Giải toán trắc nghiệm cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Bài toán Cực trị Số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư d[r]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Giáo viên: Nguyễn Hữu Tình Tổ: Toán

MỞ ĐẦU

Trong chương trình Tốn THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thông qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức Trong chương này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức z x yi x y,( ; ,i2  1) với điểm M x y( ; ) mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều tốn Đại số bên Số phức, chuyển sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng

Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn Đại số nói chung Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều lúng túng, việc giải toán Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh

Bài tốn Cực trị Số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ tốn Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho tốn khác Với mục tiêu đó, chun đề này, tơi tập trung giải tốn theo hướng Hình học Khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp

II NỘI DUNG 1 Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu

1.1 Các định nghĩa kí hiệu

a) Số i: Ta thừa nhận có số mà bình phương 1. Kí hiệu: i Như vậy, i  2

b) Số phức: Cho ,x y  , biểu thức z xyi gọi (dạng đại số) số phức :

x Phần thực; :y Phần ảo

c) Với số phức z x yi, giá trị biểu thức x2  y2 gọi mơ đun z Kí

hiệu: z Như vậy, z  x2  y2

d) Với số phức zx yi Số phức 'z x ( y i)  x yi gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Như vậy, zx yi z xyi

e) Với số phức z xyi Xác định điểm M x y( ; ) mặt phẳng tọa độ

Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z

Để cho tiện, tập tài liệu này, tơi kí hiệu M x y( ; )M z( ) hay đơn giản

( )

M z để M điểm biểu diễn cho số phức z x yi.

1.2 Các phép toán tập hợp số phức

Cho hai số phức z x yi z, 'x'y i x y x y' ( , , ', ',i2  1) + Phép cộng: zz'(xx')(y y i')

+ Phép trừ: zz'(xx')(yy i')

+ Phép nhân: 'z z (xx' yy')(xy'x y i' )

+ Phép chia: ' ' ' '

z z z

z  z z với 'z  0 i

1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc + Với M z( ) z OM

+ Với M M z M( ), 'M z'( ') zz' MM'

+ Với AA z( A),BB z( B), z zA, B hai số phức khác cho trước tập hợp điểm M M z( ) thỏa mãn hệ thức zzA  zzB đường trung trực đoạn AB

+ Với M0 M z0( ), R0 0, tập hợp điểm M M z( ) thỏa mãn hệ thức R

zz  đường tròn tâm M , bán kính R

2 Các tốn

BÀI TỐN 1: Cho số phức z0 a0 b i a b0 , ,   tập hợp số phức zx yi

thỏa mãn hệ thức: zz1  zz2

a) Tìm giá trị nhỏ zz0 b) Tìm z để zz0 nhỏ

Nhận xét:

+ Gọi M M z( ), M0 M z0( );0 A A z( );1 BB z( )2 zz0 MM0 + Từ đẳng thức zz1  zz2 Suy ra, M thuộc trung trực  đoạn AB Bài toán chuyển thành:

a) Tìm giá trị nhỏ M M0 với M   b) Tìm M   cho M M0 nhỏ

+ Ta thấy, với điểm M   M M0 M H0 ,

trong H hình chiếu M0 lên 

Do đó, zz0 d M( 0; ). Và để M M0 nhỏ với M   M  H hay M hình chiếu M0 lên 

Lời giải

- Từ hệ thức zz1  zz2 , suy phương trình đường thẳng 

+ Với câu a), ta tính khoảng cách d M ( 0; ) Và kết luận, zz0 d M( 0; ). + Với câu b),

- Viết phương trình đường thẳng d qua M0, vng góc với  (hoặc song song với

)

AB

- Giải hệ gồm hai phương trình:  d suy nghiệm ( ; ).x y Kết luận, số phức cần tìm z xyi

Đặc biệt:

z tức tìm số phức z cho mơ đun z nhỏ

Ví dụ 1.1 Trong tất số phức z thỏa mãn z 1 2i  z 3 i Tìm giá trị nhỏ mô đun z

A 5 13

13 B 13 C 2 D 26

Δ A(z1)

