Tài liệu gồm 117 trang tổng hợp lý thuyết, phân dạng toán và hướng dẫn giải nhanh các bài tập tự luận và trắc nghiệm hình học không gian là tài liệu cho các thầy cố và sinh ôn tập nắm vững kiến thức trắc nghiệm hình học trong kỳ thi 2018 2019
GI ÁO D Đ C LÀ V I CẢ TH K H M Ạ N H N H ẤT M À N G GI I TA C TH S D NG Đ T H AY I N.MANDELA H C VẤ N D O N G H U, QUY N L L I S I N G N Ă N G Đ ẠT Đ I DO NG N G T H I N X ÂY D ID C , TÀ I S Ả N D O N G NG CẢM NẮM GI , THI N Đ I TINH T S NG DO NG I C H T P H Ả I P H ÁT T R I N G I Á O D C NG FRANKLIN (M ) MU MU N X ÂY D N TR N CHI U LẬP H N G Đ ẤT N C, PHẢI TR C C, TR NG D NG NG I TÀ I L C TR TUY N Đ T PHÁ T DUY GIẢI NH A N H T R ẮC N G H I M H NH H C KH N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R NG GIAN Bản quy n © 2018 Thầy L c Tr Tuy n :/ / / Đi u khoản quy n theo luật s h u tr tu s 50/2005/QH11; bạn kh ng đ c ph p ch p tài li u ngoại tr s cho ph p c a tác giả Bạn c th t m hi u th m v luật quy n http://www.cov gov.vn Ngoại tr s cho ph p c a tác giả, m i hành vi , , đ u vi phạm quy n theo luật quy n Xuất lần đầu, Tháng 10 năm 2018 M cl c KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 1.1 Đại c ng v kh i đa di n 1.1.1 Kh i đa di n 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian 1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u 1.1.4 Bài tập áp d ng 1.2 Th t ch kh i đa di n 1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p lăng tr 1.2.2 T nh th t ch kh i ch p 1.2.3 Bài tập áp d ng 1.2.4 Th t ch kh i lăng tr 1.2.5 Bài tập áp d ng 1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch 1.2.7 Bài tập áp d ng 1.2.8 Bài toán c c tr toán th c t 1.2.9 Bài tập áp d ng 1.3 Khoảng cách g c 1.3.1 Khoảng cách 1.3.2 Bài tập áp d ng 1.3.3 G c 1.3.4 Bài tập áp d ng 9 11 14 17 18 18 24 38 39 43 44 51 52 61 62 62 71 72 89 Kh i tr n xoay 2.1 Kh i n n kh i tr 2.1.1 Đ nh ngh a m t s thi t di n c 2.1.2 Th t ch di n t ch 2.1.3 Bài tập áp d ng 2.2 Mặt cầu kh i cầu 2.2.1 Đ nh ngh a v tr t ng đ i 2.2.2 Th t ch kh i cầu di n t ch mặt cầu 2.2.3 Xác đ nh tâm bán k nh kh i cầu ngoại ti p 2.2.4 Bài tập áp d ng 2.3 Th t ch l n nh toán th c t đ i v i kh i tr n xoay 2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c 2.3.2 M t s v d v trải h nh t nh toán th c t 2.3.3 Bài tập áp d ng 90 90 90 93 100 101 101 104 105 110 111 111 114 117 Tra c u theo vần 119 Ch L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 ng KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 1.1 Đại c ng v kh i đa di n 1.1.1 Kh i đa di n M c gi i thi u ki n th c đại c ng v kh i đa di n n n khái ni m đ c t ng h p lại Sách giáo khoa C H nh h c 12 [3] nhằm th ng khái ni m ch ng tr nh Đ nh ngh a 1.1.1: H nh đa di n H nh đa di n (H ) (g i tắt đa di n) h nh đ th a mãn đ ng th i ba u ki n: c tạo b i m t s h u hạn đa giác • Hai đa giác phân bi t ch c th kh ng giao