bai 6 . Phương trình mũ và lôgarít

● Tính các giá trị cho trong bảng sau:2 ● Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định được một giá trị duy nhấtax ● Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị d

● Tính các giá trị cho trong bảng sau:

2

● Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất)ax

● Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất) loga x

1 2

I Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit:

1 Định nghĩa: Giả sử a là một số dương và khác 1

Hàm số dạng được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Hàm số dạng được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

3) 5

Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ,

hàm số lôgarit Khi đó cho biết cơ số :

e) y = xx

i) y = lnx

Hàm số mũ cơ số a = 3 5

Hàm số mũ cơ số a = 1/4 Hàm số mũ cơ số a = 

Không phải hàm số mũ

Không phải hàm số mũ

Hàm số lôgarit cơ số a = 3 Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4

Không phải hàm số lôgarit

Hàm số lôgarit cơ số a = e

Không phải h số lôgarit

II Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit:

0 0

Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e, ta được:

a= elna ax = e(lna)x = ex.lna

Do đó theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta có:



Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số y f x e ( )  x

III Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit:

y = au(x) có đạo hàm trên J và

(a u(x) )’ = u’(x).a u(x) lna

Đặc biệt :

(e u(x) )’ = u’(x).e u(x)

● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

y’= (2x + 2)ex + (x2 + 2x).ex

x x

x x

x x

x x

x x

y

x x

x

1

1

lnlim1

1

lnlim

lim

0 0

Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số

từ đó suy ra đạo hàm của hàm số

2 Đạo hàm của hàm số lơgarit:

► Định lí 3:

b) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên

sin 2

(

cos 2

ln ).

sin 2

(

)' sin 2

( '

x

x x

x y

IV Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit:

1

H a

m

s ô

́

( 0

<

a

≠

1 )

a > 1 0 < a < 1

+ TXĐ: D = R , TGT: (0; +∞)

+ y’ =

+ Hàm số đồng biến trên R

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox,

qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm phía

trên trục hoành.

+BBT:

+Đồ thị:

+ TXĐ: D = R , TGT: (0; +∞) + y’ =

+ Hàm số nghịch biến trên R

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm phía trên trục hoành.

x O

1

a 1 y

x O

x

1 Hàm số mũ:y a  x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1

1 2 3 4 5 6

a > 1 0 < a < 1

+ TXĐ: D = (0; +∞) , TGT: R

+ y’ =

+ Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

+ Đồ thị có tiệm cận đứng là trục Oy,

qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm ở bên

phải trục tung.

+BBT:

+ Đồ thị:

+TXĐ: D = (0; +∞) , TGT: R + y’ =

+Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

+ Đồ thị có tiệm cận đứng là trục Oy, qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm ở bên phải trục tung.

-1 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1

1 2 3

x y

- Đồ thị có tiệm cận đứng là trục Oy,

đi qua các điểm (1; 0), (3; 1) và nằm

ở bên phải trục tung

-1 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1

1 2 3

► Nhận xét:

Đồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit y=logax đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x

-2 -1

1 2 3 4

x

y=log3x

y = x

1 log

log

Câu 2 : Hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó ?

y = 2 x

-B

A

C

D

2 1( ) '

(a)

(b)

Câu 3 : Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến.

(a) y = x2 +1 (b) y = log3x (c) y =log0.5(x+1) (d) y = (0,9)x

Câu 4 : Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến.

(a) y = x2 +1 (b) y = log3x (c) y =log0.5(x+1) (d) y = ex

(b)

(c)

1) log

x x

● Làm bài tập : từ bài 47 đến bài 56 SGK trang 112, 113

● Bài tập làm thêm :

CMR : x2.y” – x.y’ + 2y = 0

a) y = ln( - x2 + 5x – 6)