Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề quan trọng trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, với nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Để giúp các em học sinh khối 12 nắm vững kiến thức, kĩ năng giải toán trong chủ đề này, giới thiệu đến các em tài liệu chuyên đề tính đơn điệu của hàm số; tài liệu gồm 38 trang được biên soạn bởi các tác giả: Thông Đình Thông Hoài Thông.

1 2020 Các chuyên đề luyện thi THPT QG THÔNG ĐÌNH THƠNG - HỒI THƠNG 28 13 40 20 47 39 30 12 22 27 43 29 16 23 26 BỘ CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 14 MƠN TỐN TỐN MƠN 21 18 15 10 42 33 50 41 37 24 34 45 KHỐI 10 - 11 - 12 44 17 46 49 25 36 38 35 48 π LƯU HÀNH HỘI BỘ 31 11 19 32 MỤC LỤC CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU A Lý thuyết 3 3 Định nghĩa Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Phương pháp vận dụng 4 Lập bảng xét dấu biểu thức P (x) Xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) tập xác định Xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) qua Bảng biến thiên Một số ví dụ Phiếu tập rèn luyện số B 4 5 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f (x) đồng biến, nghịch biến khoảng (a; b) cho trước 13 Dạng Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba y = f (x; m) = 2x3 + bx2 + cx + d đơn điệu chiều khoảng có độ dài k 14 Phiếu tập rèn luyện số 18 Bài tốn tính đơn điệu hàm số thông qua đồ thị hàm f - đơn điệu hàm hợp f [u(x)] 21 Phiếu tập số 28 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức 35 PHẦN I CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (hình a) Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) (hình b) y y f (x2 ) f (x1 ) f (x1 ) f (x2 ) O x1 x2 x O x1 hình a x2 hình b Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số đồng biến khoảng K f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng K Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K ! Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “Hàm số y = f (x) liên tục đoạn nửa khoảng ” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] có đọa hàm f (x) > 0, ∀x ∈ K khoảng (a; b) hàm số đồng biến đoạn [a; b] x Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f (x) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K (hoặc nghịch biến khoảng K ) ! Nếu f (x) đồng biến khoảng (a; b) f (a) < f (b) Nếu f (x) nghịch biến khoảng (a; b) f (a) < f (b) PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG B Lập bảng xét dấu biểu thức P (x) Bước Tìm nghiệm biểu thức P (x), giá trị x làm biểu thức P (x) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính quy tắc xét dấu tìm dấu P (x) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) tập xác định Bước Tìm tập xác định Bước Tính đạo hàm y = f (x) Bước Tìm nghiệm f (x) giá trị x làm cho f (x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Xét tính đơn điệu hàm số y = f (x) qua Bảng biến thiên Xét hàm số y = f (x) có đạo hàm (a; b), ta dựa vào bảng biến thiên để xét tính đơn điệu: f (x) mang dấu + (dương) f (x) đồng biến (a; b) Khi đó: Chiều mũi tên hướng lên f (x) mang dấu - (âm) f (x) nghịch biến (a; b) Khi đó: Chiều mũi tên hướng xuống Minh họa bảng biến thiên: x x1 −∞ + y x2 − f (x1 ) x3 + +∞ − f (x3 ) y −∞ f (x2 ) −∞ Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (−∞; x1 ) (x2 ; x3 ) Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (x1 ; x2 ) (x3 ; +∞) Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI