Tuyển tập 50 bài hình học cực hay tuyển sinh vào lớp 10

TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Chứng minh một tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). • Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì nội tiếp đường tròn. • Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp đường tròn. Điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. • Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Tailieumontoan.com  Nguyễn Thị Mai Quỳnh TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Tài liệu sưu tầm Các tập hình học Website: tailieumontoan.com 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN GV: CƠ MAI QUỲNH TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH Hệ thức tam giác vuông Một tam giác ABC vuông A, đường cao AH (hình 1) Ta có: • A AB = BH BC AC = CH BC • • AH = HB.HC AH BC = AB AC 1 = + • B 2 AH AB AC AC AB AC AB = ; cos B = ; tan B = ; cot B • sin B = BC BC AB AC 2 • α góc nhọn sin α + cos α = • C H Hình o sin α cos 90= α , β hai góc nhọn α + β = = β ; tan α cot β Đường tròn • Đường kính dây cung: (hình 2) - Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính - Trong đường tròn đường kính vng góc với O dây qua trung điểm dây - Trong đường tròn, đường kính qua trung A M điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây B Hình B • Tiếp tuyến đường tròn (hình 3) - AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B C O A C Liên hệ tài liệu word môn tốn zalo: 039.373.2038 Hình Các tập hình học Website: tailieumontoan.com  AB = AC    AO phân giác BAC   OA phân giác BOC • Vị trí tương đối hai đường tròn (hình 4) - Hai đường tròn (O; R) (O’; r) với R ≥ r Cắt ⇔ R − r < OO ' < R + r R r Tiếp xúc ⇔ OO ' =+ R r Tiếp xúc ⇔ OO ' =− O O O' Cắt O' Tiếp xúc O O' Tiếp xúc Hình Các loại góc liên quan đến đường tròn Tên góc Định nghĩa Cơng thức Hình vẽ tính số đo Góc có đỉnh trùng với tâm Góc tâm đường tròn sđ  AOB = sđ  AmB O gọi góc tâm B A Góc nội tiếp m A góc có đỉnh nằm Góc nội tiếp đường tròn hai chứa hai dây cung đường tròn  = sđ BC  sđ BAC O B Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 C Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Góc tạo A tia tiếp tuyến O  = sđ  sđ BAx AB x dây cung B D m Góc có đỉnh A bên E O = sđ BEC  + sđ  sđ BnC Am = sđ BEC  − sđ  sđ BC AD đường tròn C B n E D Góc có đỉnh A bên ngồi C O đường tròn B Cơng thức tính đường tròn Hình vẽ Cơng thức tính d Độ dài đường tròn C = 2π R hay C = π d R O A Độ dài cung tròn O no l B Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 l= π Rn 180 Các tập hình học Diện tích hình tròn Website: tailieumontoan.com O R Diện tích hình quạt S = π R2 S quat = π R 2n 360 hay S quat = lR Chứng minh tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) • Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180o tứ giác nội tiếp đường tròn • Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α nội tiếp đường tròn • Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) nội tiếp đường tròn Điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác • Chứng minh phương pháp phản chứng Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com 50 BÀI TẬP CHỌN LỌC Câu Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tích AH AK theo R Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó? Câu Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH < R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B (E nằm B H )  ∆ABH # ∆EAH Chứng minh  ABE = EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB = R Câu Cho đường tròn (O) có đường kính AB = R E điểm đường tròn (E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh ∆KAF # ∆KEA Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE , chứng minh đường tròn ( I ) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F