đột phá tư duy giải nhanh trắc nghiệm hình học không gian cổ điển

1 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 9 1.1 Đại cương về khối đa diện 9 1.1.1 Khối đa diện 9 1.1.2 Cơ bản về phép biến hình trong không gian 11 1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện đều 14 1.1.4 Bài tập áp dụng 17 1.2 Thể tích khối đa diện 18 1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp và lăng trụ 18 1.2.2 Tính thể tích khối chóp 24 1.2.3 Bài tập áp dụng 38 1.2.4 Thể tích khối lăng trụ 39 1.2.5 Bài tập áp dụng 43 1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích 44 1.2.7 Bài tập áp dụng 51 1.2.8 Bài toán cực trị và bài toán thực tế 52 1.2.9 Bài tập áp dụng 61 1.3 Khoảng cách và góc 62 1.3.1 Khoảng cách 62 1.3.2 Bài tập áp dụng 71 1.3.3 Góc 72 1.3.4 Bài tập áp dụng 89 2 Khối tròn xoay 90 2.1 Khối nón và khối trụ 90 2.1.1 Định nghĩa và một số thiết diện cơ bản 90 2.1.2 Thể tích và diện tích 93 2.1.3 Bài tập áp dụng 100 2.2 Mặt cầu và khối cầu 101 2.2.1 Định nghĩa và các vị trí tương đối 101 2.2.2 Thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu 104 2.2.3 Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp 105 2.2.4 Bài tập áp dụng 110 2.3 Thể tích lớn nhất nhỏ nhất và toán thực tế đối với khối tròn xoay 111 2.3.1 Phương pháp chung cho bào toán cực trị hình học 111 2.3.2 Một số ví dụ về trải hình và tính toán thực tế 114 2.3.3 Bài tập áp dụng 117 Tra cứu theo vần 119

G I ÁO D Ụ C L À V Ũ K H Í M Ạ N H N H ẤT M À N G Ư Ờ I TA C Ó T H Ể S Ử D Ụ N G Đ Ể T H AY Đ Ổ I CẢ T H Ế G I Ớ I N MA N D E LA H Ọ C VẤ N D O N G Ư Ờ I S I Ê N G N Ă N G ĐẠT Đ Ư Ợ C , TÀ I S Ả N D O N G Ư Ờ I T I N H T Ế S Ở H Ữ U , Q U Y Ề N LỢ I D O N G Ư Ờ I D Ũ N G CẢ M N Ắ M G I Ữ , T H I Ê N Đ Ư Ờ N G D O N G Ư Ờ I L Ư Ơ N G T H I Ệ N X ÂY D Ự N G F RANKLIN(M Ỹ) … M U Ố N X ÂY D Ự N G ĐẤT N Ư Ớ C , T R Ư Ớ C H Ế T P H Ả I P H ÁT T R I Ể N G I ÁO D Ụ C M U Ố N T R Ị N Ư Ớ C , P H Ả I T R Ọ N G D Ụ N G N G Ư Ờ I TÀ I … CHIẾULẬPHỌC LỤ C T R Í T U Y Ê N Đ ỘT P H Á T Ư D U Y G I Ả I N H A N H T R ẮC NG HIỆM HÌNH HỌC KHƠNG GIAN N H À X UẤT B Ả N DÂ N T R Í Bản quyền © 2018 Thầy Lục Trí Tuyên x U ất B ả N BởI NHÀ x U ất B ả N ABc GIảI c H I t I ết BÀ I tập có tạ I H ttps://est U DY e D U v N / D I S c U S S I O N Điều khoản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn khơng phép chép tài liệu ngoại trừ cho phép tác giả Bạn tìm hiểu thêm luật quyền http://www.cov gov.vn Ngoại trừ cho phép tác giả, hành vi I N SAO , M UA BÁ N , k I N H D OA N H t H ứ cấp vi phạm quyền theo luật quyền Xuất lần đầu, Tháng 10 năm 2018 Mục lục KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Đại cương khối đa diện 1.1.1 Khối đa diện 1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian 11 1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện 14 1.1.4 Bài tập áp dụng 17 1.2 Thể tích khối đa diện 18 1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp lăng trụ 18 1.2.2 Tính thể tích khối chóp 24 1.2.3 Bài tập áp dụng 38 1.2.4 Thể tích khối lăng trụ .39 1.2.5 Bài tập áp dụng 43 1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích .44 1.2.7 Bài tập áp dụng 51 1.2.8 Bài toán cực trị toán thực tế 52 1.2.9 Bài tập áp dụng 61 1.3 Khoảng cách góc 62 1.3.1 Khoảng cách 62 1.3.2 Bài tập áp dụng 71 1.3.3 Góc 72 1.3.4 Bài tập áp dụng 89 Khối tròn xoay 90 2.1 Khối nón khối trụ 90 2.1.1 Định nghĩa số thiết diện 90 2.1.2 Thể tích