Một số ví dụ Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số sau y = x3 − x2 − 3x + Lời giải Tập xác định D = R x = −1 Ta có y = x2 − 2x − 3; y = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x=3 BBT x −∞ −1 + y +∞ − + +∞ y −∞ Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (3; +∞); hàm số nghịch biến khoảng (−1; 3) số liên tục R (nghĩa liên tục ! Donhưhàm sau: Hàm số đồng biến (−∞; −1] x = 1; x = 3) nên ta kết luận [3; +∞); hàm số nghịch biến [−1; 3] Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = x4 − 2x2 + Lời giải Tập xác định D = R Ta có y = 4x3 − 4x x=0 y =0⇔ BBT: x = ±1 x −∞ −1 − y 0 + +∞ +∞ − + +∞ y 2 Hàm số y = x4 − 2x2 + nghịch biến (−∞; −1) nên nghịch biến (−2; −1) Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = 2x + x−1 Lời giải −3 < 0, ∀x = (x − 1)2 Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) √ Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = 2018x − x2 Lời giải 2018 − 2x Tập xác định D = [0; 2018]; y = √ ; y = ⇒ x = 1009 Bảng biến thiên: 2018x − x2 Tập xác định: D = (−∞; 1) ∪ (1; +∞) ⇒ y = Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI x 1009 + y 2018 − y Hàm số đồng biến khoảng (0; 1009) nghịch biến khoảng (1009; 2018) Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = x2 − 2x + x−2 Lời giải Tập xác định: D = R \ {2} x=1 x2 − 4x + − 4x + = ⇔ Ta có y = ; y = ⇔ x (x − 2)2 x=3 Ta có bảng biến thiên x −∞ + y +∞ − − +∞ + +∞ y −∞ −∞ Suy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (3; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) (2; 3) Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI Phiếu tập rèn luyện số ɭ Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến R? A y = x2 + 2x − B y = x4 − 2x2 2x − C y = x3 + 2x − 2019 D x+3 ɭ Câu Hàm số y = x3 + 3x2 − nghịch biến khoảng sau đây? A R B (−∞; −2) C (0; +∞) D (−2; 0) ɭ Câu Hàm số −x3 − 3x2 + 9x + 20 đồng biến khoảng A (−3; 1) B (−∞; 1) C (−3; +∞) D (1; 2) ɭ Câu A Hàm B Hàm C Hàm D Hàm Cho hàm số y = x3 − 3x + Mệnh đề sau đúng? số cho nghịch biến khoảng (−2; 1) số cho nghịch biến khoảng (−1; 3) số cho đồng biến khoảng (−1; 1) số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) khoảng (1; +∞) ɭ Câu Hàm số sau đồng biến R A y = x3 − x + B y = x3 + x − C y = x3 − 3x + D y = x4 + ɭ Câu Cho hàm số y = x4 − 8x2 − Hàm số cho nghịch biến khoảng A (−2; 0) (2; +∞) B (−∞; −2) (0; 2) C (−2; 0) (0; 2) D (−∞; −2) (2; +∞) ɭ Câu A Hàm B Hàm C Hàm D Hàm Cho hàm số y = x4 − 2x2 Mệnh đề đúng? số nghịch biến khoảng (−1; 1) số đồng biến khoảng (−∞; −2) số nghịch biến khoảng (−∞; −2) số đồng biến khoảng (−1; 1) 2x − Mệnh đề sau đúng? x+1 A Hàm số đồng biến tập xác định ɭ Câu Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến tập R C Hàm số đồng biến (−∞; −1) (−1; +∞) D Hàm số nghịch biến R\ {−1} x−1 Mệnh đề sau đúng? x A Hàm số cho đồng biến (0; +∞) ɭ Câu Cho hàm số y = B Hàm số cho đồng biến (−∞; 0) C Hàm số cho đồng biến R\ {0} D Hàm số cho đồng biến khoảng xác định 2x + Khẳng định sau đúng? x+2 A Hàm số nghịch biến R ɭ Câu 10 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến R C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (−2; +∞) Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (−2; +∞) ɭ Câu 11 Cho hàm số f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = (1 − x)(x + 2)g(x) g(x) > 0, ∀x ∈ R Hàm số y = f (1 − x) + 2019x + 2018 nghịch biến khoảng nào? A (0; 3) B (−∞; 3) C (1; +∞) D (3; +∞) 2x − Khẳng định sau