LỤ C T R Í T U Y Ê N Đ ỘT P H Á T Ư D U Y G I Ả I NH A N H T R ẮC N G H I Ệ M HÌNH HỌC KHÔNG GIAN N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R Í Bản quyền © 2018 Thầy Lục Trí Tuyên xuất bở i n h x uất bả n a b c giải chi t i ết bà i tậ p có tạ i h t t p s : / / e st u dy e du v n/ d i s c us s i o n Điều khoản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn khơng phép chép tài liệu ngoại trừ cho phép tác giả Bạn tìm hiểu thêm luật quyền http://www.cov gov.vn Ngoại trừ cho phép tác giả, hành vi i n , m ua bá n, k i n h d oa n h t h ứ cấ p vi phạm quyền theo luật quyền Xuất lần đầu, Tháng 10 năm 2018 Mục lục KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Đại cương khối đa diện 1.1.1 Khối đa diện 1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian 1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện 1.1.4 Bài tập áp dụng 1.2 Thể tích khối đa diện 1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp lăng trụ 1.2.2 Tính thể tích khối chóp 1.2.3 Bài tập áp dụng 1.2.4 Thể tích khối lăng trụ 1.2.5 Bài tập áp dụng 1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích 1.2.7 Bài tập áp dụng 1.2.8 Bài toán cực trị toán thực tế 1.2.9 Bài tập áp dụng 1.3 Khoảng cách góc 1.3.1 Khoảng cách 1.3.2 Bài tập áp dụng 1.3.3 Góc 1.3.4 Bài tập áp dụng 9 11 14 17 18 18 24 38 39 43 44 51 52 61 62 62 71 72 89 Khối tròn xoay 2.1 Khối nón khối trụ 2.1.1 Định nghĩa số thiết diện 2.1.2 Thể tích diện tích 2.1.3 Bài tập áp dụng 2.2 Mặt cầu khối cầu 2.2.1 Định nghĩa vị trí tương đối 2.2.2 Thể tích khối cầu diện tích mặt cầu 2.2.3 Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp 2.2.4 Bài tập áp dụng 2.3 Thể tích lớn nhỏ tốn thực tế khối tròn xoay 2.3.1 Phương pháp chung cho bào tốn cực trị hình học 2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính toán thực tế 2.3.3 Bài tập áp dụng 90 90 90 93 100 101 101 104 105 110 111 111 114 117 Tra cứu theo vần 119 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Chương KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Đại cương khối đa diện 1.1.1 Khối đa diện Mục giới thiệu kiến thức đại cương khối đa diện nên khái niệm tổng hợp lại Sách giáo khoa Cơ Hình học 12 [3] nhằm thống khái niệm chương trình Định nghĩa 1.1.1: Hình đa diện Hình đa diện (H ) (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: • Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung • Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Với hai mặt S, S ′ tồn dãy mặt S0 , S1 , , Sn cho S0 ≡ S, Sn ≡ S ′ hai mặt liên tiếp dãy có cạnh chung Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện (H ) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H ) Đỉnh Cạnh Mặt Định nghĩa 1.1.2: Khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Lục Trí Tun Mỗi đa diện (H ) chia điểm lại không gian thành hai miền không giao nhau: miền miền ngồi (H ) Trong có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng Các điểm thuộc miền gọi điểm trong, điểm thuộc miền gọi điểm (H ) Khối đa diện (H ) (lấy tên với hình đa diện) hợp hình đa diện (H ) miền d Miền ngồi Điểm N Điểm ngồi M Ví dụ 1.1.1 Các hình khối đa diện: Ví dụ 1.1.2 Các hình khối đa diện: a) 10 b) c) d) Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Hình a) khơng khối đa diện có cạnh (trên cùng) không cạnh chung hai mặt Điều vi phạm điều kiện thứ hai Định nghĩa 1.1.1 Hình