Tài liệu gồm 10 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán viết phương trình mặt cầu, được phát triển dựa trên câu 33 đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b;c) bán kính R Tâm: I (a;b; c) Khi đó: (S ) : (S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R Bán kính: R Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: (S ) : x y z 2ax 2by 2cz d Với a b2 c d phương trình mặt cầu dạng Tâm I (a;b; c), bán kính: R a b c d BÀI TẬP MẪU Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm điểm I 0;0; 3 qua điểm M 4; 0;0 Phương trình S B x y z 2 D x y z 3 A x y z 3 25 C x y z 25 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình mặt cầu HƯỚNG GIẢI: Tâm: I (a;b; c ) B1: (S ) : (S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R Bán kính: R B2: R IM 2 3 5 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Theo ta có bán kính mặt cầu S R IM 0 2 3 Từ ta có phương trình mặt cầu S : x y z 25 Trang 355 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Bài tập tương tự phát triển: Câu 33.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2;3 qua giao điểm đường thẳng x t d : y t với mặt phẳng Oxy z t A ( x 1) ( y 2) ( z 3)2 27 B ( x 1)2 ( y 2) ( z 3)2 27 C ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 D ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxyz : z Gọi A d (Oxyz ) t 3 A(2;5; 0) Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA (3)2 32 (3)2 3 Phương trình mặt cầu S tâm I 1; 2;3 bán kính R 3 ( x 1)2 ( y 2)2 z 3 27 Câu 33.2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm điểm I 1;2; 3 tiếp xúc với trục Ox Phương trình S là: A x 1 y 2 z 3 13 B x 1 y 2 z 3 13 C x 1 y 2 z 3 13 D x 1 y 2 z 3 13 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Gọi A hình chiếu I lên trục Ox A(-1;0;0) Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA 02 (2)2 (3)2 13 Phương trình mặt cầu S tâm I 1;2; 3 bán kính R 13 ( x 1) ( y 2)2 z 3 13 Câu 33.3: Mặt cầu S tâm I 1; 2; 3 tiếp xúc với mặt phẳng P : x y z có phương trình: 2 A x 1 y z 2 B x 1 y z Trang 356 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 2 C x 1 y z 2 2 D x 1 y z 3 Lời giải Chọn B Bán kính mặt cầu : R d I , P 1 2.2 2.( 3) 2 2 2 Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 3) Câu 33.4: Mặt cầu S tâm I 2;1;5 tiếp xúc với mặt cầu S1 : ( x 1) y z có phương trình: ( x 2) ( y 1) ( z 5) 12 A 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) 48 ( x 2) ( y 1) ( z 5) B ( x 2) ( y 1) ( z 5) ( x 2) ( y 1)2 ( z 5) 12 C 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) 48 ( x 2) ( y 1) ( z 5) D 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) Lời giải Chọn A Từ S1 : ( x 1) y z Tâm I1 (1; 0; 0) bán kính r1 Do II1 27 r1 điểm I (2;1;5) nằm mặt cầu S1 : ( x 1) y z x 1 t Ta có pt đường thẳng II1 y t z 5t Gọi A II1 ( S1 ) A(1 t; t ; 5t ) Do A (S1 ) nên 5 A ; ; AI 1 2 2 t t 25t t t 5 A ; ; AI 3 3 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5) 12 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5)2 48 Câu 33.5: Mặt cầu S tâm I 1; 2; tiếp xúc với mặt phẳng S1 : ( x 1) y ( z 2) 27 có phương trình: 2 B x 1 y z 2 D x 1 y z A x 1 y z C x 1 y z 2 2 2 Trang 357 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C Từ S1 : ( x 1) y ( z 2) 27 Tâm I1 (1;0; 2) bán kính R1 3 Do II1 3 R1 điểm I 1; 2; nằm mặt cầu S1 S R S1 tiếp xúc R R1 II1 R 3 R Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 4)2 Câu 33.6: Mặt cầu S tâm I 1; 2;3 tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình: 2 B x 1 y z 3 14 2 D x 1 y z 14 A x 1 y z C x 1 y z 3 2 2 2 Lời giải ChọnC PT mp (Oyz) : x Bán kính mặt cầu : R d I , Oyz 1 (1) 02 02 1 Phương trình mặt cầu là: ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 Câu 33.7: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; , B 3;5;0 Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A ( x 2)2 ( y 4) ( z 1)2 B ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1)2 12 C ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1)2 12 D ( x 2) ( y 4) ( z 1) Lời giải Chọn A Trung điểm đoạn thẳng AB I 2; 4;1 , AB 22 2 (2) Mặt cầu đường kính AB có tâm I 2; 4;1 , bán kính R AB Vậy phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1) Trang 358 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 33.8: Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R=3 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) điểm M(1;2;0) A x y z x y z B x y z x y z C x y z x y z 11 D x y z x y z 11 Lời giải Chọn A Giả sử mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) điểm M(1;2;0) nên M hình chiếu I a; b; c lên mp (Oxy) suy I 2;1; c Ta có mp(Oxy) có pt z Ta có d ( I , (Oxy)) c c 3 Với c Mặt cầu I 2;1;3 , bán kính R có phương trình là: ( x 2)2 ( y 1) ( z 3) x y z x y z Với c 3 Mặt cầu I 2;1; 3 , bán kính R có phương trình là: ( x 2)2 ( y 1) ( z 3)2 x2 y z x y z Câu 33.9: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(1; 2;3), B(4; 6; 2) có tâm I thuộc trục Ox A ( S ) : ( x 7)2 y z B ( S ) : ( x 7)2 y z 36 C ( S ) : ( x 7)2 y z D ( S ) : ( x 7)2 y z 49 Lời giải Chọn D Vì I Ox nên gọi I ( x; 0; 0) Do ( S ) qua A ; B nên IA IB (1 x)2 (4 x)2 36 x Suy I (7;0; 0) R IA Do ( S ) : ( x 7)2 y z 49 Câu 33.10: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(2;0; 2), B(1;1; 2) có tâm I thuộc trục Oy A ( S ) : x y z y B ( S ) : x2 y z y C ( S ) : x y z y D ( S ) : x y z y Trang 359 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A Vì I Oy nên gọi I (0; y; 0) Do ( S ) qua A ; B nên IA IB ( y )2 (1 y) y 1 Suy I (0; 1; 0) R IA Do ( S ) : x y 1 z x y z y Câu 33.11: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(1; 2; 4), B(1; 3;1), C (2; 2;3) tâm I (Oxy ) A (x 2)2 (y 1)2 z 26 B (x 2)2 (y 1)2 z C (x 2)2 (y 1)2 z 26 D (x 2)2 (y 1)2 z Lời giải Chọn A IA IB Vì I (Oxy ) nên gọi I (x ; y; 0) Ta có: IA IC 2 2 2 (x 1) (y 2) (x 1) (y 3) (x 1)2 (y 2)2 42 (x 2)2 (y 2)2 32 10y 10 x 2 I (2;1; 0) R IA 26 2x 4 y (x 2)2 (y 1)2 z 26 Câu 33.12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M(2;1;1) ( x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 A 2 ( x 3) ( y 3) (z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 B 2 ( x 3) ( y 3) ( z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 C 2 ( x 3) ( y 3) ( z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 D 2 ( x 3) ( y 3) (z 3) Lời giải Chọn B Gỉa sử I a; b ; c tâm mặt cầu (S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M (2;1;1) Vì mặt cầu (S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M (2;1;1) có thành phần tọa độ dương nên a b c r Phương trình mặt cầu (S ) (x a)2 (y a)2 (z a)2 a Trang 360 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vì mặt cầu (S ) qua điểm M(2;1;1) nên (2 a)2 (1 a)2 (1 a )2 a 2a 8a a (S ) : ( x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 2 a (S) : ( x 3) ( y 3) ( z 3) Câu 33.13: Cho mặt cầu S có tâm I 1; 2; 4 thể tích 36 Phương trình S 2 B x 1 y 2 z 4 2 D x 1 y 2 z 4 A x 1 y 2 z 4 C x 1 y 2 z 4 2 2 2 Lời giải Chọn A 4 Ta có: V R3 R 36 R 3 Tâm: I (1; 2; 4) Khi S : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z 4 Câu 33.14: Cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 diện tích 32 Phương trình S 2 B x 1 y 2 z 3 16 2 D x 1 y 2 z 3 A x 1 y 2 z 3 16 C x 1 y 2 z 3 