đúng? x+1 A Hàm số nghịch biến R ɭ Câu 12 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) D Hàm số đồng biến R ɭ Câu 13 Hàm số y = f (x) có đạo hàm y = x2 + 2, ∀x ∈ R Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến (−∞; 0) B Hàm số nghịch biến (0; +∞) √ √ C Hàm số nghịch biến − 2; D Hàm số đồng biến (−∞; +∞) ɭ Câu 14 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = x2 − 2x, ∀x ∈ R Hàm số y = −2f (x) đồng biến khoảng đây? A (0; 2) B (2; +∞) C (−∞; −2) D (−2; 0) ɭ Câu 15 Hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãnf (x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; 4);f (x) = ⇔ x ∈ [2; 3] Mệnh đề sai? A Hàm sốf (x)đồng biến khoảng (1; 2) B Hàm sốf (x)đồng biến khoảng (3; 4) √ √ C f =f D Hàm sốf (x) đồng biến khoảng (1; 4) ɭ Câu 16 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ + y +∞ − + +∞ y −∞ −3 Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (2; +∞) B (−∞; 1) C (0; +∞) D (0; 2) ɭ Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có biến thiên sau: x −∞ −2 + y 0 − +∞ + − y −∞ −1 −∞ Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI  u(x) = x1  Bước Giải phương trình f (u(x)) = ⇔ u(x) = x2 Xét dấu f (u(x)) dựa vào dấu f (x) dựa vào bảng biến thiên dấu f (x) Vai trị u(x) giống x dấu f (u(x)) dấu f (x) Bước Lập bảng xét dấu g (x) Bước Kết luận tính đơn điệu hàm g(x) = f (u(x)) Ví dụ y Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) xác định, liên tục R có đồ thị f (x) hình vẽ bên Hàm số f (x) đồng biến khoảng đây? A (2; +∞) B (−∞; 1) C (3; +∞) D (1; 3) x −2 Lời giải Dựa vào đồ thị f (x) ta có f (x) = ⇒ x=1 x=3 f (x) > ⇒ x > Ta có bảng biến thiên hàm số f (x): x f (x) −∞ − +∞ − + f (x) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số f (x) đồng biến khoảng (3; +∞) Chọn đáp án C Ví dụ 22 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI y Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (1 − x) đồng biến khoảng A (2; 3) B (−∞; −1) C (−2; 0) D (−1; +∞) −1 O x x Lời giải   − x = −1 x=2   Ta có y = −f (1 − x); y = ⇔ f (1 − x) = ⇔ 1 − x = ⇔ x = −1 1−x=3 x = −2 Dấu y x −∞ −2 − y −1 + − +∞ + Chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f − x2 nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (0; +∞) C (−1; 0) D (−1; 2) y O Lời giải Đặt g(x) = f − x2 Ta có g (x) = −2x·f − x2 , g (x) = ⇔ Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có f x=0 f − x2 − x2   x=0 x=0   2 ⇔ 1 − x = ⇔ x = ⇔ x = =0 − x2 = x2 = −1 − x2 > −1 (vô nghiệm.) Bảng xét dấu g (x) x −∞ +∞ −2x + − f (1 − x2 ) + + g (x) + − 23 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta có hàm số g(x) = f − x2 nghịch biến (0; +∞) Chọn đáp án B Ví dụ Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ + f (x) +∞ − + Đặt hàm số y = g(x) = f (1 − x) + Mệnh đề sau hàm số y = g(x) đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 1) C Hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) Lời giải Trên tập xác định D = R, ta có g (x) = −f (1 − x) ⇒ g (x) = ⇔ f (1 − x) = ⇔ 1−x=0 x=1 − x = x = −2 Ta có bảng xét dấu g (x) sau: x g (x) −∞ −2 − +∞ + − Vậy hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (−2; 1) nghịch biến khoảng (−∞; −2) (1; +∞) Chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Đặt y = g(x) = f (x) − x Khẳng định sau hàm số y = g(x) đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 2) B Hàm số nghịch biến khoảng (2; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−1; 1) D Hàm số nghịch