Giá trị nhỏ w :

A 6 B 3 C 4 D 5

Câu 21.Cho số phức z thỏa mãn z z

+ = Tính giá trị lớn z

A 4+ B 2+ C 2+ D 4+

Câu 22. Biết số phức z= +a bi,(a b, ∈) thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i có mơ đun nhỏ Tính 2

M =a +b

A M =26 B M =10 C M =8 D M =16 Câu 23.Cho số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ

biểu thức P z= + +1 z2− +z 1 Tính giá trị M m. .

A 13

4 B 394 C 3 D 134

Câu 24.Cho số phức z≠0 thỏa mãn z ≥2 Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức z i

P z +

=

A 2 B 3 C 4 D 1

Câu 25.Nếu z số phức thỏa z = +z 2i giá trị nhỏ z i− + −z

A B 4 C 5 D 2

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Giá trị lớn z+ +1 i

A 13+2 B 4 C 6 D 13 1+

(5)

A 5 10

3 B

10

3 C

2 10

3 D 10

Câu 28.Gọi z1, z2 nghiệm phức phương trình z2 −4z+13=0, với z1 có phần ảo dương Biết số phức z thỏa mãn z−z1 ≤ −z z2 , phần thực nhỏ z

A 2 B 1 C 9 D 6

Câu 29.Cho số phức z thỏa mãn (z+2)i+ +1 (z−2)i− =1 10 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính tổng S =M +m

A S =8 B S =2 21 C S =2 21 1− D S=9

Câu 30.Cho 2018 phức z thoả mãn z− −3 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= +z 22− −z i2 Tính mơđun 2018 phức w=M +mi

A w =2 314 B w =2 309 C w = 1258 D w = 1258 Câu 31. Cho hai số phức z z, ′ thỏa mãn z+ =5 z′+ −1 3i = − −z′ 6i Tìm giá trị nhỏ

z−z′

A 10 B 3 10 C 5

2 D

5

Câu 32.Cho số phức z thỏa mãn z ≤2 Giá trị nhỏ biểu thức P=2 z+ +1 z− + − −1 z z 4i bằng:

A 2 15

+ B 2+ C 4 14

15

+ D 4 3+ Câu 33.Cho số phức z thỏa mãn z =1 Giá trị lớn biểu thức P= + +1 z 1−z

A 6 B 2 C 4 D

Câu 34.Cho số phức z1=3i, z2 = − −1 3i, z3 = −m 2i Tập giá trị tham số m để số phức z3 có mơđun nhỏ số phức cho

A {− 5; 5} B (− 5; 5)

C (−∞ −; 5) (∪ 5;+∞) D − 5; 5

Câu 35.Cho số phức z thỏa mãn z− =3 2z max z− +1 2i = +a b Tính a b+

A 3 B 4

3 C 4 D 4

Câu 36.Cho số phức z thỏa mãn: z− −2 2i =1 Số phức z i− có mơđun nhỏ là:

A 2+ B 1+ C 2− D 1−

Câu 37.Cho số phức z thỏa z ≥ Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P z i

z

+

=

A 2

3 B 3 C 1 D 2

Câu 38.Tìm số phứczsao cho z− +(3 4i) = biểu thức P= +z 22− −z i2 đạt giá trị lớn

(6)

Câu 39. Cho số phức thỏa điều kiện Giá trị nhỏ ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 40.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun nhỏ số phức

A B C D

Câu 41.Cho số phức với thỏa mãn Gọi

là giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Tính tỉ số

A B C D

Câu 42.Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn ?

A B C D

Câu 43.Cho số phức thỏa mãn điều kiện: có mơđun lớn Số phức

có mơđun bằng:

A B C D

Câu 44. Cho số phức thỏa mãn Khẳng định

đây sai ?

A B

C D

Câu 45.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn môđun số phức

A B C D

Câu 46.Cho số phức thỏa mãn số thực số thực Giá trị nhỏ biểu

thức là?

A B C D

Câu 47.Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện biểu thức đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức

A B C D

Câu 48. Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức

A B C D

Câu 49. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhỏ

A B C D

z z2+ =4 z z( +2i) z i+

z z− +1 2i =3 z− +1 i

2 2

z= +x yi x y, ∈ z− − ≥1 i z− −3 3i ≤ m M,

P= +x y M

m

2

5

14

9

z z− = + −i z 3i +3z− +1 i M z− +2 3i

M = M =9 10

3

M = M = +1 13

z z− +1 2i = w= + +z i z

5 2

1, ,

z z z z1+ + =z2 z3 z1 = z2 = z3 =1

3 3 3

1 3

z +z +z = z + z + z z13+z23+z33 ≤ z13 + z23 + z33

3 3 3

1 3

z +z +z ≥ z + z + z z13+z23+z33 ≠ z13 + z23 + z33

z

3 i

z i

− − + =

− z

3 2

z z

2

z w

z =

+

P= + −z i

2 2

z z− −3 4i = M z= +22− −z i2

z i+

5

z i+ = z i+ = 41 z i+ =2 41 z i+ =3

z w z+ = +w 4i z− =w T = +z w

maxT =14 maxT =4 maxT = 106

maxT = 176

z z− + + =4 z 10 z

(7)

Câu 50.Cho hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ là:

A B C D

Câu 51.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Đặt , tìm giá trị lớn

A B C D 1

Câu 52.Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức

A B C D

Câu 53. Trong số phức thỏa mãn , số phức có mơ đun nhỏ

A B C D

Câu 54. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn

A B C D

Câu 55. Cho số phức thỏa điều kiện Giá trị nhỏ ?

A B C D

Câu 56. Có giá trị nguyên để có số phức thỏa

A B C D

Câu 57.Cho số phức thỏa mãn Đặt Mệnh đề sau đúng?

A B C D

Câu 58. Trong tập hợp số phức thỏa mãn: Tìm mơđun lớn số phức

A B C D

Câu 59.Cho số phức thỏa mãn

Tính , với

A B C D

Câu 60. Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 61.Gọi điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ ( không thẳng hàng) Với gốc tọa độ, khẳng định sau đúng?

A Tam giác vuông cân B Tam giác

C Tam giác vuông cân D Tam giác vuông cân 1,

z z z1+ =5 5, z2+ −1 3i = z2− −3 6i z1−z2

2

3

5

7

z z− =1 (1+i z) m= z m

2 1− 2+1

z z =1 P= + +1 z 1−z

6 20 20 15

z z = − +z 2i

z=

4

z= + i

2

z= +i z= +3 i

2

z− + i = z

4 2−2 2+ 2 1+ 1+

z z2+ =4 z z( +2i) z i+

2

m z z−(m− + =1) i

1

z− + = − +i z i

66 65 131 130

z z ≤1

2 z i A

iz − =

+

A < A >1 A ≤1 A ≥1

z 2

1

z i

+ − =

+ − z i+

2+ 3+ 3− 2−

z z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3i 1) |w| w= − +z 2i

1 | |

2

w = |w| 1= |w| 2= | |

2 w =

z z− −2 3i =1 z

13 1+ 13 2+ 13 13 1−

,

A B z ; ( 0)

2

i

z′ = + z z≠

, ,

A B C A B C′, , ′ ′ O

OAB A OAB

(8)

Câu 62.Xét số phức thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn

A B C D

Câu 63.Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ

A B C D

Câu 64. Cho số phức thỏa mãn Giả sử biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ Tính

A B C D

Câu 65. Cho số phức thỏa mãn Gọi , số

phức Tính

A B C D

Câu 66. Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Giá trị

A B C D

Câu 67.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức là:

A B C D

Câu 68.Trong mặt phẳng tọa độ, tìm số phức có mơđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức thỏa mãn

điều kiện

A B C D

Câu 69.Cho số phức thay đổi thỏa mãn điểm biểu diễn cho mặt phẳng phức Tìm giá trị lớn biểu thức

A B C D

Câu 70.Trong số phức thỏa mãn Hãy tìm có mơđun nhỏ

A B C D

Câu 71.Cho số phức , tìm giá trị lớn biết thỏa mãn điều kiện

A B C D

Câu 72. Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm mơđun nhỏ số phức

A B C D

Câu 73.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính ?

( , , 0)

z= +a bi a b∈R b> z =1

2

P= a+ b z3− +z

P= P= −2 P=2 P= +2

z z− =1 z

1 2 1−

z z− +4 3i =2 P= z

z z1 = +a1 b i1 (a b1, 1∈) z2 =a2+b i2 (a b2, 2∈)

= +

S a a

8 =

S S =10 S =4 S =6

z (1+i z) + +2 (1+i z) − =2 m=max z n=min z w= +m ni w2018

1009

5 61009 21009 41009

z z =1 M m

2

1

P= + +z z − +z M m 3

8

13

3

13

z z−2i ≤ −z 4i z− −3 3i =1 P= −z

10 1+ 13 10 13 1+

z z

2

z− − i =

z= − − i z= −1 2i z= − +1 2i z= +1 2i z (1+i z) + − =2 i M x y( ); z

3 T = + +x y

4 2+ 4

z z i− = − −z 3i z 27

5

z= + i 27

5

z= − − i 27

5

z= − + i

5 z= − i

z z z 1

3 i

z i − −

+ = −

2

z− − i = −z i

2

z+ i

3 3+

z z− + + =2 z M m,

(9)

A B C D

Câu 74. Cho số phức , thỏa mãn , Tìm giá trị lớn biểu

thức

A B C D

Câu 75.Trong số phức thỏa , gọi số phức có mơ đun nhỏ Khi

A Khơng tồn số phức B

C D

Câu 76.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định sau đúng?

A B

C D

Câu 77.Cho số phức thỏa mãn Tìm môđun lớn số phức

A B C D

Câu 78. Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ

A B C D

Câu 79.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun lớn số phức

A B C D

Câu 80. Cho số phức thỏa mãn số thực số thực Giá trị lớn biểu

thức

A B C D

Câu 81.Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ , với số phức khác thỏa mãn Tính

A B C D

Câu 82.Cho số phức thỏa mãn số phức Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 83. Xét số phức , thỏa mãn Tính

khi đạt giá trị nhỏ

A B C D

1

M + =m M + =m 17

2

M + =m M + =m

z w z− +5 3i =3 iw+ +4 2i =2

3

T = iz+ w

578+13 578+5 554 13+ 554+5

z z 3 4i 2 z0

z z0 7

0

z  z0 3

z z2+ =4 z

− +

≤ ≤

2

3 z

− +

≤ ≤

3

6 z

− ≤ ≤ +

5 z 1− ≤ z ≤ 1+

z ( )1−i z− −6 2i = 10 z

3+ 5

z z− −2 4i = −z 2i z

1

z= − +i z= +3 2i z= +2 2i z= − +2 2i

z z− +1 2i =2 z

5 5+ 11 5+ 5+ 5.+

z z

2

z w

z =

+

P= + −z i

2 2

M m P z i

z +

= z

0 z ≥2 2M −m

5

2

M − =m 2M− =m 10 2M − =m

2 M − =m z z+ − = −1 i z 3i w=1

z w

max

9 10 =

w max

10 =

w max

7 =

w max

7 = w

z= +a bi (a b, ∈) 4( )z− −z 15i=i z( + −z 1)2 F= − +a 4b

3 z− + i

4

(10)

Câu 84.Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ mơđun số phức thỏa mãn Tính

A B C D

Câu 85 - 2017] Cho , hai nghiệm phương trình , thỏa mãn Giá trị lớn

A B 5 C D

Câu 86.Trong số phức thỏa mãn gọi số phức có mơđun nhỏ lớn Khi mơđun số phức

A B C D

Câu 87.Cho số phức thỏa mãn: Số phức có mơđun nhỏ là:

A B C D

Câu 88.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ Khi

A B C D

Câu 89.Cho số phức , , thỏa mãn Tính

A B C D

Câu 90.Số phức sau có mơđun nhỏ thỏa :

A B

C

D

Câu 91.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho điểm điểm biển diễn số phức thoả mãn điều kiện Tìm toạ độ điểm để đoạn thẳng nhỏ

A B C D

Câu 93.Tìm giá trị lớn với số phức thỏa mãn

A B C D

Câu 94. Cho số phức thỏa mãn Gọi , điểm biểu diễn số phức có mơđun lớn nhỏ Gọi trung điểm , biểu diễn số phức

, tổng nhận giá trị sau đây?

A B C D

M m z z−1=2 M +m

5

1

z z2 3− +i iz = 2z− −6 9i

1

z −z = z1+z2

4 56

5

31 z z2+ =1 z z1 z2

1 w= +z z

w = + w =2 w =2 w =

z z− −2 2i =1 z−i

5 1− 1+ 5+2 2−

z 2z− −3 4i =10 M m

z M −m

15 10 20

z z1 z2 z1− −4 5i = z2−1 z+4i = − +z 4i M = z1−z2

1

P= − + −z z z z

6 41

z | |z = − +z 4i

3 –

z= − i

8

z= − i

2

z= + i

2 z= − − i ,

Oxy A(4; 4) M z

1

z− = + −z i M AM

( )1;

M M( )2; M(− −1; 1) M(− −2; 4)

z z− −2 3i =1 z+ +1 i

13 1+ 13+2

2

1 = − + + +

P z z z z z z =1

3 13

4

z z+ + −3i z 3i =10 M1 M2 z

M M M1 2 M a b( );

w a + b

2

(11)

Câu 95.Cho số phức thỏa mãn Gọi , giá trị lớn nhỏ Khi

A B C D

Câu 96.Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

A B

C D

Câu 97.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

A B C D

có mơđun bằng:

A B C D

Câu 100.Trong số phức thỏa mãn điều kiện , môđun nhỏ số phức bằng:

A B C D

Câu 101.Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức ?

A B C D

Câu 102.Cho số phức , số phức thay đổi thỏa mãn

Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ Giá trị biểu thức

A B C D

Câu 104. Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

A B C D

Câu 105. Cho số phức thỏa mãn Khi số phức

A B C D

z z− + + =3 z M m z

M +m

4− 4+ 7 4+

z z =1 Mmax Mmin

2 1 1

M z= + + +z z +

= =

max 5;

M M Mmax =5; Mmin =2

= =

max 4;

z z− =1 T = + + − −z i z i

maxT =4 maxT =8 maxT =8 maxT =4 z z− − + − −1 i z 3i = 53 P= + +z 2i max =53

P max

185 =

P Pmax = 106 Pmax = 53

z z− +1 2i = w= + +z i z

6 2

4 2

z− − =i i−z z

3 2

1,

z z z1+ − =1 i z2 =iz1 m

z −z

2 2

m= − m=2 m=2 m= 1−

1

z = − +i z2 = +2 i z z−z12+ −z z22 =16

M m z 2

M −m

15 11

z 1

3

z z i

− =

+ P= + +z i z− +4 7i

8 10 5

1,

z z z1+ −2 3i =2 z2− −1 2i =1

P= z −z

P= P=3 P= +3 34 P= +3 10

z z− −2 4i =

min

z z

4

(12)

Câu 106.Xét số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn , Số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn , Biết , , , bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ

A B C D

Câu 107.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức

A B C D

C D

Câu 109. Gọi số số phức đồng thời thỏa mãn biểu thức

đạt giá trị lớn Gọi giá trị lớn Giá trị tích

A B C D

Câu 110.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn

A B C D

Câu 111. Cho số phức thỏa Khẳng định đúng?