b) khơng khối đa diện có mặt phẳng chứa đỉnh mặt khác Khi đó, mặt phẳng giao với mặt phẳng khác lại khơng có đỉnh chung khơng có cạnh chung Điều vi phạm điều kiện Định nghĩa 1.1.1 Hình c) khơng khối đa diện có cạnh cạnh chung bốn mặt Điều vi phạm điều kiện hai Định nghĩa 1.1.1 Hình d) khơng khối đa diện vi phạm điều kiện thứ ba Định nghĩa 1.1.1 1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian Định nghĩa 1.1.3: Phép biến hình Phép biến hình khơng gian quy tắc F mà với điểm M không gian, thực theo quy tắc F , dựng điểm M ′ Điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F , ký hiệu M ′ = F (M ) → Ví dụ 1.1.3: Phép tịnh tiến theo vectơ − v − → v Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành điểm M ′ −−−→ → cho M M ′ = − v ” −−−→′ − → ′ → Ký hiệu, T− v : M → M ⇔ MM = v M′ M Ví dụ 1.1.4: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành M ∈ (P ) biến thành M ′ cho (P ) mặt phẳng trung trực M M ′ M không thuộc (P )” Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình H thành (P ) gọi mặt phẳng đối xứng H M H (P ) M′ Ví dụ 1.1.5: Phép đối xứng tâm O Là quy tắc: ”Biến O thành nó, biến điểm M ̸= O thành M ′ cho O trung điểm M M ′ ” Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành O gọi tâm đối xứng H M O M′ 11 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.1.6: Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ Là quy tắc: ”Biến điểm thuộc ∆ thành biến điểm M khơng thuộc ∆ thành M ′ cho ∆ trung trực M M ′ ” Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình H thành ∆ gọi trục đối xứng hình H ∆ H M M′ Định nghĩa 1.1.4: Phép dời hình hai hình • Phép biến hình F gọi phép dời hình với hai điểm M, N bất kỳ, gọi M ′ , N ′ ảnh M, N qua phép biến hình F , ta có M ′ N ′ = M N Ví dụ: Các phép tịnh tiến, đối xứng qua mặt phẳng, đối xứng tâm, đối xứng qua đường thẳng phép dời hình Chú ý: Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Hơn nữa, phép dời hình biến hình H thành hình H ′ biến đỉnh, cạnh, mặt H tương ứng thành đỉnh, cạnh, mặt H ′ • Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện Ví dụ 1.1.7 → Phép tính tiến vectơ − v biến đa diện (H ) thành đa diện H ′ , phép đối xứng tâm O biến đa diện (H ′ ) thành đa diện (H ′′ ) Khi đó, phép dời hình có cách thực → liên tiếp phép tính tiến vectơ − v phép đối xứng tâm O biến đa diện (H ) thành đa diện ′′ (H ) Do đó, đa diện (H ), (H ′ ) (H ′′ ) − → v O (H ′ ) (H ) 12 (H ′′ ) Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Định nghĩa 1.1.5: Phép vị tự phép đồng dạng • Phép vị tự tâm O tỉ số k ̸= quy tắc biến điểm M thành điểm M ′ cho −−−→′ −−→ OM = k OM N′ N O M M′ • Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k > F biến hai điểm M, N thành hai điểm M ′ , N ′ cho M ′ N ′ = k.M N Ví dụ: Phép vị tự tâm O tỷ số k ̸= phép đồng dạng tỷ số |k| Chú ý: Phép đồng dạng tỷ số k > biến khối đa diện (H ) thành khối đa diện (H ′ ) tỉ số thể tích (H ′ ) (H ) k (lập phương tỉ số đồng dạng) Chú ý hữu ích cho tốn tỉ lệ thể tích phần sau Ví dụ 1.1.8 Cho tứ diện ABCD Gọi A′ trọng tâm tam giác BCD Các đường thẳng qua A′ song song với AB, AC, AD cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) B ′ , C ′ , D′ Chứng minh tứ diện ABCD A′ B ′ C ′ D′ đồng dạng Hướng dẫn A Gọi M trung điểm CD Do A′ BA′ trọng tâm tam giác BCD nên = BM AB ′ BA′ ′ ′ = (Ta-let) Do A B ∥ AB nên BM AM ′ AB ⇒ = Vậy B ′ trọng tâm C′ AM ′ tam giác ACD D B′ G Tương tự, C ′ , D′ trọng tâm B tam giác ABD tam giác ABC Trong tam giác ABM , gọi G = AA′ ∩ A′ M BB ′ AG BG AB ⇒ = = ′ ′ (Ta-let) C GA′ GB ′ AB AB AM BG CG BG AG Mặt khác, ′ ′ = ′ = = Tương tự = = = Vậy ′ ′ ′ AB BM GA GB GC GB ′ D 13 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 2.2.3 Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp Mặt cầu S(O; R) gọi ngoại tiếp hình khơng gian (như hình chóp, lăng trụ, hình nón, hình trụ) qua đỉnh hình khơng gian Đặc biệt, ba điểm A, B, C ∈ S(O; R) O ∈ ∆ với ∆ đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) Đường ∆ gọi trụ đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (Hình 2.2) Dựa vào định nghĩa tính chất ta dễ dàng xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hình khơng gian ∆ O C A I B Hình 2.2: Trục đường tròn khơng gian Định lý 2.2.2: Ba cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Gọi R bán kính hình cầu ngoại tiếp hình khối cần tính, Rd bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, Rb bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên, l cạnh bên, h chiều cao GT giao tuyến mặt bên với đáy, ta có: Cạnh bên vng góc với Mặt bên vng góc với đáy: Các cạnh bên nhau: đáy: Hình chóp, lăng trụ Hình chóp, lăng trụ đứng Hình chóp, hình nón đứng, hình trụ ( ) GT 2 2 Rd2 + h2 l2 + R − R = R b d R = = (2.3) ( )2 2h 2h h 2 R = Rd + (2.1) (2.2) C h ứ ng m i nh cô ng thứ c (2 1) : Giải sử SA⊥ (Đáy) Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp, O nằm trục ∆ đường tròn ngoại tiếp đáy Do SA⊥ (Đáy) nên SA ∥ ∆, tức ∆ SA đồng phẳng Do đó, I giao điểm ∆ trung trực SA mặt phẳng (SA, ∆) Vậy ( )2 h R = AM + AI = + Rd2 2 2 S h ∆ M O R A h I Rd 105 Lục Trí Tuyên C h ứ ng m i nh cô ng thứ c (2 2) : Gọi O tâm khối cầu ngoại tiếp O nằm trục ∆ đáy Gọi I, J tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông đáy (chẳng hạn (SAB)) mặt đáy IM, JM ⊥AB với M trung điểm AB Khi O thuộc đường thẳng qua J vng góc với mặt phẳng (SAB) Đường song song với IM Ta có R2 = Rd2 + OI = Rd2 + JM AB Mà JM = JB − M B = Rb2 − ( ) AB 2 2 Vậy R = Rd + Rb − S ∆ J O B M R I Rd A C h ứ ng m i nh cô ng thứ c (2 3) : Trường hợp trục ∆ đường tròn ngoại tiếp đáy trùng với SI Trong mặt phẳng (SAI), tâm O mặt cầu giao điểm SI với trung trực SA SM SO Ta có ∆SM O ∼ ∆SIA (g.g) ⇒ = SI SA SA2 SM.SA = ⇒ SO = SI 2SI (Cạnh bên)2 SA2 Vậy R = = 2h 2.(Chiều cao) S ∆ R h M O A I Rd Ví dụ 2.2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Cạnh SA⊥(ABCD) SC tạo với đáy góc 60◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hướng dẫn Theo giả thiết suy SCA = 60◦ √ ⇒ h = SA = AC tan 60◦ = AC √ √ √ Có AC = AB + BC √ = 5a ⇒ h = 15a Lại có Rd = AC = a 2 Áp dụng cơng thức (2.1) ta có √ 15 R2 = a2 + a2 = 5a2 ⇒ R = 5a 4 106 S h A D 60◦ a B C 2a Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 2.2.6 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác cân S có ASB = 120◦ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Hướng dẫn Có giao tuyến mặt (SAB) với đáy √là GT = AB = a a Đáy hình vng cạnh a nên Rd = Áp dụng định lý hàm số sin cho ∆SAB có: √ AB = 2Rb ⇒ Rb = a ◦ sin 120 Áp dụng công thức (2.2) ta được: 1 R = a2 + a2 − a2 = a2 ⇒ R = 12 √ 21 a Ví dụ 2.2.7 √ Cho hình chóp S.ABCD có AB = SA = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hướng dẫn S Hình