diện tích 93 2.1.3 Bài tập áp dụng 100 2.2 Mặt cầu khối cầu 101 2.2.1 Định nghĩa vị trí tương đối 101 2.2.2 Thể tích khối cầu diện tích mặt cầu 104 2.2.3 Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp 105 2.2.4 Bài tập áp dụng 110 2.3 Thể tích lớn nhỏ tốn thực tế khối tròn xoay 111 2.3.1 Phương pháp chung cho bào tốn cực trị hình học .111 2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính tốn thực tế .114 2.3.3 Bài tập áp dụng 117 Tra cứu theo vần 119 Lục Trí Tuyên ĐT: Chương 0972177717 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Đại cương khối đa diện 1.1.1 Khối đa diện Mục giới thiệu kiến thức đại cương khối đa diện nên khái niệm tổng hợp lại Sách giáo khoa Cơ Hình học 12 [3] nhằm thống khái niệm chương trình Định nghĩa 1.1.1: Hình đa diện Hình đa diện (H ) (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: • Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung • Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Với hai mặt S, S′ bất kỳ′ ln tồn dãy mặt S0, S1, , Sn cho S0 ≡ S, Sn ≡ S hai mặt liên tiếp dãy có cạnh chung Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện (H ) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H ) Đỉnh Cạnh Mặt Định nghĩa 1.1.2: Khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Lục Trí Tun Mỗi đa diện (H ) chia điểm lại khơng gian thành hai miền khơng giao nhau: miền miền ngồi (H ) Trong có miền chứa hoàn toàn đường thẳng Các điểm thuộc miền gọi điểm trong, điểm thuộc miền gọi điểm (H ) Khối đa diện (H ) (lấy tên với hình đa diện) hợp hình đa diện (H ) miền d Miền Điểm ngồ i Điểm Ví dụ 1.1.1 N M ngồ i Các hình khối đa diện: Ví dụ 1.1.2 Các hình khối đa diện: a ) 10 b ) c ) d) Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Hình a) khơng khối đa diện có cạnh (trên cùng) không cạnh chung hai mặt Điều vi phạm điều kiện thứ hai Định nghĩa 1.1.1 Hình b) khơng khối đa diện có mặt phẳng chứa đỉnh mặt khác Khi đó, mặt phẳng giao với mặt phẳng khác lại khơng có đỉnh chung khơng có cạnh chung Điều vi phạm điều kiện Định nghĩa 1.1.1 Hình c) khơng khối đa diện có cạnh cạnh chung bốn mặt Điều vi phạm điều kiện hai Định nghĩa 1.1.1 Hình d) khơng khối đa diện vi phạm điều kiện thứ ba Định nghĩa 1.1.1 1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian Định nghĩa 1.1.3: Phép biến hình Phép biến hình khơng gian quy tắc F mà với điểm M không gian, thực theo quy tắc F, dựng điểm M ′ Điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F, ký hiệu M ′ = F(M) Ví dụ 1.1.3: Phép tịnh tiến theo vectơ −→v − → v M Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành điểm M ′ −− ′ − ′ Ký hiệu,−− T M→→ M′ ⇔ MM v : −− −→ → → v=”.v→ cho M M =− M ′ Ví dụ 1.1.4: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) M Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành M ∈ (P) biến cho ′ (P) mặt phẳng trung thành M trực MM ′ M không thuộc (P)” Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng H H (P ) M ′ Ví dụ 1.1.5: Phép đối xứng tâm O Là quy tắc: ”Biến O thành nó, biến điểm M ̸= O thành M ′ cho O trung điểm MM ′” M Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành O gọi tâm đối xứng H O M ′ Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Ví dụ 2.2.6 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác cân S có A^SB = 120◦ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Hướng dẫn Có giao tuyến mặt (SAB) với đáy ttT = √ AB = a Đáy hình