A B

C D

Câu 112.Cho với , số phức thỏa mãn điều kiện Gọi ,

giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tính

A B C D

Câu 113.Tìm số phức thỏa mãn biểu thức đạt giá trị nhỏ

A B

C D

Tính , với

A B C D

Câu 115.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Môđun số phức

A B C D

Câu 116.Cho số phức thoả mãn biểu thức đạt giá trị lớn

Môđun số phức

z M M′ z(4 3+ i)

N N′ M M′ N N′

4 z+ −i

34

2

1

4 13

z z =1 P= + +1 z 1−z

2 5

z z 3 4i 2 z0

z z0 2

0

z  z0 3

n z iz+ +1 2i =3

2 2i 3i

T = z+ + + z− M T

M n

2 13 10 21 13 21

z z− −2 3i =1 z+ +1 i

13+2 13 1+

1, 2,

z z z z1 = z2 = z3 =1

1 2 3

z + +z z < z z +z z +z z z1+ +z2 z3 ≠ z z1 2+z z2 3+z z3 1 2 3

z + +z z = z z +z z +z z z1+ +z2 z3 > z z1 2+z z2 3+z z3 1

z= +x yi x y ∈ z+ −2 3i ≤ + − ≤z i M

m 2

8

P=x +y + x+ y M +m 156

20 10

5 − 60 20 10−

156

20 10

5 + 60 10+

z z− − =1 i T = − −z 9i +2 z−8i

z= + i z= −5 2i z= +4 5i

5

z= − i z= +1 6i

z z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3i 1) |w| w= − +z 2i

3 | |

2

w = |w| 2= |w| 1= | | w =

z z− −3 4i = M m

2

P= +z − −z i w=M +mi

1258

w = w =2 309 w =2 314 w =3 137

(13)

A B C D

Câu 117.Gọi giá trị lớn nhỏ , với số phức khác thỏa mãn Tính tỷ số

A B C D

Câu 118. Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ

A B C D

Câu 119. Gọi số phức thỏa mãn hai điều kiện

đạt giá trị lớn Tính tích

A B C D

Câu 120. Xét số phức ( ) thỏa mãn Tính

đạt giá trị nhỏ

A B C D

Câu 122.Cho số phức , thỏa mãn Giá trị lớn biểu

thức

A B C D

Câu 123.Biết Tìm giá trị lớn module số phức ?

A B C D

Câu 124. Trong số phức thỏa mãn , số phức có mơđun nhỏ

A B C D

Câu 127.Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề đúng?

5 13 10 10

M m P z i

z +

= z

2

z ≥ M

m

M

m =

M m =

3 M

m =

1 M

m =

z z2+ =4 (z−2i)(z− +1 2i) P= + −z 2i

min =

P Pmin =3 Pmin =4 Pmin =2

( )

,

z x yi x y= + ∈ z−22 + +z 22 =26

3

2

z− − i xy

=9

xy =13

2

xy =16

9

xy =

4

xy

z= +a bi a b, ∈ z− −3 2i =2 a b+

1 2

z+ − i + z− − i

3 4+ 4− 2+

z z =1 P= + +1 z 1−z

3 15

P= P=2 P=2 10 P=6

w z w i

5

+ = 5w=(2 i+ )(z−4) 2i 2i

P= − −z + − −z

6 13+ 53 13

1

z− = w= +z 2i

2+ 2+ 5−2 5−

z z = − +z 4i

z= +i z=5

2

z= i z= +1 2i

z z− = +3 z i P= z

min

2 10 =

P min 10

5 =

P min 10

5 =

P Pmin =3

z z =1 A= +1 5i

z

6

(14)

A B C D

1

2< z <2

3

2

2 < z < z >2

1 z <

z z− +3 3i =2 z i−

(15)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.Trong số phức thỏa mãn điều kiện z+3i = + −z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?

A

5

z= − + i B

5

z= − i C z= − +1 2i D z= −1 2i Hướng dẫn giải

Chọn B

Phương pháp tự luận

Giả sử z= +x yi x y( , ∈)

( ) ( ) ( ) 2 ( ) (2 ) (2 )2

3 3

z+ i = + − ⇔ +z i x y+ i = x+ + y− i ⇔x + y+ = x+ + y−

6y 4x 2y 4x 8y x 2y x 2y ⇔ + = + − + ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = +

( )2

2 2 2

2 5

5 5

z = x +y = y+ +y = y + y+ = y+  + ≥

 

Suy min 5

z =

5

y= − ⇒ =x

Vậy 5 z= − i

Phương pháp trắc nghiệm

Giả sử z= +x yi (x y, ∈)

( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )2

3 3

z+ i = + − ⇔ +z i x y+ i = x+ + y− i ⇔x + y+ = x+ + y−

6y 4x 2y 4x 8y x 2y ⇔ + = + − + ⇔ − − = ⇔ − − =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z+3i = + −z i đường thẳng :

d x− y− =

Phương án A: z= −1 2i có điểm biểu diễn (1; 2− ∉) d nên loại A

Phương án B:

5

z= − + i có điểm biểu diễn 2; 5 d − ∉

 

  nên loại B

Phương án D: z= − +1 2i có điểm biểu diễn (−1; 2)∉d nên loại B

Phương án C:

5

z= − i có điểm biểu diễn 1;

5 d

 − ∈

 

 

Câu 2.Trong số phức z thỏa mãn z− −2 4i = −z 2i Số phức z có mơđun nhỏ

A z= +3 2i B z= − +1 i C z= − +2 2i D z= +2 2i

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt z= +a bi Khi z− −2 4i = −z 2i ⇔ (a− + −2) (b 4)i = + −a (b 2)i ⇔ ( ) (2 )2 2 ( )2

2

a− + −b =a + −b ⇔ a b+ =4 (1)

Mà z = a2+b2 Mà ( 2)(12 12) ( )2

BCS

(16)

⇔ ( ) 2

8

a b

a +b ≥ + = (Theo (1)) ⇔ 2

2 a +b ≥

⇔ z ≥2 ⇒ z =2

Đẳng thức xảy ⇔

1 a =b

(2)

Từ (1) (2) ⇒ 2 a b

=   =

 ⇒ z= +2 2i

Câu 3.Cho số phức z thỏa mãn z− = −1 z i Tìm mơ đun nhỏ số phứcw=2z+ −2 i

A 3

2 B

3

2 C 3 D

3 2 Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử z = +a bi⇒ = −z a bi Khi z− = −1 z i ⇔ − +a bi = +a (b−1)i

( )2 2 2 ( )2

1

⇔ a− +b =a + b− ⇔ − =a b

Khi w=2z+ −2 i =2(a+ai)+ − =2 i (2a+2) (+i a−1)

( ) (2 )2

w 2

⇒ = a+ + a−

2 = a + a+ ≥

Vậy mô đun nhỏ số phức w 3 2

Câu 4.Cho số phức z thỏa mãn z− −3 4i =1 Tìm giá trị nhỏ z

A 6 B 4 C 3 D 5

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 1= − +z (3 4i) ≥ +3 4i − z = − ⇔5 z z ≥ − =5

Câu 5.Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1− + =3i iz2− +1 2i =4 Tìm giá trị lớn biểu

thức T = 2iz1+3z2

A 313 16+ B 313 C 313 8+ D 313+2 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có z1− + = ⇔3i 2iz1+ +6 10i =4 ( )1 ; iz2 − +1 2i = ⇔ −4 ( 3z2)− −6 3i =12 ( )2

Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1, B điểm biểu diễn số phức −3z2 Từ ( )1 ( )2 suy

(17)

Ta có T = 2iz1+3z2 =AB≤I I1 2+R1+R2 = 122+132 + +4 12= 313 16+

Vậy maxT = 313 16+

Câu 6.Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z+ −2 3i = + −z 2i , tìm phần ảo số phức có

mơđun nhỏ nhất? A 10

13 B

2

5 C −2 D

2 13 − Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi z= +a bi a b,( , ∈R)

2 2

z+ − i = + −z i ⇔ + + −a bi i = − + −a bi i

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

2 2 10

a b a b a b

⇔ + + − = + + + ⇔ − + =

( )

2 2 2

5 26 40 16

13 z =a +b = b− +b = b − b+ ≥ Suy ra: z có mơđun nhỏ 10

13 b=

Câu 7. Xét số phức z1= −3 4i z2 = +2 mi, (m∈) Giá trị nhỏ môđun số phức z z bằng?

A 2

5 B 2 C 3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn A

( )( )

( )( ) ( )

2

3 4 25 25 25

mi i m m i

z mi m m

i

z i i i

+ + − + +

+ − +

= = = = +

− − +

2

6

25 25

z m m

z

− +

   

⇒ =   + 

   

2

36 48 16 48 64

25

z m m m m

z

− + + + +

⇒ =

2

1

25 100 4

25 25 25

z m z m

z z

+ +

⇒ = ⇒ = ≥ =

Hoặc dùng công thức: 2 1 z z

z = z

Câu 8.Số phức z sau có mơđun nhỏ thỏa | | |z = − +z |i : I2 I1

(18)

A 2

z= − − i B z= − i

C

3 2 z= + i

D z= −3 – 4i Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi z= + =>a bi z= −a bi ;

| | |z = − +z |i ⇔− +6a 8b+25=0 * ( ) Trong đáp án, có đáp án

z= − i 2 z= − − i

thỏa (*)

Ở đáp án

z= − i: 25

z = ; Ở đáp án 2

z= − − ithì z =

Chọn đáp án: 2 z= − − i

Câu 9.Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn z−(m− + =1) i z− + = − +1 i z 3i

A 66 B 130 C 131 D 63

Hướng dẫn giải Chọn A

- Đặt z= +x yi, với x, y∈

- Từ giả thiết z−(m− + =1) i 8⇒(x−(m−1))2+(y+1)2 =64, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn ( )T có tâm I m( − −1; 1), bán kính R=8

- Từ giả thiết z− + = − +1 i z 3i ⇒(x−1) (2+ y+1) (2 = x−2) (2+ − +y 3)2 2x 8y 11

⇔ + − = hay M nằm đường thẳng ∆: 2x+8y−11=0 - Yêu cầu toán ⇔ ∆ cắt ( )T điểm phân biệt

( ; )

d I R

⇔ ∆ < 2( 1) 11

2 17 m− − −

⇔ < ⇔ 2m−21<16 17 21 16 17 21 16 17

2 m

− +

⇔ < < , m∈ nên m∈ −{ 22; 21; ; 42; 43− } Vậy có tất 66 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 10.Cho số phức z thoả mãn z =2 Đặt w= +(1 2i z) − +1 2i Tìm giá trị nhỏ w

A 2 B 3 C 2 D

Gọi số phức z= +a bi với a, b∈ Ta có z = ⇔2 a2+b2 =2 ⇔a2+b2 =4 ( )*

Mà số phức w= +(1 2i z) − +1 2i

(1 )( )

⇔ = +w i a bi+ − + i ⇔ =w (a−2b− +1) (2a b+ +2)i

Giả sử số phức w= +x yi (x y, ∈) Khi 1

2 2

= − − + = −

 

⇔

 = + +  − = +

 

x a b x a b

y a b y a b

Ta có : (x+1) (2+ y−2) (2 = a−2b) (2+ 2a b+ )2

( ) (2 )2 2 2 2 2

1 4 4

(19)

( ) (2 )2 ( 2 2)

1

⇔ x+ + y− = a +b ⇔(x+1) (2+ y−2)2 =20 (theo ( )* )

Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R= 20=2

Điểm M điểm biểu diễn số phức w w đạt giá trị nhỏ OM nhỏ

nhất

Ta có OI = ( )−1 2+22 = 5, IM = =R

Mặt khác OM ≥ OI−IM ⇔OM ≥ 5−2 ⇔OM ≥

Do w nhỏ

Câu 11.Cho số phức z thỏa mãn z− − =1 i 1, số phức w thỏa mãn w− −2 3i =2 Tìm giá trị nhỏ z−w

A 17+3 B 13+3 C 13−3 D 17−3

Gọi M x y( ); biểu diễn số phức z= +x iy M thuộc đường trịn ( )C1 có tâm I1( )1;1 , bán kính R1 =1

( ; )

N x y′ ′ biểu diễn số phức w= +x′ iy′ N thuộc đường trịn ( )C2 có tâm I2(2; 3− ), bán kính R2 =2 Giá trị nhỏ z−w giá trị nhỏ đoạn MN

Ta có I I1 2 =(1; 4− )⇒I I1 2 = 17 >R1+R2 ⇒( )C1 ( )C2

MN

⇒ =I I1 2−R1−R2 = 17−3 Câu 12.Cho số phức

( ),

1

m i

z m

m m i

− +

= ∈

− −  Tìm mơđun lớn z

A 2 B 1 C 0 D 1

Chọn B Ta có:

( )

− +

= = + ⇒ = ≤ ⇒ = ⇔ = =

− − 2+ 2+ 2+ max

1 1 1 ; 0

1 1

m i m i

z z z z i m

m m i m m m

Câu 13.Cho số phức z thỏa mãn z+ − = −1 i z 3i Tính mơđun nhỏ z−i

A 3

10 B

4

5 C

3

5 D

7 10 Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi z= +x yi; (x y; ∈) có điểm M x y( ); biểu diễn z mặt phẳng tọa độ

Từ giả thiết z+ − = −1 i z 3i suy M∈ ∆: 2x+4y− =7

(20)

Vậy min ( )

2

3

; ,

10

z i− =d O ∆ =′ − =

+

3 10 z= + i

Câu 14. Cho số phức z thoả mãn z− −3 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= +z 22 − −z i2 Tính mơđun số phức w=M +mi

A w =2 309 B w = 2315 C w = 1258 D w =3 137 Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt z= +x yi Ta có P=(x+2)2 + y2 −x2 +(y−1)2=4x+2y+3

Mặt khác ( ) (2 )2

3 5

z− − i = ⇔ x− + y− =

Đặt x= +3 sint, y= +4 cost Suy P=4 sint+2 cost+23 Ta có − ≤10 sint+2 cost≤10

Do 13≤ ≤P 33⇒M =33, m=13⇒ w = 332+132 = 1258

Câu 15.Cho số phức z thỏa mãn z− +1 2i =3 Tìm mơđun lớn số phức z−2 i

A 26 17+ B 26 17− C 26 17+ D 26 17− Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z x yi x= + ; ( ∈;y∈)⇒ − = +z 2i x y( −2)i Ta có:

( ) (2 )2

1 9

z− + i = ⇔ x− + y+ =

Đặt x= +1 3sin ;t y = − +2 3cos ;t t∈ 0; π

( ) ( ) ( ) ( α) (α )

⇒ −z 2i2 = +1 3sint + − +4 3cost =26 sin+ t−4cost =26 17 sin+ t+ ; ∈ ⇒ 26 17− ≤ −z 2i ≤ 26 17+ ⇒ −z 2imax = 26 17+

Câu 16. Giả sử z1,z2 hai số số phức zthỏa mãn iz+ 2− =i z1−z2 =2 Giá trị lớn z1 + z2

A 3 B 2 C 3 D 4

Ta có iz+ 2− = ⇔ − +i z (1 i 2) =1 Gọi z0 = +1 i có điểm biểu diễn I( )1; Gọi A, Blần lượt điểm biểu diễn z1,z2 Vì z1−z2 =2 nên I trung điểm

AB

(21)

Câu 17.Gọi T tập hợp tất số phức z thõa mãn z i− ≥2 z+ ≤1 Gọi z z1, 2∈T

là số phức có mơ đun nhỏ lớn T Khi z1−z2 bằng:

A 4−i B 5−i C − +5 i D −5 Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt z= +x yi ta có:

( )

( ) ( () )

2

1

2

1 4 1 16

x y i

z i x y

z x yi x y



 + − ≥

 − ≥ ⇔ ⇔ + − ≥

 + ≤  + + ≤ 

+ + ≤

  

Vậy T phần mặt phẳng hai đường tròn ( )C1 tâm I1( )0;1 bán kính r1=2 đường trịn

( )C2 tâm I2(−1;0) bán kính r2 =4

Dựa vào hình vẽ ta thấy z1= −0 i z, 2= −5 hai số phức có điểm biểu diễn

( ) ( )

1 0; , 5;0

M − M − có mơ-đun nhỏ lớn Do z1−z2= − − − = −i ( )5 i Câu 18.Trong tập hợp số phức, gọi z1, z2 nghiệm phương trình 2017

4

z − +z = , với z2 có thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z−z1 =1 Giá trị nhỏ P= −z z2

A 2016

2 −

B 2017 1− C 2016 1− D 2017

2 −

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét phương trình 2017 z − +z =

Ta có: ∆ = −2016< ⇒0 phương trình có hai nghiệm phức

2

1 2016

2

1 2016

2

z i



= + 

 

= − 



Khi đó: z1−z2 =i 2016

( ) ( )

2 1 2 2016

z−z = z−z + z −z ≥ z −z − −z z ⇔ ≥P − Vậy Pmin = 2016 1−

(22)

A 15

4 B 3 C

13

4 D

Chọn D

Gọi z= +a bi, với a b, ∈

Ta có: z+ =z 2a; z z = ⇔1 z2= ⇔1 z =1

Khi

3 z

P z z z z z z z z z

z

 

= + + − + =  + +  − +

 

2

2 2

2

z

P z z z z z zz z z z

z

= + + − + = + + + − +

( )2 2 3

1 4 2

2 4

P= z+z + − + =z z a + − a = a + − a = a −  + ≥

 

Vậy P = 43T

Câu 20.Cho số phức 43Tz43T, 43Tw43T thỏa mãn 43Tz = 543T, 43Tw=(4 3− i z) + −1 2i43T Giá trị nhỏ 43Tw43T :

A 6 B 3 C 4 D 5

Theo giả thiết ta có (4 ) 2

w i

w i z i z

i − + = − + − ⇒ =

− 43T

Mặt khác 5 5

w i

z w i

i − +

= ⇔ = ⇔ − + =

− 43T

Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w43Tlà đường trịn tâm 43TI(1; 2− )43T bán kính 43T5 543T

Do w = −R OI =4 Câu 21.Cho số phức z thỏa mãn z

z

+ = Tính giá trị lớn z

A 4+ B 2+ C 2+ D 4+

Ta có z z

z z

+ ≥ − z

z

⇔ ≥ − ⇒ z ≤ +2

Câu 22. Biết số phức z= +a bi,(a b, ∈) thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i có mơ đun nhỏ Tính 2

M =a +b

A M =26 B M =10 C M =8 D M =16 Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z= +a bi,(a b, ∈) Ta có z− −2 4i = −z 2i ⇔ + − −a bi 4i = + −a bi 2i

( ) (2 )2 2 ( )2

2 4

a b a b a b

(23)

( )2 ( )2

2 2

4 2 2

z = a +b = a + −a = a− + ≥

Vậy z nhỏ a=2, b=2 Khi M =a2+b2 =8

Câu 23.Cho số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ

biểu thức P z= + +1 z2− +z 1 Tính giá trị M m. .

A 13

4 B

39

4 C 3 D

Chọn A

Gọi z x yi x= + ; ( ∈;y∈) Ta có: z = ⇔1 z z =1

Đặt t z= +1, ta có 0= − ≤ + ≤ + = ⇒ ∈ z z z t 0;  Ta có ( )( )

2

2 1 1 1 2 2 2.

2

t t = +z +z = +z z z z+ + = + x⇒ =x −

Suy z z2− + =1 z z z z2− + = z z− + =1 z (2 1x− )2 = 1x− = t2−3

Xét hàm số f t( )= +t t2−3 ,t∈ 0; 

  Bằng cách dùng đạo hàm, suy

( )=13 ( )= ⇒ =13

max ;

4

f t f t M n

Câu 24.Cho số phức z≠0 thỏa mãn z ≥2 Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức z i

P z +

=

A 2 B 3 C 4 D 1

Ta có: i i i 1 i 1

z z z z z z

− ≤ + ≤ + ⇔ − ≤ + ≤ + Mặt khác 1

2 z

z

≥ ⇔ ≤ suy

1

2≤ ≤P Suy giá trị lớn giá trị nhỏ

,

2 Vậy tổng giá trị lớn giá

trị nhỏ biểu thức P

Câu 25.Nếu z số phức thỏa z = +z 2i giá trị nhỏ z i− + −z

A B 4 C 5 D 2

Đặt z= +x yi với x, y∈ theo giả thiết z = +z 2i ⇔ = −y ( )d Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ( )d

Gọi A( )0;1 , B( )4; suy z i− + − =z P tổng khoảng cách từđiểm M x( ; 1− ) đến hai

(24)

Thấy A( )0;1 B( )4; nằm phía với ( )d Lấy điểm đối xứng với A( )0;1 qua

đường thẳng ( )d ta điểm A′(0; 3− )

Do khoảng cách ngắn 2

3

A B′ = + =

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Giá trị lớn z+ +1 i

A 13+2 B 4 C 6 D 13 1+

Gọi z= +x yi ta có z− − = + − − = − +2 3i x yi 3i x (y−3)i

Theo giả thiết (x−2) (2+ y−3)2 =1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường trịn tâm I( )2;3 bán kính R=1

Ta có z+ + = − + + = + + −1 i x yi i x (1 y i) = (x+1) (2+ y−1)2 Gọi M x y( ); H(−1;1) ( ) ( )

2

1

= + + −

HM x y

Do M chạy đường tròn, H cốđịnh nên MH lớn M giao HI với đường tròn

Phương trình : 3 = +   = + 

x t

HI

y t, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:

2

9

13

+ = ⇔ = ±

t t t nên ;3 , ;3

13 13 13 13

 + +   − − 

   

   

M M

Tính độ dài MH ta lấy kết HM = 13 1+

Câu 27.Cho hai số phức u, v thỏa mãn 3u−6i +3u− −1 3i =5 10, v− +1 2i = +v i Giá trị nhỏ u−v là:

A 5 10

3 B

10

3 C

2 10

3 D 10

 Ta có: 3u−6i +3u− −1 3i =5 10 10

u i u i

⇔ − + − − =

5 10

MF MF

⇒ + =

u

⇒ có điểm biểu diễn Mthuộc elip với hai tiêu điểm F1( )0; ,F2( )1;3 , tâm 9; 2 I 

  độ

dài trục lớn 10

a= 10

6 a

⇒ =

( )

1 1; 2:

F F = − ⇒F F x+ − =y



(25)

v

⇒ có điểm biểu diễn Nthuộc đường thẳng d là trung trực đoạn ABvới A(1; ,− ) ( )B 0;1

( 1;3)

AB= −



, 1; 2 K − 

  trung điểm AB⇒d x: −3y− =2

( )

( )2

1 27

3 10 2

,

2

1

d I d

− −

= =

+ −

Dễ thấy F F1 ⊥d ( )

2 10

min ,

3

u v MN d I d a

⇒ − = = − =

Câu 28.Gọi z1, z2 nghiệm phức phương trình

4 13

z − z+ = , với z1 có phần ảo dương Biết

số phức z thỏa mãn z−z1 ≤ −z z2 , phần thực nhỏ z

A 2 B 1 C 9 D 6

Ta có

4 13

z − z+ = ⇔ z1= +2 3i z2 = −2 3i

Gọi z= +x yi, với x y, ∈

Theo giả thiết, z−z1 ≤ −z z2 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 x−2 + y−3 ≤ x−2 + y+3

( ) (2 )2 ( ) (2 )2 4 x y  x y

⇔  − + − ≤ − + + ( ) (2 )2

2 16

x y

⇔ − + − ≤

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền hình trịn ( )C có tâm I( )2;5 , bán kính R=4, kể hình trịn

Do đó, phần thực nhỏ z xmin = −2

Câu 29.Cho số phức z thỏa mãn (z+2)i+ +1 (z−2)i− =1 10 Gọi M , m giá trị lớn

và giá trị nhỏ z Tính tổng S=M +m

A S=8 B S =2 21 C S =2 21 1− D S=9 Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử z= +a bi, (a b, ∈)⇒ = −z a bi

Chia hai vế cho i ta được: z+ − + − + =2 i z i 10

Đặt M a b( ; ), N a( ;−b), A(−2;1), B(2; 1− ), C( )2;1 ⇒NB=MC Ta có: MA MC+ =10 ( )

2

:

25 21

X Y

M E

(26)

Elip có phương trình tắc với hệ trục tọa độ IXY, I( )0;1 trung điểm AC Áp dụng công thức đổi trục ( )

2

1

1 25 21

X x x y

Y y

= −



⇒ + =

 = −



Đặt 5sin 21 cos

a t

b t

=  

− =

 , t∈[0; 2π)

2 2 2 2

z OM a b

⇒ = = + ( )2

25sin t 21 cost

= + +

( )

26 cos t 21 cost

= + − +

max

0 21 cos

1 21 a

z t

b =  = + ⇔ = ⇔ 

= +



min

0 21 cos

1 21 a

z t

b =  = − + ⇔ = − ⇔ 

= −



2 21

M m

⇒ + =

Câu 30.Cho 2018 phức z thoả mãn z− −3 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= +z 22− −z i2 Tính mơđun 2018 phức w=M +mi

A w =2 314 B w =2 309 C w = 1258 D w = 1258 Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử z= +a bi (a b, ∈ )

( ) (2 )2

3 5

z− − i = ⇔ a− + −b = (1)

( ) ( )

2 2 2 2

2

P= +z − −z i = a+ +b −a + −b = a+ b+ (2)

Từ (1) (2) ta có ( )

20a + 64 8− P a+P −22P+137=0 (*)

Phương trình (*) có nghiệm

4P 184P 1716

′

∆ = − + − ≥

13 P 33 w 1258

⇔ ≤ ≤ ⇒ =

Câu 31. Cho hai số phức z z, ′ thỏa mãn z+ =5 z′+ −1 3i = z′− −3 6i Tìm giá trị nhỏ z−z′

A 10 B 3 10 C 5

2 D

(27)

Gọi M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z= +x yi, N x y( ′ ′; ) điểm biểu diễn số phức z= +x′ y i′

Ta có z+ = ⇔ + +5 x yi = ⇔5 (x+5)2+y2 =52 Vậy M thuộc đường tròn ( ) ( )2 2

: 5

C x+ +y =

1 3

z′+ − i = z′− − i ⇔ (x′+ +1) (y′−3)i = (x′− +3) (y′−6)i

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

1 3 35

x′ y′ x′ y′ x′ y′

⇔ + + − = − + − ⇔ + =

Vậy N thuộc đường thẳng ∆: 8x+6y=35

Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt ( )C z−z′ =MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộba điểm (I M N, , ) ta có

0

MN ≥ IN−IM = IN− ≥R IN −R ( ) ( )

2

8 6.0 5

,

2

d I R − + −

= ∆ − = − =

+

Dấu đạt M ≡M0;N =N0

Câu 32.Cho số phức z thỏa mãn z ≤2 Giá trị nhỏ biểu thức P=2 z+ +1 z− + − −1 z z 4i

bằng: A 2

15

+ B 2+ C 4 14

15

+ D 4 3+ Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi z= +x yi,(x y, ∈) Theo giả thiết, ta có z ≤ ⇔2 x2+y2 ≤4 Suy − ≤2 x y, ≤2

Khi đó, P=2 z+ +1 z− + − −1 z z 4i =2( (x+1)2+y2 + (x−1)2+y2 + −y 2)

( ) ( )

( 2 2 )

2 1

P x y x y y

⇔ = + + + − + + − ( )

2 y y ≥ + + −

(28)

Xét hàm số ( )

2

f y = +y + −y đoạn [−2; 2], ta có:

( ) 2 1

y f y

y

′ = −

+

2

1

y y

y

− +

=

+ ; ( )

1

3

f′ y = ⇔ =y

Ta có 3

f   = +

  ; f ( )− = +2 5; f ( )2 =2

Suy

[min−2; 2] f y( )= +2

3 y=

Do P≥2 2( + 3)= +4 Vậy Pmin = +4

i

z=

Câu 33.Cho số phức z thỏa mãn z =1 Giá trị lớn biểu thức P= + +1 z 1−z

A 6 B 2 C 4 D

Gọi số phức z= +x yi, với x y, ∈

Theo giả thiết, ta có z =1⇔ x2+y2 =1 Suy − ≤ ≤1 x

Khi đó, P= + +1 z 1−z = (x+1)2+y2 +2 (x−1)2+y2 = 2x+ +2 2 2− x Suy P≤ (12+22)(2x+ + −2) (2 2x) hay P≤2 5, với − ≤ ≤1 x

Vậy Pmax =2 2x+ =2 2− x ⇔

3

x= − , y= ±

Câu 34. Cho số phức z1 =3i, z2 = − −1 3i, z3= −m 2i Tập giá trị tham số m để số phức z3 có

mơđun nhỏ số phức cho

A {− 5; 5} B (− 5; 5)

C (−∞ −; 5) (∪ 5;+∞) D − 5; 5 Hướng dẫn giải

Chọn B

 Ta có: z1 =3, z2 = 10, z3 = m2+4

Để số phức z3 có mơđun nhỏ số phức cho

4 5

m + < ⇔ − < <m

Câu 35.Cho số phức z thỏa mãn z− =3 z max z− +1 2i = +a b Tính a b+

A 3 B 4

3 C 4 D 4

Gọi z= +x yi x y ,( ∈)

Khi ( ) ( )2 2

2

3 x y

z− = z ⇔ x− +yi = + i ⇔ x− +y = x +y

( )2 ( 2) 2

4 3

3 x

x y y x y x

(29)

2

x y x

⇔ + + − = ( )2 2

1

x y

⇔ + + =

Suy tập hợp điểm Mbiểu diễn z đường trịn tâm I(−1;0 ,) R=2

Ta có z− +1 2i = − −z (1 2i) =MN N, 1; 2( − ) Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn

qua tâm Khi MN =NI +IM =2 2+ =R 2+2 Suy a=2, 2b=

Do a b+ = + =2

Câu 36.Cho số phức z thỏa mãn: z− −2 2i =1 Số phức z i− có mơđun nhỏ là:

A 2+ B 1+ C 2− D 1−

Gọi z= +x yi, x y, ∈

Ta có: z− −2 2i = ⇔1 (x− + −2) (y 2)i = ⇔ −1 (x 2)2+ −(y 2)2 =1

Tập hợp điểm mặt phẳng Oxybiểu diễn số phức z đường tròn ( )C tâm (2; 2)

I bán kính R=1

( )2

1

z i− = x + y− =IM , với I( )2; tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn

Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm

( )0;1 , ( )2;

N ∈Oy I với đường tròn (C)

min

IM =IN− =R − Câu 37.Cho số phức z thỏa0T0T

z ≥

Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P z i z

+

=

y

x 1

1

O

I

(30)

A 2

3 B 3 C 1 D 2

Ta có 1 | |

i P

z z

= + ≤ + ≤ Mặt khác: 1 1 | |

i

z z

+ ≥ − ≥

Vậy, giá trị nhỏ Plà1

2, xảy z= −2 ; i giá trị lớn P

2 xảy

z= i

Câu 38.Tìm số phứczsao cho z− +(3 4i) = biểu thức P= +z 22− −z i2 đạt giá trị lớn

A z= +5 5i B z= +2 i C z= +2 2i D z= +4 3i Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt z= +x yi x y( , ∈)

Đặt

Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác

Vậy GTLN

Câu 39.Cho số phức thỏa điều kiện Giá trị nhỏ ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Giả sử

Suy

Suy ,

Vậy giá trị nhỏ

( ) ( ) (2 )2

3 5

z− + i = ⇔ x− + y− = sin sin

4 cos cos

x t x t

y t y t

 − = ⇔ = +



− = ⇔ = +



( ) ( )

2

2 4 sin cos

P= +z − −z i = x+ y+ = + t + + t +

4 sint cost P 23

⇔ + = −

( ) ( )2 ( )2 2

4 5 P 23 P 46P 429 13 P 33

⇒ + ≥ − ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

P 33 ⇒ = +z 5i

z z2+ =4 z z( +2i) z+i

( , )

z= +x yi x y∈

( ) ( )2 ( ) ( )( ) ( )

2

4 2 2 2

z + = z z+ i ⇔ z − i = z z+ i ⇔ z− i z+ i = z z+ i

( ) ( )

2

z i

z i z

+ = 

⇔  − =

( )1 ⇔ = −z 2i z+ = − + = − =i 2i i i

( )2 ⇔ + −x yi 2i = +x yi ⇔ x2+(y−2)2 = x2+y2 ⇔x2+y2−4y+ =4 x2+y2

y ⇔ =

( )2

2

1

z+ = + + =i x yi i x + y+ = x + ≥ ∀ ∈x 

(31)

Câu 40.Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun nhỏ số phức

A B C D

Gọi Ta có:

Đặt

,

Câu 41. Cho số phức với thỏa mãn Gọi lần

lượt giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Tính tỉ số

A B C D

Gọi điểm biểu diễn số phức

Từ giả thiết ta có điểm nằm bên ngồi hình trịn có tâm bán kính

Mặt khác ta có điểm nằm bên hình trịn có tâm bán kính

Ta lại có: Do để tồn phần gạch chéo phải có điểm chung tức Suy

Câu 42.Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

?

