GI ÁO D Đ C LÀ V I CẢ TH K H M Ạ N H N H ẤT M À N G GI I TA C TH S D NG Đ T H AY I N.MANDELA H C VẤ N D O N G H U, QUY N L L I S I N G N Ă N G Đ ẠT Đ I DO NG N G T H I N X ÂY D ID C , TÀ I S Ả N D O N G NG CẢM NẮM GI , THI N Đ I TINH T S NG DO NG I C H T P H Ả I P H ÁT T R I N G I Á O D C NG FRANKLIN (M ) MU MU N X ÂY D N TR N CHI U LẬP H N G Đ ẤT N C, PHẢI TR C C, TR NG D NG NG I TÀ I L C TR TUY N Đ T PHÁ T DUY GIẢI NH A N H T R ẮC N G H I M H NH H C KH N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R NG GIAN Bản quy n © 2018 Thầy L c Tr Tuy n :/ / / Đi u khoản quy n theo luật s h u tr tu s 50/2005/QH11; bạn kh ng đ c ph p ch p tài li u ngoại tr s cho ph p c a tác giả Bạn c th t m hi u th m v luật quy n http://www.cov gov.vn Ngoại tr s cho ph p c a tác giả, m i hành vi , , đ u vi phạm quy n theo luật quy n Xuất lần đầu, Tháng 10 năm 2018 M cl c KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 1.1 Đại c ng v kh i đa di n 1.1.1 Kh i đa di n 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian 1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u 1.1.4 Bài tập áp d ng 1.2 Th t ch kh i đa di n 1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p lăng tr 1.2.2 T nh th t ch kh i ch p 1.2.3 Bài tập áp d ng 1.2.4 Th t ch kh i lăng tr 1.2.5 Bài tập áp d ng 1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch 1.2.7 Bài tập áp d ng 1.2.8 Bài toán c c tr toán th c t 1.2.9 Bài tập áp d ng 1.3 Khoảng cách g c 1.3.1 Khoảng cách 1.3.2 Bài tập áp d ng 1.3.3 G c 1.3.4 Bài tập áp d ng 9 11 14 17 18 18 24 38 39 43 44 51 52 61 62 62 71 72 89 Kh i tr n xoay 2.1 Kh i n n kh i tr 2.1.1 Đ nh ngh a m t s thi t di n c 2.1.2 Th t ch di n t ch 2.1.3 Bài tập áp d ng 2.2 Mặt cầu kh i cầu 2.2.1 Đ nh ngh a v tr t ng đ i 2.2.2 Th t ch kh i cầu di n t ch mặt cầu 2.2.3 Xác đ nh tâm bán k nh kh i cầu ngoại ti p 2.2.4 Bài tập áp d ng 2.3 Th t ch l n nh toán th c t đ i v i kh i tr n xoay 2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c 2.3.2 M t s v d v trải h nh t nh toán th c t 2.3.3 Bài tập áp d ng 90 90 90 93 100 101 101 104 105 110 111 111 114 117 Tra c u theo vần 119 Ch L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 ng KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 1.1 Đại c ng v kh i đa di n 1.1.1 Kh i đa di n M c gi i thi u ki n th c đại c ng v kh i đa di n n n khái ni m đ c t ng h p lại Sách giáo khoa C H nh h c 12 [3] nhằm th ng khái ni m ch ng tr nh Đ nh ngh a 1.1.1: H nh đa di n H nh đa di n (H ) (g i tắt đa di n) h nh đ th a mãn đ ng th i ba u ki n: c tạo b i m t s h u hạn đa giác • Hai đa giác phân bi t ch c th kh ng giao nhau, ch c m t đ nh chung, ch c m t cạnh chung • M i cạnh c a đa giác c ng cạnh chung c a đ ng hai đa giác • V i hai mặt S, S ′ bất k lu n t n m t dãy mặt S0 , S1 , , Sn cho S0 ≡ S, Sn ≡ S ′ bất k hai mặt li n ti p