SKKN tỉ số thể tích trong hình học không gian

Sáng ki ến kinh nghiệm : T ỉ số t h ể tích trong hình học không gian

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học được nhiều họcsinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học không gian thì lại mangnhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt là hình học không giantổng hợp Đây cũng là phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học – Caođẳng những năm gần đây, vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, cókhả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng của hình họckhông gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện Nhằm giúp học sinh vượt quakhó khăn, trở ngại đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi có chút kinhnghiệm giảng dạy các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thểtích mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môntoán

Năm học 2014-2015 đã đến , với mong muốn có thể cung cấp cho các em họcsinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu vàviết đề tài: “T ỉ số t h ể tích trong hình học không gian ”.

2 MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Cung cấp cho học sinh một số phương pháp ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khả năng phân tích tổng hợp, tư duy cao…

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Khách thể nghiên cứu: học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung.

- Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện

- Phạm vi nghiên cứu: các bài toán tính thể tích khối đa diện có ứng dụng của tỉ số thể tích

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu sử dụng ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện có nâng cao chất lượng học sinh

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tóm tắt một số nội dung quan trọng liên quan đến dạng toán tính thể tích khối đa diện.

- Nghiên cứu ứng dụng của tỉ số thể tích

- Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện bằng ứng dụng tỉ số thể tích6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài

Sáng ki ến kinh nghiệm : T ỉ số t h ể tích trong hình học không gian

8 CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

Gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo Nội dung có 3 chương:

- Chương I: Cơ sở lý thuyết- Chương II: Các dạng toán

- Chương III: Thực nghiệm sư phạm

II.PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết

Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó

GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang TrungTrang 3

Sáng ki ến kinh nghiệm : T ỉ số t h ể tích trong hình học không gian

thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V  B.h ,Khối chóp V  1 B.h , Khối hộp chữ nhật V  abc , …) rồi cộng các kết quả lại.

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ vàkhối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường caohay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tínhthể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ

toán1 : (Bài4 sgk HH12CB trang25)

Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểmA’,B’,C’ khác S

CMR: S.A ' B ' C 'S.ABC

Giải:

C'B'

V A ‘ ABC  1  SA ‘  A ‘ A

A ' A A A 1 1S.A A A1

CHƯƠNG II: Các dạng toán

Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tíchcủa các khối đa diện và một số ứng dụng của nó

Ví dụ1 :

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ số thể tích của hai khối chópS.ICM và S.ABCD S

Vậy ISCM V  M

S ABCD 12 IVí dụ2 : B

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD làhình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’)

Gi ả i :

Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao

CS

Ta có B C

S A B ' C '  SB '

SC '  1 SC '

S A C ' D '  SC '

SD '  1 SC '

VS

SB SC2 SC VS ACDSC SD2 SCV 

(V V )  1 SC ' .V

Suy ra S AB '

C 'S AC ' D '2 SCS ABC S ACD S ABCD2 SC

Kẻ OO’//AC’ ( O '  SC ) Do tính chất các đương thẳng song song cách đềunên ta có SC’ = C’O’ = O’C

Do đó VS A ' B ' C '

D '

 1 1 .V

2 3 S

Hay VS A' B ' C ' D ' 1

VS ABCD 6* Bài t ậ p tham k h ả o :

Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trựctâm H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA vàM, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khốichóp H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 ,

AB  BC  a, AD  2a, SA  (ABCD)

và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

VS BCNM VS BCM  VS.CNM

1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V  1 B.h

gặp nhiềukhó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNMvề tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều

2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN

Ví dụ2 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.

Giải:Ta có

VCMNP

 C N

C P 1

VCMNP

 1 

a3 3

BCD  1 a 3 1 a2  a3

3 2 2 12Vậy: V  CMNP (đvtt)

dụ3 : DCho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều

cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần 2a Nlượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng

DB và DC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a

Giải : A M a CTa có VDAMN  DM

DN a a

VDABCDB DC

AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam B

Bgiác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có

DC 5

4 4

DB 5

16 9Do đó VD.AMN = .VD.ABC =

5 5 25.VD.ABC Suy ra VA.BCMN = VD.ABC25

sau đâyb '  b c b

( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) c' b'

H CVí

dụ4 :

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2

SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giaođiểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.

a 2a a3 2Mà V  .SA.

 (đvtt)

72 A B

thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.4

Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Gi ả i :

Từ giả thiết ta tính được AH  a 2 , SH  a 14 , CH  3a 2 , SC

VVS ABCSA 2 S MBC 2 S ABC

2 : Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông gócvới đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB vàSD Mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a

16a3ĐS: VS A ' B ' C ' D ' 

3 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng Gọi M,P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N Tính theo a thể tíchkhối chóp S.DMNP

ĐS: VS DMNP

a3 236Bài

4 : (ĐH khối B – 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặtphẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thểtích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

3a3 3 7a

ĐS: VABC A' B 'C '  và R 

8 12

DẠNG 3 : ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH

Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xácđịnh chân đường cao Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách

thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ

6 4 IMặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 5

Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD

dụ2 :

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  900 , AD = 2a,BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếuvuông góc của A lên SB CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từH đến mp(SCD)

Gi ả i : Ta có

VS HCD

 SHVS BCD SB

SAB vuông tại A và AH là đường cao nên H

CD.SC  1.a

2.2a  a2 2 Vậy d (H , (SCD))  3a 2  a

SCD

Ví dụ3 :

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đườngthẳng AM và B’C

Gi ả i :

a 2a 3 2 A'

 VC AEM  V  2 EACB 2 3 2 2 24

2 2 2 6 8

3a3 2 a 7

Vậy: d (C, ( AME))  

24 a 14 78

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyếnnên AH = 1 BC = a.