A B C D

Chọn A

Hướng dẫn giải

z z− +1 2i =3 z− +1 i

2 2

( ) ( ) ( )

; ; 1

z x yi x= + ∈ y∈ ⇒ − + =z i x− + y+ i

( ) (2 )2

1 9

z− + i = ⇔ x− + y+ =

1 3sin ; 3cos ; 0;

x= + t y= − + t t∈  π

( ) ( )

2 2

min

1 3sin 3cos 10 6cos 2

z i t t t z i z i

⇒ − + = + − + = − ⇒ ≤ − ≤ ⇒ − + =

1

z= +i

z= +x yi x y, ∈ z− − ≥1 i z− −3 3i ≤ m M,

2

P= +x y M

m

2

5

14

9

x

1

3

J

O I

1

A z

1

z− − ≥i A ( )C1 I( )1;1

1 R =

3

z− − i ≤ A ( )C2 J( )3;3

2

R =

( )

2

P= +x y⇔ +x y− =P ∆ x y, ( )∆

( )

; 5

5 P

d J ∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤9 P P 14

7 4; 14

2 M

m M

m

= = ⇒ =

z z− = + −i z 3i +3z− +1 i M z− +2 3i

4

M = M =9 10

3

(32)

Gọi , Ta thấy trung điểm

Ta lại có :

Mà

Dấu xảy , với ;

có mơđun bằng:

A B C D

Gọi

Ta có:

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường trịn tâm bán kính hình vẽ

Dễ thấy ,

Theo đề ta có: điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn:

( )0;1

A B(−1;3 ,) (C 1; 1− ) A BC

2 2

2

MB MC BC

MA +

⇒ = − 2 2

2 10

2 BC

MB MC MA MA

⇔ + = + = +

5 z− = + −i z 3i +3z− +1 i

2

5MA MB 3MC 10 MB MC

⇔ = + ≤ +

( )

2

25MA 10 2MA 10

⇒ ≤ + ⇒MC≤2

( ) ( )

2

z− + i = z i− + − + i ≤ − + −z i 4i ≤ − +z i 5≤4

" "=

2

z i

a b

 − = 

 −

=  −

z= +a bi a b, ∈

( )

2 z i loai

z i

= −  ⇔ 

= − + 

z z− +1 2i = w= + +z i

z

5 2

( , ) ( 1) ( 2)

z= +x yi x y∈ ⇒ − + =z i x− + y+ i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

1 5

z− + i = ⇔ x− + y+ = ⇔ x− + y+ =

( );

M x y z ( )C I(1; 2− )

5 R=

( )

O∈ C N(− − ∈1; 1) ( )C

( ) ( );

(33)

Suy đạt giá trị lớn lớn

Mà nên lớn đường kính đường trịn trung điểm

Câu 44. Cho số phức thỏa mãn Khẳng định

dưới sai ?

A B

C D

Cách 1: Ta có:

Mặt khác nên Vậy phương án D sai

Cách 2:thay thử vào đáp án, thấy đáp án D bị sai

Câu 45.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn môđun số phức

A B C D

Đặt:

Ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm đường trịn tâm bán kính

Ta có:

Do giá trị lớn lớn nghĩa , , thẳng hàng

( ) ( )

1 1

w= + + = + + + =z i x yi i x+ + y+ i⇒ + + =z i (x+1) (2+ y+1)2 = MN

z+ +i ⇔MN

( )

,

M N∈ C MN MN ( )C ⇔I

( ) ( )2

3; 3 3 3

MN⇒M − ⇒ = − ⇒z i z = + − = 1, ,

z z z z1+ + =z2 z3 z1 = z2 = z3 =1

3 3 3

1 3

z + +z z = z + z + z z13+ +z23 z33 ≤ z13 + z23 + z33

3 3 3

1 3

z + +z z ≥ z + z + z z13+ +z23 z33 ≠ z13 + z23 + z33

1+ + = ⇔ + = −2 3

z z z z z z

( )3 3 3 3 ( )( ) ( )

1+ +2 = + + +2 3 2+ 1+ +2 +3 2+

z z z z z z z z z z z z z z z z z

3 3

1 3

=z +z +z − z z z ⇒z13+z23+z33 =3z z z1 3 3

1 3 3 3 ⇒ z + +z z = z z z = z z z =

1 = = =1

z z z z13+ z23+ z33 =3

z =z = =z

z

3 i

z i

− − + =

− z

3 2

x y

-3

I O

M

( , ) z= +x yi x y∈

( )2

2

1 2

3 i

z iz z i x y

i

− − + = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + + =

−

M z I(0; 1− )

2 R=

z =OM

(34)

Câu 46. Cho số phức thỏa mãn số thực số thực Giá trị nhỏ

biểu thức là?

A B C D

Cách1

Xét suy suy

Xét suy

Gọi suy

Vì nên

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn

Xét điểm điểm biểu diễn số phức , suy

(Với bán kính đường trịn )

Cách2

, phương trình bậc hai với hệ số thực Vì thỏa nên nghiệm phương trình

Gọi hai nghiệm suy

Suy

Câu 47. Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện biểu thức

đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức

A B C D

Gọi Ta có: : tâm

Mặt khác:

Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên có điểm chung

z z

2

z w

z =

+

P= + −z i

2 2

0

z= w=0 P= + − =z i

0

z≠ z

w = +z ,

z= +a bi b≠ z 22a 2 a b 22 2 i

w z a b a b

   

= + = + −  − 

+ +

   

1

w∈ 2 2

0

1

2 b

b

a b a b

= 

 

− = ⇔ 

 

+ + =

  

z ( )C :x2+y2=2

( 1;1)

A − z0= − +1 i P=MA

2

Max P OA r

⇒ = + = r ( )C :x2+y2=2

( 2) ( )

2

1

2 *

2 z

w w z z z z

w z

= ⇔ + = ⇔ − + =

+ ( )*

1 w  ∈ 

 

  z ( )* z ( )*

1,

z z ( )* z z1 2 = ⇒2 z z1 2 = ⇔2 z z1 2 = ⇒2 z =

1 2 2

P= + − ≤ + − =z i z i + =

z z− −3 4i =

2

M z= + − −z i z i+

5

z i+ = z i+ = 41 z i+ =2 41 z i+ =3

( )

; ;

z x yi x= + ∈ y∈ z− −3 4i = 5⇔( ) (C : x−3) (2+ y−4)2 =5

( )3;

I R=

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 :

M z= + − − =z i x+ +y − x + −y = x+ y+ ⇔d x+ y+ −M=

 

z d ( )C

( ); 23 23 10 13 33

2

M

d I d R − M M

(35)

A B C D

Đặt Do nên

Mặt khác nên

Suy

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

Dấu xảy

Từ ta có Vậy

Câu 49.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhỏ

A B C D

Theo đề:

Dựa vào hình elip

Câu 50.Cho hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ

là:

A B C D

Giả sử ,

( ) (2 )2 max

4 30 5

33 41

5

3

x y x

M z i i z i

y

x y

 + − =  =



⇒ = ⇔ ⇔ = − ⇒ + = − ⇒ + =

− + − = 



z w z+ = +w 4i z− =w

T = +z w

maxT =14 maxT =4 maxT = 106

maxT = 176

( , )

z= +x yi x y∈ z+ = +w 4i w= − + −(3 x) (4 y i)

z− =w z− =w (2x−3) (2+ 2y−4)2 = 4x2+4y2−12x−16y+25=9

⇔ 2

2x +2y −6x−8y=28( )1 T = +z w = x2+y2 + (3−x) (2+ −4 y)2

( )

2 2

2 2 25

T ≤ x + y − x− y+ ( )2 "=" x2+y2 = (3−x) (2+ −4 y)2

( )1 ( )2 T2 ≤2 28 25( + )⇔ − 106≤ ≤T 106 MaxT = 106

z z− + + =4 z 10 z

5 4 và 10

( );

M a b z

4 10

z− + + =z ⇔ (a−4)2+b2 + (a+4)2+b2 =10

( )2 ( )2 ( )2

4 100 20

a b a b a b

⇔ + + = + − + − − + ( )2

20 a b 100 16a

⇔ − + = −

( )2

5 a b 25 4a

⇔ − + = − ( 2)

25 a 8a 16 b 625 16a 200a

⇔ − + + = + −

2

9a 25b 225

⇔ + = 2

2

5

a b

⇔ + =

2

5

a b max a b

⇒ + ⇔ = ⇒ = 2

min

a +b ⇔ = ⇒ =b a

1,

z z z1+ =5 5, z2+ −1 3i = z2− −3 6i z1−z2

2

3

5

7

( )

1 1 1,

(36)

Ta có

 Do đó, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức

đường trịn có tâm điểm bán kính



Do tập hợp điểm biểu diễn cho số phức đường thẳng

Khi đó, ta có

Suy

Câu 51.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Đặt , tìm giá trị lớn

A B C D 1

Đặt với

Ta có

tập điểm biểu diễn đường trịn tâm bán kính

A B C D

Gọi Ta có:

Ta có:

1 5

z + = ( )2

1 25

a b

⇔ + + = A z1

( ) ( )2 2

: 25

C x+ +y = I(−5; 0) R=5

2 3

z + − i = z − − i ⇔(a2+1) (2+ b2−3) (2 = a2−3) (2+ b2−6)2

2

8a 6b 35

⇔ + − = B z2

: 8x 6y 35 ∆ + − =

1 z −z = AB

1 2min

z −z =AB =d I( ;∆ −) R ( ) 2 6.0 35

5

− + −

= −

+

5 =

z −z

2

z z− =1 (1+i z) m= z m

2 1− 2+1

z= +x iy x y, ∈

( )

1 1

z− = +i z ⇔ − = +z i z

( )2 ( 2)

1

x y x y

⇔ − + = + 2

2

x y x

⇔ + + − =

⇒ z I(−1;0) R=

2

Max z OM OI R

⇒ = = + = +

z z =1 P= + +1 z 1−z

6 20 20 15

( )

; ;

z x yi x= + ∈ y∈ z = ⇒1 x2+y2 = ⇒1 y2 = −1 x2⇒ ∈ −x  1;1

( )2 2 ( )2 2 ( ) ( )

1 1 3

P= + +z − =z +x +y + −x +y = +x + −x

O x

y

1



2 M

(37)

Xét hàm số Hàm số liên tục với

ta có:

Ta có:

Câu 53. Trong số phức thỏa mãn , số phức có mơ đun nhỏ

A B C D

Gọi suy

Theo giả thiết ta có

Khi

Vậy nhỏ Vậy số phức có mơ đun nhỏ

A B C D

U

Cách1:

Đặt ta có

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm bán kính

Phương trình đường thẳng

Hồnh độ giao điểm đường tròn tâm nghiệm phương trình tương giao:

Ta có hai tọa độ giao điểm

Ta thấy

Vậy giá trị lớn U

Cách2:U Casio

Quy tắc tính toán tổng quát sau

Cho số phức thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN

( ) 1( ) 1( ); 1;1

f x = +x + −x x∈ −  − 1;1

( 1;1)

x∈ − ( )

( ) ( ) ( )

′ = − = ⇔ = − ∈ −

+ −

1 0 1;1

5

2

f x x

x x

( )= ( )− = − = ⇒ =

 

max

1 2; 6; 20 20

5

f f f P

z z = − +z 2i

5

z=

4

z= + i

2

z= +i z= +3 i

( , )

z= +x yi x y∈ z = −x yi

( ) (2 )2 2

1

x +y = x− + −y ⇔ − −2x 4y+ =5 2

x y

⇔ = −

2 2

z =x +y

2

2 y y

 

= −  +

  ( )

2 5

5 4 y = − + ≥ z 5 2 x y y  = −    =  x y  =  ⇔   =  z= +i 2

z− + i = z

4 2−2 2+ 2 1+ 1+

z= +x yi z− +2 2i = ⇔1 (x−2) (2+ y+2)2 = ⇔1 (x−2) (2+ y+2)2=1

z I(2; 2− ) r=1

:

OI y= −x

OI I(2; 2− )

( ) (2 )2

2 2

2

x− + − +x = ⇔ = ±x

1

2 ;

2

M + − − 

 

1

2 ;

2

M′ − − + 

 

2 1; 2

OM = + OM′= −

2

z = +

(38)

Bước 1: Tính

Bước 2: GTLN , GTNN

Áp dụng ta có

Vậy GTLN U

Cách3:

Xét

Vậy , GTLN

Câu 55.Cho số phức thỏa điều kiện Giá trị nhỏ ?

A B C D

Giả sử

Suy

Suy ,

Câu 56. Có giá trị nguyên để có số phức thỏa

A B C D

Đặt

Ta có: tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm , bán kính

Ta có: tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng

Yêu cầu toán khoảng cách từ đến nhỏ

Vì nên có giá trị thỏa yêu cầu toán Câu 57.Cho số phức thỏa mãn Đặt Mệnh đề sau đúng?