dãy đ u c m t cạnh chung M i đa giác nh th đ c g i m t mặt c a h nh đa di n (H ) Các đ nh, cạnh c a đa giác theo th t g i đ nh, cạnh c a h nh đa di n (H ) Đ nh Cạnh Mặt Đ nh ngh a 1.1.2: Kh i đa di n Kh i đa di n phần kh ng gian đ đ c gi i hạn b i m t h nh đa di n, k h nh đa di n L c Tr Tuy n M i đa di n (H ) chia m c n lại c a kh ng gian thành hai mi n kh ng giao nhau: mi n mi n c a (H ) Trong đ ch c mi n ch a hoàn toàn m t đ ng thẳng Các m thu c mi n đ c g i m trong, m thu c mi n đ c g i m c a (H ) Kh i đa di n (H ) (lấy c ng t n v i h nh đa di n) h p c a h nh đa di n (H ) mi n c an d Mi n Đi m N Đi m M V d 1.1.1 Các h nh d i kh i đa di n: V d 1.1.2 Các h nh d i kh ng phải kh i đa di n: a) 10 b) c) d) L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 H nh a) kh ng kh i đa di n c m t cạnh (tr n c ng) kh ng cạnh chung c a hai mặt Đi u vi phạm u ki n th hai Đ nh ngh a 1.1.1 H nh b) kh ng kh i đa di n c m t mặt phẳng ch a m t đ nh c a mặt khác Khi đ , mặt phẳng giao v i mặt phẳng khác nh ng lại kh ng c đ nh chung c ng kh ng c cạnh chung Đi u vi phạm u ki n m t Đ nh ngh a 1.1.1 H nh c) kh ng kh i đa di n c m t cạnh cạnh chung c a b n mặt Đi u vi phạm u ki n hai Đ nh ngh a 1.1.1 H nh d) kh ng kh i đa di n vi phạm u ki n th ba Đ nh ngh a 1.1.1 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh Ph p bi n h nh kh ng gian m t quy tắc F mà v i m i m M kh ng gian, th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t ch m t m M ′ Đi m M ′ đ c g i ảnh c a m M qua ph p bi n h nh F , k hi u M ′ = F (M ) → V d 1.1.3: Ph p t nh ti n theo vect − v − → v Là quy tắc: M i m M bi n thành m M ′ −−−→ → cho M M ′ = − v −−−→′ − → ′ → K hi u, T− v : M → M ⇔ MM = v M′ M V d 1.1.4: Ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P ) Là quy tắc: M i m M bi n thành ch nh n n u M ∈ (P ) bi n thành M ′ cho (P ) mặt phẳng trung tr c c a M M ′ n u M kh ng thu c (P ) N u ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P ) bi n h nh H thành ch nh n th (P ) đ c g i mặt phẳng đ i x ng c a H M H (P ) M′ V d 1.1.5: Ph p đ i x ng tâm O Là quy tắc: Bi n O thành ch nh n , bi n m i m M ̸= O thành M ′ cho O trung m c a M M ′ N u ph p đ i x ng tâm O bi n h nh H thành ch nh n th O đ c g i tâm đ i x ng c a H M O M′ 11 L c Tr Tuy n V d 1.1.6: Ph p đ i x ng qua đ ng thẳng ∆ Là quy tắc: Bi n m i m thu c ∆ thành ch nh n bi n m i m M kh ng thu c ∆ thành M ′ cho ∆ trung tr c c a M M ′ N u ph p đ i x ng tr c ∆ bi n h nh H thành ch nh n th ∆ đ c g i tr c đ i x ng c a h nh H ∆ H M M′ Đ nh ngh a 1.1.4: Ph p d i h nh hai h nh • Ph p bi n h nh F đ c g i m t ph p d i h nh n u v i hai m M, N bất k , g i M ′ , N ′ lần l t ảnh c a M, N qua ph p bi n h nh F , ta c M ′ N ′ = M N V d : Các ph p t nh ti n, đ i x ng qua mặt phẳng, đ i x ng tâm, đ i x ng qua đ ng thẳng ph p d i h nh Ch : Th c hi n li n