2 AHA ' vuông tại H nên ta có

B C

A ' H 

A ABC

3 2 2 A

ABC A ' B ' C '

2 a 3

 .3  a33 2

14 14* Bài t ậ p t ươ ng tự:

Bài 1 :

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM vàA’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)

ĐS: d ( A, (IBC ))  2 a 5

2 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm Mthuộc AD sao cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)

ĐS: Bài 3 :

d ( A, ( AB 'C ))  a

Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC),

cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = bABC  900

Tính khoảngĐS: d ( A, (BCD))  ab

a2  b2Bài

4 :

Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện

Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện

h  h  h  h  3V ABC D

 a 2

ĐS: 1 2 3 4

SACB 3

Bài 5 :

Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 lầnlượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện.Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đốidiện của tứ diện CMR: r1  r2  r3  r4  1

h1 h2 h3 h4

Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theocông thức S   1 ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy.

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đagiác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn Khiđó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện Sau đây làmột số ví dụ minh hoạ

Ví dụ1 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biếtrằng ( AMN )  (SBC )

Giải: S

Gọi K là trung điểm của BC và I là trungđiểm của MN Ta có VS AMN  SM

SN 1

là trọng tâm của tam giác ABC)

Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nênAK = AS = a 3  SO  SA2  OA2  a 1 5

2 6

1 a 15 a2 3 a2 10Và SI = 1 SK  a

2 Vậy S 

.  (đvdt)2 4 AMN4 6a 2 4

* Bài t ậ p tham k h ả o :

Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC là tam giác vuông tại B cóAB = a, BC = b, AA’ = c (c2  a2 

b2 ) Một mặt phẳng ( )qua A và vuông gócvới CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện.

a) Xác định thiết diện đó

b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)

ab a2  b2

 c2ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN 

2 : Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc

BAC  CAD  DAB  900 Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)a) Chứng minh rằng: 1  1

 1  1

AH 2 x2 y 2 z 2

b) Tính diện tích tam giác BCD

ĐS:SBCD  1 2 2 2 2 2 22 x y  y z  z x

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

- Đánh giá tính khả thi của đề tài

- Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết quả của lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng để đánh giá giả thuyết khoa học của đề tài2 Nhiệm vụ của thực nghiệm

- Chọn lớp đối chứng và lớp thực nghiệm- Tổ chức triển khai nội dung

- Xử lý, phân tích kết quả từ đó rút ra kết luận3 Đối tượng thực nghiệm

Tiến hành dạy phần nội dung đã trình bày trên đối tượng là học sinh2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk Hailớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồngnhau về ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc…

4 Phương pháp thực nghiệm

- Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm vẫntuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khóa biểu để đảmbảo tính khách quan (bao gồm chính khóa và phụ đạo).

- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1 - Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2

- Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữađiểm số trung bình của 2 nhóm trước và sau khi tác động:

5 Kết quả thực nghiệm

Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng Lấy kếtquả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động Giáo viênsử dụng kết quả của bài kiểm tra này kết hợp nghiên cứu sử dụng phươngpháp kiểm chứng T- test độc lập ở bài kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05).Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của cả hai nhóm và còn suy ra độchênh lệch điểm trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng trước tácđộng là không có ý nghĩa Từ đó, có thể kết luận kết quả học tập của hai lớptrước tác động là tương đương nhau Sau đó giáo viên lấy kết quả bài kiểm trachung tiếp theo làm bài kiểm tra sau tác động.

Bảng: Giới tính và thành phần dân tộc và học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 của

trường THPT Quang Trung

- Các em đều là những học sinh cuối cấp bậc trung học phổ thông nên xét trình độ làtương đương.

- Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương.

Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

Đối chứng 12A1 Thực nghiệm 12A2

Nhóm Kiểm tratrước tác động

sau tác độngLớp 12A1

Có ứng dụng tỉ số thể tích đểtính thể tích khối đa diện trongdạy học

Lớp 12A2

Không ứng dụng tỉ số thể tích đểtính thể tích khối đa diện trongdạy học

Sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập.

Bảng 3: Tổng hợp kết quả chấm bài.Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng (12A2)

Biểu đồ so sánh kết quả trung bình giữa hai lớp trước và sau tác động.

Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 3) trước tácđộng là hoàn toàn tương đương Sau khi có sự tác động dạy phần tính thể tích khốiđa diện có ứng dụng tỉ số thể tích cho kết quả hoàn toàn khả quan (cột 2 và cột 4).Bằng phép kiểm chứng T- test để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình cho kếtquả p = 0,0001 <0,05 cho thấy độ chênh lệch điểm trung bình giữa hai nhóm là có ýnghĩa Điều này minh chứng là điểm trung bình lớp thực nghiệm cao hơn lớp đốichứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động.

Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD): SMD = 0,91 nên mức độ ảnh hưởng củatác động khi sử dụng đề tài trong dạy học làm tăng kết quả học tập môn Toán chohọc sinh lớp 12A1 trường THPT quang trung.

Bảng 4 Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình,

khá, giỏi kết quả của lớp thực nghiệm 12A1

0% 30.00% 45.00% 17.50% 7.50% 100%