1 a= z −z

P= +a r P= −a r

1 2

1; 2 , 2

r= z = − i z = ⇒ =a z −z =

2

z = +

( )

2 1 2 2 2

z− + i = ⇔ = − −z i ≥ − −z i = −z 2

z ≤ + z = +1 2

z z2+ =4 z z( +2i) z+i

2

( , )

z= +x yi x y∈

( ) ( )2 ( ) ( )( ) ( )

2

4 2 2 2

z + = z z+ i ⇔ z − i = z z+ i ⇔ z− i z+ i = z z+ i

( ) ( )

2

z i

z i z

+ = 

⇔  − =

( )1 ⇔ = −z 2i z+ = − + = − =i 2i i i

( )2 ⇔ + −x yi 2i = +x yi ⇔ x2+(y−2)2 = x2+y2 ⇔x2+y2−4y+ =4 x2+y2

y ⇔ =

( )2

2

1

z+ = + + =i x yi i x + y+ = x + ≥ ∀ ∈x 

z+i

m z z−(m− + =1) i

1

z− + = − +i z i

66 65 131 130

z= +x iy (x y, ∈)

( 1)

z− m− + =i ⇔ M z

( 1; 1)

I m− − R=8

1

z− + = − +i z i ⇔ M z

: 11 d x+ y− =

⇔ I d R ⇔ 2m−21 <8 68

21 21

4 68 68

2 m

⇔ − < < +

m∈ − ≤ ≤22 m 43 ⇒ 66

z z ≤1 A=2z i−

(39)

A B C D Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt Có (do )

Ta chứng minh

Thật ta có

Dấu “=” xảy

Vậy

Câu 58.Trong tập hợp số phức thỏa mãn: Tìm mơđun lớn số phức

A B C D

Đặt ,

Suy

Ta có:

Vậy mơđun lớn số phức

Tính , với

A B C D

Ta có

A < A >1 A ≤1 A ≥1

( )

= + , , ∈ ⇒ 2+ ≤1

a a bi a b a b z ≤1

( ) ( ) ( ) + − + + − = = = + − + − + 2 2

2

2 2

a b i a b

z i A

iz b ai b a

( ) ( ) + + ≤ − + 2 2

4

1 a b b a ( ) ( ) ( ) ( ) + + ≤ ⇔ + + ≤ − + ⇔ + ≤ − + 2 2

2 2

4

1 2

2

a b

a b b a a b

b a

+ =

2 1 a b

A ≤

z 2

1

z i

+ − =

+ − z i+

2+ 3+ 3− 2−

z= +x yi x y, ∈ 2 2 1 z i z i

z i z i

+ −

+ − = ⇔ =

+ − + − ⇔ (x+2) (+ y−1)i = (x+ +1) (y−1)i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 1

x y x y

⇔ + + − = + + −

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 1

x y  x y 

⇔ + + − =  + + −  ( )2

1

x y

⇔ + − =

( )2

1 2

y− ≤ ⇒ ≤ +y

( )2 ( )2

2

1 2

x + y− = ⇔x + y+ = + y ⇒ +z i2= +2 4y≤ +2 1( + 2)= +6 2

z

⇒ + ≤ + = +

1 2

z+ = + z i+

z z2−2z+ =5 (z− +1 2i)(z+ −3i 1) |w| w= − +z 2i

1 | |

2

w = |w| 1= |w| 2= | |

2 w =

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1

z − z+ = z− + i z+ − ⇔i z− + i z− − i = z− + i z+ −i

( ) ( )

1

z i

z i z i

− + = 

(40)

Trường hợp :

Trường hợp 2:

Gọi (với ) ta

Suy

Từ , suy

A B C D

Đặt

Ta có:

Đặt:

Ta được:

Suy ra:

Câu 61.Gọi điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ

( không thẳng hàng) Với gốc tọa độ, khẳng định sau

đúng?

A Tam giác vuông cân B Tam giác

C Tam giác vuông cân D Tam giác vuông cân Hướng dẫn giải

Chọn D Ta có:

Ta có:

Suy ra: tam giác vuông cân

Câu 62.Xét số phức thỏa mãn Tính đạt giá

trị lớn

A B C D

1 z− + =1 2i ⇒ = − ⇒w w =1 ( )1

1

z− − i = + −z i z= +a bi a b, ∈

( ) ( ) ( ) ( ) (2 )2

1 3

2 a− + −b i = a− + +b i ⇔ b− = b+ ⇔ = −b

( )2

3

2 2

2

w= − + = − +z i a i⇒ w = a− + ≥ ( )2

( )1 ( )2 |w| 1=

z z− −2 3i =1 z

13 1+ 13 2+ 13 13 1−

( )

, , z= +x yi x y∈

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 3

z− − i = ⇔ x− + y− = ⇔ x− + y− = { sin { sin

3 cos cos

x t x t

y t y t

− = ⇒ = +

− = = +

( ) (2 )2

2 2

2 sin cos 4sin cos 14

z =x +y = + t + + t = t+ t+

( ) ( )

2

4 sin t α 14 13 sin t α 14

= + + + = + +

2 13 14 13

z ≤ + = +

,

A B z ; ( 0)

2

i

z′ = + z z≠

, ,

A B C A B C′, , ′ ′ O

OAB A OAB

OAB O OAB B

+ +

′

= ; = = = =

2 2

i i

OA z OB z z z z

+ −

′

= − ⇒ = − = − = =

   1 1 2

2 2

i i

BA OA OB BA z z z z z z

2 2

OA =OB +AB AB OB= ⇒OAB B

( , , 0)

z= +a bi a b∈R b> z =1 P=2a+4b2 z3− +z

4

(41)

Do Ta có :

=

Biểu thức đạt GTLN miền (do ) Vậy

Câu 63.Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ

A B C D

Ta có: Quỹtích điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm , bán kính

Mặt khác

Câu 64. Cho số phức thỏa mãn Giả sử biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính

A B C D

Gọi ,

Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường trịn có

tâm , Ta có

Suy ,

Gọi đường thẳng qua hai điểm ta có

phương trình Gọi hai giao điểm cho

1

z =  z

z =

b>  − < <1 a

2

z − +z z 22 z z

= − +

2 z z z

= − + ( )2

2bi a bi

= + −

2 2bi a b 2abi

= + − − ( 2 2)2 ( )2 a b b 2ab

= − + −

2

2 b −4ab +1 =2 1−a2−4a(1−a2)+1

2 4a a 4a

= − − +

1 a

− < <

2

a=− 

2

b= b>0

2

P= a+ b =

z z− =1 z

1 2 1−

1

z− = ⇒ M z ( )C I( )1;0

1 R=

( )

z OM

O C

 =  ∈

 ⇒ zmin=0

z z− +4 3i =2 P= z

z z1 = +a1 b i1 (a b1, 1∈) z2 =a2+b i2 (a b2, 2∈)

= +

S a a

8

=

S S =10 S =4 S =6

= +

z a bi (a b, ∈)

( )

4 4

− + = ⇔ + − + = ⇔ − + + =

z i a ib i a b i

( ) (2 )2

4

⇔ a− + +b =

( );

M a b z= +a bi ( )C

(4; 3− )

I R=2 OI = 32+42 =5

max = + = + =5

z OI R zmin = OI− = − =R

∆ OI

( )∆ : 3x+4y=0 M N ( )∆ ( )C

=

(42)

Câu 65. Cho số phức thỏa mãn Gọi , số

phức Tính

A B C D

Ta có

Gọi điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức

và điểm biểu diễn số phức Khi ta có Vậy tập

hợp điểm biểu diễn số phức Elip nhận làm hai tiêu điểm

Ta có

Mặt khác suy

Do Elip có độ dài trục lớn , độ dài trục bé

Mặt khác trung điểm nên

Do suy

Câu 66.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ

biểu thức Giá trị

A B C D

Đặt nên

Do nên

Ta có nên

Vậy , với

Khi đó, nên

; ; ;

Vậy ; nên

3 12

;

5 5

7 28 21

;

5 5

 = ⇒  −           = ⇒  −         

OM OI M

ON OI N

1 28 21 5 12 5  = −  ⇒   = −  z i z i 28 12 5 ⇒ =S + =

z (1+i z) + +2 (1+i z) − =2 m=max z n=min z w= +m ni w2018

1009

5 61009 21009 41009

(1+i z) + +2 (1+i z) − =2 ⇔ + − + − + =z i z i

M z F1(−1;1) z1= − +1 i

( )

2 1;

F − z2 = −1 i MF1+MF2 =4

M z F1 F2

1 2 2 2

F F = c⇔ c= ⇔ =c

2a= ⇔ =4 a 2

4 2

b= a −c = − =

1 2

A A = a= B B1 2 =2b=2

O AB m=max z =maxOM =OA1= =a

n=min z =minOM =OB1= =b

2

w= + i w = ⇒ w2018 =61009

z z =1 M m

2

1

P= + +z z − +z M m 3 13 3 13

1

t = + ≤ + =z z t∈[ ]0;

z = z z =1

1 1

P z z z z z z z z

⇒ = + + − + = + + + −

( )( ) ( ) ( )

2

1 1

t = +z = z+ z+ =z z+ +z z + = + +z z z+ = −z t2

( )

P= f t = +t t − t∈[ ]0;

( ) 22

3

t t t

f t

t t t

 + − ≤ ≤

 = 

− + + ≤ <

 ( )

2 2

t t

f t

t t

 + < ≤ 

′ = 

− + ≤ < 

( )

f′ t =

2 t ⇒ =

( )0

f = 13

2

f   = 

  f ( )3 = f ( )2 =3 13

4

M = m= 13

(43)

Câu 67. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức là:

A B C D

Gọi điểm biểu diễn số phức ta có:

; điểm M nằm đường trịn tâm bán kính Biểu

thức , theo hình vẽ giá trị lớn đạt

được nên

Câu 68.Trong mặt phẳng tọa độ, tìm số phức có mơđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức thỏa mãn

điều kiện

A B C D

Gọi

Ta có:

Ta có: Tập hợp số phức đường trịn tậm , bán kính

Gọi điểm biểu diễn số phức Ta có:

nhỏ thẳng hàng

Ta có:

là giao điểm

Ta có: , Chọn

z z−2i ≤ −z 4i z− −3 3i =1

P= −z

10 1+ 13 10 13 1+

( );

M x y z

2

z− i ≤ −z i ⇔x2+(y−2)2 ≤x2+(y−4)2

y

⇔ ≤ z− −3 3i =1⇔ I( )3;3

P= − =z AM A( )2; P= −z

( )4;3

M maxP= (4 2− ) (2+ −3 0)2 = 13

z z

2

z− − i =

z= − − i z= −1 2i z= − +1 2i z= +1 2i

( , )

z= +a bi a b∈

( ) ( )

2 5

z− − i = ⇔ + − −a bi i = ⇔ a− + −b i =

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 5

a b a b

⇔ − + − = ⇔ − + − =

(2 )

z− + i = ⇒ ( )C I( )2;

5 R=

M z z = − =z OM

OM ⇒I O M, ,

( )IM :y=2x

(44)

Câu 69. Cho số phức thay đổi thỏa mãn điểm biểu diễn cho

trong mặt phẳng phức Tìm giá trị lớn biểu thức

A B C D

Ta có Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số phức

đường trịn tâm bán kính (1)

Biểu thức , với ta có (2)

Khi điểm điểm thuộc đường trịn hai đường thẳng (2) Điều kiện để hai đường thẳng cắt đường tròn

Vậy

Câu 70.Trong số phức thỏa mãn Hãy tìm có mơđun nhỏ

A B C D

Giả sử

Ta có

Do

Dấu xảy ,

Câu 71.Cho số phức , tìm giá trị lớn biết thỏa mãn điều kiện

A B C D

Gọi

Ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm , bán kính

z (1+i z) + − =2 i M x y( ); z

T = + +x y

4 2+ 4

(1+i z) + − =2 i 2 2

z i

⇔ + − = z

( )C 3; 2 I− 

  R=2

3

T = + +x y T ≥0

3

x y T

+ + − = 

 + + + = 

M ( )C

( )C

2 2

4

2 2

T

 − ≤ 

  +

≤ 



0

8

T T

≤ ≤ 

⇔ − ≤ ≤

 ⇒ ≤ ≤0 T maxT=8

z z i− = − −z 3i z

27 5

z= + i 27

5

z= − − i 27

5

z= − + i

5 z= − i

z= +x yi (x y, ∈) ⇒ = −z x yi

x+ − = − − −yi i x yi i ⇔ +x (y−1)i = (x− −2) (y+3)i

( ) (2 ) (2 )2

1

x y x y

⇔ + − = − + + ⇔ −1 2y=13 4− x+6y⇔4x=12 8+ y⇔ =x 2y+3

( )

2 2 2 2 2 9

2 12

5 5

z =x +y = y+ +y = y + y+ =y +  + ≥

 

"=" y

⇔ = − 3

5 5

x= ⇒ = −z i

z z z 1

3 i

z i

− − + = −

2

( , )

z= +x yi x y∈

( )2

2

1 1 1 1

3 i

z iz z i x y

i − −

+ = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + + = −

(45)

Gọi điểm biểu diễn số phức , ta có

Ta có:

Câu 72. Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm mơđun nhỏ số phức

A B C D

Gọi

Ta có: Ta có:

Câu 73.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tính ?

A B C D

Gọi , , biểu diễn cho số phức , ,

Ta có chạy Elip có trục lớn , trục nhỏ Mà Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ;

Suy

Câu 74. Cho số phức , thỏa mãn , Tìm giá trị lớn biểu

thức

A B C D

là đường trịn có tâm

đạt giá trị lớn

C D

M z IM =1

2 z =OM ≤OI+IM ≤

2

z− − i = −z i

2

z+ i

3 3+

( )

; ;

z x yi x= + ∈ y∈

( ) (2 )2 2 ( )2

2 2 4

z− − i = −z i ⇔ x− + y− = x + y− ⇔ + − = ⇔ = −x y y x

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 12 36 18 18

z+ i =x + y+ =x + −x = x − x+ = x− + ≥

min

2 18

z i

⇒ + = = z= +3 i

z z− + + =2 z M m,

z M +m

1

M+ =m M + =m 17

2

M + =m M + =m

( ; )

M x y F1(−2; 0) F1( )2; z −2

1

MF +MF =  M 2a=5 2 25

4

b= − =

z =OM z

2

M =

2 m=

M + =m

z w z− +5 3i =3 iw+ +4 2i =2

3

T = iz+ w

578+13 578+5 554 13+ 554+5

5 3 15 9

z− + i = ⇒ iz− i− = I(9;15) R=9

4 2 4

iw+ + i = ⇒ w− + =i J(4; 8− ) R′ =

3

T = iz+ w T =IJ + +R R′= 554+13

z z 3 4i 2 z0

z z0 7

0

(46)

Cách1:

Đặt

Khi

Suy biểu diễn hình học số phức đường trịn tâm bán kính

Vậy bé Cách 2:

Đặt

Câu 76.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định sau đúng?