vng ABCD có cạnh nên √ Rd = AO = √ Có h = SA2 − AO2 = Áp dụng cơng thức (2.3) có R= SA2 18 = = 2h √ h A B D O C Vớ i cô ng th ứ c tr ê n học sinh giải 90% dạng tập hỏi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Còn lại khơng rơi vào trường hợp trên, ta cần lưu ý số tốn phổ biến sau 107 Lục Trí Tun Ví dụ 2.2.8: Tứ diện có độ dài hai cạnh đối đoạn nối trung điểm đợn vng góc chung Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b I, J trung điểm AB, CD đồng thời đoạn vuông góc chung AB, CD Biết IJ = l, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Hướng dẫn Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do IJ đường trung trực chung AB CD nên O ∈ IJ Đặt OJ = x ⇒ OI = l − x Vậy ta có 2 2 R = AI + IO = DJ + JO A a R l−x O b2 a2 + (l − x)2 = x2 + ⇔ R = 4 Giải phương trình ta I R B D x J a2 − b2 l x= − 8l b C Khi tính R Ví dụ 2.2.9: Tứ diện có cạnh đường vuông chung hai cạnh kề Cho tứ diện ABCD có AB⊥AD; AB⊥BC cho biết AB = a, CD = b > a, góc AD, BC α Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hướng dẫn Do AB đoạn vng góc chung AD BC nên ta vẽ AB thẳng đứng cho dễ hình dung Từ B kẻ BE ∥ AD BE = AD ABED hình chữ nhật, E thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Vậy ta cần tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCE Gọi Rd bán kính đường tròn ngoại CE tiếp đáy BCE ta có Rd = Mà √ √ sin α CD2 − DE = b2 − a2 Vậy CE √ = 2 b −a Rd = sin α 108 A D a a b B E α C Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Hình chóp A.BCE có cạnh bên AB vng góc với đáy nên áp dụng cơng thức (2.1) ta có AB a2 R2 = Rd2 + = Rd2 + Thay Rd tính vào ta 4 R2 = b2 − a2 b2 + 4 tan2 α Ví dụ 2.2.10: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần Cho tứ diện gần ABCD với AB = CD = a; BC = AD = b CA = BD = c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hướng dẫn Theo trang 34 Chương tứ diện gầnđều ta thấy tứ diện nội tiếp a2 + c2 − b2 x2 = a2 + b2 − c2 hình hộp chữ nhật có cạnh x, y, z với y = 2 z = b + c − a Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Mặt khác, dễ thấy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có cạnh x, y, z R2 = x2 + y + z Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần tính R2 = a2 + b2 + c2 109 Lục Trí Tuyên 2.2.4 Bài tập áp dụng 110 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 2.3 Thể tích lớn nhỏ toán thực tế khối tròn xoay Mụ c giúp học sinh giải tốn thể tích mang tính chất thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đường tối ưu Đây coi dạng tốn mức độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPTQG 2.3.1 Phương pháp chung cho bào tốn cực trị hình học Dạng 1: Đưa biểu thức đánh giá hàm biến Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm biến: f (x), x ∈ D Khảo sát hàm f (x) D để tìm GTLN, GTNN Ví dụ 2.3.1 Cho khối nón đỉnh O, đáy có tâm I bán kính R chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh I đáy thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi H tâm đáy hình nón đỉnh I có bán kính r, đặt x = IH, < x < h, ta có: r h−x h−x = ⇒r= R R h h Vậy thể tích khối nón đỉnh I 1 V = πr2 x = π.(h − x)2 x.R2 3h Xét f (x) = x(h − x)2 h có f ′ (x) = (h − x)2 − 2x(h − x) = ⇔ x = < h h Khảo sát thấy GTLN V đạt x = O r H h x R I 111 Lục Trí Tun Ví dụ 2.3.2 Trong khối nón nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R, tính thể tích khối nón tích lớn Hướng dẫn Gọi I tâm đáy khối nón (như hình vẽ) đặt OI = x, ≤ x < R Ta cần xét trường hợp O nằm S, I Có AI = R2 − x2 SI = R + x Vậy thể tích khối nón 1 V = πAI SI = (R2 − x2 ).