SKKN BGHSG toan 9

Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn I. đặt vấn đề Hiền tài là nguyên khí Quốc gia, nguyên khí vợng thì Quốc gia vợng. . Đánh giá sự phát triển của một Quốc gia trớc hết là đánh giá sự phát triển của ngành giáo dục của Quốc gia đó. Bất kỳ một Quốc gia nào có nền giáo dục hiện đại, phát triển đều có sự tăng trởng kinh tế vững mạnh. Vì vậy phát triển giáo dục và đào tạo là một trong những động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá,là điều kiện để phát huy nguồn lực con ngời, là yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, và tăng trởng kinh tế bền vững. Những năm gần đây nền GD Việt Nam đã và đang chuyển mình theo su thế phát triển của nền GD thế giới, đó là cuộc cánh mạng đổi mới chơng trình, nội dung sách giáo khoa và đổi mới phơng pháp giảng dạy trong các cấp học: Tiểu học, THCS, THPT. Gần đây nhất một cuộc cánh mạng mới đang bừng sáng trong lĩnh vực giáo dục đó là cuộc vận động hai không : Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục của Bộ Trởng bộ GD-ĐT Nguyễn Thiện Nhân. Tất cả những sự thay đổi đó đều nhằm mục đích phục vụ cho sự phát triển bền vững của đất nớc, để góp phần vào sự phát triển của nền giáo dục Việt Nam. Mỗi thày cô giáo là một yếu tố không thể thiếu, bằng lơng tâm, khối óc và trách nhiệm trớc sự trờng tồn của cả một dân tộc cần phải phấn đấu hết sức mình, cống hiến hết sức lực và trí tuệ của mình nhằm dìu dắt thế hệ trẻ Việt Nam vững bớc xây dựng thiên niên kỷ mới với một hành trang tri thức vững vàng. Trong nội dung sáng kiến này tôi chỉ xin đề cập đến một phần rất nhỏ của hành trang tri thức ấy đó là: Biện pháp duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 ở trờng THCS . II. Nội dung A. Cơ sở khoa học. 1. Cơ sở lý luận: Bồi dờng học sinh giỏi là một hoạt động không thể thiếu của ngành GD nói chung và của các trờng THCS nói riêng. Đánh giá chất lợng một ngành học ngoài việc nhìn vào chất lợng đại trà thì chất lợng mũi nhọn cũng góp phần không nhỏ Làm thế nào để vừa duy trì chất lợng GD toàn diện vừa làm tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi. Đòi hỏi ngời thay phải đổi mới phơng pháp dạy và trò phải đổi mới phơng pháp học phù hợp với su thế phát triển chung của nền GD thế giới. Nếu chỉ trang bị cho HS các kiến thức đơn thuần sách giáo khoa thì tầm nhìn học sinh bị hạn chế. Nếu nền tảng kiến thức từ cấp THCS của học sinh không vững, không sâu, khả năng t duy kém phát triển thì thế hệ trẻ Việt Nam thì sẽ khó bắt nhịp đợc với tốc độ phát triển đến chóng mặt của khu vực và thế giới. Vì vậy việc giáo dục toàn diện cũng nh bồi dỡng HSG ở trờng THCS là việc làm không thể thiếu, là điều kiện giúp các em thực hiện đợc lời dặn dò đau đáu của Bác Hồ vị cha già kính yêu lúc sinh thời đã dạy: Non sông Việ Nam có trở nên tơi đẹp hay không dân tộc Việt nam có bớc tới đài vinh quang để sánh vai với các cờng quốc năm châu hay không chính là nhờ 1 phần lớn ở công học tập của các em . Trang 1 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn 2. Cơ sở thực tiễn: Hệ thống bài toán THCS rất đa dạng phong phú. Nếu