biến khoảng (−1; 2) y y = f (x) −1 O Lời giải Có g (x) = f (x) − Vẽ đường thẳng d : y = song song với trục Ox 24 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ x Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI y y = f (x) y=1 −1 O x Ta có BBT y = g (x) = f (x) − x g (x) −∞ −1 + − +∞ − + g(x) Vậy hàm số nghịch biến khoảng (−1; 2) Chọn đáp án D Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Đặt y = g (x) = f (x) + x2 + x + Khẳng định sau hàm số y = g (x) đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −3) C Hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−3; −1) y −3 O x −4 Lời giải y = g (x) = f (x) + x + = f (x) − (−x − 1) Vẽ đường thẳng d : y = −x − lên mặt phẳng tọa độ 25 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI y −3 O x −4 y = −x − Dựa vào đồ thị ta có khoảng (1; 3) đồ thị (C) nằm phía đường thẳng d Suy hàm số đồng biến khoảng (1; 3) Chọn đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x)như hình vẽ bên Hàm số y = g (x) = f (x) − x3 − 3 x + x + Mệnh đề hàm số y = g (x) sai? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −3) B Hàm số nghịch biến khoảng (−3; −1) C Hàm số đồng biến khoảng (−1; 1) D Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) y −3 −1 O1 −2 Lời giải 26 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ x Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI y −3 −1 O x −2 3 g (x) = f (x) − x2 + x − 2 3 Đồ thị hàm số y = f (x) cắt đồ thị hàm số y = x2 + x − điểm có hoành độ 2 x = −3; x = −1; x = Nhìn vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau x −∞ −3 + g (x) −1 − +∞ + − g(x) −∞ +∞ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −3) nên đáp án A sai Chọn đáp án A 27 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI Phiếu tập số ɭ Câu Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (−∞; 1) B Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (1; 2) C Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (1; 2) D Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (−∞; 2) y O ɭ Câu Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng A (2; +∞) B (0; 1) C (0; 1) (2; +∞) D (1; 2) 2 x y O x ɭ Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x f (x) −2 + −1 − + +∞ − + Hàm số y = −2f (x) + 2019 nghịch biến khoảng khoảng đây? A (−4; 2) B (−1; 2) C (−2; −1) D (2; 4) ɭ Câu Cho hàm số y = g (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị y = g (x) hình vẽ bên Xét hàm số f (x) = g (−x + 3) Mệnh đề sai? A Hàm số f (x) nghịch biến (2; 3) B Hàm số f (x) nghịch biến (0; 2) C Hàm số f (x) đồng biến (3; 4) D Hàm số f (x) đồng biến (−2; 0) y O ɭ Câu 28 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ x Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI y Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ hàm số y = f (1 − 2x) đồng biến khoảng A (2; +∞) B − ;0 C (1; 2) D 0; y = f (x) O x ɭ Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm R có dấu đạo hàm f (x) sau x f (x) −∞ − + + − Hàm số y = f (4 − 3x) nghịch biến khoảng sau đây? 1 1 ; ; A −2; B C 4 2 ɭ Câu Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm R thỏa f (2) = f (−2) = đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = (f (x))2 nghịch biến khoảng khoảng sau: A −1; B (−2; −1) C (−1; 1) D (1; 2) +∞ + ;2 D y −1 −2 ɭ Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Hàm số y = f (3 − x) nghịch biến khoảng nào? A (2; 4) B (−1; 2) C (2; +∞) D (−∞; −1) O x y −1 O x