(R + x) 3 Xét hàm f (x) = (R2 − x2 ).(R + x) A Ta có f ′ (x) = −3x2 − 2Rx + R2 , R Có f ′ (x) = ⇔ x = > R Từ dễ dàng kiểm tra thấy GTLN f (x) đạt x = 32 Khi GTLN V R3 81 S R O R x I Ví dụ 2.3.3 Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất loại hộp hình trụ tích V cho trước để đựng thịt bò Gọi x, h (x > 0, h > 0) độ dài bán kính đáy chiều cao hình trụ Tìm x, h để sản xuất hộp hình trụ tốn vật liệu Hướng dẫn V r Do đó, diện tích tồn phần hộp trụ 2V Stp = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + r 2V 2V Xét hàm f (r) = 2πr2 + có f ′ (r) = 4πr − r √ r V ′ Giải f (r) = ⇔ r = 2π Dễ dàng kiểm tra thấy hàm số đạt GTLN Ta có V = πr2 h ⇒ πrh = √ r= 112 √ √ V V V V , h = = Vậy V đạt GTLN r + h = 3 2π πr 2π 2π Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Đưa biểu thức đánh giá hàm nhiều biến sử dụng bất đẳng thức Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm nhiều biến a, b, c, : f (a, b, c, ) Đánh giá f (a, b, c, ) dựa vào bất đẳng thức biết Các bất đẳng thức thường dùng: √ √ • Bất đẳng thức Cơ-Si cho số dương: a + b ≥ ab; a + b + c ≥ 3 abc Đẳng thức a = b = c = • Bất đẳng thức Bunhiakovski: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y ), Đẳng thức • Bất đẳng thức hình học: a1 a2 = b1 b2 • Bất đẳng thức Schwarz: x y Đẳng thức = = a b a b = x y √ √ √ a21 + b21 + a22 + b22 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 Đẳng thức x2 y (x + y)2 x2 y z (x + y + z)2 + ≥ ; + + ≥ với a, b, c > a b a+b a b c a+b+c z c Ví dụ 2.3.4 Trong tất tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R, tứ diện tích lớn bao nhiêu? Hướng dẫn D Gọi M, N trung điểm AD, BC đặt x = OM, √ y = ON Khi √ 2 AD = R − x , BC = R2 − y R Áp dụng công thức (1.4) Chương ta có M x V ≤ AD.BC.d(AD, BC) √ 2√ R − x2 R2 − y (x + y) ≤ A Áp dụng Cơ-Si có 2 √ √ 2R − (x + y ) R2 − x2 R2 − y ≤ √ √ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski có x + y ≤ x2 + y O R y C N B 113 Lục Trí Tuyên √ √ ) 2( 2R − t2 t với t = x2 + y √ √ ( ) 6 R t = R Khảo sát f (t) = 2R − t t dễ dàng tìm GTLN √ 3 Vậy GTLN V R 27 Vậy V ≤ Ví dụ 2.3.5 Cho tam diện vng OABC có bán kính mặt √ cầu ngoại tiếp nội tiếp R r x+ y R Khi tỷ số đạt giá trị nhỏ , x, y ∈ N Tính P = x + y? r Hướng dẫn 1√ Ta có: R2 = a + b2 + c2 với OA = a, OB = b, OC = c Mặt khác ta lại có abc 3V 2 2 √ ) + SOCA + SOBC = = SOAB r= (để ý cóSABC Stp ab + bc + ca + ( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) √ √ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 2R Vậy = r abc Áp dụng đẳng thức ta có: ) ( √ Cơ-Si cho√3 số √ bất √ √ 2 2 4 √ a b c a b c + a b c √ 2R 2R R + 27 ⇒ 3+3 3⇒ r abc r r Vậy x = 3; y = 27 ⇒ x + y = 30 2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính tốn thực tế Tư ng tự Mục 1.2.8 Chương 1, tốn trải hình khối tròn xoay giống trải hình khối đa diện khác chút tính tốn hình dạng hình sau trải phẳng Ngoài , sống hàng ngày bắt gặp tốn hình học thực tế khối tròn xoay đòi hỏi phải có tính tốn định Mục sách trình bày số ví dụ minh họa cho tốn 114 Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Ví dụ 2.3.6 Cho cốc hình nón cụt với miệng cốc bán kính R = 2.5cm, đáy cốc bán kính r = 2cm độ dài đường sinh l = Một kiến bò từ điểm A đáy cốc vòng đến điểm B miệng cốc (hình bên) Tính qng đường ngắn kiến (tính gần đến hai chữ số thập phân) 2.5 B A Hướng dẫn Trải cốc mặt phẳng diện tích xung quanh cốc hình vẽ (bơi đen) Gọi S đỉnh hình quạt tạo thành α = S Ta có 2πr SA r SA = ⇒ = SB 2πR SA + l R rl ⇒ SA = = 24cm R−r Theo cơng thức độ dài cung có π R−r = 2πr = SA.