không có phơng pháp học tập tốt thì học sinh khó nắm bắt đợc t duy thuật giải cho mỗi dạng bài tập. Để trở thành một học sinh giỏi bộ môn toán việc tìm tòi phân dạng bài tập theo từng chuyên đề rất cần thiết. Có nh vậy các em mới tự mình rèn luyện kỹ năng giải toán, biến kỹ năng thành kỹ sảo và xây dựng cho mình khả năng t duy độc lập, sáng tạo, tự tìm kiếm kho tàng kiến thức để chiếm lĩnh. Với chút kinh nghiệm trong một số năm làm công tác bồi dỡng HSG ở trờng THCS Chi Nê huyện Lạc Thuỷ tỉnh Hoà Bình, tôi nhận thấy ngoài ch- ơng trình chính khoá SGK và sách bài tập đã cung cấp thì để bồi dỡng đợc HSG môn toán 9. Giáo viên có thể định hớng cho học sinh tìm hiểu sâu hơn một số chuyên đề đối với cả 3 bộ môn: Số học, Đại số, Hình học nh sau: 2.1. Đối với môn số học cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Số nguyên tố, hợp số, số chính phơng chia hết trong tập số nguyên và phơng trình nghiệm nguyên. 2.2. Đối với môn đại số cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Hằng đẳng thức và 1 số phép biến đổi hằng đẳng thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng. - Bất đẳng thức, bất phơng trình và ứng dụng. - Phơng trình, hệ phơng trình. - Tính giá trị biểu thức có điều kiện. - Bài tập cực trị đại số ( có điều kiện hoặc không có điều kiện). 2.3. Đối với môn hình học cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề: - Định lý Talét trong tam giác và ứng dụng. - Các dạng của tứ giác, tứ giác nội tiếp. - Bài tập cực trị độ dài, diện tích. - Bài tập quỹ tích. B. Nội dung cụ thể: Để khai thác đợc các bất đẳng thức trong quá trình bồi dỡng HSG giáo viên cần giới thiệu để học sinh nắm chắc và hiểu rõ cơ sở lí thuyết về bất đẳng thức. 1 . Cơ sở lí thuyết I.1 Định nghĩa cho bất đẳng thức: Cho 2 số a, b. ta có: - a lớn hơn b ( a > b ) nếu a-b > 0 - a nhỏ hơn b ( a < b ) nếu a-b < 0 - a lớn hơn hoặc bằng b ( a b ) nếu a -b 0 - a nhỏ hơn hoặc bằng b ( a b ) nếu a-b 0 1.2 Các tính chất của bất đẳng thức: Trang 2 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn 1.2.1 a > b <=> b < a 1.2.7 bcac b ca >= > > > 0 1.2.2 ca cb ba >= > > > 1.2.8 bdac dc ba >= > > > 0 0 1.2.3 a > b => a + c > b + c 1.2.9 a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n ( n lẻ) 1.2.4 dbca dc ba +>+= > > > a > b <=> a n > b n ( n chẵn) 1.2.5 dbca dc ba >= > < > 1.2.10. m > n > 0 thì a > 1 => a m > a n a = 1 => a m = a n 0 < a < 1 => a m > a n 1.2.6 ba ab ba 11 0 <= > > > 1.3 Các hằng bất đẳng thức. 1.3.1 a 2 0: - a 2 0 a 1.3.2 0 a dấu = xảy ra : a = 0 1.3.3 - aaa dấu = xảy ra : a = 0 1.3.4 baba ++ dấu = xảy ra : ab 0 1.3.5 baba dấu = xảy ra : ab 0 và ba 1.4 Một số bất đẳng thức thờng sử dụng 1.4.1 Bất đẳng thức côsi. a + b ab2 (với a 0 ; b 0 ) dấu = xảy ra: a = b. * Hệ quả 1: baba + + 411 ( ab > 0) * Hệ quả 2: b a + a b 2 ( ab > 0) 1.4.2 Bất đẳng thức Bunhia Cốpxki. Trang 3 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn ( ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) dấu = xảy ra: ay = bx. 1.5 Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Có rất nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức lựa chọn phơng pháp nào là tuỳ thuộc vào tính chất, yêu cầu của mỗi bài tập và căn cứ vào kĩ năng nhận biết của học sinh. Để tạo điều kiện cho học sinh tiếp thu tốt, luyện các kĩ năng toán và các thao tác trí tuệ tôi đã hớng dẫn học sinh nghiên cứu 7 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.5.1 Dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức. - Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0 1/ Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức ( ax + by) 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( với a, b, x, y R ) Xét hiệu: ( ax + by) 2 - (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) = (ax) 2 + 2axby + (by) 2 - (ax) 2 - (ay) 2 - (bx) 2 - (by) 2 = - [ (ay) 2 - 2axby + (bx) 2 ] = - (ay - bx) 2 0 Dấu = xảy ra : ay = bx. Vậy: ( ax + by) 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( với a, b, x, y R ) Dấu = xảy ra ay = bx (điều phải chứng minh) 1.5.2. Dùng phép biến đổi tơng đơng. Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a/ baba ++ (1) 2 ba + 2 )( ba + ( vì 2 vế không âm nên bình phơng 2 vế) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2 ab + b 2 ab ab (2) Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) luôn đúng. Vậy baba ++ , dấu = xảy ra : ab 0 . b/ Chứng minh bất đẳng thức: baba (3) Nếu a < b bất đẳng thức (3) luôn đúng. Nếu a b thì baba a 2 - 2ab + b 2 a 2 - 2 ab + b 2 -ab ababab (4) Bất đẳng thức (4) luôn đúng nên bất đẳng thức (3) đúng. Vậy: baba dấu = xảy ra: ab ba ,0 1.5. Sử dụng tính chất của bất đẳng thức. Ví dụ: cho a + b > 1 chứng minh rằng a 4 + b 4 > 8 1 Ta có: a + b > 1 > 0 (a + b) 2 > 1 (bình phơng 2 vế không âm) a 2 + 2ab + b 2 > 1 (1) Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 - 2ab + b 2 0 (2) Từ (1)(2): 2(a 2 + b 2 ) > 1 a 2 + b 2 > 2 1 (3) Trang 4 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn (a 2 + b 2 ) > 4 1 (bình phơng 2 vế (3)) a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 > 4 1 (4) Mà (a 2 - b 2 ) 2 0 a 4 - 2a 2 b 2 + b 4 0 (5) Từ (4)(5): 2(a 4 + b 4 ) > 4 1 a 4 + b 4 > 8 1 Vậy: a + b > 1 => a 4 + b 4 > 8 1 (*) I.5.4 Phơng pháp làm trội: muốn chứng minh A < B làm trội A thành C ( A < C) rồi chứng minh C < B. Ví dụ: Cho a, b, c > 0. M = ac c cb b ca a + + + + + Chứng minh: 1 < M < 2 Vì a, b, c > 0. Ta có: +++ +++ +++ cba c ca c cba b cb b cba a ba a ac c cb b ca a + + + + + > cba cba ++ ++ = 1 Vậy M > 1. (1) Ta có: a, b, c > 0 ba a + < 1 cba ca c c ba a ++ + + Tơng tự: cba ab cb b ++ + + cba bc ac c ++ + + Cộng vế với vế ta có: ac c cb b ca a + + + + + < cba cba ++ ++ )(2 Vậy M < 2. (2) Từ (1), (2): 1 < M < 2 (với a, b, c > 0) 1.5.5 Dùng Phơng pháp phản chứng: Ví dụ: Cho a 2 + b 2 2 Chứng minh rằng a + b 2 Giả sử: a + b > 2 (bình phơng 2 vế) (a + b) 2 > 4 a 2 + 2ab + b 2 > 4 (1) Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 - 2ab + b 2 0 a 2 + b 2 2ab => 2(a 2 + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + b 2 2 (giả thiết) => 2(a 2 + b 2 ) 4 Trang 5 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn => a 2 + 2ab + b 2 