ɭ Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x f (x) −∞ +∞ − + 29 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI Hàm số y = f x2 nghịch biến khoảng A (0; 1) B (1; +∞) C (−1; 0) ɭ Câu 10 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hỏi hàm số y = f x2 nghịch biến khoảng sau đây? B (−∞; 1) A (−1; 0) C (1; 4) D (4; +∞) ɭ Câu 11 Cho hàm số y = f (x) Biết hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f − x2 đồng biến khoảng: A (2; 3) B (−2; −1) C (0; 1) D (−1; 0) D (−∞; 0) y y = f (x) −1 O x y y = f (x) −6 −1 O x ɭ Câu 12 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f (x) y y = f (x) −1 O x −2 −4 Xét hàm số g (x) = f x2 − Mệnh đề sai? A Hàm số y = g (x) nghịch biến (−∞; −3) √ B Hàm số y = g (x) nghịch biến − 6; √ C Hàm số y = g (x) nghịch biến 0; √ 6; D Hàm số y = g (x) nghịch biến ɭ Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) R Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f (x) 30 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI y O x Hỏi hàm số g (x) = f x − x2 nghịch biến khoảng khoảng đây? 3 ; +∞ A − ; +∞ B −∞; C − ; +∞ D 2 2 ɭ Câu 14 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f x2 − đồng biến khoảng A (0; 1) B (1; 2) C (1; +∞) D (−2; −1) y −1 O x Lời giải Chọn đáp án A ɭ Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ bên Hàm số g (x) = f x2 − nghịch biến khoảng đây? A (1; 3) B (−3; −1) C (0; 1) D (4; +∞) y y = f (x) −1 O x −2 −4 ɭ Câu 16 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x f (x) −∞ −2 + 0 − +∞ + − Hàm số y = f x2 − nghịch biến khoảng đây? A (2; +∞) B (0; 2) C (−∞; −2) D (−2; 0) ɭ Câu 17 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên 31 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ƠN THI y −4 −2 x O −3 Hàm số y = 3f (x) + x3 − 6x2 + 9x đồng biến khoảng khoảng sau đây? D (−2; 0) A (0; 2) B (−1; 1) C (1; +∞) ɭ Câu 18 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số y = f (x) − x2 + 2x nghịch biến khoảng A (−1; 2) B (1; 3) C (0; 1) D (−∞; 0) y O −1 −4 ɭ Câu 19 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y −1.25 O −3 x −2.5 −4 Xét hàm số g(x) = f (x) − (x + 1)2 Hàm số g(x) đồng biến khoảng sau đây: 32 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ x Thơng Đình Đình A (−3; 0) Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI B (−3; −1) D (−3; −2) C (−1; 0) ɭ Câu 20 y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y = f (x − 2017) − 2018x + 2019 A B C D −2 −2 x ɭ Câu 21 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) cho hình bên Hàm số y = −2f (2 − x) + x2 nghịch biến khoảng A (−1; 0) B (0; 2) C (−2; −1) D (−3; −2) O −1 x −2 ɭ Câu 22 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) x2 hình vẽ bên Hàm số y = f (1 − x) + − x nghịch biến khoảng A −1; B (−2; 0) C (−3; 1) D (1; 3) y O −3 3 x − 05 −1 −3 −5 ɭ Câu 23 Cho y = f (x) hàm đa thức bậc 4, có đồ thị hàm số y = f (x)như hình vẽ 33 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình Hồi Thơng TÀI LIỆU ÔN THI y 1 x Hàm số y = f (5 − 2x)+4x2 −10x đồng biến khoảng khoảng sau đây? 3 A (3; 4) B 2; C ;2 D 0; 2 ɭ Câu 24 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hàm số g(x) = f (−2x + 1) + (x + 1) (−2x + 4) đồng biến khoảng đây? A −2; − B (−∞; −2) 1 C − ; +∞ D − ;2 2 y −3 x −3 ɭ Câu 25 Cho hàm số f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) thỏa mãn f (x) = (1 − x) (x + 2)g(x) + 2018 với g(x) < 0, ∀x ∈ R Hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến khoảng nào? A (1; +∞) B (0; 3) C (−∞; 3) D (4; +∞) BẢNG ĐÁP ÁN C 11 D 21 A A 12 B 22 B B 13 D 23 B B 14 A 24 A B 15 C 25 D C 16 A D 17 D B 18 C A 19 D 34 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ 10 A 20 A Thơng Đình Đình TÀI LIỆU ƠN THI Hồi Thơng Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Đưa phương trình, bất phương trình dạng f (x) = m f (x) ≥ g(m), lập bảng biến thiên f (x), dựa vào BBT suy kết luận • Nếu f (x) đồng biến liên tục [a; b] f (x) ≥ f (a) f (x) ≤ f (b) ! • Nếu f (x) nghịch biến liên tục [a; b] f (x) ≤ f (a) f (x) ≥ f (b) • Nếu f (x) liên tục nghịch biến(hoặc đồng biến)trên K với a, b ∈ K : f (a) = f (b) ⇔ a = b √ Ví dụ Giải phương trình x5 + 2x3 + 5x + x3 + x + − 10 = Lời giải Điều kiện x ≥ −1 √ Xét hàm số f (x) = x5 + 2x3 + 5x + x3 + x + − 10 liên tục [−1; +∞) 3x2 + √ Ta có f (x) = 5x + 6x + + > 0, ∀x ∈ (−1; +∞) nên hàm số f (x) đồng biến x3 + x + [−1; +∞) Do phương trình cho ⇔ f (x) = f (1) ⇔ x = √ Ví dụ Giải bất phương trình x2 + x + x + < 18 Lời giải Điều kiện x ≥ −2 √ Xét hàm số f (x) = x2 + x + x + liên tục [−2; +∞) Ta có 3 f (x) = 2x + + √ = (x + 2) + √ + √ −3 x+2 x+2 x+2 √ 3 ≥ 3 (x + 2) √ √ − = − > 0, ∀x ∈ (−2; +∞) x+2 x+2 Suy f (x)đồng biến [−2; +∞) Do bất phương trình ⇔ f (x) < f (2) ⇔ x < Kết hợp điều kiện ta −2 ≤ x < Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ 2y + y + 2x − x = − x √ 2y + + y = + x + Lời giải Điều kiện −4 ≤ x ≤ √ √ √ √ Ta có 2y + y + 2x − x = − x ⇔ 2y + y = (1 − x) − x + − x (1) Xét hàm số f (t) = 2t3 + t liên tục R, có f (t) = 6t2 + > 0, ∀t ∈ R Suy hàm số f (t) đồng √ biến R √ Do (1) ⇔ f (y) = f − x ⇔ y = − x √ √ √ Thay vào phương trình thứ hai hệ ta − 2x + − x = + x + (1) Dễ thấy hai vế của(1)là hai hàm ngược tính đơn điệu, nên (1) có nghiệm x0 = −3 ⇒ y0 = √ Ví dụ Tìm tất giá trị m để phương trình |x| + x2 + = m có nghiệm? √ A m ≥ B ≤ m < C m ≥ D m = + 35 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hơm Ƅ Thơng Đình Đình TÀI LIỆU ƠN THI Hồi Thơng Lời giải √ Đặt t = |x| ≥ 0, đó√phương trình có dạng t + t2 + = m (∗) Xét hàm số f (t) = t + t2 + với t ≥ t > 0, ∀t ≥ ⇒ f (t) đồng biến [0; +∞) Suy f (t) ≥ f (0) = Ta có f (t) = + √ t2 + Ta có lim f (t) = +∞ t→+∞ Do phương trình (∗) có nghiệm m ≥ Chọn đáp án C √ Ví dụ Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình m+ m + + + sin x = √ sin x có nghiệm đoạn [a; b] Khi giá trị biểu thức T = 4a − − b A −4 B −5 C −3 D Lời giải √ √ Ta có −1√≤ sin x ≤ ⇔ ≤ + sin√x ≤ ⇔ ≤ + sin x ≤ 2, ∀x ∈ R Đặt t = + sin x Ta có ≤ t ≤ √2 sin x = t2 − √ Khi phương trình có dạng: m + m + + t = t2 − ⇔ m + + t + m + + t = t2 + t(∗) Xét hàm số f (t) = t2 + t, t > Ta có f (t) = 2t + > 0, ∀t > Do hàm số f (t) √ = t + t đồng2 biến (0; +∞) Vì (∗) ⇔ t = m + + t ⇔ m =√ t − t − (∗∗) Xét hàm số g (t) = t − t − 1, t ∈ 0; g (t) = 2t − 36 Ƅ Tương lai khóc hay cười phụ thuộc vào độ lười ngày hôm Ƅ ... tốn tính đơn điệu hàm số thông qua đồ thị hàm f - đơn điệu hàm hợp f [u(x)] Ɨ BÀI TỐN Xác định tính đơn điệu hàm số dựa vào đồ thị f (x) y • Đồ thị hàm số f (x) nằm phía Ox nên f (x) ≥ Do đó: Hàm. .. Phiếu tập rèn luyện số 18 Bài tốn tính đơn điệu hàm số thơng qua đồ thị hàm f - đơn điệu hàm hợp f [u(x)] 21 Phiếu tập số 28 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình,... hàm số y = B Hàm số nghịch biến tập R C Hàm số đồng biến (−∞; −1) (−1; +∞) D Hàm số nghịch biến R {−1} x−1 Mệnh đề sau đúng? x A Hàm số cho đồng biến (0; +∞) ɭ Câu Cho hàm số y = B Hàm số cho