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: S 4 R 4 R2 32 R Tâm: I 1; 2;3 Khi S : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z 3 Câu 33.15: Cho mặt cầu S có tâm I (1; 2;0) Một mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường trịn C Biết diện tích lớn C 3 Phương trình S 2 A x y 2 z 2 B x 1 y 2 z Trang 361 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 2 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C x 1 y 2 z 1 2 D x 1 y 2 z Lời giải Chọn B Nhận xét : Mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường tròn C diện tích C lớn ( P) qua tâm I ( S ) Ta có: S R2 3 R Tâm: I 1; 2; Khi ( S ) : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z Câu 33.16: Cho mặt cầu S có tâm I 1;1;1 Một mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường tròn C Biết chu vi lớn C 2 Phương trình S 2 B x 1 y 1 z 1 2 2 D x 1 y 1 z 1 A x 1 y 1 z 1 C x 1 y 1 z 1 2 2 2 Lời giải Chọn D Đường tròn C đạt chu vi lớn C qua tâm I mặt cầu S Ta có: C 2 R 2 R Tâm: I 1;1;1 Khi ( S ) : Bán kính: R 2 2 S : x 1 y 1 z 1 Câu 33.17: Cho I 1; 2;3 Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB Trang 362 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 A ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16 2 B ( x 1) ( y 2) ( z 3) 20 2 C ( x 1) ( y 2) ( z 3) 25 2 D ( x 1) ( y 2) ( z 3) Lời giải Chọn A Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox M (1;0;0) M trung điểm AB Ta có: IM 2 1 1 13, AM AB IMA vuông M IA IM AM 13 R 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y z 3 16 Câu 33.18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Viết phương trình mặt cầu qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; có tâm nằm mặt phẳng Oxy A (x 6)2 (y 1)2 z 29 B (x 6)2 (y 1)2 z 29 C (x 6)2 (y 1)2 z 29 D (x 6)2 (y 1)2 z 29 Lời giải Chọn A Giả sử I a; b ;0 (Oxy) r tâm bán kính mặt cầu (S ) qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; Phương trình mặt cầu (S ) (x a)2 (y b)2 z r Vì mặt cầu ñi qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; nên (2 a ) (3 b) (3) r 10b 10 b 2 2 a (2 a ) ( 2 b ) r 2a 12 (3 a ) (3 b) 42 r (3 a) (3 b) r r 29 Vậy phương trình mặt cầu (S ) (x 6)2 (y 1)2 z 29 Câu 33.19: Trong không gian O xyz cho điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 , D 1; 0; Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2 A x y 1 z 26 2 B x y 1 z 26 Trang 363 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 C x y 1 z 26 D x y 1 z 26 Lời giải Chọn A Giả sử S : x y z 2ax 2by 2cz d a b c d phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Thay tọa độ A, B, C , D vào phương trình ta 12 2 2a 4b 8c d a 2 2 2 1 2a 6b 2c d b 2 4a 4b 6c d c 2 1 2a 8c d d 21 Do đó: I 2;1; bán kính R a b c d 26 2 Vậy (S) : x y 1 z 26 Câu 33.20: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I 1; 0;3 cắt d : x y z 1 hai 2 điểm A, B cho tam giác IAB vuông I 2 2 A x 1 y z 3 C x 1 y z 3 40 B x 1 y z 3 10 D x 1 y z 2 2 40 10 Lời giải Chọn A Đường thẳng d có vectơ phương u 2;1; P 1; 1;1 d u , IP 20 Ta có: IP 0; 1; 2 u , IP 0; 4;2 Suy ra: d I ; d u IAB vuông I IAB vuông cân I IA 2d I , d 2 Vậy (S) : x 1 y z 3 40 40 Trang 364 ... kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5) 12 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5)2 48 Câu 33.5: Mặt cầu. .. kính mặt cầu : R d I , P 1 2.2 2.( 3) 2 2 2 Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 3) Câu 33.4: Mặt cầu S tâm I 2;1;5 tiếp xúc với mặt cầu ... điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA 02 (2)2 (3)2 13 Phương trình mặt cầu S tâm I 1;2; 3 bán kính R 13 ( x 1) ( y 2)2 z 3 13 Câu 33.3: Mặt cầu S