4` (2) Bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn => giả sử sai. Vậy a 2 + b 2 2 thì a + b 2 1.5.6 Phơng pháp quy nạp toán học: Ví dụ: Chứng minh rằng với x > -1 thì (1 + x) n 1 + nx (với n Z, n > 0) * Với n = l ta có: 1 + x l + x * Giả sử đúng với n = k (k nguyên dơng) (l + x) k l + kx (1) * PhảI chứng minh đúng với n = k + l. (l + x) k+1 l + (k + 1)x Thật vậy: (1+x) >0 (gt) (1 + x)(l + x) k ( l +kx)(1 + x) ( nhân 2 vế với (1)) (l + x) k 1 + x(k + l) + kx 2 Vì kx 2 0 => l + (k + l)k + kx 2 l + (k + l)x => (1 + x) k+l l + (k + l)x Dấu = xảy ra: x = 0 1.5.7 Dùng phơng pháp hình học Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2222 )(( cbca ++ ) + ))(( 2222 dbda ++ (a + b) (c + d ), trong đó a, b, c, d là các số thực dơng. Giải: Xét tứ giác ABCD có AC BD, O là giao điểm hai đờng chéo, OA = a, OB = b, OC = c, OD = d với a, b, c, d là các số dơng Theo định lí Py-ta-go: AB = 22 ca + ; BC = 22 cb + ; AD = 22 da + ; CD = 22 db + ; AC = a + b ; BD = c + d Ta có: AB . BC 2 S ABC ; AD . CD 2 S ADC AB . BC + AD . CD 2 S ABCD = AC . BD Vậy 2222 )(( cbca ++ ) + ))(( 2222 dbda ++ (a + b) (c + d ) với a, b, c, d 0 Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhicốp xki để chứng minh bất đẳng thức trên. 2. Nội dung bàI tập: Bớc phân loại, chọn lọc hệ thống bài tập theo từng dạng phù hợp với trình độ học sinh, giúp học sinh hình thành đợc cách giải bài tập và đa ra đợc nhiều phơng án giải, phát triển khả năng t duy lô gíc, hỗ trợ việc tự học, tự nghiên cứu của học sinh trong quá trình ôn luyện. Đối với học sinh THCS tạm thời phân thành bốn dạng cơ bản sau: 2.1. Dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức: Trang 6 C O D B A c b a d Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn 2.1.1 Chứng minh bất đẳng thức: x 4 x + 2 1 > 0 Ta có: : x 4 x + 2 1 = : x 4 x 2 + 4 1 + x 2 x + 2 1 = (x 2 - 2 1 ) 2 + (x - 2 1 ) 2 0) 2 1 ( 0) 2 1 ( 2 2 x x (x 2 - 2 1 ) 2 + (x - 2 1 ) 2 0 (không thể xảy ra dấu bằng đồng thời) vậy: x 4 x + 2 1 > 0 2.1.2. Chứng minh: yxyx + + 411 (với x, y > 0) Xét hiệu: )( )( )( 4 )( 4)()(411 222 yxxy yx yxxy xyxyxyxy yxxy xytxxyxy yxyx + = + +++ = + +++ = + + (Vì x, y > 0) Vậy: : yxyx + + 411 với x, y > 0 2.1.3. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh: cbabacacbcba 111111 ++ + + + + + ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b (bất đẳng thức tam giác) áp dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi: bbacbcbaacbcba 2 2 4411 == +++ + + + (1) Tơng tự: cbacacb 211 + + + (2) abaccba 211 + + + (3) Từ (2)(2)(3): 2( ) 111 (2) 111 cbabacacbcba ++ + + + + + cbabacacbcba 111111 ++ + + + + + 2.1.4 Chứng minh rằng với Nn và n 2 a. A= n n 1 . 4 1 3 1 2 1 433 ++++ < 4 1 Ta có: )1)()(1( 1 )1( 111 233 + = = kkkkkkkk Trang 7 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn )1()1( 1 . 4.3.2 1 3.2.1 1 )1)()(1( 11 4.3.2 1 3 1 3.2.1 1 2 1 3 3 3 + +++ + nnn A nnn n Mặt khác: nnnnnnn )1( 1 )1( 1 )1()1( 2 + = + ) )1( 1 )1( 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 ( 2 1 )1()1( 1 . 4.3.2 1 3.2.1 1 nnnnnnn + +++= + +++ C = 4 1 )1(2 1 4 1 )1( 1 2.1 1 2 1 + = + nnnn (với 2) Hay A < 4 1 n n 1 . 