ti p ph p d i h nh s đ c m t ph p d i h nh H n n a, ph p d i h nh bi n h nh H thành h nh H ′ th bi n m i đ nh, cạnh, mặt c a H t ng ng thành đ nh, cạnh, mặt c a H ′ • Hai h nh đa di n đ c g i n u c m t ph p d i h nh bi n h nh đa di n thành h nh đa di n V d 1.1.7 → Ph p t nh ti n vect − v bi n đa di n (H ) thành đa di n H ′ , ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ′ ) thành đa di n (H ′′ ) Khi đ , ph p d i h nh c đ c cách th c hi n → li n ti p ph p t nh ti n vect − v ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ) thành đa di n ′′ (H ) Do đ , đa di n (H ), (H ′ ) (H ′′ ) − → v O (H ′ ) (H ) 12 (H ′′ ) L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.2.3 Xác đ nh tâm bán k nh kh i cầu ngoại ti p Mặt cầu S(O; R) g i ngoại ti p m t h nh kh ng gian (nh h nh ch p, lăng tr , h nh n n, h nh tr ) n u n qua m i đ nh c a h nh kh ng gian đ Đặc bi t, ba m A, B, C ∈ S(O; R) th O ∈ ∆ v i ∆ đ ng thẳng qua tâm đ ng tr n ngoại ti p ∆ABC vu ng g c v i mặt phẳng (ABC) Đ ng ∆ c n g i tr c a đ ng tr n ngoại ti p ∆ABC (H nh 2.2) D a vào đ nh ngh a t nh chất ta m i d dàng xác đ nh đ c tâm mặt cầu ngoại ti p c a m t kh i h nh kh ng gian ∆ O C A I B H nh 2.2: Tr c c a đ ng tr n kh ng gian Đ nh l 2.2.2: Ba c ng th c t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p G i R bán k nh h nh cầu ngoại ti p h nh kh i cần t nh, Rd bán k nh đ ng tr n ngoại ti p đáy, Rb bán k nh đ ng tr n ngoại ti p mặt b n, l cạnh b n, h chi u cao GT giao n c a mặt b n v i đáy, ta c : Cạnh b n vu ng g c v i Mặt b n vu ng g c v i đáy: Các cạnh b n nhau: đáy: H nh ch p, lăng tr H nh ch p, lăng tr đ ng H nh ch p, h nh n n đ ng, h nh tr ( ) GT 2 2 Rd2 + h2 l2 R = R + R − d b = R = (2.3) ( )2 2h 2h h 2 (2.1) R = Rd + (2.2) C (2 1) : Giải s SA⊥ (Đáy) G i O tâm mặt cầu ngoại ti p, th O nằm tr n tr c ∆ c a đ ng tr n ngoại ti p đáy Do SA⊥ (Đáy) n n SA ∥ ∆, t c ∆ SA đ ng phẳng Do đ , I giao m c a ∆ trung tr c c a SA mặt phẳng (SA, ∆) Vậy ( )2 h R = AM + AI = + Rd2 2 2 S h ∆ M O R A h I Rd 105 L c Tr Tuy n C (2 2) : G i O tâm kh i cầu ngoại ti p th O nằm tr n tr c ∆ c a đáy G i I, J lần l t tâm đ ng tr n ngoại ti p c a mặt b n vu ng đáy (chẳng hạn (SAB)) mặt đáy th IM, JM ⊥AB v i M trung m c a AB Khi đ O thu c đ ng thẳng qua J vu ng g c v i mặt phẳng (SAB) Đ ng song song v i IM Ta c R2 = Rd2 + OI = Rd2 + JM AB Mà JM = JB − M B = Rb2 − ( ) AB 2 2 Vậy R = Rd + Rb − C S ∆ J O B M R I Rd A (2 3) : Tr ng h p tr c ∆ c a đ ng tr n ngoại ti p đáy tr ng v i SI Trong mặt phẳng (SAI), tâm O c a mặt cầu giao m c a SI v i trung tr c c a SA SM SO Ta c ∆SM O ∼ ∆SIA (g.g) ⇒ = SI SA SM.SA SA2 ⇒ SO = = SI 2SI SA2 (Cạnh b n)2 = Vậy R = 2h 2.