SKKN Mon toan (Đạt giải a năm 2008)

MỤC LỤC Mụclục .1 I Lý chọn đề tài .2 II Nội dung đề tài Ứng dụng giải tích tổ hợp .3 1.1 Tính hệ số số hạng khai triển biểu thức 1.2 Liên quan đến tổng hệ số số hạng khai triển 1.3 Các tập làm thêm .9 Ứng dụng giải phương trình 11 2.1.Đối với Loại phương trình có nghiệm [a,b] 12 2.2.Đối với Loại phương trình mà vế tăng (cùng giảm) 19 2.3.Đối với Loại phương trình dạng f(u)= f(v) 23 2.4.Sử dụng định lí Lagrange 26 2.5.Các Bài tập làm thêm 29 III Kết luận 33 IV Tài liệu tham khảo 34 -1- I Lý chọn đề tài: Đạo hàm có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học, tầm quan trọng đạo hàm nên chương trình mơn tốn THPT nay, đạo hàm trình bày chương chương trình mơn tốn lớp 11 ( khác với chương trình cải cách trước đây) chương chương trình mơn tốn lớp 12 nhằm giúp học sinh sớm tiếp sớm cận với đạo hàm giúp em thấy số ứng dụng đạo hàm Học sinh tiếp cận với toán trước hết cần phải lựa chọn cơng cụ giải tốn hợp lý tối ưu Đối với nhiều tốn phương trình tổ hợp cơng cụ đạo hàm cơng cụ hữu hiệu, thơng qua giúp học sinh phát triển tư phân tích, đánh giá, tổng hợp so sánh Tuy nhiên chương trình sách giáo khoa mơn tốn bậc THPT, học sinh tiếp cận hiểu biết đạo hàm mức độ định, chưa có nhiều ứng dụng chưa rèn luyện nhiều kỹ giải tốn cơng cụ đạo hàm Với mong muốn thông qua đạo hàm giúp học sinh giải số lớp toán tổ hợp, phương trình vơ tỉ, phương trình mũ logarít có nhìn mới, nhiều phía vấn đề học, chọn đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN TỔ HỢP VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẠO HÀM -2- II Nội dung đề tài : Đạo hàm có nhiều ứng dụng để giải tốn sơ cấp, khn khổ có hạn, đề tài tơi trình bày hai ứng dụng mà học sinh thường gặp kỳ thi vào trường Trung học chuyên nghiệp, Cao đẳng Đại học là:  Các toán tổ hợp  Giải phương trình vơ tỉ, mũ, logarít Tơi cố gắng trình bày tốn cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng cơng cụ đạo hàm có hiệu cao Sau xin vào phần cụ thể Ứng dụng giải tích tổ hợp Khi tính đạo hàm hàm số lũy thừa: (axn)’ = a.n.xn-1 quan sát kỹ thấy a.n hệ số xn-1 biểu thức đạo hàm a.xn Mà giải toán liên qua đến tổ hợp học sinh gặp nhiều dạng toán liên quan đến hệ số số hạng khai triển nhị thức Niutơn, từ tơi hướng học sinh đến suy nghĩ liệu có mối liên hệ đạo hàm với nhị thức Niutơn hay không ? để trả lời câu hỏi xin giới thiệu : Phương pháp đạo hàm tốn :  Tính hệ số số hạng khai triển NiuTơn  Tính tốn liên quan đến tổng hệ số số hạng đa thức Đối với dạng toán ta ý đến tính chất quan trọng (axn)’ = a.n.xn-1 -3- ta thấy hệ số a.n chẳng qua kết thu đạo hàm biểu thức a.xn sau chọn x=1 Như tơi nhấn mạnh cho Học sinh thấy gặp tốn có chứa hệ số kiểu a.n ta ý đến cách dùng đạo hàm 1.1.Tính hệ số số hạng khai triển biểu thức : Bài toán Gọi a1, a2, a3, a11 hệ số khai triển sau : (x+1)10.