4 1 3 1 2 1 433 ++++ < 4 1 (với 2) b/ B = 1 + 12 1 . 3 1 2 1 +++ n < n B = 1 + ++++ +++ ++++ + 12 1 . 2 1 15 1 2 1 7 1 6 1 4 1 2 1 3 1 2 1 132 nn < ++ <+++ <+ 1 1 1 23 2 1 .2 12 1 . 2 1 . 2 1 .4 7 1 6 1 5 1 2 1 2 1 .2 3 1 2 1 n n nn A < 1+ 1 1 2. 2 1 2. 2 1 ++ n n Vậy 1 + 12 1 . 3 1 2 1 +++ n < n (n với Nn và n 2) 2.1.5. Cho x 0, y 0, z 0 Chứng minh rằng: (x + y)(y + z)(z + x ) 8xyz (1) (x + y) 2 (y + z) 2 (z + x ) 2 64x 2 y 2 z 2 (bình phơng 2 vế không âm) (x + y) 2 4xy (bất đẳng thức côsi) (y + z) 2 4yz (bất đẳng thức côsi) (x + z) 2 4zx (bất đẳng thức côsi) => (x + y) 2 (y + z) 2 (z + x ) 2 64x 2 y 2 z 2 => bất đẳng thức (1) luôn đúng Trang 8 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn (với x 0, y 0, z 0 ) 2.1.6. a) Chứng minh rằng Zn dơng thì: A = 2 1 2 2 . 3 1 2 1 1 1 >++ + + + + + nnnn (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2005-2006 tỉnh Hoà Bình) Vì Zn dơng => 1;2;3; n-1< n Ta có: > > + = + > + nn nn nnnn 2 1 12 1 . 2 1 2 1 2 11 1 1 => nnnnnnnn 2 1 2 1 2 1 2 1 12 2 . 3 1 2 1 1 1 +++>+ ++ + + + + + Dãy gồm n số hạng => A .> n. n2 1 = 2 1 Vậy: 2 1 2 2 . 3 1 2 1 1 1 >++ + + + + + nnnn (với mọi 0 < n z) b) CMR: tồn tại một số tự nhiên n sao cho 2006 1 . 3 1 2 1 >+++ n Cách1: 2 1 2 1 2 1 2. 2 1 2 1 3 1 4 1 3 1 22 =+=+ 2 1 2. 2 1 2 1 . 6 1 5 1 2 33 =+++ . 2006 2 1 .4012 2 1 3 1 2 1 2 1 2. 2 1 2 1 12 1 4012 4011 401240124010 =>+++ =>++ + Vậy tồn tại n N (n 2 4210 thảo mãn điều kiện 2006 1 . 3 1 2 1 >+++ n Cách 2: Dựa vào kếtquả phần a ta có: 2 1 2 nn SS với mọi 0 < n z . Đẳng thức xảy ra n =1 Do đó ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 2 1 .4012 40114012121 2222 1 2 >+++ SSSSSS => ( ) ( ) 2006 1 2 4012 > SS => 2006 2 1 . 3 1 2 1 4012 >+++ Vậy tồn tại n N 2 4012 2.1.7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh: abc (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) (1) Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác: b + c a > 0, a + c b > 0, a + b c >0 Trang 9 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn Đặt b + c a = y , a + c b = x, a + b c= z áp dụng bất đẳng thức: (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz (với x, y, z 0 ) Ta có: [a + c b + b + c a] [b + c a + a + b c] [a + b c + a + c b] 8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b) 2c.2b.2a 8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b) abc (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) 2.1.8. Cho a+b+c =1 chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 3 1 Đặt a = 3 1 + x , b = 3 1 + y , c = 3 1 + z Do a+b+c=1 => x + y + z = 0 a 2 + b 2 + c 2 = ( 3 1 + x) 2 + ( 3 1 + y) 2 + ( 3 1 + z) 2 = 3 1 + 3 2 (x + y + z) + x 2 + y 2 + z 2 = 3 1 + x 2 + y 2 + z 2 3 1 . Dấu = xảy ra: x = y = z = 0. a = b = c = 3 1 2.1.9. Cho a + b + c + d = 2 chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki (a + b + c + d) 2 (1 2 + 1 2 +1 2 +1 2 )( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (1) mà a + b + c + d = 2 (2) Từ (1)(2): 4 4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 1 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 