B(z2)

M0

H M

Lời giải

Đặt zx yi x y; ,   M M z( )M x y( ; )

Ta có: z 1 2i  z 3 4i (x1)2 (y2)2 x32 y42 hay :

M  x y 

Khoảng cách từ O đến  là:

2

5 5 13

( ; )

13 13

2 ( 3)

d O    

 

Vậy, 13 13

z  Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 3i  z 3 i Tìm giá trị nhỏ z 2 i

A B 68 C 12 17

17 D 34 Lời giải

Đặt zx yi x y; ,   M M z( )

Ta có: z 1 3i  z 3 5i (x1)2 (y3)2 x32 y52 hay :

M  x y 

+ 0

2

2 4.( 1) 12 12 17

min ( ; )

17 17

1 (4)

z  i d M         

(Ở đây, M  0( 2; 1)) Chọn đáp án C

x y

|z|

Δ

M I(-1;1)

(1;-2) (-3;4)

O 1

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 1.3 Trong tất số phức zabi a b, ,   thỏa mãn hệ thức

z  i  zi Biết rằng, z 1 i nhỏ Tính Pa b

A 23 100

 B 13

100 C

5 16

 D

25 Lời giải:

Đặt M M z( )

Từ hệ thức z 2 5i  zi , ta M :x3y 7 Đặt M 0( 1;1) z  1 i M M0

Gọi d đường thẳng qua M 0( 1;1) vng góc với  : 1

1

x y

d   

 hay : 3d x y20

x y

d

Δ M

M0(-2;-1)

(3;5)

(1;-3)

O 1

x y

d Δ

H I(1;-2) M0(-1;1) B(0;1)

A(2;-5) O

1

Xét hệ phương trình:

1

3 10

3 23

10

x

x y

x y

y

  

 

 



 

  

   

 

Vậy, hình chiếu vng góc M0 lên

 ; 23 10 10

H  

 

Vậy, z 1 i nhỏ 23 23

10 10 100

z   iP  Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zz0 R0. Trong đó,

z abi cho trước

a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) zz1 , z1 số phức cho trước

b) Tìm số phức z để zz1 đặt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét:

+ Đặt M M z( ), I I z( );0 A A z( );1 zz0 MI

+ Từ đẳng thức zz0 R Suy ra, M thuộc đường tròn (C) tâm I, bán kính R Bài tốn chuyển thành:

a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) AM với M( ).C b) Tìm M( )C cho AM lớn (hay nhỏ nhất) + Gọi M M1, 2 giao điểm đường thẳng AI (C) (hình minh họa) với điểm M( )C , ta ln có

1

AM  AM AM

Do đó: minAM AM1  AI R;maxAM AM2  AI R Lời giải

a) zz1  z1z0 R;max zz1  z1z0 R b) Tìm z

R

M2 I=z0 M1 A=z1 M

+ Từ hệ thức zz0 R0 Suy phương trình đường trịn (C) + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A z( ), ( ).1 I z0

+ Giải hệ phương trình gồm phương trình (C) d, suy nghiệm 1 2

( ;x y ),( ;x y )

+ Thử lại để chọn x y;  thích hợp từ hai

Ví dụ 2.1 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 3i 3 Tìm z 1 i

A 1 B C 10 D

Lời giải

Đặt M M z( ), (1; 3), (1;1)I  A  AI 4 z  1 i MA

Từ hệ thức z 1 3i 3 Suy M  đường trịn bán kính R 3 Vậy, z  1 i minMAM A1  AI R 1

Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 2.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z i Tìm giá trị lớn của z

A B C D

Lời giải

Ta có: (0;1),I AO(0;0) AI 1 ( )

M M z với z thỏa mãn hệ thức z i Suy M  đường trịn bán kính

1

R  Vậy, max z  AI R  1 Chọn đáp án A

x y

A(1;1)