(x+2) = x11+ a1x10 + a2x9 + + a11 Hãy tính hệ số a5 Giải Bài toán Cách ( Cách giải truyền thống ) Ta có (x+1)10 = C10 x 10  C110 x   C10 x  C10 x  C10 10  (x+1)10.(x+2) = ( C100 x10  C110 x   C108 x  C109 x  C10 10 )(x+2) = C10 x 11  C110 x 10   C10 x  C10 x  C10 10 x + + 2C100 x10  2C110 x   2C108 x  2C109 x  2C10 10 a5 hệ số số hạng chứa x6 nên ta có a5 = 2C10 + C10 = 672 Đối với toán tài liệu tham khảo theo hướng giải trên, với cách giải trước hết học sinh khai triển nhị thức (x+1) 10, sau nhân số hạng để xác định biểu thức có chứa số hạng cần tìm đến kết Ta xét toán phức tạp Bài toán Khai triển biểu thức (x2+ 3x+1)20 chứa số hạng a.x2 Tính a Giải Bài tốn Cách ( Cách giải truyền thống ) -4- Dùng khai triển nhị thức NiuTơn ta có : (x2+ 3x+1)20 = [x2 + (3x+1)]20 = 19 20 C 020 x 40  C120 x 38 (3x  1)   C 220 x (3x  1)18  C19  C 20 20 x (3x  1) 20 (3x  1) Từ thấy số hạng chứa x2 nằm hai biểu thức : ta 19 C19 20 x (3x  1) 20 C 20 20 (3x  1) 19 C19 20 x (3x  1) = +) 19 18 19  C119 (3x)18   C17 = C19 20 x [ C19 (3x) 19 (3x)  C19 (3x)  C19 ] 19  hệ số x2 : C19 20 C19 = 20 +) 20 C 20 20 (3x  1) = 20 18 19 20  C120 (3x)19   C17 = C 20 20 [ C 20 (3x) 20 (3x)  C 20 (3x)  C 20 (3 x )  C 20 ] 18  hệ số x2 : C 20 20 9C 20 = 1710 Vậy hệ số số hạng chứa x2 khai triển (x2+ 3x+1)20 : 1730 Đối với loại toán đa số tài liệu tham khảo theo hướng giải trên, với cách giải khó tốn 1: trước hết học sinh cần phải khéo léo tách khai triển số hạng khai triển số hạng để từ áp dụng khai triển nhị thức NiuTơn , sau phải nhận dạng biểu thức có chứa số hạng cần tìm đến kết Theo tơi tốn nên giải công cụ đạo hàm đơn giản Trước hết ta xét ví dụ sau : Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 đạo hàm f’(x)= 3x2+12x+ 12 , f”(x) = 6x +12 =6x+ 6.2 từ rút nhận xét  Hệ số tự đạo hàm cấp 1: f’(x) hệ số x 1, biểu thức f(x) -5-  Hệ số tự đạo hàm cấp 2: f”(x) tích của: hệ số x ( biểu thức f(x) ) với Từ nhận xét quan trọng tơi hình hành cho học sinh bước giải sau: Bước Nhận dạng biểu thức cần khai triển: ( ax2+ bx+ c)n ( ax2+ bx+ c)n ( Ax2+ Bx+ C)m có dạng đa thức Bước Nhận dạng cấp đạo hàm cấp k cần tính : thơng qua hệ số cần tính hệ số lũy thừa k Bước Thay x = x0 thích hợp Tơi xin minh họa lời giải công cụ đạo hàm toán vừa nêu Giải Bài tốn Cách Bước Khai triển có dạng f(x)= x11+ a1x10 + a2x9 + + a11 Bước Cần tính đạo hàm cấp Bước Chọn x Vậy để tính a5 số hạng cịn lại phải triệt tiêu, chọn x=0 thu a5= f (6) (0) 6! (1) Ta có f(x) = (x+1)10.(x+2) = (x+1)11 + (x+1)10 f’(x) = 11(x+1)10 +10(x+1)9 f”(x) = 11.10.(x+1)9 + 10.9.(x+1)8 f(6)(x) = 11.10.9.8.7.6.(x+1)5 + 10.9.8.7.6.5.