vng cạnh a nên Rd = Áp dụng định lý hàm số sin cho a ∆SAB có: A √ = 2Rb ⇒ Rb = B sin 120◦ a Áp dụng công thức (2.2) ta √ được: 1 R2 = 2a2 +3a2 −4a2 = a2 ⇒ R a = Ví dụ 2.2.7 √ Cho hình chóp S.ABCD có AB = SA = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hướng dẫn Hình vng ABCD có cạnh nên √ Rd = AO = √ Có h = SA2 − AO2 = Áp dụng cơng thức (2.3 ) có SA2 R =8 = 2h = S √ h A D O B C Vớ I cô NG t H ứ c trê N học sinh giải 90% dạng tập hỏi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Còn lại không rơi vào trường hợp trên, ta cần lưu ý số toán phổ biến sau 107 Lục Trí Tun Ví dụ 2.2.8: Tứ diện có độ dài hai cạnh đối đoạn nối trung điểm đợn vng góc chung Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b I, J trung điểm AB, CD đồng thời đoạn vng góc chung AB, CD Biết IJ = l, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Hướng dẫn Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do IJ đường trung trực chung AB CD nên O ∈ Đặt OJ = x ⇒ OI = l − x Vậy ta IJ có A a I R R2 = AI + IO2 = DJ + l− 22 a + b JO R = R ⇔ − x) = +24 x O (l D x B x Giải phương trình ta J b l a − x − 2 = b C l Khi tính R Ví dụ 2.2.9: Tứ diện có cạnh đường vng chung hai cạnh kề Cho tứ diện ABCD có AB⊥AD; AB⊥BC cho biết AB = a, CD = b > a, AD, α Tính bán kính mặt cầu ngoại góc BC tiếp tứ diện Hướng dẫn Do AB đoạn vng góc chung AD A D BC nên ta vẽ AB thẳng đứng cho dễ hình dung Từ B kẻ BE ∥ AD BE = AD ABED chữ nhật, E thuộc mặt cầu hình ngoại tiếp tứ diện ABCD Vậy ta cần a tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a A.BCE b Gọi Rd bán kính đường tròn ngoại C Mà tiếp đáy BCE ta có R d = sin √ 2E √ B E Vậ C α b2 − = CD − DE2 √ α E y b2 − = a Rd C a2 sin = α 108 Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Hình chóp A.BCE có cạnh bên AB vng góc với đáy nên áp dụng cơng thức (2.1) ta2có a AB 2 = Rd +2 Thay Rd tính vào ta R = Rd 4 + b2 − R2 =b 4 a2tan2 + α Ví dụ 2.2.10: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần Cho tứ diện gần ABCD với AB = CD = a; BC = AD = b CA = BD = c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hướng dẫn Theo trang 34 Chương tứ diện gần ta thấy tứ diện nội 2 tiếp x2= a + c −  b22 2 a +b − y2= hình hộp chữ nhật có cạnh x, y, z vớic 2 z2= b + c2− a Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật mặt cầu ngoại tiếp dễ tứ diện Mặt khác, thấy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có cạnh x, y, z x2 + y2 + R2= z2 Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần tính a2 + b2 + R2= c2 109 Lục Trí Tuyên 2.2.4 Bài tập áp dụng 110 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 2.3 Thể tích lớn nhỏ toán thực tế khối tròn xoay Mục NÀY giúp học sinh giải tốn thể tích mang tính chất thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đường tối ưu Đây coi dạng toán mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPTQG 2.3.1 Phương pháp chung cho bào tốn cực trị hình học Dạng 1: Đưa biểu thức đánh giá hàm biến Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm biến: f (x), x ∈ D Khảo sát hàm f (x) D để tìm GTLN, GTNN Ví dụ 2.3.1 Cho khối nón đỉnh O, đáy có tâm I bán kính R chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh I đáy thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi H tâm đáy hình nón đỉnh I có bán kính r, đặt x = IH, < x < h, ta có: r = h− h−R R h ⇒ r xh x Vậy thể tích khối = nón 1 2 đỉnh I V =3πr x =3h π.