dấu =xảy ra a = b = c = d = 2 1 . Cách 2: Đặt a = 2 1 + x b = 2 1 + y c = 2 1 + z d = 2 1 + t x + y + z + t = 0 (vì a + b + c + d = 2 ) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ( 2 1 + x) 2 + ( 2 1 + y) 2 + ( 2 1 + z) 2 + ( 2 1 + t) 2 = 1 + ( x + y + z + t ) + x 2 + y 2 + z 2 + t 2 1 dấu =xảy ra: x = y = z = t a = b = c =d = 2 1 2.1.10. Nếu a 1 + a 2 + + a n = k thì a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 n k 2 Trang 10 [...]... số1 100 10 A = x + 9 - 10x 0 => x100 10x10 + 10 1 A(min) = 1 x = 1 b/ áp dụng bất đẳng thức côsi cho 199 7 số trong đó 199 5 số bằng 1 và 2 số 199 7 bằng x 199 5 + 2.x 199 7 199 7 199 7 x 199 7 199 5 + 2 y 199 7 2 y 199 7 199 5 + 2.z 199 7 2 z 199 7 ( Ta có Tơng tự: 199 7 199 7 => 199 5.3 + 2 ( x + y 199 7 199 7 +z ) 2 2 =x 2 2 2 ) x +y +z 2 2 2 3 x +y +z =S Vậy: S(max) = 3 x = y = z = 1 2.3.4 Cho x, y, z > 0... + 9t = 52 t = 4 y = 3t 2 * t = 2 => * t = 3 => 2 y x = =t 2 3 t = 2 x=4 y=6 x = -4 => y = -6 A(max) = 26 x = 4, y = 6 (x, y cùng dấu) A(min) = -26 2.3.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = ( 199 2 x ) + ( 199 4 x ) 2 x = -4 , y = -6 2 Ta có: B = 199 3 x + 199 4 x = 199 3 x + 199 4 x áp dụng bất đẳng thức: a +b a + b 199 4 = 1 B = 199 3 x + 199 4 x 199 3 x +x B(min) = 1 ( 199 3 x )( x 199 4 ) 0 199 3... 0 199 3 x 199 4 2.3.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Trang 13 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn 100 10 x a/ A = x 10x + 10 ( R ) 199 7 199 7 199 7 b/ Cho 3 số thực: x, y, z 0 thoả mãn x + y + z = 3 2 2 2 Tìm Max S = x + y + z Lời giải: a/ R => x100 0 x áp dụng bất đẳng thức côsi với 10 ta có: 100 10 x + 1+1++1 10 10 x 10 = 10x 9 số1 100 10 A = x + 9 - 10x 0 =>... 1 AB 2 hay 2S 4 S 2S1 AH BC AB 2 4 C Hiệu quả của sáng kiến Sáng kiến này đã đợc áp dụng tại trờng THCS Chi Nê trong nhiều năm Đối tợng nghiên cứu là học sinh có năng khiếu môn toán ở lớp 8, lớp 9 Đến năm học 2006 2007 sáng kiến đã hoàn thiện cơ bản về nội dung và phơng pháp Trang 16 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn Kết quả đạt học sinh giỏi các cấp ba năm học từ... giáo viên cần phải có thời gian và đội ngũ học trò ham học, thông minh Ngời thày phải luôn ý thức tự học tự bồi dỡng để nâng cao tay nghề * Một số tài liệu tham khảo - Một số vấn đề phát triển 6, 7, 8, 9 ( Số, Đại, Hình )tác giả: Vũ Hữu Bình - 400 bàI tập Đại số Số học ( tác giả: Vũ Dơng Thuỵ) - Bồi dỡng chuyên toán cấp 2-3 ( tác giả: Nguyễn Vũ Thanh ) - 255-225 bài tập hình ( tác giả: Vũ Dơng Thuỵ)... Nê, ngày tháng năm 2007 Ngời viết Trần Thị Liên Hoa Xác nhận của hội đồng thi Đua trờng Xác nhận của phòng GD - ĐT Lạc Thuỷ Trang 18 Duy trì bồi dỡng học sinh giỏi môn toán Chicong08@yahoo.com.vn Trang 19 . 199 7 Ta có ( ) 199 7 2 199 7 199 7 199 7 .2 199 5 x x + = x 2 Tơng tự: + 199 7 .2 199 5 199 7 y y 2 + 199 7 .2 199 5 199 7 z z 2 => 199 5.3 + 2 ( x 199 7 + y 199 7. 199 4 199 2 xx + Ta có: B = xx + 199 4 199 3 = xx + 199 4 199 3 áp dụng bất đẳng thức: baba ++ B = xx + 199 4 199 3 199 4 199 3 + xx = 1 B(min) = 1 ( 199 3 x )( x 199 4