nhau, ch c m t đ nh chung, ch c m t cạnh chung • M i cạnh c a đa giác c ng cạnh chung c a đ ng hai đa giác • V i hai mặt S, S ′ bất k lu n t n m t dãy mặt S0 , S1 , , Sn cho S0 ≡ S, Sn ≡ S ′ bất k hai mặt li n ti p dãy đ u c m t cạnh chung M i đa giác nh th đ c g i m t mặt c a h nh đa di n (H ) Các đ nh, cạnh c a đa giác theo th t g i đ nh, cạnh c a h nh đa di n (H ) Đ nh Cạnh Mặt Đ nh ngh a 1.1.2: Kh i đa di n Kh i đa di n phần kh ng gian đ đ c gi i hạn b i m t h nh đa di n, k h nh đa di n L c Tr Tuy n M i đa di n (H ) chia m c n lại c a kh ng gian thành hai mi n kh ng giao nhau: mi n mi n c a (H ) Trong đ ch c mi n ch a hoàn toàn m t đ ng thẳng Các m thu c mi n đ c g i m trong, m thu c mi n đ c g i m c a (H ) Kh i đa di n (H ) (lấy c ng t n v i h nh đa di n) h p c a h nh đa di n (H ) mi n c an d Mi n Đi m N Đi m M V d 1.1.1 Các h nh d i kh i đa di n: V d 1.1.2 Các h nh d i kh ng phải kh i đa di n: a) 10 b) c) d) L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 H nh a) kh ng kh i đa di n c m t cạnh (tr n c ng) kh ng cạnh chung c a hai mặt Đi u vi phạm u ki n th hai Đ nh ngh a 1.1.1 H nh b) kh ng kh i đa di n c m t mặt phẳng ch a m t đ nh c a mặt khác Khi đ , mặt phẳng giao v i mặt phẳng khác nh ng lại kh ng c đ nh chung c ng kh ng c cạnh chung Đi u vi phạm u ki n m t Đ nh ngh a 1.1.1 H nh c) kh ng kh i đa di n c m t cạnh cạnh chung c a b n mặt Đi u vi phạm u ki n hai Đ nh ngh a 1.1.1 H nh d) kh ng kh i đa di n vi phạm u ki n th ba Đ nh ngh a 1.1.1 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh Ph p bi n h nh kh ng gian m t quy tắc F mà v i m i m M kh ng gian, th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t ch m t m M ′ Đi m M ′ đ c g i ảnh c a m M qua ph p bi n h nh F , k hi u M ′ = F (M ) → V d 1.1.3: Ph p t nh ti n theo vect − v − → v Là quy tắc: M i m M bi n thành m M ′ −−−→ → cho M M ′ = − v −−−→′ − → ′ → K hi u, T− v : M → M ⇔ MM = v M′ M V d 1.1.4: Ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P ) Là quy tắc: M i m M bi n thành ch nh n n u M ∈ (P ) bi n thành M ′ cho (P ) mặt phẳng trung tr c c a M M ′ n u M kh ng thu c (P ) N u ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P ) bi n h nh H thành ch nh n th (P ) đ c g i mặt phẳng đ i x ng c a H M H (P ) M′ V d 1.1.5: Ph p đ i x ng tâm O Là quy tắc: Bi n O thành ch nh n , bi n m i m M ̸= O thành M ′ cho O trung m c a M M ′ N u ph p đ i x ng tâm O bi n h nh H thành ch nh n th O đ c g i tâm đ i x ng c a H M O M′ 11 L c Tr Tuy n V d 1.1.6: Ph p đ i x ng qua đ ng thẳng ∆ Là quy tắc: Bi n m i m thu c ∆ thành ch nh n bi n m i m M kh ng thu c ∆ thành M ′ cho ∆ trung tr c c a M M ′ N u ph p đ i x ng tr c ∆ bi n h nh H thành ch nh n th ∆ đ c g i tr c đ i x ng c a h nh H ∆ H M M′ Đ nh ngh a 1.1.4: Ph p d i h nh hai h nh • Ph p bi n h nh F đ c g i m t ph p d i h nh n u v i hai m M, N bất k , g i M ′ , N ′ lần l t ảnh c a M, N qua ph p bi n h nh F , ta c M ′ N ′ = M N V d : Các ph p t nh ti n, đ i x ng qua mặt phẳng, đ i x ng tâm, đ i x ng qua đ ng thẳng ph p d i h nh Ch : Th c hi n li n ti p ph p d i h nh s đ c m t ph p d i h nh H n n a, ph p d i h nh bi n h nh H thành h nh H ′ th bi n m i đ nh, cạnh, mặt c a H t ng ng thành đ nh, cạnh, mặt c a H ′ • Hai h nh đa di n đ c g i n u c m t ph p d i h nh bi n h nh đa di n thành h nh đa di n V d 1.1.7 → Ph p t nh ti n vect − v bi n đa di n (H ) thành đa di n H ′ , ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ′ ) thành đa di n (H ′′ ) Khi đ , ph p d i h nh c đ c cách th c hi n → li n ti p ph p t nh ti n vect − v ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ) thành đa di n ′′ (H ) Do đ , đa di n (H ), (H ′ ) (H ′′ ) − → v O (H ′ ) (H ) 12 (H ′′ ) L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.2.3 Xác đ nh tâm bán k nh kh i cầu ngoại ti p Mặt cầu S(O; R) g i ngoại ti p m t h nh kh ng gian (nh h nh ch p, lăng tr , h nh n n, h nh tr ) n u n qua m i đ nh c a h nh kh ng gian đ Đặc bi t, ba m A, B, C ∈ S(O; R) th O ∈ ∆ v i ∆ đ ng thẳng qua tâm đ ng tr n ngoại ti p ∆ABC vu ng g c v i mặt phẳng (ABC) Đ ng ∆ c n g i tr c a đ ng tr n ngoại ti p ∆ABC (H nh 2.2) D a vào đ nh ngh a t nh chất ta m i d dàng xác đ nh đ c tâm mặt cầu ngoại ti p c a m t kh i h nh kh ng gian ∆ O C A I B H nh 2.2: Tr c c a đ ng tr n kh ng gian Đ nh l 2.2.2: Ba c ng th c t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p G i R bán k nh h nh cầu ngoại ti p h nh kh i cần t nh, Rd bán k nh đ ng tr n ngoại ti p đáy, Rb bán k nh đ ng tr n ngoại ti p mặt b n, l cạnh b n, h chi u cao GT giao n c a mặt b n v i đáy, ta c : Cạnh b n vu ng g c v i Mặt b n vu ng g c v i đáy: Các cạnh b n nhau: đáy: H nh ch p, lăng tr H nh ch p, lăng tr đ ng H nh ch p, h nh n n đ ng, h nh tr ( ) GT 2 2 Rd2 + h2 l2 R = R + R − d b = R = (2.3) ( )2 2h 2h h 2 (2.1) R = Rd + (2.2) C (2 1) : Giải s SA⊥ (Đáy) G i O tâm mặt cầu ngoại ti p, th O nằm tr n tr c ∆ c a đ ng tr n ngoại ti p đáy Do SA⊥ (Đáy) n n SA ∥ ∆, t c ∆ SA đ ng phẳng Do đ , I giao m c a ∆ trung tr c c a SA mặt phẳng (SA, ∆) Vậy ( )2 h R = AM + AI = + Rd2 2 2 S h ∆ M O R A h I Rd 105 L c Tr Tuy n C (2 2) : G i O tâm kh i cầu ngoại ti p th O nằm tr n tr c ∆ c a đáy G i I, J lần l t tâm đ ng tr n ngoại ti p c a mặt b n vu ng đáy (chẳng hạn (SAB)) mặt đáy th IM, JM ⊥AB v i M trung m c a AB Khi đ O thu c đ ng thẳng qua J vu ng g c v i mặt phẳng (SAB) Đ ng song song v i IM Ta c R2 = Rd2 + OI = Rd2 + JM AB Mà JM = JB − M B = Rb2 − ( ) AB 2 2 Vậy R = Rd + Rb − C S ∆ J O B M R I Rd A (2 3) : Tr ng h p tr c ∆ c a đ ng tr n ngoại ti p đáy tr ng v i SI Trong mặt phẳng (SAI), tâm O c a mặt cầu giao m c a SI v i trung tr c c a SA SM SO Ta c ∆SM O ∼ ∆SIA (g.g) ⇒ = SI SA SM.SA SA2 ⇒ SO = = SI 2SI SA2 (Cạnh b n)2 = Vậy R = 2h 2.