α ⇒ α = 2π l Có SB = SA + l = 30cm Theo định lý hàm số cos cho ∆SAB có AB = SA2 +SB −2SA.SB cos 2πR B B l A 2πr π = 228, 923 A rl R−r Thấy SB > SA2 + AB nên SAB > 90◦ , α kiếm bò theo đường S thẳng AB Vậy quãng đường ngắn kiếm AB = 15, 13cm Ví dụ 2.3.7 Cho mặt cầu có tâm O1 , O2 , O3 , O4 có bán kính r = đơi tiếp xúc với Một tứ diện ABCD ngoại tiếp mặt cầu cho mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện Tính độ dài cạnh tứ diện ABCD 115 Lục Trí Tuyên Hướng dẫn Dễ thấy tứ diện O1 O2 O3 O4 tứ diện A cạnh 2r nên √ chiều √cao, chẳng hạn 2 r d(O4 , (O1 O2 O3 )) = √ 2r = 3 Gọi I tiếp điểm (O4 ) với (ABC) I r O4 AI qua trung điểm M BC, MH sin IAO4 = sin M AH = = B MA O1 O3 IO4 = ⇒ AO4 = 3r Suy H AO4 Mặt khác d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = r mặt cầu M O2 (O1), (O2 ), (O3 ) tiếp xúc với (BCD) Vậy AH = AO4 + d(O √ , (O1 O2 O3 )) √ + 12 + C d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = 4r + r= r 3√ √ √ √ AH = (2 + 2)r = + Mà tứ diện có AH = √ AB ⇒ AB = √2 Vậy tứ diện ABCD có cạnh AB = + D Ví dụ 2.3.8 Với miếng tơn hình tròn có bán kính R = 9cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón (như hình vẽ) Muốn phễu tích lớn hình quạt cần để làm phễu có độ dài cung bao nhiêu? O A O A B B Hướng dẫn O Gọi h bán kính đáy phễu bán kính đáy r2 = R2 − h2 1 Vậy thể tích phễu V = πr2 h = π(R2 h − h3 ) 3 ′ (h) = R2 − 3h2 Dễ kiểm tra f (h) đạt Hàm f (h) = R2 h − h3 có f√ √ R GTLN h = √ hay r = R = 3 √ Độ dài cung tròn cần tính chu vi đáy phễu 2πr = 6π h A B 116 R Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 2.3.3 Bài tập áp dụng 117 Lục Trí Tuyên Tài liệu tham khảo [1] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Number 87 American Mathematical Soc., 1999 [2] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 11 Nhà xuất Giáo Dục, 2008 [3] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 12 Nhà xuất Giáo Dục, 2008 [4] Eric Weisstein and Stephen Wolfram Platonic solids 2008 [5] Eric W Weisstein ”conic section.” from mathworld–a wolfram web resource http://mathworld.wolfram.com/conicsection.html 2003 118 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Tra cứu theo vần góc, 72 khoảng cách, 62 khối đa diện, khối đa diện đều, 14 làm chủ hình vẽ, 18 làm chủ đáy, 18 thể tích khối chóp, 24 thể tích khối lăng trụ, 39 thể tích khối đa diện, 18 tốn thực tế, 52 tỉ số thể tích, 44 đáy tam giác, 18 119 ... phương pháp tiếp cận việc tính thể tích khối chóp khối lăng trụ mà học sinh hạn chế tư ng tư ng hình khơng gian dễ dàng vận dụng Để làm điều này, học sinh trước hết phải ”biết vẽ hình (làm chủ hình. .. Hơn nữa, phép dời hình biến hình H thành hình H ′ biến đỉnh, cạnh, mặt H tư ng ứng thành đỉnh, cạnh, mặt H ′ • Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện Ví dụ... hình (làm chủ hình vẽ) xác định yếu tố hình Đặc bi ệ t, hình thức thi làm trắc nghiệm ngồi yếu tố nắm rõ phương pháp giải toán học sinh cần phải tính tốn nhanh đáp số Chính vậy, yếu tố có tính