A B

C D

Áp dụng bất đẳng thức ta

Vậy, nhỏ lớn

A B C D

Hướng dẫn giải ( , )

z a bi a b

2

3 ( 3) ( 4)

z  i   a  b 

z ( )C I(− −3; 4)

5

R=

( )

M z z M z( ) ( )∈ C

3 z =OM ≥OI− =R

z M z( ) ( )= C ∩IM

3 cos cos

4 sin sin

a a

b b

 

      

 

 

 

      

 

 

2 2

(2 cos 3) (2 sin 4) 29 12 cos 16 sin

z a b    

         

3

29 20 cos sin 29 20 cos( )

5    

 



       

0 z

 

z z2+ =4 z

− ≤ ≤ +

2

3 z

− ≤ ≤ +

3

6 z

− ≤ ≤ +

5 z 1− ≤ z ≤ 1+

,

u v u v+ ≥ +

+ − = 2+ + − ≥ ⇒ 2− − ≤ ⇒ ≤ +

2z z 4 z z z z

+ = 2+ + − ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ ≥ −

2z z z z z z z

z 1, − z= − +i i z 1, + z i i= +

z ( )1−i z− −6 2i = 10 z

(47)

Chọn C

Gọi

Ta có:

Đặt

Lúc đó:

đạt

Câu 78.Trong số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có mơđun nhỏ

A B C D

Đặt , ta có:

A B C D

Gọi Ta có:

Đặt

Lúc đó:

đạt

Câu 80. Cho số phức thỏa mãn số thực số thực Giá trị lớn

biểu thức

A B C D

( )

; ;

z x yi x= + ∈ y∈

( ) ( ) ( ) (2 )2

1 10 10 5

1

i

i z i i z z i x y

i

− −

− − − = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − + − =

−

2 sin ; cos ; 0;

x= + t y= + t t∈  π

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( α) (α )

= + + + = + +

= + + + ∈

2

2 sin cos 25 sin cos

25 sin ;

z t t t t

t

( )

25 20sin 5;

z t α z  

⇒ = + + ⇒ ∈  

max z

⇒ = z= +3 6i

z z− −2 4i = −z 2i z

1

z= − +i z= +3 2i z= +2 2i z= − +2 2i

( )

, , z= +x yi x y∈

2 4

z− − i = −z i ⇒ + =x y

2 2

2( 2) 2 2

z x y x z i

⇒ = + = − + ≥ ⇒ = +

z z− +1 2i =2 z

5 5+ 11 5+ 5+ 5.+

( )

; ;

z x yi x= + ∈ y∈ z− +1 2i = ⇔2 (x−1) (2+ y+2)2 =4

1 2sin ; 2cos ; 0;

x= + t y= − + t t∈  π

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2sin 2cos 4sin 8cos sin ;

z = + t + − + t = + t− t = + + t+α α∈

( )

9 sin ;

z t α z  

⇒ = + + ⇒ ∈ − + + 

 

max

z

⇒ = + =5 5+ +− +10

5

z i

z z

2

z w

z =

+

P= + −z i

(48)

Cách1 Xét suy Gọi

Suy

Vì nên

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng đường tròn

Xét điểm điểm biểu diễn số phức suy

Với bán kính đường trịn

Cách2 phương trình bậc hai với

hệ số thực Vì thỏa nên nghiệm phương trình Gọi hai

nghiệm suy Suy

Dấu xảy

Câu 81.Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ , với số phức khác

thỏa mãn Tính

A B C D

Dấu xảy Vậy Dấu xảy Vậy

Vậy

Câu 82.Cho số phức thỏa mãn số phức Tìm giá trị lớn

A B C D

Đặt

z ≠ z

w= +z z= +a bi b, ≠0

2 2

1 2

1 a

z a b i

w z a b a b

   

= + = + −  − 

+ +

   

1

w∈ 2 2

0 2 b b

a b a b

=    − = ⇔   +  + =   

z Oxy ( )C :x2+y2=2

( 1;1)

A − z0= − +1 i

max 2

P=MA⇒ P=OA+ =r

r ( )C :x2+y2=2

( 2) ( )

2

1

2 *

2 z

w w z z z z

w z = ⇔ + = ⇔ − + = + ( )* w  ∈   

  z ( )* z ( )* z z1,

( )* z z1 2 = ⇒2 z z1 2 = ⇔2 z z1 2 = ⇒2 z =

1 2 2

P= + − ≤ + − =z i z i + = z= −1 i

M m P z i

z

+

= z

0 z ≥2 2M −m

5

2

M − =m 2M− =m 10 2M − =m

2 M− =m

z i P

z

+

= z i z i

z z

+ +

= ≤ 1

2 z

= + ≤ z=2i

2 M = z i P z +

= z i z i

z z

− +

= ≥ z i

z −

= 1

2 z

= − ≥ z= −2i

1 m= 2 M− =m

z z+ − = −1 i z 3i w=1

z w

max

9 10 =

w max

10 =

w max

7 =

w max

7 = w

= +

z a bi (a b, ∈)

( ) (2 )2 2 ( )2

1 1

+ − = − ⇔ + + − = + −

z i z i a b a b

(49)

Đẳng thức xảy

Vậy

Câu 83. Xét số phức , thỏa mãn Tính

A B C D

Ta có

suy

Xét hàm số với

suy hàm sốđồng biến nên

Do đạt giá trị nhỏ

Khi

Câu 84. Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ mơđun số phức thỏa mãn Tính

A B C D

Gọi biểu diễn điểm Khi

Chứng tỏ thuộc đường trịn có

phương trình , tâm , bán kính

u cầu toán cho lớn nhất, nhỏ

Ta có nên điểm nằm đường trịn

Do

Vậy 2

= +

z a b

2 2   = − +  +  b  b

2 49

5 14

= b − b+

2 49 5 20   =  −  +

b 

7

≥

1 ⇒ w =

z = z ≤ = b 63 10 = a max = w

z= +a bi (a b, ∈) ( ) ( )

2 z− −z 15i=i z+ −z

F = − +a b

2 z− + i

F = F=6 F =5 F=7

( ) ( )2

4 z− −z 15i=i z+ −z ⇔4(a bi+ − +a bi)−15i=i a bi( + + − −a bi 1)2

( )2 8b 15 2a

⇔ − = − 15

8 b≥

( ) (2 )2 2 2

1 1

3 2 15 24 36 32 21

2 2

z− + i = a− + b+ = b− + b + b+ = b + b+

( )

4 32 21

f x = x + x+ 15

8 x≥

( ) 15

8 32 0,

8

f′ x = x+ > ∀ ≥x f x( ) 15;

 

+∞  

( ) 15 4353

8 16

f x ≥ f  =  

1

z− + i 4353

2 16

15 ;

8

b= a=

F = − +a b=

M m z z−1=2

M +m

5

yi x

z= + M( )x;y OM = z

2 1=

−

z ⇔ (x−1)2+y2 =2 ⇔ (x−1)2+y2 =4( )1 M ( )C

( )1 I( )1;0 R=2 ⇔ M∈( )C OM

=

OI O ⇒ R−OI ≤OM ≤OI+R ⇔ 1≤OM ≤3

3

=

M m=1

(50)

Câu 85 - 2017] Cho , hai nghiệm phương trình , thỏa mãn

Giá trị lớn

A B 5 C D

Đặt ,

Ta có

Ta lại có:

Ta có:

Câu 86.Trong số phức thỏa mãn gọi số phức có mơđun nhỏ

nhất lớn Khi mơđun số phức

A B C D

Đặt

TH1:

Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm , bán kính

, giao điểm (trục tung) với đường tròn

TH2:

Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm , bán kính

, giao điểm (trục tung) với đường tròn

1

z z2 3− +i iz = 2z− −6 9i

1

z −z = z1+z2

4 56

5

31

z= +a bi a b, ∈

2

6 3− +i iz = 2z− −6 9i ⇔a +b −6a−8b+24=0

( ) (2 )2 ( ) (( ))

3

3 4

3

z i

a b z i

z i

 − + =



⇔ − + − = ⇔ − + = ⇒ 

− + =



( )2 ( ( ))2 ( )2

1 2

2 4

hbh

z i z i z z z z i

 − + + − +  = − + + − +

 

 

( ) ( )2 ( )2

1 2

64

2 1 8

25 z z i z z i

⇔ + = + + − + ⇔ + − + =

( ) ( ) ( )

1 2

6 56

6 8 8 10

5

z +z = z +z − + i + + i ≤ z +z − + i + + i ≤ + =

z z2+ =1 z z1 z2

1 w= +z z

w = + w =2 w =2 w =

z= +a bi (a b, ∈) z2+ =1 z ⇔ (a bi+ )2+ =1 2a bi+ 2

1 2

a b abi a bi

⇔ − + + = + ( 2 2 )2 2 2 ( 2 2)

1 4

a b a b a b

⇔ − + + = +

4 2 2

1

a b a b a b

⇔ + + − − + = ( 2 2 )2 2

1

a b b

⇔ + − − =

( 2 )( 2 )

1 2

a b b a b b

⇔ + − − + − + =

2 2

1 2

a b b

 + − − = ⇔ 

+ − + = 

2

1

a +b − − b= ⇔a2+ −(b 1)2 =2

( );

M a b z I1( )0;1

2

R= OI M1(0; 1+ ) M2(0;1− 2)

( 1) (1 2)

w i i

⇒ = + + − ⇒ =w 2i ⇒ w =2 2

1

a +b − + b= ⇔a2+ +(b 1)2 =2

( );

M a b z I2(0; 1− )

2

R= OI M3(0; 1− ) M4(0;− 1− )

( 1) ( 2)

w i i

(51)

Với đáp án trường ĐH Vinh đưa A ta chọn số phức có

nên đề chưa chuẩn, chọn phương án B

Câu 87.Cho số phức thỏa mãn: Số phức có mơđun nhỏ là:

A B C D

Gọi ,

Ta có:

Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính

, với tâm đường tròn, điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn giao điểm đường thẳng nối hai điểm

với đường tròn (C)

Câu 88.Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ

nhất Khi

A B C D

Đặt

Ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đềlà đường tròn tâm , bán kính

Khi đó:

Câu 89. Cho số phức , , thỏa mãn Tính

A B C D

Hướng dẫn giải

1

M M3

2

w= i ⇒ w =2

z z− −2 2i =1 z−i

5 1− 1+ 5+2 2−

y

x 1

1

O

I

M

z= +x yi x y, ∈

2

2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

z− − i = ⇔ x− + y− i = ⇔ x− + y− =

Oxy z ( )C

(2; 2)

I R=1

( )2

1

z i− = x + y− =IM I( )2; M

M

( )0;1 , ( )2;

N ∈Oy I

min

IM =IN− =R −

z 2z− −3 4i =10 M m

z M−m

15 10 20

z= +x yi

2z− −3 4i =10

z i

⇔ − − = ( )

2

2 25

x y

 

⇔ −  + − =  

3 ; 2 I 

  R=5

m IO R

M IO R

= −



 = +

 ⇒M − =m 2R=10

z z1 z2 z1− −4 5i = z2−1 z+4i = − +z 4i

M = z −z P= −z z1 + −z z2

(52)

Chọn B

Gọi ,

Khi nằm đường trịn tâm bán kính , nằm đường trịn tâm bán kính

Đặt , Ta có:

Ta có:

,

hai đường trịn khơng cắt nằm phía với

Gọi điểm đối xứng với qua , suy nằm đường trịn tâm bán kính

(với điểm đối xứng với qua ) Ta có

Khi đó: nên

Khi đó: ;

Như vậy: đối xứng qua Vậy

( )4;5

I J( )1; ,

A B z z1,

A I R=1 B J

1 R=

z= +x yi x y, ∈

4

z+ i = − +z i

⇔ x− +yi 4i = + − +x yi 4i ⇔ 2 ( ) (2 ) (2 )2

4

x + −y = x− + y+ ⇔ 16x−16y−64=0

⇔ ∆:x− − =y

C z C∈ ∆( )

1

P= −z z + −z z =CA CB+

( )

( )2

4 5

,

2

1

d I ∆ = − − = > =R

+ − ( ) 2 ( )2

1

J,

2

1

d ∆ = − − = > = R + −

(xI −yI −4)(xJ −yJ −4) (= 4− − )( − − )>0 ⇒ ∆ ∆

1

A A ∆ A1 I1

1

R= I1 I ∆ I1( )9;

1

P=CA CB+ =CA +CB≥ A B Pmin ⇔ A B1 min A1 A

B B

′ ≡ 

⇔  ≡ ′



1

1 I A= I J

  ( )

8; A′

⇒ 1 1

8 I B= I J

  ( )

2; B′

⇒

min

P A A′ ∆ B≡B′ ( )

( )

4; 2; A B  ⇔  

1 20

(53)

Câu 90.Số phức sau có mơđun nhỏ thỏa :

A B

C

D

Gọi

Ta có:

Trong đáp án, có đáp án thỏa

Ở đáp án ; Ở đáp án Chọnđápán:

Câu 91.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho điểm điểm biển diễn số phức thoả

mãn điều kiện Tìm toạ độ điểm để đoạn thẳng nhỏ

A B C D

Gọi

Ta có

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng

Để đoạn nhỏ hình chiếu

qua vng góc với có phương trình Tọa độ nghiệm hệ

phương trình

Vậy

Câu 92.Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

A B C D

Đặt

Ta có

Ta có:

Câu 93.Tìm giá trị lớn với số phức thỏa mãn

z | |z = − +z 4i

3 –

z= − i

8

z= − i

2

z= + i

2 z= − − i

( )

, , z= +a bi a b∈R

| |z = − +z 4i ⇔− +6a 8b+25=0 *( )

3

z= − i

2

z= − − i ( )*

3

z= − i 25

8

z =

2

z= − − i z =

2 z= − − i

,

Oxy A(4; 4) M z

1

z− = + −z i M AM

( )1;

M M( )2; M(− −1; 1) M(− −2; 4)

( )

, , z= +x yi x y∈R

1

z− = + −z i ⇔(x−1)2+y2=(x+2) (2+ y−1)2 ⇔3x− + =y

( );

M x y z ( )d : 3x− + =y

AM M A d

d′ A d x+3y−16=0 M

{ 16 {

3

x y x

x y y

+ − = ⇔ =

− + = =

( )1; M

z z− −2 3i =1 z+ +1 i

13 1+ 13+2

1 w= + +z i

2 3

z− − i = ⇔ − −z i = ⇔ − +z i = ⇔ + + − +z i 2i =1

w i

⇔ − + =

( )

1= w− −3 2i ≥ w − −3 2i ⇔ w ≤ +1 13

1 13

Max z i

⇒ + + = +

2

1 = − + + +

(54)

A B C D Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt Do nên

Sử dụng cơng thức: ta có:

(vì )

Vậy

TH1:

Suy (vì )

TH2:

Suy

Xảy

Câu 94.Cho số phức thỏa mãn Gọi , điểm biểu diễn số phức

có mơđun lớn nhỏ Gọi trung điểm , biểu diễn số

phức , tổng nhận giá trị sau đây?