Chứng minh MN / / AB, M N giao điểm thứ hai AE , BE với đường tròn ( I ) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Câu Cho (O; R) điểm A nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K ( O; R ) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN Câu Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE = DB.DC  = OCB  Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng Chứng minh CFD minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Cho biết DF = R, chứng minh tan  AFB = Câu Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1 d hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d M, N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp  = EBI  MIN  = 90o Chứng minh ENI Chứng minh AM BN = AI BI Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Câu Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp Chứng minh  ACM =  ACK Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d AP.MB = R cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Liên hệ tài liệu word môn tốn zalo: 039.373.2038 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Câu Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp Chứng minh AN = AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm, AN = 6cm Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh: MT // AC Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đầu Câu Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Câu 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm nằm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA.CB = CH CD Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm DH Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Câu 11 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com AB BD = AE BE Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh: Chứng minh HK / / DC Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Câu 12 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M, N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh NB = NK NM Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Câu 13 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO  Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường tròn cố định Câu 14 Cho đường tròn ( O ) , đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By đường tròn M điểm đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M đường tròn cắt Ax, By P, Q Chứng minh rằng: Tứ giác APMO nội tiếp Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ Chứng minh rằng: AP.BQ = AO Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Khi điểm M di động đường tròn ( O ) , tìm vị trí điểm M cho diện tích tứ giác APQB nhỏ ( O ) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( O ) ( M , N ∈ ( O ) ) Qua A vẽ đường thẳng cắt đường tròn ( O ) hai điểm B, C phân biệt (B nằm A, C ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng Câu 15 Cho đường tròn BC Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp đường tròn Chứng minh AN = AB AC Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN E Chứng minh EH / / NC Câu 16 Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm A cho OA = 3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ với đường tròn (O; R) ( P, Q tiếp điểm) Lấy M thuộc đường tròn (O; R ) cho PM song song với AQ Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AM với đường tròn ( O; R ) Tia PN cắt đường thẳng AQ K Chứng minh tứ giác APOQ tứ giác nội tiếp KA2 = KN KP  Kẻ đường kính QS đường tròn ( O; R ) Chứng minh NS tia phân giác PNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính đội dài đoạn thẳng AG theo bán kính R Câu 17 Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE , CF cắt H Tia AO cắt đường tròn ( O ) D Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn; Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành; Gọi