I(1;-3)

O M(1;0)

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 2.3 Trong tất số phức z abi thỏa mãn z 1 2i 1, biết

z i đạt giá trị nhỏ nhất.Tính P a b



A

 B

13

 C 7

9 D

7 13  Lời giải

Ta có: (1; 2), ( 3;1)I  A  M M z( )M( ) : (C x1)2 (y2)2 1

Đường thẳng :

4

x y

AI   

 hay 3x4y 5

Xét hệ:

2

9 13

;

( 1) ( 2) 5 5

1

3

; 5 x y x y x y x y                      

Với 9, 13

5

x  y  z  3 i

Với 1,

5

x  y   z  3 i

x y M A(-3;1) I(1;-2) O 1 x y |z| M1 Δ 1 O 1 M

Vậy /

5

z   i Pa b  Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z i 2. Biết z lớn Tìm phần ảo z

A B 1 C 1 D 3

Lời giải

Đặt M x y( ; )M z( ) Từ hệ thức z i suy M( ) :C x2 (y1)2 4 Đường thẳng d qua (0;0)O tâm (0;1)I (C) có phương trình: x 0

Giao d (C) nghiệm ,x y hệ 2 2

( 1)

x

x y

  

  



Giải ta

0,

0,

x y

x y

  



  



+ Với x0,y 1 z  i z 1 + Với x0,y 3 z3i z 3

Vậy, z lớn z 0 3i3 i Vậy, phần ảo số phức z thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zz1  zz2 Với z z1, 2 số phức

a) Tìm giá trị nhỏ zz3  zz4 Với z z3, 4 số phức cho trước b) Tìm số phức z để zz3  zz4 nhỏ

x y

M'(-1;0)

(C)

M(3;0)

I(0;1)

O 1

Nhận xét:

- Đặt M z A z( ), ( ), ( )3 B z4 zz3  AM z, z4 BM

- Từ hệ thức zz1  zz2 Suy ra, M thuộc đường thẳng  Dẫn đến tốn: Tìm M   cho MA MB nhỏ

Ta thấy rằng,

+ Nếu ,A B nằm hai phía so với  với điểm M ,MAMB AB Vậy MAMB nhỏ MA MB AB M A B thẳng hàng hay , ,

M   AB

+ Nếu ,A B nằm phía so với  gọi A' điểm đối xứng với A

qua  Khi đó, với điểm M ,MAMB MA'MB A B' Vậy, MA MB nhỏ MAMB A B' ',A M B thẳng hàng hay , M    A B'

Lời giải

- Từ hệ thức zz1  zz2 Suy phương trình đường thẳng 

- Thay tọa độ điểm A A z( ),3 BB z( )4 vào phương trình  để kiểm tra xem A, B nằm phía hay khác phía so với 

- Nếu A, B khác phía với 

+ min z z3  zz4 z3z4

+ Để tìm z ta viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm , A B

Giải hệ gồm phương trình  phương trình d Nghiệm ( ; )x y suy số phức

z x yi cần tìm

+ Nếu ,A B khác phía so với  viết phương trình đường thẳng a qua A vng góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình  phương trình a suy nghiệm tọa độ điểm I trung điểm AA Từ tọa độ ' A I công thức , tính tọa độ trung điểm suy tọa độ '.A

+ minzz3'  zz4 z3'z4 với A' A z'( ).3'

A, B phía so với Δ A, B khác phía so với Δ

Δ Δ

M0 M0

z1

z2 A

B B

A' z2

z1 A

M M

+ Để tìm z ta viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A B ', Giải hệ gồm phương trình  phương trình d Nghiệm ( ; )x y suy số phức

z x yi cần tìm

Ví dụ 3.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  1 i z 2 3i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z  2 i z 3 2i

A 13 61

17 B.

5 493

17 C

10 251

17 D

71 Lời giải

Đặt M M z( )

Từ hệ thức z  1 i z 2 3i , suy ra, M : 2x8y11 0.