(Chi u cao) S ∆ R h M O A I Rd V d 2.2.5 Cho h nh ch p S.ABCD c đáy ABCD h nh ch nhật v i AB = a, BC = 2a Cạnh SA⊥(ABCD) SC tạo v i đáy m t g c 60◦ T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh ch p S.ABCD H ng dẫn Theo giả thi t suy SCA = 60◦ √ ⇒ h = SA = AC tan 60◦ = AC √ √ √ C AC = AB + BC √ = 5a ⇒ h = 15a Lại c Rd = AC = a 2 Áp d ng c ng th c (2.1) ta c √ 15 R2 = a2 + a2 = 5a2 ⇒ R = 5a 4 106 S h A D a B 60◦ 2a C L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 V d 2.2.6 Cho kh i ch p S.ABCD c đáy ABCD h nh vu ng cạnh a, mặt b n SAB tam giác cân S c ASB = 120◦ nằm mặt phẳng vu ng g c v i đáy T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p kh i ch p H ng dẫn C giao n c a mặt (SAB) v i đáy √là GT = AB = a a Đáy h nh vu ng cạnh a n n Rd = Áp d ng đ nh l hàm s sin cho ∆SAB c : √ AB = 2Rb ⇒ Rb = a ◦ sin 120 Áp d ng c ng th c (2.2) ta đ c: 1 R = a2 + a2 − a2 = a2 ⇒ R = 12 √ 21 a V d 2.2.7 √ Cho h nh ch p đ u S.ABCD c AB = SA = T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh ch p H ng dẫn S H nh vu ng ABCD c cạnh n n √ Rd = AO = √ C h = SA2 − AO2 = Áp d ng c ng th c (2.3) c R= SA2 18 = = 2h √ h A B D O C V h c sinh c th giải quy t đ c h n 90% dạng tập h i v t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p C n lại đ i v i nh ng kh ng r i vào tr ng h p tr n, ta cần l u m t s toán ph bi n sau 107 L c Tr Tuy n V d 2.2.8: T di n c đ dài hai cạnh đ i đoạn n i trung m đ n vu ng g c chung Cho t di n ABCD c AB = a, CD = b I, J lần l t trung m c a AB, CD đ ng th i đoạn vu ng g c chung c a AB, CD Bi t IJ = l, t nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD H ng dẫn G i O tâm mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD Do IJ đ ng trung tr c chung c a AB CD n n O ∈ IJ Đặt OJ = x ⇒ OI = l − x Vậy ta c 2 2 R = AI + IO = DJ + JO A a a2 b2 ⇔ R = + (l − x)2 = x2 + 4 ng tr nh ta đ c D x J b C c R V d 2.2.9: T di n c m t cạnh đ R B l a − b2 − x= 8l Khi đ t nh đ R l−x O Giải ph I ng vu ng chung c a hai cạnh k Cho t di n ABCD c AB⊥AD; AB⊥BC cho bi t AB = a, CD = b > a, g c gi a AD, BC α T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n H ng dẫn Do AB đoạn vu ng g c chung c a AD BC n n ta v AB thẳng đ ng cho d h nh dung T B k BE ∥ AD BE = AD th ABED h nh ch nhật, đ E c ng thu c mặt cầu ngoại ti p t di n ABCD Vậy ta ch cần t m mặt cầu ngoại ti p h nh ch p A.BCE G i Rd bán k nh đ ng tr n ngoại CE ti p đáy BCE ta c Rd = Mà √ sin α √ CD2 − DE = b2 − a Vậy CE √ = 2 b −a Rd = sin α 108 A D a a b B E α C L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 H nh ch p A.BCE c cạnh b n AB vu ng g c v i đáy n n áp d ng c ng th c (2.1) ta c AB a2 R2 = Rd2 + = Rd2 + Thay Rd t nh đ c tr n vào ta đ c 4 R2 = b2 − a b2 + 4 tan2 α V d 2.2.10: Bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n gần đ u Cho t di n gần đ u ABCD v i AB = CD = a; BC = AD = b CA = BD = c