A B C D

Gọi , Theo giả thiết, ta có

Gọi ,

3 13

4

( , )

= + ∈

z a bi a b z =1 2

1 + = a b =

u v u v z2− =z z z− = − =1 z (a−1)2+b2 = 2− a

( )2 ( ) ( )2 ( )2

2 2 2

1 1 2

+ + = + + + + = − + + + + = − + + + +

z z a bi a bi a b a ab b i a b a ab b

( )2

2 2

(2 1) 2

= a a+ +b a+ = a+ a2+b2 =1

2 2

= + + −

P a a

1 < − a

( )

2 2 2 2 3

= − − + − = − + − − ≤ + − =

P a a a a 0≤ 2− a ≤2

1 ≥ − a

( ) 13

2 2 2 2 2

2 4

 

= + + − = − − + − + = − − −  + + ≤

 

P a a a a a

7 16 = a

z z+3i + −z 3i =10 M1 M2

z M M M1 2 M a b( );

w a + b

7

2

9

z= +x yi (x y, ∈) z+3i + −z 3i =10

( 3) ( 3) 10

x y i x y i

⇔ + + + + + =

( )2 ( )2 ( )

2

3 10

x y x y

⇔ + + + + − = ∗

( );

(55)

Khi nên tập hợp điểm đường elip có hai

tiêu điểm Và độ dài trục lớn

Ta có ;

Do đó, phương trình tắc

Vậy có điểm biểu diễn

và có điểm biểu diễn

Tọa độ trung điểm

Vậy

Câu 95.Cho số phức thỏa mãn Gọi , giá trị lớn nhỏ

Khi

A B C D

Gọi với

Ta có

Do

Mà

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

Do

Vậy

Câu 96. Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu

thức

A B

C D

Ta có: ,

( )∗ ⇔MF1+MF2 =10>F F1 =6 E ( )E

F F2 10

3

c= 2b=10⇔ =b a2=b2−c2 =16

( )E

2

1 16 25 x + y =

max z =OB=OB′=5 z= ±5i M1(0; 5± ) z =OA=OA′=4 z= ±4 M2(±4;0)

1

M M 2;

2 M± ± 

 

5

2 a + b = + =

z z− + + =3 z M m z

M +m

4− 4+ 7 4+

z= +x yi x y; ∈

8= − + + ≥ − + + =z z z z 2z ⇔ z ≤4

M =max z =

( )2 2 ( )2 2

3 3 3

z− + + = ⇔ − +z x yi + + +x yi = ⇔ x− +y + x+ +y =

( )2 2 ( )2 2 ( 2 2) ( )2 2 ( )2 2 1.= x−3 +y +1 x+3 +y ≤ +1  x−3 +y + x+3 +y 

( 2 ) ( 2 )

8 2x 2y 18 2x 2y 18 64

⇔ ≤ + + ⇔ + + ≥

2 2

7 7

x y x y z

⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥

7 M =min z =

4

M + = +m

z z =1 Mmax Mmin

2 1 1

M z= + + +z z +

= =

max 5;

= =

max 4;

M M Mmax=4; Mmin =2

2

1

(56)

Mặt khác:

Câu 97.Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

A B C D

Đặt Ta có

Đặt Khi

Vậy

A B C D

Xét ta có

các điểm biểu diễn đoạn thẳng

với điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức

Phương trình đường thẳng

Hình chiếu vng góc lên

Ta có nằm nên lớn lớn

có mơđun bằng:

A B C D

Gọi

Ta có:

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường trịn tâm bán kính hình vẽ:

3 3 3

3

1 1 1

1 1,

2 2

1

z z z z z

M z

z

− − + − + +

= + + ≥ + ≥ =

−

= − ⇒1 = ⇒1 min =1

z M M

z z− =1 T = + + − −z i z i maxT =4 maxT =8 maxT =8 maxT =4

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1

T = + + − − =z i z i z− + + +i z− − +i

w= −z w =1 T = + + + − +w (1 i) w (1 i)

w= +x y i w2 = =2 x2+y2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

T = x+ + y+ i + x− + y− i =1 (x+1) (2+ y+1)2 +1 (x−1) (2+ y−1)2 ( 2 2)(( ) (2 ) (2 ) (2 )2)

1 x y x y

≤ + + + + + − + − ( 2 )

2 2x 2y 4

= + + =

maxT =4

z z− − + − −1 i z 3i = 53 P= + +z 2i

max =53

P max 185

2 =

P Pmax = 106 Pmax = 53

( ) ( )1;1 , 8;3

A B AB= 53

⇒ z AB

1 ′

= + + =

P z i MM M z M′

1

′ = − −

z i

: 2− +7 − =5

AB x y

′

M AB

87 13 ; 53 53

 

= − 

 

M

A M1 B P=MM′ ⇔MM1

8

⇔M ≡ ⇒ = +B z i max 106

⇒P =

z z− +1 2i = w= + +z i z

6 2

( , ) ( 1) ( 2)

z= +x yi x y∈ ⇒ − + = − + +z i x y i

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

1 5

z− + i = ⇔ x− + y+ = ⇔ x− + y+ =

( );

M x y z ( )C I(1; 2− )

(57)

Dễ thấy ,

Theo đề ta có: điểm biểu diễn cho sốphức thỏa

mãn:

Suy đạt giá trị lớn lớn

Mà nên lớn đường kính đường tròn

là trung điểm

Câu 100. Trong số phức thỏa mãn điều kiện , môđun nhỏ số phức bằng:

A B C D

Đặt , biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ Ta có:

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng

Câu 101.Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức ?

A B C D

Đặt

( )

O∈ C N(− − ∈1; 1) ( )C

( ) ( );

M x y ∈ C z

( ) ( )

1 1

w= + + = + + + = + +z i x yi i x y+ i ⇒ + + =z i (x+1) (2+ y+1)2 = MN

z+ +i ⇔MN

( )

,

M N∈ C MN MN ( )C

I

⇔ ( ) 2 ( )2

3; 3 3 3

MN⇒M − ⇒ = − ⇒ =z i z + − =

4 2

z− − =i i−z z

3 2

z= +x yi (x y, ∈) M x y( );

4 2

z− − =i i−z ⇔ − +x (y−4)i = − +x (2−y i) ⇔(x−2) (2+ y−4)2 =x2+(2−y)2

x y ⇔ + − =

M z d x: + − =y

( )

min

4

; 2

2 z =OM =d O d = − =

1,

z z z1+ − =1 i z2 =iz1 m

1 z −z

2 2

m= − m=2 m=2 m= 1−

1 ; ,

z = +a bi a b∈ ⇒z2 = − +b ai

( ) ( )

1

z z a b b a i

(58)

Nên

Ta lại có

Suy

Dấu xảy

Vậy

Câu 102.Cho số phức , số phức thay đổi thỏa mãn

Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ Giá trị biểu thức

17T A 17T 17T B 17T 17T C 17T 17T D 17T 17T

Giả sử

Ta có:

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm số phức bán kính

Do ,

Vậy

A B C D

( ) (2 )2

1 2

z −z = a b+ + −b a = z

1 1

2= z + − ≤1 i z + − =1 i z +

1 2

z

⇒ ≥ − z1−z2 = 2.z1 ≥2 2−2

"="

1

a = b <

−

1

min 2

m= z −z = −

1

z = − +i z2 = +2 i z z−z12+ −z z22 =16

M m z 2

M −m

15 11

( , )

z= +x yi x y∈

2

1 16

z−z + −z z = ⇔ + + − + + − −x yi i2 x yi i2 =16 ⇔x2+(y−1)2 =4

z I( )0;1

2 R=

1

m= M =3 2

8 M −m =

z 1

3

z z i

− = +

P= + +z i z− + i

(59)

Gọi với , gọi điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức Ta có:

Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm bán kính

Gọi , điểm biểu diễn số phức , Dễ thấy

thuộc đường trịn Vì nên đường kính đường trịn

Từ đó:

Dấu xảy

Vậy

Câu 104. Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn

A B C D

Gọi điểm biều diễn số phức , điểm biểu diễn số phức

Số phức thỏa mãn suy nằm

đường trịn tâm bán kính

Số phức thỏa mãn suy nằm

đường tròn tâm bán kính

Ta có đạt giá trị lớn Câu 105. Cho số phức thỏa mãn Khi số phức

A B C D

z= +x yi x y, ∈ M z

1

3

z z i

− =

+ ⇔ z− = +1 z 3i ⇔ (x− +1) yi = +x (y+3)i

( )2 2 2 ( )2

2 x y x y

⇔ − + = + + ( ) (2 )2

2 20

x y

⇔ − + − =

M z ( )C I( )2;3

2 R=

(0; 1)

A − B( )4; z1 = −i z2 = +4 7i

,

A B ( )C AB=4 5=2R AB

( )C 2 20

MA MB AB

⇒ + = =

2

P= + +z i z− + i = + +z i z− −4 7i =MA+2MB≤ (12+22)(MA2+MB2)=10

"=" 2 2

4 20

MB MA MA

MB

MA MB

= =

 ⇒

 + =  =

 

maxP=10

1,

z z z1+ −2 3i =2 z2− −1 2i =1

P= z −z

P= P=3 P= +3 34 P= +3 10

( 1; 1)

M x y z1 N x y( 2; 2) z2

1

z z1+ −2 3i =2 ⇔(x1+2) (2+ y1−3)2 =4 M x y( 1; 1)

( 2;3)

I − R1 =2

2

z z2− −1 2i =1 ⇔(x2 −1) (2 + y1+2)2 =1 N x y( 2; 2)

(1; 2)

J − R2 =1

1

z −z =MN R1+IJ+R2 = +2 34 1+ = +3 34

z z− −2 4i =

min

z z

4

(60)

Do nên tập điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính

Mà

Gọi giao đường tròn

Tọa độ nghiệm hệ phương trình

Khi

Câu 106.Xét số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn , Số phức số

phức liên hợp có điểm biểu diễn , Biết , , , bốn

đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ

A B C D

Gọi

Ta có:

Vì vng góc với trục nên , , , bốn đỉnh hình chữ

nhật

Khi đó:

Câu 107.Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức

A B C D

Gọi số phức , với

Theo giả thiết, ta có Suy

2

z− − i = M (x−2) (2+ y−4)2 =5

( )2;

I R=

OM = z ,

A B OI (x−2) (2+ y−4)2=5

( ) (2 )2 ( ) ( )

2 1; , 2; 4

1

2 2

x

x y A B

x

y x y x

 =

 − + − = 

⇔ = ⇒

 = 

  =

min

OA≤OM ≤OB⇒ z =OA⇔ = +z i

z M M′ z(4 3+ i)

N N′ M M′ N N′

4 z+ −i

34

2

1

4 13

( ); , ( ; )

z= + ⇒a bi M a b M a′ −b

(4 ) ( )(4 )

z + i = a bi+ + i =4a−3b+(3a+4b i) ⇒N(4a−3 ;3b a+4b),N′(4a−3 ; 3b − −a 4b)

MM′ NN′ Ox M M′ N N′

MM NN

MN MM

′= ′



 ⊥ ′



( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 3 0,

b a b

a b a b b

b a b

 = +



⇔ − + + − =

 ≠ + ≠ 

0

0, a b

b a b

+ = 

⇔  ≠ + ≠



( ) ( )

4 5

z+ − =i a− + +b i = (a−5) (2+ +b 4)2 = (a−5) (2+ −4 a)2

2a 18a 41

= − +

2

9 1

2

2 2

a  

=  −  + ≥  

4

z+ −i

2

9

2

a= ⇒ = −b

z z =1 P= + +1 z 1−z

2 5

i

z= +x y x y, ∈

(61)

Khi đó,

Suy hay , với

Vậy ,

A Không tồn số phức B

C D

Cách1:

Đặt Khi

Suy biểu diễn hình học số phức đường trịn tâm bán kính

Vậy bé

Cách 2:

Đặt

Câu 109. Gọi số số phức đồng thời thỏa mãn biểu thức

đạt giá trị lớn Gọi giá trị lớn Giá trị tích

A B C D

Gọi , với Khi điểm biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết,

1

P= + +z −z = (x+1)2+y2 +2 (x−1)2+y2 = 2x+ +2 2 2− x

( 2) ( ) ( )

1 2 2

P≤ +  x+ + − x  P≤2 − ≤ ≤1 x

max

P = 2x+ =2 2− x ⇔

5

x= −

5 y= ± z z 3 4i 2 z0

0

z z0 2

0

z  z0 3

( , )

z a bi a b z 3 4i  2 (a3)2 (b 4)2 4 z ( )C I(− −3; 4)

5

R=

( )

M z z M z( ) ( )∈ C

3 z =OM ≥OI − =R

z M z( ) ( )= C ∩IM

3 cos cos

4 sin sin

a a

b b

 

      

 

 

 

      

 

 

2

z a b

   2

(2 cos 3) (2 sin 4)

     29 12 cos 16sin

3

29 20 cos sin 29 20 cos( )

5    

 



       



0 z

 

n z iz+ +1 2i =3

2 2i 3i

T = z+ + + z− M T

M n

2 13 10 21 13 21

i

z= +x y x y, ∈ M x y( ); z

(62)

Ta có , với

Nhận xét , , thẳng hàng

Cách 1:

Gọi đường trung trực , ta có

Dấu “ ” xảy

Giải hệ

Khi

Vậy

Cách 2:

Ta có , , thẳng hàng nên

Do hay

Khi Dấu “ ” xảy

Vậy

A B C D

Gọi ta có

Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm đường

trịn tâm bán kính

Ta có

2 2i 3i

T = z+ + + z− =2MA+3MB A(− −5; 2) B( )0;3

A B I 2IA=3IB

∆ AB ∆:x+ + =y

2

T = MA+ MB ≤PA+PB = M ≡P M ≡Q

( ) (2 )2

2

x y

+ + = 



+ + − =

 ⇔

8 2

;

2

P− − − + 

 

8 2

;

2

Q− + − + 

 

max 21

M = T =

10 21 M n=

A B I 2IA=3IB 2IA+3IB =0

⇒ 2

2MA +3MB ( ) ( )

2

2 MI IA MI IB

=  + +  + 2

5MI 2IA 3IB

= + + =105

( )2

2

2 3

T = MA+ MB ( 2)

5 2MA 3MB

≤ + =525 T ≤5 21 max 21

M = T = = M ≡P M ≡Q

10 21 M n=

z z− −2 3i =1 z+ +1 i

13+2 13 1+

M1 I

H

M2

z= +x yi z− − = + − − = − +2 3i x yi 3i x (y−3)i

( ) (2 )2

2

x− + y− = M z

( )2;3

I R=1

( ) ( ) (2 )2

1 1 1

(63)

Gọi

Do chạy đường tròn, cố định nên lớn giao với đường trịn

Phương trình , giao đường tròn ứng với thỏa mãn:

nên

Tính độ dài ta lấy kết

Câu 111. Cho số phức thỏa Khẳng định đúng?