(x+1)4 (6) 11.10.9.8.7.6  10.9.8.7.6.5  a5= f (0) = = 672 6! 1.2.3.4.5.6 Giải Bài toán Cách Bước Khai triển có dạng f(x)= a40.x40+ a39.x39+ +a3.x3+a2.x2+a1.x1+a0 -6- Bước Cần tính đạo hàm cấp Ta có : f’(x) = 40.a40.x39+ 39.a39.x38+ +3.a3.x2+2.a2.x+a1 f ”(x) = 40.39.a40.x38+ 39.38.a39.x37+ +3.2.a3.x+2.a2 Bước Chọn x Vậy để tính a= a2 số hạng cịn lại phải triệt tiêu, chọn x=0 thu a2= (1) f" (0) mặt khác f ’(x)= 20(x2+ 3x+1)19(2x+3) f ”(x) = 20.[19.(x2+ 3x+1)18(2x+3)2 + 2(x2+ 3x+1)19] => f ”(0)= 20(19.9+2)= 20.173 từ (1) (2) ta có a2= (2) f" (0) = 1730 Giải loại toán công cụ đạo hàm cách làm việc giải tốn sơ cấp, trình bày nhiều giáo trình tốn cao cấp nên với mong muốn thông qua cách giải học sinh nắm mối liên hệ kiến thức với nhau, thơng qua giúp học sinh phát triển tư tổng hợp, phân tích làm tiền đề để giải loại toán sau 1.2 Liên quan đến tổng hệ số số hạng khai triển : Bài toán Khai triển f(x)= (1+x)100 Có dạng f(x) = a100.x100+ a99.x99+ +a3.x3+a2.x2+a1.x1+a0 Tính tổng S= a0+ a1 + 2.a2 + 3.2.a3.2 + + 100.99.a100.298 Bài toán Khai triển (1+x-2x2+x3)10 = a30.x30+ a29.x29+ +a3.x3+a2.x2+a1.x1+a0 Tính Tổng S= a0+a1+ 2a2+3a3+ +29a29+30a30 Rõ ràng loại toán dùng khai triển nhị thức Niutơn phức tạp chí khơng thể giải -7- Theo tơi tốn nên sử dụng công cụ đạo hàm đơn giản Trước hết ta xét ví dụ sau : Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 = a3.x3+a2.x2+a1.x+a0 đạo hàm f’(x) = 3.a3.x2+2.a2.x+ a1 , f”(x) = 3.2.a3.x2+2.a2 từ rút nhận xét  f’(1)= 3.a3+2.a2+ a1  f”(1) = 3.2.a3+2.a2 Từ nhận xét quan trọng tơi hình hành cho học sinh bước giải sau : Bước Nhận dạng tổng cần tính sử dụng đạo hàm : dựa vào số hạng thứ n tổng có dạng : n.(n-1).an an-2 Bước Nhận dạng cấp đạo hàm cấp cần tính : thơng qua số hạng tổng qt thứ n Bước Thay x = a thích hợp Dưới tơi xin minh họa tốn Giải Bài tốn Bước nhận dạng tổng cần tính Ta nhận xét u100=100.99.299.a100 100.99.299 hệ số (x100)”, sau thay x=2 Bước cần tính đạo hàm cấp Ta có : f’(x)= 100.a100.x99+ 99.a99.x98+ +3.a3.x2+2.a2.x+a1 f ”(x) = 100.99.a100.x98+ 99.98.a99.x97+ +3.2.a3.x+2.a2 Bước Chọn x = ta S*= 2.a2 + 3.2.a3.2 + + 100.99.a100.298=f”(2) a0=f(0), a1=f’(0) -8- nên S= f(0)+f’(0)+S* a0=f(0)=1 mặt khác f’(x)= 100(x+1)99 => a1= f ’(0) = 100 f”(x)= 100.99.(x+1)98 => S*= f”(2)=100.99.398 Vậy ta có S= 101+100.99.398 Giải Bài tốn Bước nhận dạng tổng cần tính Ta ý u30= 30.a30 30 đạo hàm (x30)’ , ứng với x=1 Bước cần tính đạo hàm cấp Đặt f(x)= a30.x30+ a29.x29+ +a3.x3+a2.x2+a1.x1+a0 Ta có : f’(x)= 30.a30.x29+ 29.a29.x28+ +3.a3.x2+2.a2.x+a1 => f’(x)= 30.a30.x29+ 29.a29.x28+ +3a3.x2+2a2.x1+a1 Bước Chọn x=1 Ta có f’(1)= a1+ 2a2+3a3+ +29a29+30a30= S* a0= f(0)=1 => S=S*+f(0) ta lại có f’(x)= 10(1+x-2x2+x3)9 (3x2-4x+1) => f’(1)= Vậy ta có