T nh bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n H ng dẫn Theo trang 34 c a Ch ng v t di n gầnđ u ta thấy t di n c th n i ti p đ c a + c − b2 x2 = a + b2 − c m t h nh h p ch nhật c cạnh x, y, z v i y = 2 z = b + c − a Do đ , bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh h p ch nhật c ng mặt cầu ngoại ti p t di n Mặt khác, d thấy bán k nh mặt cầu ngoại ti p h nh h p ch nhật c cạnh x, y, z R2 = x2 + y + z Vậy, bán k nh mặt cầu ngoại ti p t di n gần đ u đ R2 = c t nh b i a + b2 + c 109 L c Tr Tuy n 2.2.4 Bài tập áp d ng 110 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.3 Th t ch l n nh toán th c t đ i v i kh i tr n xoay M gi p h c sinh giải quy t nh ng toán v th t ch mang t nh chất th c t li n quan đ n giá tr l n nhất, giá tr nh c ng nh đ ng t i u Đây c th coi dạng toán m c đ vận d ng - vận d ng cao đ thi THPTQG 2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c Dạng 1: Đ a bi u th c đánh giá v hàm m t bi n T nh bi u th c cần đánh giá theo hàm m t bi n: f (x), x ∈ D Khảo sát hàm f (x) tr n D đ t m GTLN, GTNN V d 2.3.1 Cho kh i n n đ nh O, đáy c tâm I bán k nh R chi u cao h M t kh i n n khác c đ nh I đáy m t thi t di n song song v i đáy c a h nh n n đ nh O Đ th t ch c a kh i n n đ nh I l n th chi u cao c a kh i n n bao nhi u? H ng dẫn G i H tâm đáy c a h nh n n đ nh I c bán k nh r, đặt x = IH, < x < h, ta c : r h−x h−x = ⇒r= R R h h Vậy th t ch kh i n n đ nh I 1 V = πr2 x = π.(h − x)2 x.R2 3h X t f (x) = x(h − x)2 h c f ′ (x) = (h − x)2 − 2x(h − x) = ⇔ x = < h h Khảo sát thấy GTLN c a V đạt đ c x = O r H h x R I 111 L c Tr Tuy n V d 2.3.2 Trong kh i n n n i ti p m t mặt cầu tâm O bán k nh R, t nh th t ch c a kh i n n c th t ch l n H ng dẫn G i I tâm đáy c a kh i n n (nh h nh v ) đặt OI = x, ≤ x < R Ta ch cần x t tr ng h p O nằm gi a S, I C AI = R2 − x2 SI = R + x Vậy th t ch kh i n n 1 V = πAI SI = (R2 − x2 ).(R + x) 3 X t hàm f (x) = (R2 − x2 ).(R + x) A Ta c f ′ (x) = −3x2 − 2Rx + R2 , R C f ′ (x) = ⇔ x = > R T d dàng ki m tra thấy GTLN c a f (x) đạt x = 32 Khi đ GTLN c a V R3 81 S R O R x I V d 2.3.3 M t x nghi p ch bi n th c phẩm mu n sản xuất nh ng loại h p h nh tr c th t ch V cho tr c đ đ ng th t b G i x, h (x > 0, h > 0) lần l t đ dài bán k nh đáy chi u cao c a h nh tr T m x, h đ sản xuất h p h nh tr t n t vật li u H ng dẫn V r Do đ , di n t ch toàn phần c a h p tr 2V Stp = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + r 2V 2V c f ′ (r) = 4πr − X t hàm f (r) = 2πr2 + r √ r V ′ Giải f (r) = ⇔ r = 2π D dàng ki m tra thấy hàm s đạt GTLN Ta c V = πr2 h ⇒ πrh = r= 112 √ √ √ V V V V , đ h = = Vậy V đạt GTLN th r + h = 3 2π πr 2π 2π L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 Dạng 2: Đ a bi u th c đánh giá v hàm nhi u bi n s d ng bất đẳng th c T nh bi u th c cần đánh giá theo hàm nhi u bi n a, b, c, : f (a, b, c, ) Đánh giá f (a, b, c, ) d