(Chi u cao) S ∆ R h M O A I Rd V d 2.2.5 Cho h nh ch p S.ABCD c đáy ABCD h nh ch nhật v i AB = a, BC = 2a Cạnh SA⊥(ABCD) SC tạo v i đáy m t g c 60◦ T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh ch p S.ABCD H ng dẫn Theo giả thi t suy SCA = 60◦ √ ⇒ h = SA = AC tan 60◦ = AC √ √ √ C AC = AB + BC √ = 5a ⇒ h = 15a Lại c Rd = AC = a 2 Áp d ng c ng th c (2.1) ta c √ 15 R2 = a2 + a2 = 5a2 ⇒ R = 5a 4 106 S h A D a B 60◦ 2a C L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 V d 2.2.6 Cho kh i ch p S.ABCD c đáy ABCD h nh vu ng cạnh a, mặt b n SAB tam giác cân S c ASB = 120◦ nằm mặt phẳng vu ng g c v i đáy T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p kh i ch p H ng dẫn C giao n c a mặt (SAB) v i đáy √là GT = AB = a a Đáy h nh vu ng cạnh a n n Rd = Áp d ng đ nh l hàm s sin cho ∆SAB c : √ AB = 2Rb ⇒ Rb = a ◦ sin 120 Áp d ng c ng th c (2.2) ta đ c: 1 R = a2 + a2 − a2 = a2 ⇒ R = 12 √ 21 a V d 2.2.7 √ Cho h nh ch p đ u S.ABCD c AB = SA = T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh ch p H ng dẫn S H nh vu ng ABCD c cạnh n n √ Rd = AO = √ C h = SA2 − AO2 = Áp d ng c ng th c (2.3) c R= SA2 18 = = 2h √ h A B D O C V h c sinh c th giải quy t đ c h n 90% dạng tập h i v t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p C n lại đ i v i nh ng kh ng r i vào tr ng h p tr n, ta cần l u m t s toán ph bi n sau 107 L c Tr Tuy n V d 2.2.8: T di n c đ dài hai cạnh đ i đoạn n i trung m đ n vu ng g c chung Cho t di n ABCD c AB = a, CD = b I, J lần l t trung m c a AB, CD đ ng th i đoạn vu ng g c chung c a AB, CD Bi t IJ = l, t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD H ng dẫn G i O tâm mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD Do IJ đ ng trung tr c chung c a AB CD n n O ∈ IJ Đặt OJ = x ⇒ OI = l − x Vậy ta c 2 2 R = AI + IO = DJ + JO A a a2 b2 ⇔ R = + (l − x)2 = x2 + 4 ng tr nh ta đ c D x J b C c R V d 2.2.9: T di n c m t cạnh đ R B l a − b2 − x= 8l Khi đ t nh đ R l−x O Giải ph I ng vu ng chung c a hai cạnh k Cho t di n ABCD c AB⊥AD; AB⊥BC cho bi t AB = a, CD = b > a, g c gi a AD, BC α T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n H ng dẫn Do AB đoạn vu ng g c chung c a AD BC n n ta v AB thẳng đ ng cho d h nh dung T B k BE ∥ AD BE = AD th ABED h nh ch nhật, đ E c ng thu c mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD Vậy ta ch cần t m mặt cầu ngoại ti p h nh ch p A.BCE G i Rd bán k nh đ ng tr n ngoại CE ti p đáy BCE ta c Rd = Mà √ sin α √ CD2 − DE = b2 − a Vậy CE √ = 2 b −a Rd = sin α 108 A D a a b B E α C L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 H nh ch p A.BCE c cạnh b n AB vu ng g c v i đáy n n áp d ng c ng th c (2.1) ta c AB a2 R2 = Rd2 + = Rd2 + Thay Rd t nh đ c tr n vào ta đ c 4 R2 = b2 − a b2 + 4 tan2 α V d 2.2.10: Bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n gần đ u Cho t di n gần đ u ABCD v i AB = CD = a; BC = AD = b CA = BD = c T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n H ng dẫn Theo trang 34 c a Ch ng v t di n gầnđ u ta