Đặt ( 2;1), (3; 2).A  B 

Thay A vào phương trình , ta được: 2.( 2) 8.(1) 11 0   

Thay B vào phương trình , ta được: 2.(3) 8.( 2) 11 0    Vậy A, B nằm phía so với 

Gọi d đường thẳng qua A vng góc với  :

1

x y

d    hay

4x y 9

Gọi I d   tọa độ I nghiệm x,y hệ:

2 11 61 31

;

4 34 17

x y

x y

x y

 



   



   

Gọi A’ điểm đối xứng với A qua  I trung điểm AA’ nên 27 45

' ;

17 17

A  

 

x y

Δ M0

A'

2 3

B A

-1 -2

O

1

Suy ra, min  ' 493 17

z  i z  i  A B

Chọn đáp án B

Nhận xét: Nếu ta biểu diễn tốn trên giấy có ta chọn đáp án

phù hợp với đáp án đưa

Đáp án A: 5,97 ; B: 6,53 ; C: 9,31 ; D: 2,81

Dựa vào hình minh họa: A B ' 4,524,52 6,36 nên chọn đáp án B

Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z2i  zi. Tìm phần thực số phức z biết z 1 2i  z4i đạt giá trị nhỏ

A 5

6 B

1

6 C

2

3 D

3 4 Lời giải

Đặt M M z( ) Từ hệ thức z2i  zi , ta được: M : 2y 1

Đặt A(1;2), (0; 4)B  , A, B khác phía so với  Đường thẳng

:

1

x y

AB    xy 

Tọa độ giao điểm AB  nghiệm hệ

1

2 2

6

4 y y x y x                  

Vậy, phần thực số phức thỏa mãn yêu cầu toán

x 

Chọn đáp án D

x y

M: (0.75, 0.50)

Δ M (0;-4) A(1;2) (0;-1) (0;2) O 1

Ví dụ 3.3 (Câu 46- Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Xét số phức zabi a b( ,  ) thỏa mãn z 4 3i  5 Tính Pab

1

z  i  z i đạt giá trị lớn

A P 10 B P 4 C P  6 D P  8

Lời giải

Đặt M M z( ) Từ hệ thức z 4 3i  5, ta

2

( ) : ( 4) ( 3)

M C x  y 

Đặt ( 1;3), (1; 1)A  B  , I trung điểm AB (0;1).I

Theo phần lý thuyết trên, ta thấy MAMB lớn nhất,khi MI lớn nhất,

M K (Hình minh họa)

Đường thẳng qua ,I vng góc với AB có phương trình: x2y20

Xét hệ phương trình,

2

( 4) ( 3)

2

x y

x y

    



  



Ta được, 2,

6,

x y

x y

 

 

 



Tức

(2;2), (6;4)

H K Chọn điểm K (như nói trên) Vậy Pa   b 10 Chọn đáp án A

Nhận xét: Nếu ta thể tốn giấy dễ dàng lựa chọn đáp

án A

BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zz1  zz2 Tìm a) Giá trị nhỏ biểu thức zzA 2 zzB 2

b) Tìm số phức z để zzA  zzB 2 đạt giá trị nhỏ Ở đây, z z z z1, 2, A, B số phức cho trước

x y

H(2;2)

K(6;4) I0(4;3)

I(1;0)

B(1;-1) A(-1;3)

O 1

M

Nhận xét

- Đặt A A z( A),BB z( B),M M z( ) zzA 2 zzB MA2 MB2 - Từ hệ thức zz1  zz2 Suy M thuộc đường thẳng 

Dẫn đến tốn, tìm M   cho MA2 MB2 nhỏ

- Gọi I trung điểm AB Khi đó, với điểm M  , ta có:

2 2

2

2

MA MB AB

MI   

Suy ra,

2

2 2

2

2 AB

MA MB  MI 

Do A, B, cố định nên AB khơng đổi, MA2 MB2 nhỏ MI nhỏ 0,

M M

  M0 hình chiếu I lên đường thẳng  Và giá trị nhỏ

của MA2 MB2 làm

2

2 2

0

2 ( , )

2

AB AB

MA MB  M I   d I  

Lời giải

- Từ zz1  zz2 Suy phương trình đường thẳng  - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB

+ Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , độ dài đoạn thẳng AB Kết luận:

 2 2

min ( , )

2 AB

MA MB  d I  

+ Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với  Nghiệm ,x y hệ hai phương trình , d phần thực phần ảo z

Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 2i  z 3 i Tìm giá trị nhỏ zi2  z 2 i2

A 305

34 B

441

68 C

169

34 D

Lời giải

I z1

z2

A=zA

B=zB

M0

M

Đặt M M z( ) Từ z 1 2i  z 3 i Ta được, M : 8x2y 5

Đặt (0; 1), (2;1)A  B gọi I trung điểm AB (1;0).I Khoảng cách từ I đến

 ( , ) 13 68

d I   , AB 

 2 2 169 305

min ( , )

2 68 34

AB

MA MB  d I     

Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 4.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức |z 1 | |i  z 5 i| Tìm số phức z cho z 1 i2  z 3 i2 đạt giá trị nhỏ

A z  3 i B z 2 C z   2 i D z   1 i

Lời giải

Đặt M M z( ) Từ hệ thức |z 1 | |i  z 5 i| Ta được, M :xy 2

Đặt ( 1;1), (3;1)A  B Gọi I trung điểm AB (1;1).I

x y

M: (–0.53, 0.38)

M

B(2;1)

A(0;-1)

(-3;-1)

(1;-2)

O I(1;0)

Đường thẳng qua I, vng góc với  có phương trình: 1

1

x y



 hay

xy 

Xét hệ phương trình: 2

2 0

x y x

x y y

   

 



 

   

 

Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu

bài toán z 2 Chọn đáp án B

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 7 5i  z 1 11 i Biết rằng, số phức

z x yi thỏa mãn z 2 8i2  z 6 6i2 đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức 2

P x y

A 16 B 4 C 1 D

Lời giải

Đặt M x y( ; )M z( )

Từ hệ thức z 7 5i  z 1 11 i Ta được, M : 4x3y120 Đặt (2;8), (6;6),A B I trung điểm AB (4;7).I

Đường thẳng d qua I vng góc với  có phương trình: 3x4y160

Xét hệ phương trình: 12 0

3 16

x y x

x y y

   

 



 

   

 

Vậy, P  16

Chọn đáp án A

x y

Δ

M(0;4)

I(4;7)

B(6;6) A(2;8)

(1;11)

(-7;5)

O 1

BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zz1  zz2 a) Tìm giá trị lớn zzA  zzB

b) Tìm z để zzA  zzB đạt giá trị lớn Nhận xét

- Đặt A A z( A),BB z( B),M M z( ) zzA MA z, zB MB - Từ zz1  zz2 Suy ra, M  đường thẳng 

Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng  cho trước điểm M cho MAMB lớn Tính giá trị

- Với A, B cố định

+ Nếu ,A B phía so với  với điểm M  , ta ln có MAMB  AB Dấu xảy M A B thẳng hàng hay , , M   AB

+ Với ,A B khác phía so với , gọi A' điểm đối xứng với A qua  với điểm

M  , ta ln có MAMB  MA'MB A B' Dấu xảy , ',

M A B thẳng hàng hay M   A B' Cách giải:

- Từ hệ thức zz1  zz2 Suy phương trình đường thẳng 

- Thay tọa độ điểm ,A B vào phương trình  để kiểm tra xem ,A B phía

hay khác phía so với  + Nếu ,A B phía với 

Với câu a) giá trị lớn zzA  zzB AB

Với câu b): Viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  AB ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z

+ Nếu ,A B khác phía với 

A, B khác phía so với A, B phía so với

H A

B z1

z2 z2

z1

B

A M

M0 M0 M

A'

- Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình  ,d ta nghiệm ( ; )x y tọa độ điểm H

- Lấy điểm A' cho H trung điểm AA'

Với câu a) giá trị lớn zzA  zzB ' A B

Với câu b): Viết phương trình đường thẳng A’B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  A’B ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z

Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  5 i z 1 7i Tìm giá trị lớn biểu thức P z  4 i z 2 4i

A 13 B 10 C 13 D

Lời giải

Đặt M x y( ; )M z A( ), (4;1), (2;4).B

Từ hệ thức z  5 i z 1 7i , ta được: M : 2x3y 6 Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: 2.4 3.1 6  0 Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: 2.2 3.4 6  0 Vậy, ,A B phía với 

Theo phần lý thuyết trên, ta được: Giá trị lớn P

2

(2 4) (4 1) 13

AB     

Chọn đáp án A

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

x y

Δ

M(7;2) B(2;4)

A(4;1) (-1;7)

(-5;1)

O 1

Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 zi. Biết rằng, số phức zx yi

thỏa mãn z  3 i z 2 6i đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức Px y

A B 4 C C 2

Lời giải

Đặt M x y( ; )M z A( ), (3;1), (2;6).B

Từ hệ thức z 1 zi , ta được: M :x y0

Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: 0.  Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: 5 0 Vậy, ,A B khác phía so với 

Theo phần lý thuyết Gọi A' điểm đối xứng A qua đường thẳng

: y x

  ta '(1;3).A Đường thẳng ' :

1

x y

A B    hay 2xy 1

Giao điểm  A B' nghiệm hệ

3 0

y x x

x y y

 

 



 

  

 

Vậy, số phức z thỏa mãn z  3 i z 2 6i lớn z 0 0i nên P 0

Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án

BÀI TỐN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức zz0 R R,( 0). a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức zzA2  zzB 2

b) Tìm số phức z để zzA  zzB 2 đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét:

x y

d Δ

A'(1;3) B(2;6)

A(3;1) (0;1)

M=O (1;0)

- Đặt A A z( A),BB z( B),M M z( ) zzA MA2, zzB MB2 - Từ zz0 R Suy ra, M  đường trịn (C) tâm ,I bán kính R

Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm M( )C để MA2 MB2 nhỏ Tìm giá trị

- Gọi H trung điểm AB Ta có:

2 2

2

2

MA MB AB

MH    Suy ra,

2

2 2

2

2 AB

MA MB  MH 

Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy

+ MA2 MB2 nhỏ  MH nhỏ  M M1 (hình minh họa)

2

MA MB =

2

2

2 AB

RIH 

+ MA2 MB2 lớn  MH lớn  M M2 (hình minh họa) giá trị lớn

nhất MA2 MB2  

2

2

2 AB

RIH 

Lời giải

- Từ hệ thức zz0 R R,( 0) Suy phương trình đường trịn (C), tâm I bán kính (C)

- Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB

- Nếu yêu cầu tìm min{MA2 MB2} min{MA2 MB2} =

2

2

2 AB

RIH 

- Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án

M1 H

I=z0

A=zA B=zB

M

M2

- Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn {MA2 MB2} giá trị lớn {

2

MA MB }

2

2( )

2 AB

RIH 

- Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án

Ví dụ 6.1 Cho số phức z thỏa mãn z 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức z 8 6i2 z 4 10i2 là:

A 66 466 B 15 C 82 482 D 41 241 Lời giải

Đặt M M z( ) Từ hệ thức z 5 Suy ra, M thuộc đường trịn tâm (0;0),O bán kính R 5

Đặt A(8;6), (4;10).B Gọi H trung điểm AB H(6;8),

2

100, 32

OH  AB 

Theo lý thuyết

Giá trị nhỏ P z 8 6i2  z 4 10i2 MA2 MB2

2

min 66

2 AB

P  ROH  

Giá trị lớn P z 8 6i2  z 4 10i2 MA2 MB2

2

max 466

2 AB

P  ROH  

Chọn đáp án A

x y

(C)