(h − x) x.R= x(h Xét f(x) − cóx) f 2′(x) = (h − x)2 − 2x(h − x) = h 30 ⇔ x = sát thấy GTLN V đạt x< Khảo h h = O r H h x R I 111 Lục Trí Tuyên Ví dụ 2.3.2 Trong khối nón nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R, tính thể tích khối nón tích lớn Hướng dẫn Gọi I tâm đáy khối nón (như hình vẽ) đặt OI = x, ≤ x < R Ta cần xét trường nằm = R2 − x2 SI = R S, I.AIO hợp Có Vậy + x.thể tích khối nón 1 2 V =3πAI SI =3(R − x ).(R + x) Xét hàm f(x) = (R2 − x2) A Ta có f ′(x) = −3x2 − 2Rx (R + x) CóRf2,′(x) = ⇔ x = + R > Từ dễ dàng kiểm tra thấy GTLN f(x) đạt R 32 x = Khi GTLN V R3 S R O R x I Ví dụ 2.3.3 Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất loại hộp hình trụ tích V cho trước để đựng thịt bò Gọi x, h (x > 0, h > 0) độ dài bán kính đáy chiều cao hình trụ Tìm x, h để sản xuất hộp hình trụ tốn vật liệu Hướng dẫn Ta có V = πr2h ⇒ πrh V = r Do đó, diện tích tồn phần hộp Stp =trụ 2πr2 + 2πrh = 2πr2 r 2V V 2V + ′ Xét hàm f(r) = 2πr r+có f (r) = 4πr r √ − V ′ Giải f (r) = ⇔ r π hàm số đạt = dàng kiểm tra thấy Dễ GTLN √ √ √ V V r=3 V V , h = Vậy V đạt GTLN r + h πr2 2 2 = = π π π 112 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Đưa biểu thức đánh giá hàm nhiều biến sử dụng bất đẳng thức Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm nhiều biến a, b, c, : f (a, b, c, ) Đánh giá f (a, b, c, ) dựa vào bất đẳng thức biết Các bất đẳng thức thường dùng: √ √3 • Bất đẳng thức Cơ-Si cho số dương: a + b ≥ ab; a + b + c ≥ abc Đẳng thức a = b = c = • Bất đẳng thức Bunhiakovski: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2), Đẳng thức a b x y = √ √ √ • Bất đẳng thức hình học: a2 + b2 + a2 + b2 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 Đẳng a2 thức = a1 b2 b1 x2 • Bất y2 đẳng thức Schwarz: + ≥ x y az b Đẳng thức = = a b c 2 (x + y)2 ; x2 a+ b y2 z2 + + a c ≥ b (x + y + z)2 với a, b, c > a+b +c Ví dụ 2.3.4 Trong tất tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R, tứ diện tích lớn bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi M, N trung củ điểmBC đặt x =√ OM, y = ON a AD, √ 2 Khi AD = 2R − x , BC = 22 Áp R −dụng y cơng thức (1.4) Chương M cóAD.BC.d(AD, V ta ≤1 √ BC) − x2 R2 − y2.(x + ≤√ R A Áp dụng Cô-Si y) √ √ có 2R2 − (x2 + R − x R2 − y 2 y) ≤dụng bất đẳng thức Bunhiakovski có x + y ≤ Áp √ √ x2 + y2 D R x O R y C N B 113 Lục Trí Tuyên √ √ ) 2( − t2 t với t = x2 + 2R ) ≤ y2( Khảo sát f(t) = 22R − t t dễ dàng tìm √ GTLN Vậy GTLN V R3 27 Ví dụ 2.3.5 Vậy V √ √ 46 R t = R Cho tam diện vng OABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp lần x +√ lượt R r đạt giá trị nhỏ Khi tỷ sốR y , x, y ∈ N Tính P = x r + y? Hướng dẫn 1√ Ta có: R2 = a + b2 + c2 với OA = a, OB = b, OC = c Mặt 3V ab rkhác = ta lại có (để ý c √ 2 ABC = OAB + OBC + SOCA = ab + bc + ca + a b + 2 ( S) S Stp √ ) √ cóS +2 2+ a2b2+ b2 a b + c ab + bc + ca 2 2 2 b c2 + c a c+c a Vậy R r ab = Á p dụng bất đẳng thức Cô-Si c cho ( √ ) √ √ √ √ 2 2 √ số ta có:3 a b c a b c 3+4 4 √ 2R R + 27 3abc ⇒ R “3+3 3⇒ “ ab r r “r cx+ V ậy x = 3; y = 27 ⇒ y = 30 2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính tốn thực tế Tư N G tự Mục 1.2.8 Chương 1, tốn trải hình khối tròn xoay giống trải hình khối đa diện khác chút tính tốn hình dạng hình sau trải phẳng N G OÀ I r A , sống hàng ngày bắt gặp tốn hình học thực tế khối tròn xoay đòi hỏi phải có tính tốn định Mục sách trình bày số ví dụ minh họa cho tốn 114 Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 Ví dụ 2.3.6 Cho cốc hình nón cụt với miệng cốc bán kính R = 2.5cm, đáy cốc bán kính r = 2cm độ dài đường sinh l = Một kiến bò từ điểm A đáy cốc vòng đến điểm B miệng cốc (hình bên) Tính qng đường ngắn kiến (tính gần đến hai chữ số thập phân) B A Hướng dẫn Trải cốc mặt phẳng diện tích xung quanh cốc hình vẽ (bơi B đen) ^Gọi S đỉnh hình quạt tạo thành a có r SA và2α πr= S TSA = ⇒ = SB 2πRrl SA + l R ⇒ SA = = R− r 24cm Theo cơng thức độ dài cung có R−r 2πr = SA.