A B

C D

Cách 1:Kí hiệu : phần thực số phức

Ta có (1)

(2)

Từ suy

Các h khác: B C suy D đúngLoại B,

C

Chọn ⇒A D sai

Cách 2:thay thử vào đáp án, thấy đáp án D bị sai

Câu 112.Cho với , số phức thỏa mãn điều kiện Gọi , giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tính

A B C D

( );

M x y H(−1;1) ( ) ( )

2

1

HM = x+ + y−

M H MH M HI

{

:

3

x t

HI

y t

= +

= + HI t

2

9

13

t + t = ⇔ = ±t ;3 , ;3

13 13 13 13

M + +  M − − 

   

MH HM = 13 1+

1, 2,

z z z z1 = z2 = z3 =1

1 2 3

z + +z z < z z +z z +z z z1+ +z2 z3 ≠ z z1 2+z z2 3+z z3 1 2 3

z + +z z = z z +z z +z z z1+ +z2 z3 > z z1 2+z z2 3+z z3

Re 2

z + +z z = z12 + z2 2+ z32+2 Re(z z1 2+z z2 3+z z3 1) = +3 Re(z z1 2+z z2 3+z z3 1)

1 2 3

z z +z z +z z = z z1 22+ z z2 32+ z z3 12+2 Re(z z z z1 2 3+z z z z2 3 1+z z z z3 1 2)

( )

2 2 2 2 2

1 2 3 Re 3

z z z z z z z z z z z z z z z

= + + + + +

( 3 2) ( 3 1)

3 Re z z z z z z Re z z z z z z

= + + + == + + +

( )1 ( )2 z1+ +z2 z3 = z z1 2+z z2 3+z z3 1

1 z =z =z

1 z =z = =z

z= +x yi x y∈ z+ −2 3i ≤ + − ≤z i M

m 2

8 P=x +y + x+ y M +m

156

20 10

5 − 60 20 10−

156

20 10

(64)

- Theo ra:

tập hợp điểm biểu diễn số phức miền mặt phẳng thỏa mãn

- Gọi , giao điểm đường thẳng đường tròn

- Ta có:

Gọi đường trịn tâm , bán kính - Đường trịn cắt miền

Vậy

Câu 113.Tìm số phức thỏa mãn biểu thức đạt giá trị nhỏ

A B

C D

Từ giả thiết suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn (C) tâm , bán kính

Xét điểm Ta thấy

4

2

4

6

8

10

10 5 10

x y

-1

A B

-1 2

J

I K

2

z+ − i ≤ + − ≤z i ⇔ (x+2) (2+ − −y 3)2 ≤ (x−2) (2+ y+1)2 ≤5

( ) (2 )2

2

2 25

x y

+ + ≤ 

⇔ 

− + + ≤ 

⇒ z ( )T

( ) (2 )2

2

2 25

x y

+ + ≤ 



− + + ≤ 

(2; 6)

A − B(−2; 2) 2x+ + =y

( ) ( ) (2 )2

: 25

C′ x− + y+ = 2

8

P=x +y + x+ y ⇔(x+4) (2+ y+3)2 = +P 25

( )C J(− −4; 3) R= P+25

( )C ( )T

JK ≤ ≤R JA⇔IJ−IK ≤ ≤R IA ⇔2 10− ≤5 25+ ≤P ⇔40 20 10− ≤ ≤P 20 20

M

⇒ = m=40 20 10− 60 20 10 M + =m −

z z− − =1 i T = − −z 9i +2 z−8i

1

z= + i z= −5 2i z= +4 5i

5

z= − i z= +1 6i

M0 K A

I M

B

1

z− − =i M z

( )1;1

I R=5

( )7;9

(65)

Gọi điểm tia cho

Do , góc chung

Lại có:

, nằm Ta có: phương trình đường thẳng là: 2x+y-8=0

Tọa độđiểm nghiệm hệ:

Vậy số phức cần tìm

Tính , với

A B C D

Ta có

Trường hợp :

Trường hợp 2:

Gọi (với ) ta

Suy

Từ , suy

Câu 115. Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị

nhỏ biểu thức Môđun số phức

A B C D

- Đặt , với

K IA

4

IK = IA 5;3

2

K  

⇒ =    

2 IM IK

IA = IM =



MIK ⇒ ∆IKM  ∆IMA (c g c )

2

MK IK

MA IM

⇒ = = ⇒MA=2.MK

7

T = − −z i + z− i =MA+2.MB =2(MK+MB) ≥2.BK =5 5

T

⇒ = ⇔M =BK∩( )C M B K

2

M

x ⇒ < < BK

M

( ) (2 )2

2

1 25

x y x y + − =   − + − =  x y x y  =   =   ⇔  =  = −  

( )1; M

⇒ =

1 z= + i

z ( )( )

2

z − z+ = z− + i z+ −i |w| w= − +z 2i

3 | |

2

w = |w| 2= |w| 1= | | w =

( )( ) ( )( ) ( )( )

2

2 1 2

z − z+ = z− + i z+ −i ⇔ z− + i z− − i = z− + i z+ −i

( ) ( )

1

z i

z i z i

− + = 

⇔  − − = + −



1 z− + =1 2i ⇒ = − ⇒w w =1 ( )1

1

z− − i = + −z i z= +a bi a b, ∈

( ) ( ) ( ) ( ) (2 )2

1 3

2

a− + −b i = a− + +b i ⇔ b− = b+ ⇔ = −b

( )2

3

2 2

2

w= − + = − +z i a i⇒ w = a− + ≥ ( )2

( )1 ( )2 |w| 1=

z z− −3 4i = M m

2

P= +z − −z i w=M +mi

1258

w = w =2 309 w =2 314 w =3 137

(66)

Ta có: , hay tập hợp

điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm , bán kính - Khi :

, kí hiệu đường thẳng

- Số phức tồn đường thẳng cắt đường tròn

Suy

Vậy

Câu 116.Cho số phức thoả mãn biểu thức đạt giá trị lớn

Môđun số phức

A B C D

Đặt với gọi điểm biểu diễn , ta có

Và

Như

Dấu “=” xảy

Vậy đạt giá trị lớn

Câu 117.Gọi giá trị lớn nhỏ , với số phức khác

và thỏa mãn Tính tỷ số

A B C D

3

z− − i = ⇔ (x− +3) (y−4)i = ⇔(x−3) (2+ y−4)2 =5

z ( )C I( )3; r=

2

P= +z − −z i =(x+2)2+y2−x2−(y−1)2 =4x+2y+3 4x 2y P

⇒ + + − = ∆

z ∆ ( )C

( ; )

d I r

⇔ ∆ ≤ 23

2 P

−

⇔ ≤ ⇔ P−23 ≤10 ⇔13≤ ≤P 33

33

M = m=13 ⇒ =w 33 13+ i 1258

w =

z z− −3 4i = P= +z 22− −z i2

z

5 13 10 10

i

z= +x y x y, ∈ M x y( ); z Oxy

3

z− − i = ⇔(x−3) (2+ y−4)2 =5

2

P= +z − −z i ( )2 2 ( )2

2

x y x y

= + + − − − =4x+2y+3

4

P= x+ y+ =4(x− +3) (2 y−4)+23≤ 42+2 (x−3) (2+ y−4)2 +23=33

( ) ( )

3

4

4 10

x y

t

x y

− −

 = =

 

 − + − = 

5 0, x y t

=  

⇔ =

 = 

P z= +5 5i ⇒ z =5

M m P z i

z +

= z

2

z ≥ M

m

M

m =

M m =

3 M

m =

1 M

(67)

Gọi

Nếu Khơng có số phức thoả mãn u cầu toán

Nếu

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức hình trịn tâm có bán kính

A B C D

Ta có

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ điểm đường trung trực đoạn thẳng với ,

Ta có , trung điểm nên phương trình đường trung trực

Đặt , ,

Khi , với điểm biểu diễn cho

Suy

( 1)

z i

T T z i

z

+

= ⇒ − =

1

T = ⇒

1

i i

T z z T

T T

≠ ⇒ = ⇔ = ≥ ⇒ − ≤

− −

T I( )1;

2 R=

2

M OB OI R

m OA OI R

 = = + =

 ⇒ 

 = = − =



3 M

m

⇒ =

z z2+ =4 (z−2i)(z− +1 2i)

= + −

P z i

min =

P Pmin =3 Pmin =4 Pmin =2

( )( )

2

4 2

+ = − − +

z z i z i ⇔ −z 2i(z+2i − − +z 2i)=0

2

 − = ⇔ 

+ = − + 

z i

z i z i

N z Oxy A( )0;

BC B(0; 2− ) C(1; 2− )

( )1;

=



BC 1;

2      

M BC BC

:

∆ x− =

(−3; 2)

D DA=3 ( , )

2 ∆ = d D

= + − =

P z i DN N z

( )

{ }

(68)

Câu 119. Gọi số phức thỏa mãn hai điều kiện

đạt giá trị lớn Tính tích

A B C D

Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Dấu xảy

Câu 120. Xét số phức ( ) thỏa mãn Tính

A B C D

Cách 1:

Đặt với Theo ta có

Ta có

Vậy GTNN đạt

( )

,

z x yi x y= + ∈ z−22 + +z 22 =26

3

2

z− − i xy

=

xy =13

2

xy =16

9

xy =

4

xy

( , )

z x iy x y= + ∈ x2+y2 =36.

3cos , 3sin

x= t y= t

3 18 18sin

4

2

P= −z − i = − t+π ≤

 

3 3

sin

4 2

t π t π z i

 + = − ⇒ = − ⇒ = − −

 

 

z= +a bi a b, ∈ z− −3 2i =2 a b+

1 2

z+ − i + z− − i

3 4+ 4− 2+

3

z− − =i w w= +x yi (x y, ∈) w = ⇔2 x2+y2 =4

( )2 2 ( ) (2 )2

1 2 4

P= + −z i + z− − i = + +w w+ − i = x+ +y + x+ + y−

( ) (2 )2 ( ) (2 )2 20 8x x y 2x x y

= + + + + − = + + + + −

( ) ( )

( 2 2 2) ( ( )2 2 ( ) (2 )2)

2 x y 2x x y x y x y

= + + + + + + − = + + + + + −

( )

2 y y y y ≥ + − ≥ + − =

( )

2

1

6

3

x

P y y

y

x y

 = −

= − 

 

= ⇔ − ≥ ⇔

=   + =



(69)

Cách 2:

với

với , Ta có ; Chọn Do ta có

đồng dạng với

Từ

Dấu xảy , , thẳng hàng thuộc đoạn thẳng

Từ tìm Cách 3:

Gọi điểm biểu diễn số phức Đặt ,

Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn có tâm , bán kính cho biểu

thức đạt giá trị nhỏ

Trước tiên, ta tìm điểm cho Ta có

ln

Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn Vì nên nằm ngồi

Vì nên nằm

Ta có

Dấu bất đẳng thức xảy thuộc đoạn thẳng

Do nhỏ Mlà giao điểm đoạn thẳng

Phương trình đường thẳng 2

z− − i = ⇒MI =2⇒M∈( )I; I =( )3;

1 2

P= + −z i + z− − i =MA+ MB A=( )1; B=( )2;5

IM = IA=4 K( )2; IK =1 IA IK =IM2 IA IM IM IK

⇒ =

IAM

⇒ ∆ ∆IMK AM IM

MK IK

⇒ = = ⇒ AM =2MK

P=MA+ MB =2(MK+MB) ≥2BK

M K B M BK

(2; 3)

M = +

( );

M a b z= +a bi I =( )3; A(−1; 2) B( )2;5

( )C I R=2

P=MA+ MB

( );

K x y MA=2MK ∀ ∈M ( )C

( ) (2 )2

2

2 4

MA= MK ⇔MA = MK ⇔ MI +IA = MI +IK

( ) ( )

2 2 2 2

2 4

MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA

⇔ + +  = + +   ⇔  −  = + − ( )*

( )* ( )

2 2

4

3

IA IK

M C

R IK IA

 − = 

∀ ∈ ⇔ 

+ − =



  

( ) ( )

4

2

4

x x

IA IK

y y

− = −

  =



− = ⇔ ⇔ =

− = 



  

( )2;

K 3R2+4IK2−IA2 =0

2 2

1 10

BI = + = >R = B ( )C

2

1

KI = <R = K ( )C

( )

2 2 2

MA+ MB= MK+ MB= MK+MB ≥ KB

M BK

2

MA+ MB ( )C BK

(70)

Phương trình đường trịn

Tọa độ điểm nghiệm hệ

Thử lại thấy thuộc đoạn

Vậy ,

A B C D

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Vậy

Câu 122.Cho số phức , thỏa mãn Giá trị lớn biểu

thức

A B C D

Gọi , với Khi điểm biểu diễn cho số phức

Theo giả thiết,

Suy thuộc đường trịn

Ta có , với

Gọi trung điểm , ta có đó:

hay

Mặt khác, với nên

( ) ( ) (2 )2

:

C x− + y− = M

( ) (2 )2

2

3

x x

x y y

=

  =

 ⇔

 

− + − =  = +

 



2 x

y =  

= − 

(2; 3)

M + BK

2

a= b= +2 ⇒ + = +a b

z z =1 P= + +1 z 1−z

3 15

P= P=2 P=2 10 P=6

1

P= + +z −z ≤ (12+32)(1+z2+ −1 z2) = 10 1( + z2) = 10 1( + ) =2 max

P =

w z w i

5

+ = 5w =(2 i+ )(z−4) 2i 2i

P= − −z + − −z

6 13+ 53 13

i

z= +x y x y, ∈ M x y( ); z

( )( )

5w= i+ z−4 ⇔5 w( + =i) (2 i+ )(z− +4) 5i ⇔(2 i− )(w+ = − +i) z 2i 2i

z

⇔ − + = M x y( ); ( ) (C : x−3) (2+ y+2)2 =9

1 2i 2i

P= − −z + − −z =MA+MB A( )1; B( )5;

H AB H( )3;

P=MA+MB ≤ 2(MA2+MB2) P≤ 4MH2+AB2 MH ≤KH M∈( )C

2

4

(71)

Vậy hay

Câu 123.Biết Tìm giá trị lớn module số phức ?

A B C D

Quỹ tích đường trịn tâm bán kính Cịn với

Khi

Câu 124.Trong số phức thỏa mãn , số phức có mơđun nhỏ

A B C D

Đặt

Khi đó:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng

Suy ra: bé

A B C D

Gọi , Ta có:

Mà Hay

Lúc

max 53

P = M K

MA MB

≡ 

 =

 z= −3 5i

3 11

w i

5 = −

z− = w= +z 2i

2+ 2+ 5−2 5−

( )

M z I( )1, R=2 w = +z 2i =MA A( )0,

max

w =IA+ = +R

z z = − +z 4i

z= +i z=5

2

z= i z= +1 2i

( )

, ,

z= +x yi x y∈R ⇒ = −z x yi

2 4

z = − +z i ⇔ +x yi = − − +x yi i

( ) (2 )2

2

x y x y x y

⇔ + = − + − ⇔ + − =

( );

M x y z x+2y− =5

( )2 ( ) ( )2

2 2

5 4 5 5

x+yi = x +y = − y +y = y − y+ + = y− + ≥

x+yi y= ⇒ =2 x

z z− = +3 z i P= z

min

2 10 =

P

3 10 =

P

10 =

P Pmin =3

= +

z a bi (a b, ∈) 2

= = +

P z a b

3

− = +

z z i

3

+ − = + +

a ib a ib i

( 3) ( 1)

⇔ a− +ib = + +a b i

( )2 2 ( )2

3

⇔ a− +b =a + +b

⇔ = −b a

( )2

2 2

4 10 24 16

= = + = + − = − +

P z a b a a a a

2 24 144 10 10

10 100 5

 

=  − + + ≥

(72)

A B C D

Ta có: Khi

Câu 127.Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề đúng?

A B C D

Cách Chọn

Cách 2

Dấu xảy hay .

A B C D

Cách

Cách Đặt

Gọi điểm biểu diễn hệ trục tọa độ

với nằm đường trịn tâm , bán kính

Ta có Vậy

Lưu ý: Nếu đề hỏi “Giá trị nhỏ ”

z z =1 A= +1 5i

z

6

5 5

1 i i

A

z z z

= + ≤ + = + = z i= ⇒A=6

z 2z− +1 3z i− ≤2

1

2< z <2

3

2

2< z < z >2

1 z <

z=i

( )

2 2≥2 z− +1 3z i− =2 z− + − + −1 z i z i

( )

2 z z i z i

≥ − − − + − =2i− + − =1 z i 2+ − ≥z i 2 " "= z i− =0 z=i⇒ z = =i

z z− +3 3i =2 z i−

8

2= − +z 3i = (z i− − −) (3 4i) ≥ − − −z i 4i ⇒ − ≤ + −z i 4i ⇒ − ≤z i w= −z i

M w Oxy

3

z− + i = ⇒ − +w 4i =2⇒MI =2 I(3; 4− ) ⇒ M ( )C

(3; 4)

I − R=2

z i− = w =OM maxOM =OI+R = +5 2=7