thấy t di n c th n i ti p đ c a + c − b2 x2 = a + b2 − c m t h nh h p ch nhật c cạnh x, y, z v i y = 2 z = b + c − a Do đ , bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh h p ch nhật c ng mặt cầu ngoại ti p t di n Mặt khác, d thấy bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh h p ch nhật c cạnh x, y, z R2 = x2 + y + z Vậy, bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n gần đ u đ R2 = c t nh b i a + b2 + c 109 L c Tr Tuy n 2.2.4 Bài tập áp d ng 110 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.3 Th t ch l n nh toán th c t đ i v i kh i tr n xoay M gi p h c sinh giải quy t nh ng toán v th t ch mang t nh chất th c t li n quan đ n giá tr l n nhất, giá tr nh c ng nh đ ng t i u Đây c th coi dạng toán m c đ vận d ng - vận d ng cao đ thi THPTQG 2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c Dạng 1: Đ a bi u th c đánh giá v hàm m t bi n T nh bi u th c cần đánh giá theo hàm m t bi n: f (x), x ∈ D Khảo sát hàm f (x) tr n D đ t m GTLN, GTNN V d 2.3.1 Cho kh i n n đ nh O, đáy c tâm I bán k nh R chi u cao h M t kh i n n khác c đ nh I đáy m t thi t di n song song v i đáy c a h nh n n đ nh O Đ th t ch c a kh i n n đ nh I l n th chi u cao c a kh i n n bao nhi u? H ng dẫn G i H tâm đáy c a h nh n n đ nh I c bán k nh r, đặt x = IH, < x < h, ta c : r h−x h−x = ⇒r= R R h h Vậy th t ch kh i n n đ nh I 1 V = πr2 x = π.(h − x)2 x.R2 3h X t f (x) = x(h − x)2 h c f ′ (x) = (h − x)2 − 2x(h − x) = ⇔ x = < h h Khảo sát thấy GTLN c a V đạt đ c x = O r H h x R I 111 L c Tr Tuy n V d 2.3.2 Trong kh i n n n i ti p m t mặt cầu tâm O bán k nh R, t nh th t ch c a kh i n n c th t ch l n H ng dẫn G i I tâm đáy c a kh i n n (nh h nh v ) đặt OI = x, ≤ x < R Ta ch cần x t tr ng h p O nằm gi a S, I C AI = R2 − x2 SI = R + x Vậy th t ch kh i n n 1 V = πAI SI = (R2 − x2 ).(R + x) 3 X t hàm f (x) = (R2 − x2 ).(R + x) A Ta c f ′ (x) = −3x2 − 2Rx + R2 , R C f ′ (x) = ⇔ x = > R T d dàng ki m tra thấy GTLN c a f (x) đạt x = 32 Khi đ GTLN c a V R3 81 S R O R x I V d 2.3.3 M t x nghi p ch bi n th c phẩm mu n sản xuất nh ng loại h p h nh tr c th t ch V cho tr c đ đ ng th t b G i x, h (x > 0, h > 0) lần l t đ dài bán k nh đáy chi u cao c a h nh tr T m x, h đ sản xuất h p h nh tr t n t vật li u H ng dẫn V r Do đ , di n t ch toàn phần c a h p tr 2V Stp = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + r 2V 2V c f ′ (r) = 4πr − X t hàm f (r) = 2πr2 + r √ r V ′ Giải f (r) = ⇔ r = 2π D dàng ki m tra thấy hàm s đạt GTLN Ta c V = πr2 h ⇒ πrh = r= 112 √ √ √ V V V V , đ h = = Vậy V đạt GTLN th r + h = 3 2π πr 2π 2π L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 Dạng 2: Đ a bi u th c đánh giá v hàm nhi u bi n s d ng bất đẳng th c T nh bi u th c cần đánh giá theo hàm nhi u bi n a, b, c, : f (a, b, c, ) Đánh giá f (a, b, c, ) d a vào bất đẳng th c bi t Các bất đẳng