α ⇒ α = 2π π = l6 Có SB = SA + l = 30cm Theo định lý hàm số cos cho ∆SAB có 2 AB = SA +SB− 2SA.SB π cos = 228, 923 2πR B l A 2πr A rl R−r Thấy SB > SA2 + AB nên S^AB > 90◦ , α kiếm bò theo đường S thẳng AB Vậy quãng đường ngắn kiếm AB = 15, 13cm Ví dụ 2.3.7 Cho mặt cầu có tâm O1, O2, O3, O4 có bán kính r = đôi tiếp xúc với Một tứ diện ABCD ngoại tiếp mặt cầu cho mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện Tính độ dài cạnh tứ diện ABCD 115 Lục Trí Tuyên Hướng dẫn Dễ thấy tứ diện O1O2O3O4 tứ diện A cạnh 2r nên chiều √cao, chẳng hạn √ r d(O4, (O1O2O3)) =2√ 3 2r = Gọi I tiếp điểm (O4) với I r O4 (ABC) AI qua trung điểm M BC, D = MH = B O1 O3 sin I^AO4 = sin M^AH MA IO4 Suy = ⇒ AO = 3r H AO4 Mặt khác d ((O1O2O3), (BCD)) = r mặt cầu M O2 (O1), (O2), (O3) tiếp xúc với (BCD) Vậy AH = AO4 + d√(O4 , (O1 O2 O3 )√) + C d ((O O O ), (BCD)) = 6r = 12 + 26r 4r + 123 3√ √ √ √ Mà tứ diện có AH = √ AB ⇒ AB = AH = (2 + 2)r = + Vậy tứ diện √2 ABCD có cạnh AB = + Ví dụ 2.3.8 Với miếng tơn hình tròn có bán kính R = 9cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón (như hình vẽ) Muốn phễu tích lớn hình quạt cần để làm phễu có độ dài cung bao nhiêu? O A O AB B Hướng dẫn Gọi h bán kính đáy phễu bán kính đáy r2 = 2 R − thể h2 tích phễu V = Vậy 3πr h = 2 ′ π(R h − h ) Hàm f(h) =Rh− h có √ 6f (h) √ − 3h Dễ kiểm tra f(h) R GTLN = R h = √3 hay r = R = đạt Độ dài cung tròn cần tính chu vi đáy phễu √ 2πr = 6π 116 O h AB R Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 2.3.3 Bài tập áp dụng 117 Lục Trí Tuyên Tài liệu tham khảo [1] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Number 87 American Mathematical Soc., 1999 [2] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 11 Nhà xuất Giáo Dục, 2008 [3] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 12 Nhà xuất Giáo Dục, 2008 [4] Eric Weisstein and Stephen Wolfram Platonic solids 2008 [5] Eric W Weisstein ”conic section.” from mathworld–a wolfram web resource http://mathworld.wolfram.com/conicsection.html 2003 118 Tra cứu theo vần góc, 72 khoảng cách, 62 khối đa diện, khối đa diện đều, 14 Lục Trí Tun ĐT: 0972177717 làm chủ hình vẽ, 18 làm chủ đáy, 18 thể tích khối chóp, 24 thể tích khối lăng trụ, 39 thể tích khối đa diện, 18 tốn thực tế, 52 tỉ số thể tích, 44 đáy tam giác, 18 119 ... phương pháp tiếp cận việc tính thể tích khối chóp khối lăng trụ mà học sinh hạn chế tư ng tư ng hình khơng gian dễ dàng vận dụng Để làm điều này, học sinh trước hết phải ”biết vẽ hình (làm chủ hình. .. thẳng phép dời hình Chú ý: Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Hơn nữa, phép dời hình biến hình H thành hình H ′ biến đỉnh, cạnh, mặt H tư ng ứng thành đỉnh, cạnh, mặt H ′ Hai hình đa diện... hình (làm chủ hình vẽ) xác định yếu tố hình Đặc B I ệt, hình thức thi làm trắc nghiệm ngồi yếu tố nắm rõ phương pháp giải tốn học sinh cần phải tính tốn nhanh đáp số Chính vậy, yếu tố có tính