S= Các tập làm thêm Bài Xét khai triển nhị thức (3x+2)15(3x+3) Tính hệ số số hạng chứa x3 khai triển Bài Xét khai triển ( 2x3-3x+1)10 Tính hệ số số hạng chứa x1 khai triển Hai 1,2 làm hoàn tồn tốn mẫu Tơi muốn khắc sau lại cho học sinh kỹ phương pháp Các sau tập nâng cao để em phát triển tư kỹ phối hợp nhị thức Niutơn đạo hàm Bài Với số nguyên dương r r n Chứng minh : -9- ( 1) r C rn C rn  ( 1) r 1 C rr 1 C rn1   (  1) n C rn C nn 0 HD : xét khai triển (1+x)n  Đạo hàm đến cấp r theo biến x, hai vế  Chia vế cho r! thay x=-1 Đây chẳng qua tốn tính tổng muốn nhấn mạnh thêm cho học sinh chứng minh đẳng thức liên quan đến tổ hợp ta ý đến khai triển gốc (1+x)n Bài Chứng minh : C 0n  2.C1n  3.C2n   (n  1)Cnn (n  2).2n -1 HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)n  Khai triển đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x  Thay x = Ở toán muốn rèn luyện kỹ lựa chọn hàm số Bài Chứng minh : (2n - 1)! (C1n )  2.(C 2n )  3.(C3n )   n.(C nn )  [(n - 1)!]2 HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n  Đạo hàm cấp theo x, hai vế suy x.f’(x) (1)  Thay x x , ta (2)  Nhân (1) cho (2), ta thu hệ số số hạng không chứa x đẳng thức chứng minh Bài Chứng minh : C 2n 2.C3n (n  1)C nn    1 , với n 2 số nguyên (n - 1) (n  1) (n  1) n HD : Xét hàm số f(x)= x   x   n  -10- x - -1 +  f’(x) f(x) _ 2 -2 -2 Vậy phương trình vơ nghiệm Từ nhận xét tơi hình hành cho học sinh bước giải sau : Bước Nhận xét dạng phương trình ( xem bước phân tích ) Bước Tìm nghiệm phương trình ( nên nghiệm) Bước Xét hàm số f(x) MXĐ phương trình Bước Lập BBT hàm số f(x) để từ suy số nghiệm phương trình Tơi xin minh họa qua toán : Bài toán 11 Giải phương trình : 3x+5x= 6x+2 Nhận xét : áp dụng kiến thức phương pháp em học lớp 11 giải không Do tơi hướng em đến việc dùng đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ tìm số nghiệm tương ứng Bước Nhận dạng phương trình Dấu hiêu : vế phương trình đơn điệu tăng Giải Bài tốn 11 ĐKXĐ : với x thuộc R Bước Trước hết ta nhận thấy phương trình có nghiệm x = x = Bước Lập BBT -20- ... f(x)= a3 0.x30+ a2 9.x29+ +a3 .x3 +a2 .x2 +a1 .x1 +a0 Ta có : f’(x)= 30 .a3 0.x29+ 29 .a2 9.x28+ +3 .a3 .x2+2 .a2 .x +a1 => f’(x)= 30 .a3 0.x29+ 29 .a2 9.x28+ + 3a3 .x2+ 2a2 .x1 +a1 Bước Chọn x=1 Ta có f’(1)= a1 + 2a2 + 3a3 +... dạng f(x) = a1 00.x100+ a9 9.x99+ +a3 .x3 +a2 .x2 +a1 .x1 +a0 Tính tổng S= a0 + a1 + 2 .a2 + 3.2 .a3 .2 + + 100.99 .a1 00.298 Bài toán Khai triển (1+x-2x2+x3)10 = a3 0.x30+ a2 9.x29+ +a3 .x3 +a2 .x2 +a1 .x1 +a0 Tính... Ta có : f’(x)= 100 .a1 00.x99+ 99 .a9 9.x98+ +3 .a3 .x2+2 .a2 .x +a1 f ”(x) = 100.99 .a1 00.x98+ 99.98 .a9 9.x97+ +3.2 .a3 .x+2 .a2 Bước Chọn x = ta S*= 2 .a2 + 3.2 .a3 .2 + + 100.99 .a1 00.298=f”(2) a0 =f(0), a1 =f’(0)