a vào bất đẳng th c bi t Các bất đẳng th c th ng d ng: • Bất đẳng th c C -Si cho s d a = b = c = √ √ ng: a + b ≥ ab; a + b + c ≥ 3 abc Đẳng th c • Bất đẳng th c Bunhiakovski: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y ), Đẳng th c • Bất đẳng th c h nh h c: a1 a2 = b1 b2 • Bất đẳng th c Schwarz: y x Đẳng th c = = a b a b = x y √ √ √ a21 + b21 + a22 + b22 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 Đẳng th c x2 y (x + y)2 x2 y z (x + y + z)2 + ≥ ; + + ≥ v i a, b, c > a b a+b a b c a+b+c z c V d 2.3.4 Trong tất t di n ABCD n i ti p mặt cầu tâm O bán k nh R, t di n c th t ch l n bao nhi u? H ng dẫn D G i M, N lần l t trung m c a AD, BC đặt x = OM, √ y = ON Khi đ √ 2 AD = R − x , BC = R2 − y R Áp d ng c ng th c (1.4) Ch ng ta c M x V ≤ AD.BC.d(AD, BC) √ 2√ ≤ R − x2 R2 − y (x + y) A Áp d ng C -Si c 2 √ √ 2R − (x + y ) R − x2 R − y ≤ √ √ Áp d ng bất đẳng th c Bunhiakovski c x + y ≤ x2 + y O y R C N B 113 L c Tr Tuy n √ √ ) 2( 2R − t2 t v i t = x2 + y ( ) Khảo sát f (t) = 2R2 − t2 t d dàng t m đ √ 3 Vậy GTLN c a V R 27 Vậy V ≤ √ √ 6 c GTLN R t = R V d 2.3.5 Cho tam di n vu ng OABC c bán k nh mặt √ cầu ngoại ti p n i ti p lần l x+ y R đạt giá tr nh , x, y ∈ N T nh P = x + y? Khi đ t s r H t R r ng dẫn 1√ Ta c : R2 = a + b2 + c2 v i OA = a, OB = b, OC = c Mặt khác ta lại c abc 3V 2 2 √ = (đ c SABC = SOAB + SOBC + SOCA ) r= Stp ab + bc + ca + ( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) √ √ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 2R Vậy = r abc Áp d ng đẳng th c C -Si cho√3 s ta c : ) ( √ √ bất √ √ 2 2 √ a b c a b c + a b4 c √ R 2R 2R + 27 ⇒ 3+3 3⇒ r abc r r Vậy x = 3; y = 27 ⇒ x + y = 30 2.3.2 M t s v d v trải h nh t nh toán th c t T M c 1.2.8 Ch ng 1, toán trải h nh đ i v i kh i tr n xoay c ng gi ng nh trải h nh kh i đa di n ch khác m t ch t v t nh toán h nh dạng c a h nh sau đ c trải phẳng N , cu c s ng hàng ngày c th bắt gặp nh ng toán h nh h c th c t v kh i tr n xoay đ i h i phải c nh ng t nh toán đ nh M c cu n sách s tr nh bày m t s v d minh h a cho toán 114 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 V d 2.3.6 Cho chi c c c h nh n n c t v i mi ng c c bán k nh R = 2.5cm, đáy c c bán k nh r = 2cm đ dài đ ng sinh l = M t ki n b t m A đáy c c đ ng m t v ng đ n m B mi ng c c (h nh b n) T nh quãng đ ng ngắn c a ki n (t nh gần đ ng đ n hai ch s thập phân) H 2.5 B A ng dẫn Trải chi c c c tr n mặt phẳng di n t ch xung quanh chi c c c nh h nh v (b i đen) G i S đ nh c a h nh quạt tạo thành α = S Ta c SA 2πr SA r = ⇒ = SB 2πR SA + l R rl = 24cm ⇒ SA = R−r Theo c ng th c đ dài cung c π R−r = 2πr = SA.