M1(3;4)

M2(-3;-4)

H(6;8) B(4;10)

A(8;6)

O 1

Ví dụ 6.2 Trong tất số phức z thỏa mãn z  5 i 13, tìm số phức z cho

2

1

z  i  z  i nhỏ

A z  3 4i B z   2 3i C z   7 2i D z    2 i

Lời giải

Đặt M M z( ) Từ hệ thức z  5 i 13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn

2

( ) : (C x5) (y1) 13 Tâm ( 5;1),I  bán kính R  13

Đặt A(1;5), ( 3;9)B  Gọi H trung điểm AB H ( 1;7) Đường thẳng

1

:

4

x y

IH   

  hay 3x2y170

Tọa độ giao điểm IH ( )C nghiệm hệ:

2

( 5) ( 1) 13

3 17

x y

x y

    



  



Giải

ra ta được, 3;

7;

x y

x y

  



    



Với x  3,y4 M H 1 13 với M 1( 3;4) Với x  7,y  2 M H 2 14 với M  2( 7; 2)

Theo phần lý thuyết trên, z 1 5i2 z 3 9i2 MA2 MB2 nhỏ M M1

Vậy số phức cần tìm là: z  3 i Chọn đáp án A

x y

d

(C)

M2(-7;-2)

M1(-3;4)

I(-1;7) B(-3;9)

A(1;5)

I(-5;1)

O 1

BÀI TOÁN 7: Cho hai số phức z, z’ thỏ mãn hệ thức zz1 R z, 'z2  z'z3 Trong đó, z z z1, 2, 3 số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ zz'

Nhận xét:

- Đặt M M z M( ), 'M z( ')

Từ hệ thức zz1 R. Suy ra, M thuộc đường tròn (C) Từ hệ thức z'z2  z'z3 Suy ra, M’ thuộc đường thẳng  zz' MM '

Dẫn đến tốn Tìm điểm M ,M' ( ) C cho MM ' nhỏ

+ Trường hợp  ( )C   giá trị nhỏ zz'

+ Trường hợp  ( )C   giá trị nhỏ zz' zz' d I( , ) R Lời giải

- Từ hệ thức zz1 R. Suy ra, đường tròn (C), tâm I, bán kính R (C) - Từ hệ thức z'z2  z'z3 Suy ra, đường thẳng 

- Tính khoảng cách d từ I đến 

+ Nếu d R giá trị nhỏ zz' zz' 0 ( ; ) '( ; ) ( )

z x y z x y d  C

+ Nếu d R giá trị nhỏ zz' zz' d R ( ; )z x y M x y( ; ) hình chiếu I lên  '( '; ')z x y M x y'( '; ') a ( ),C a đường thẳng qua I vng góc với  (Chú ý: Chọn M’ điểm nằm I,M)

Ví dụ 7.1 Cho số phức , 'z z thỏa mãn z  2 i ' 3z   i  z' 9  i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P zz' gần số số sau

d(I,Δ) > R d(I,Δ) ≤ R

Δ Δ

M2 M2 M1

M I=z1

A=z1 B=z2 B=z2

A=z1 I=z1

M' M'=M

A 1,6 B 1,1 C 1,7 D 1,5 Lời giải

Đặt M M z M( ), 'M z'( ')

Từ hệ thức z   , suy i M thuộc đường tròn: (x2)2 (y1)2  với tâm ( 2;1),I  bán kính R 2

Từ hệ thức z 5 3i  z 1 9i , suy M ' thuộc đường thẳng : x y 4

Khoảng cách từ I đến  ( , )

2

d I       R Vậy, giá trị nhỏ

của biểu thức P zz' 2 1,54   Chọn đáp án D

x y

d

(C)

Δ

M

M' (1;9)

(-5;3)

I(-2;1)

O 1

III KẾT LUẬN