th c th ng d ng: • Bất đẳng th c C -Si cho s d a = b = c = √ √ ng: a + b ≥ ab; a + b + c ≥ 3 abc Đẳng th c • Bất đẳng th c Bunhiakovski: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y ), Đẳng th c • Bất đẳng th c h nh h c: a1 a2 = b1 b2 • Bất đẳng th c Schwarz: y x Đẳng th c = = a b a b = x y √ √ √ a21 + b21 + a22 + b22 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 Đẳng th c x2 y (x + y)2 x2 y z (x + y + z)2 + ≥ ; + + ≥ v i a, b, c > a b a+b a b c a+b+c z c V d 2.3.4 Trong tất t di n ABCD n i ti p mặt cầu tâm O bán k nh R, t di n c th t ch l n bao nhi u? H ng dẫn D G i M, N lần l t trung m c a AD, BC đặt x = OM, √ y = ON Khi đ √ 2 AD = R − x , BC = R2 − y R Áp d ng c ng th c (1.4) Ch ng ta c M x V ≤ AD.BC.d(AD, BC) √ 2√ ≤ R − x2 R2 − y (x + y) A Áp d ng C -Si c 2 √ √ 2R − (x + y ) R − x2 R − y ≤ √ √ Áp d ng bất đẳng th c Bunhiakovski c x + y ≤ x2 + y O y R C N B 113 L c Tr Tuy n √ √ ) 2( 2R − t2 t v i t = x2 + y ( ) Khảo sát f (t) = 2R2 − t2 t d dàng t m đ √ 3 Vậy GTLN c a V R 27 Vậy V ≤ √ √ 6 c GTLN R t = R V d 2.3.5 Cho tam di n vu ng OABC c bán k nh mặt √ cầu ngoại ti p n i ti p lần l x+ y R đạt giá tr nh , x, y ∈ N T nh P = x + y? Khi đ t s r H t R r ng dẫn 1√ Ta c : R2 = a + b2 + c2 v i OA = a, OB = b, OC = c Mặt khác ta lại c abc 3V 2 2 √ = (đ c SABC = SOAB + SOBC + SOCA ) r= Stp ab + bc + ca + ( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) √ √ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 2R Vậy = r abc Áp d ng đẳng th c C -Si cho√3 s ta c : ) ( √ √ bất √ √ 2 2 √ a b c a b c + a b4 c √ R 2R 2R + 27 ⇒ 3+3 3⇒ r abc r r Vậy x = 3; y = 27 ⇒ x + y = 30 2.3.2 M t s v d v trải h nh t nh toán th c t T M c 1.2.8 Ch ng 1, toán trải h nh đ i v i kh i tr n xoay c ng gi ng nh trải h nh kh i đa di n ch khác m t ch t v t nh toán h nh dạng c a h nh sau đ c trải phẳng N , cu c s ng hàng ngày c th bắt gặp nh ng toán h nh h c th c t v kh i tr n xoay đ i h i phải c nh ng t nh toán đ nh M c cu n sách s tr nh bày m t s v d minh h a cho toán 114 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 V d 2.3.6 Cho chi c c c h nh n n c t v i mi ng c c bán k nh R = 2.5cm, đáy c c bán k nh r = 2cm đ dài đ ng sinh l = M t ki n b t m A đáy c c đ ng m t v ng đ n m B mi ng c c (h nh b n) T nh quãng đ ng ngắn c a ki n (t nh gần đ ng đ n hai ch s thập phân) H 2.5 B A ng dẫn Trải chi c c c tr n mặt phẳng di n t ch xung quanh chi c c c nh h nh v (b i đen) G i S đ nh c a h nh quạt tạo thành α = S Ta c SA 2πr SA r = ⇒ = SB 2πR SA + l R rl = 24cm ⇒ SA = R−r Theo c ng th c đ dài cung c π R−r = 2πr = SA.