α ⇒ α = 2π l C SB = SA + l = 30cm Theo đ nh l hàm s cos cho ∆SAB c AB = SA2 +SB −2SA.SB cos 2πR B B l A 2πr π = 228, 923 A rl R−r Thấy SB > SA2 + AB n n SAB > 90◦ , α đ ki m c th b theo đ ng S thẳng AB Vậy quãng đ ng ngắn c a ki m AB = 15, 13cm V d 2.3.7 Cho mặt cầu c tâm lần l t O1 , O2 , O3 , O4 c c ng bán k nh r = đ i m t ti p x c v i M t t di n đ u ABCD ngoại ti p mặt cầu cho m i mặt cầu tr n ti p x c v i mặt c a t di n T nh đ dài cạnh t di n đ u ABCD 115 L c Tr Tuy n H ng dẫn D thấy t di n O1 O2 O3 O4 t di n đ u A cạnh 2r n √n chi u √cao, chẳng hạn 2 d(O4 , (O1 O2 O3 )) = √ 2r = r 3 G i I ti p m c a (O4 ) v i (ABC) I r O4 th AI qua trung m M c a BC, đ MH = sin IAO4 = sin M AH = B MA O1 O3 IO4 Suy = ⇒ AO4 = 3r H AO4 Mặt khác d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = r mặt cầu M O2 (O1), (O2 ), (O3 ) c ng ti p x c v i (BCD) Vậy AH = AO4 + d(O √ + √ , (O1 O2 O3 )) 12 + 6 C r= r d ((O1 O2 O3 ), (BCD)) = 4r + 3√ √ √ √ Mà t di n đ u c AH = √ AB ⇒ AB = AH = (2 + 2)r = + √2 Vậy t di n đ u ABCD c cạnh AB = + D V d 2.3.8 V i m t mi ng t n h nh tr n c bán k nh R = 9cm Ng i ta mu n làm m t ph u cách cắt m t h nh quạt c a h nh tr n gấp phần c n lại thành h nh n n (nh h nh v ) Mu n đ c ph u c th t ch l n th h nh quạt cần đ làm ph u c đ dài cung bao nhi u? H O A O A B B ng dẫn O G i h bán k nh đáy c a chi c ph u th bán k nh đáy r2 = R2 − h2 1 Vậy th t ch c a ph u V = πr2 h = π(R2 h − h3 ) 3 ′ (h) = R2 − 3h2 D ki m tra f (h) đạt Hàm f (h) = R2 h − h3 c f√ √ R GTLN h = √ hay r = R = 3 √ Đ dài cung tr n cần t nh chu vi đáy ph u 2πr = 6π h A B 116 R L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 2.3.3 Bài tập áp d ng 117 L c Tr Tuy n Tài li u tham khảo [1] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Number 87 American Mathematical Soc., 1999 [2] B GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO H nh h c 11 Nhà xuất Giáo D c, 2008 [3] B GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO H nh h c 12 Nhà xuất Giáo D c, 2008 [4] Eric Weisstein and Stephen Wolfram Platonic solids 2008 [5] Eric W Weisstein conic section from mathworld a wolfram web resource http://mathworld.wolfram.com/conicsection.html 2003 118 L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717 Tra c u theo vần g c, 72 khoảng cách, 62 kh i đa di n, kh i đa di n đ u, 14 làm ch h nh v , 18 làm ch đáy, 18 th t ch kh i ch p, 24 th t ch kh i lăng tr , 39 th t ch kh i đa di n, 18 toán th c t , 52 t s th t ch, 44 đáy tam giác, 18 119 ... nh th c thi làm trắc nghi m th y u t nắm r ph ng pháp giải toán h c sinh cần phải t nh toán nhanh đáp s Ch nh v vậy, nh ng y u t c t nh chất quen thu c, lặp lại nhi u lần tr nh giải n n đ c h... L C TR TUY N Đ T PHÁ T DUY GIẢI NH A N H T R ẮC N G H I M H NH H C KH N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R NG GIAN Bản quy n © 2018 Thầy L c Tr Tuy n :/ / / Đi u... nh ngh a 1.1.1 1.1.2 C v ph p bi n h nh kh ng gian Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh Ph p bi n h nh kh ng gian m t quy tắc F mà v i m i m M kh ng gian, th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t