bai 6 . Phương trình mũ và lôgarít

TRƯỜNG THPT KONTUM BÀI GIẢNG GiẢI TÍCH 12 GiẢI TÍCH 12 Nâng cao GIÁO VIÊN: NGUYỄN HỮU ĐÔN ● Tính các giá trị cho trong bảng sau: x -2 0 1 2 2 x x 1 2 4 log 2 x 1 2 2 1 4 2 1 2 4 1 2 2 -1 0 1 ● Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất) x a ● Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất). log a x 1 2 I. Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit: 2. Chú ý: y = logx (hoÆc lgx) : hµm sè l«garit c¬ sè 10 y = lnx : hµm sè l«garit c¬ sè e y = e x : cßn kÝ hiÖu lµ y = exp(x) 3. Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: 7 log (1 )y x = − Giải: Hàm số xác định 7 log (1 )y x = − 1 0 1 x x ⇔ − > ⇔ < Vậy: TXĐ D = ( ;1) −∞ 1. Định nghĩa: Giả sử a là một số dương và khác 1 Hàm số dạng được gọi là hàm số mũ cơ số a. Hàm số dạng được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. x y a = log a y x = 3 ) 5 x a y = ) 4 x b y − = ) x c y π = ( ) 3 )d y x = 3 ) logf y x = 1 4 ) logg y x = ) log 5 x h y = ) log (2 1) x j y x = + Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số : e) y = x x . i) y = lnx Hàm số mũ cơ số a = 3 5 Hàm số mũ cơ số a = 1/4 Hàm số mũ cơ số a = π Không phải hàm số mũ Không phải hàm số mũ Hàm số lôgarit cơ số a = 3 Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4 Không phải hàm số lôgarit Hàm số lôgarit cơ số a = e Không phải h số lôgarit II. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit: 0 0 0 0 * 0 0 , lim , , lim log log x x x x a a x x x a a x x x → + → ∀ ∈ = ∀ ∈ = ¡ ¡ ● Ví dụ: Tìm các giới hạn: 1 2 8 0 sin lim , limlog , limlog x x x x x e x x →+∞ → → Giải: 1 0 lim 1 x x e e →+∞ = = 2 2 8 limlog log 8 3 x x → = = 0 0 sin sin lim 1 ên limlog log1 0 x x x x Do n x x → → = = = ► Định lí 1: 0 0 ln(1 ) lim 1 1 lim 1 x x x x x e x → → + = − = ● Ví dụ: Tìm các giới hạn: 3 2 2 0 0 ln(1 3 ) ) lim ; ) lim x x x e e x a b x x + → → − + Giải: 3 2 2 3 2 2 2 3 0 0 0 3 2 2 0 . ( 1) ) lim lim lim ( 1) 3 lim 3 3 x x x x x x x x e e e e e e e a x x x e e e x + → → → → − − − = = − = = 0 0 ln(1 3 ) ln(1 3 ) ) lim 3lim 3 3 x x x x b x x → → + + = = Vậy : (e x )’ = e x . 0 0 0 ( 1) ( 1) lim lim lim x x x x x x x x y e e e e e x x x ∆ ∆ ∆ → ∆ → ∆ → ∆ − − = = = ∆ ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) ( 1) x x x x x y f x x f x e e e e +∆ ∆ ∆ = +∆ − = − = − Cho x số gia ∆x ln ln ( )' ( )' ( .ln )' .ln x x a x a x a e e x a a a = = = Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e, ta được: a= e lna a x = e (lna)x = e x.lna . Do đó theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta có: ⇒ Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số ( ) x y f x e = = III. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit: 1. Đạo hàm của hàm số mũ: ► Định lí 2: a) Hàm số y = a x có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và (a x )’ = a x .lna Đặc biệt : (e x )’ = e x b) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = a u(x) có đạo hàm trên J và (a u(x) )’ = u’(x).a u(x) .lna Đặc biệt : (e u(x) )’ = u’(x).e u(x) ● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau: 2 3 ) ( 2 ) ) sin ) 2 ( 2) x x x a y x x e b y e x c y x = + = = + y’= (2x + 2)e x + (x 2 + 2x).e x y’ = (x 2 + 4x + 2).e x ( ) ' '. .sin . s 1 ' sin cos 2 = +   = +  ÷   x x x y x e x e co x y e x x x 3 2 3 2 ' 2 ln 2.( 2) 2 .3 ' 2 [ln 2.( 2) 3 ] = + + = + + x x x y x x y x x GIẢI : ) sin x b y e x = 2 ) ( 2 ) x a y x x e= + 3 ) 2 ( 2) x c y x= + x x x x x xx x x x y xxx 1 1ln lim 1 1ln limlim 000 = ∆       ∆ + = ∆       ∆ + = ∆ ∆ →∆→∆→∆ Do ñoù : Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số từ đó suy ra đạo hàm của hàm số ( ) lny f x x = = log a y x = ( ) ( ) ln( ) ln ln ln 1 y f x x f x x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − + ∆ ∆   = = +  ÷   Cho x > 0 số gia ∆x 1 (ln )'x x = Áp dụng công thức đổi cơ số từ cơ số a về cơ số e . Ta có ' ln 1 1 (log )' (ln )' ln ln ln a x x x a a x a   = = =  ÷   [...] .. . a) Hàm số y =logax có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và 1 ( log a x ) ' = x.ln a 1 , ( ln x ) ' = x b) Nếu hàm số u(x) nhận giá trò dương và có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = logau(x) có đạo hàm trên J và u '( x) ( log a u ( x) ) ' = u ( x).ln a u '( x) ( ln u ( x) ) ' = u ( x) ● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1) y = (x2 + 1).lnx Giải: 1) y = (x2 + 1).lnx 1 y ' = 2 x ln x + ( x + 1) x 2 2) y = ln(x 2.. . có: Suy ra : 1 ( ln x ) ' = x với mọi x ≠ 0 ► Hệ quả: a) 1 ( ln x ) ' = x vơi mọi x ≠ 0 b) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên tập J thì u '( x) ( ln u ( x) ) ' = u ( x) với mọi x ∈ J IV Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lơgarit: ( 1 1 Hàm số mũ: y = a x 0 a>1 0 . nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số : e) y = x x . i) y = lnx Hàm số mũ cơ số a = 3 5 Hàm số mũ cơ số a = 1/4 Hàm số mũ cơ số a = π. III. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit: 1. Đạo hàm của hàm số mũ: ► Định lí 2: a) Hàm số y = a x có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và (a x )’ = a x .lna