α ⇒ α = 2π l C SB = SA + l = 30cm Theo đ nh l hàm s cos cho ∆SAB c AB = SA2 +SB −2SA.SB cos 2πR B B l A 2πr π = 228, 923 A rl R−r Thấy SB > SA2 + AB n n SAB > 90◦ , α đ ki m c th b theo đ ng S thẳng AB Vậy quãng đ ng ngắn c a ki m AB = 15, 13cm V d 2.3.7 Cho mặt cầu c tâm lần l t O1 , O2 , O3 , O4 c c ng bán k nh r = đ i m t ti p x c v i M t t di n đ u ABCD ngoại ti p mặt cầu cho m i mặt cầu tr n ti p x c v i mặt c a t di n T nh đ dài cạnh t di n đ u ABCD 115 L c Tr Tuy n H ng dẫn D thấy t di n O1 O2 O3 O4 t di n đ u A cạnh 2r n √n chi u √cao, chẳng hạn 2 d(O4 , (O1 O2 O3 )) = √ 2r = r 3 G i I ti p m c a (O4 ) v i (ABC) I r O4 th AI qua trung m M c a BC, đ MH = sin IAO4 = sin M AH = B MA O1 O3 IO4 Suy = ⇒ AO4 = 3r H AO4 Mặt khác d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = r mặt cầu M O2 (O1), (O2 ), (O3 ) c ng ti p x c v i (BCD) Vậy AH = AO4 + d(O √ + √ , (O1 O2 O3 )) 12 + 6 C r= r d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = 4r + 3√ √ √ √ Mà t di n đ u c AH = √ AB ⇒ AB = AH = (2 + 2)r = + √2 Vậy t di n đ u ABCD c cạnh AB = + D V d 2.3.8 V i m t mi ng t n h nh tr n c bán k nh R = 9cm Ng i ta mu n làm m t ph u cách cắt m t h nh quạt c a h nh tr n gấp phần c n lại thành h nh n n (nh h nh v ) Mu n đ c ph u c th t ch l n th h nh quạt cần đ làm ph u c đ dài cung bao nhi u? H O A O A B B ng dẫn O G i h bán k nh đáy c a chi c ph u th bán k nh đáy r2 = R2 − h2 1 Vậy th t ch c a ph u V = πr2 h = π(R2 h − h3 ) 3 ′ (h) = R2 − 3h2 D ki m tra f (h) đạt Hàm f (h) = R2 h − h3 c f√ √ R GTLN h = √ hay r = R = 3 √ Đ dài cung tr n cần t nh chu vi đáy ph u 2πr = 6π h A B 116 R L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.3.3 Bài tập áp d ng 117 L c Tr Tuy n Tài li u tham khảo [1] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Number 87 American Mathematical Soc., 1999 [2] B GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO H nh h c 11 Nhà xuất Giáo D c, 2008 [3] B GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO H nh h c 12 Nhà xuất Giáo D c, 2008 [4] Eric Weisstein and Stephen Wolfram Platonic solids 2008 [5] Eric W Weisstein conic section from mathworld a wolfram web resource http://mathworld.wolfram.com/conicsection.html 2003 118 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 Tra c u theo vần g c, 72 khoảng cách, 62 kh i đa di n, kh i đa di n đ u, 14 làm ch h nh v , 18 làm ch đáy, 18 th t ch kh i ch p, 24 th t ch kh i lăng tr , 39 th t ch kh i đa di n, 18 toán th c t , 52 t s th t ch, 44 đáy tam giác, 18 119 ... nh th c thi làm trắc nghi m th y u t nắm r ph ng pháp giải toán h c sinh cần phải t nh toán nhanh đáp s Ch nh v vậy, nh ng y u t c t nh chất quen thu c, lặp lại nhi u lần tr nh giải n n đ c h... L C TR TUY N Đ T PHÁ T DUY GIẢI NH A N H T R ẮC N G H I M H NH H C KH N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R NG GIAN Bản quy n © 2018 Thầy L c Tr Tuy n :/ / / Đi u... nh ngh a 1.1.1 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh Ph p bi n h nh kh ng gian m t quy tắc F mà v i m i m M kh ng gian, th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t