M trung điểm BC , tia AM cắt HO G Chứng minh G trọng tâm tam giác BAC Câu 18 Cho đường tròn ( O; R ) có đường kính AB cố định Trên tia đối tia AB lấy điểm C cho AC = R Qua C kẻ đường thẳng d vng góc với CA Lấy điểm M ( O ) không trùng với A, B Tia BM cắt đường thẳng d P Tia CM cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai N , tia PA cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Chứng minh tứ giác ACPM tứ giác nội tiếp; Tính BM BP theo R Chứng minh hai đường thẳng PC NQ song song; Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 68 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com CI CD ( ) Có ∆CKI # ∆CDQ ( g g ) ⇒ CK CQ = HD Mà OH ⊥ CD ⇒ HC = CH 2CH CH (3) Do = CI CD = Từ (1); (2) (3) ⇒ CF = CH ⇒ CF = CH = KF ⇒ ∆CEF cân C ⇒ CE = CF Có OK ⊥ EF ⇒ KE = CF = CH Vậy CE Câu 37 Cho đường tròn ( O; R ) có hai đường kính vng góc AB CD Gọi I trung điểm OB Tia CI cắt đường tròn (O; R) E Nối AE cắt CD H; nối BD cắt AE K Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp Chứng minh AH AE = R  Tính tan BAE Chứng minh OK vng góc với BD Giải:  = 90o Ta có CD đường kính đường tròn (O; R) nên CED  = 90o Theo giả thiết BOD C  + IOD = 180 Do đó: IED o Suy tứ giác OIED tứ giác nội tiếp ∆AOH # ∆AEB (g.g) AO AH = ⇒ AE AH = AO AB = R AE AB  1=  45o BEC BOC Ta có:=   = AEC = AOC 45o AEB Suy EI phân giác  EB IB = = Do ⇒ EA IA BE  = = Vậy tan BAE AE ⇒ A Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 O B I H K D E 69 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com OA OD  Xét ∆OHA vng O, ta có OH H trọng tâm = OA.tan OAH = = 3 tam giác DAB Do AK đường trung tuyến tam giác DAB Suy KB = KD Vì OK ⊥ DB (quan hệ đường kính – dây cung) Câu 38 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ dây BC ⊥ AD H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻ CK ⊥ AM K Đường thẳng BM cắt CK N Chứng minh AH AD = AB Chứng minh tam giác CAN cân A Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy HD, đường cao BH Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn Giải: Tam giác ABD vuông B, BH ⊥ AD B nên AH AD = AB = HC ⇒ ∆ABC cân Do AH ⊥ BC ⇒ HB ABC =  ACB A  ACB =  AMB nên  ABC =  AMB Mà   (1) ⇒ ABC = KMN Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O;  (cùng bù với  AMC ) ABC = KMC R) nên  A O H M E I (2) =  KMC Từ (1) (2) ⇒ KMN Lại có MK ⊥ CN (giả thiết) ⇒ ∆MCN cân C K N KN M ⇒ KC = Tam giác CAN có AK ⊥ CN KC = KN nên ∆ACN cân A = OD = R nên tam giác OBD BD , mà OB Khi OH = HD, tam giác BOD cân B ⇒ BO = R = ⇒ BOH 60o ⇒ BH = OB.sin 60o = ⋅ Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 D 70 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Thể tích hình nón V = π r h = r HD = Trong đó: R R , h BH = = 2 R R π R3 π⋅ ⋅ = ⋅ 2 Hạ NE ⊥ AB Vì AB khơng đổi nên S ABN lớn NE lớn Vậy V = Ta có: AN = AC không đổi Mà NE ≤ NA, dấu xảy E ≡ A Lấy I đối xứng với B qua O Khi E ≡ A  = 90o NA qua I NAB  nên M điểm cung nhỏ IC Mặt khác AM phân giác NAC Vậy điểm M cần tìm điểm cung nhỏ IC Câu 39 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn ( AC ≤ AB ) Dựng phía ngồi ∆ABC hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường tròn F Nối BF cắt ED K Chứng minh điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minh AB = EK o  Cho= ABC 30 = ; BC 10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn dây AC cung nhỏ AC Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ∆ABC lớn Giải: ACED hình vng  = CDE  = 45o ⇒ CAE Tứ giác BCAF nội tiếp đường tròn  = (O) ⇒ FBC CAE ) (cùng bù với góc CAF  = CDE  ⇒ FBC  + CDK  = 180o ⇒ FBC ⇒ BCDK tứ giác nội tiếp o   = 90 = CEK Có: BAC Mà tứ giác BCDK tứ giác nội tiếp ⇒  ⇒ ABC = CKD ACB = ECK Lại có: AC = CE (cạnh hình vng) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 71 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Suy ∆ABC = ∆EKC (cạnh góc vng – góc nhọn) ⇒ AB = EK Vì  AOC = 60o , tam giác OAC tam giác ABC = 30o nên  R Gọi diện tích hình viên phân S, ta= có: S S quat AOC − S AOC Kẻ AH ⊥ BC ,= ta có AH OA = sin 60o S = = 60o π R − OC AH o 360 π R2 − π 3R  25(2π − 3) = R  − (cm )  = 12 6  Chu vi ∆ABC lớn ⇔ AB + AC lớn Áp dụng BĐT 2( x + y ) ≥ ( x + y ) Ta có: ( AB + AC ) ≤ 2( AB + AC ) = BC = R ⇒ AB + AC ≤ 2 R = AC ⇔ A điểm nửa đường tròn đường kính BC Dấu '' = '' xảy AB Câu 40 Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AB.AD không đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi Chứng minh OD ⊥ MC Giải: Có MA = MB; OA = OB = R nên OM trung trực AB nên OI ⊥ AB IA = IB  + OCD  =180o ⇒ OIDC tứ giác nội tiếp Lại có OC ⊥ CD nên OID ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa Có  M đường tròn) Mà ∆ACD vng C nên AB AD = AC D không đổi AOBE hình thoi ⇔ AE = EB = BO = OA ⇔ ∆AOE ⇔  AOE = 60o B E ∆AOM vuông A nên I = AM OA = tan 60o R A Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 O C 72 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com  ), MAO    (cùng phụ với MAB AMO = BAC = OCD = 90o  AM AO = Nên ∆AMO # ∆CAD ( g g ) ⇒ AC CD AM OC =  =⇒ tan MCA tan ODC Mà OA = OC = R , suy AC CD  = ODC  ⇒ ODC  + MCD  = 90o Do OD ⊥ MC ⇒ MCA Câu 41 Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB D điểm C thuộc đường tròn Gọi M N điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I Hạ ND ⊥ AC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF C N M I E  Tính MIC Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) B A K Chứng minh F thuộc đường tròn ( O; R ) o  30 Cho = CAB = ; R 30cm Tính thể tích hình tạo thành cho ∆ABC quay vòng quanh F AB Giải:   =1 ( sđ M A + sđ CN  ) =1 sđ  AB =45o ⇒ M IC =135o MIA  = NB  ⇒ ON ⊥ BC E Có: NC = ACB = 90o ⇒ DCE 90o Lại có:  Mà ND ⊥ CD ( gt ) ⇒ CEND hình chữ nhật ⇒ DN ⊥ ON N ⇒ DN tiếp tuyến (O)  = NCD  Theo tính chất hình chữ nhật ta có: EDC =F ⇒F  = DNC ⇒F + Mà EDC ACN = 180o ON // AC (cùng ⊥ CB) ⇒ N , E , O, F thẳng hàng Suy ACNF tứ giác nội tiếp ⇒ F ∈ (O) o   = 60o Hạ CK ⊥ AB Tam giác ABC = có A 30 = , C 90o nên B Do đó, ∆OBC tam giác ⇒ BK = KO = R R ; BC = R; CK = ⋅ 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 O 73 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Khi quay ∆ABC vòng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A, hình nón đỉnh B có tâm hình tròn đáy K , bán kính CK Gọi thể tích tạo thành V, ta có: 1 V = π CK AK + π CK BK = π CK ( AK + BK ) 3 = 1 3R π R3 π CK AB = π ⋅ ⋅ 2R = = 500π (cm3 ) 3 Câu 42 Cho đường tròn ( O; R ) với dây AB cố định Gọi I điểm cung lớn AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB Hạ AH ⊥ IM ; AH cắt BM C Chứng minh ∆IAB ∆MAC tam giác cân Chứng minh C thuộc đường tròn cố định M chuyển động cung nhỏ IB B A Tìm vị trí M để chu vi ∆MAC lớn Giải: O M  ⇒ IA= IB ⇒ ∆IAB cân I = IB Vì IA =  (cùng bù với IMC Tứ giác ABMI nội tiếp ⇒ IAB H ) IMB  IBA   IMA    IMC Ta có: = IAB = ; IBA = ; IAB I =  ⇒ IMA IMC Lại có: MH ⊥ AC ⇒ ∆MAC cân M Từ chứng minh ⇒ MI đường trung trực C AC ⇒ IC = IA khơng đổi ⇒ C thuộc đường tròn ( I ; IA) x d Chu vi ∆MAC = MA + MC + AC = 2( MA + AH )  = IBA  ( không đổi IBA  < 90o ) Có HMA   = IAB = α Ta có: AH = MA.sin α Đặt HMA K Vậy chu vi ∆MAC = MA(1 + sin α ) E H Chu vi ∆MAC lớn MA lớn ⇔ A, O, M M thẳng hàng I Câu 43 Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 A O B 74 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com K ( AK ≥ R ) Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d ⊥ AB O, d cắt MB E Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp; OK cắt AM I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật; Gọi H trực tâm ∆KMA Chứng minh K chuyển động Ax H thuộc đường tròn cố định Giải:   = KMO = 90o ⇒ KAOM nội tiếp KAO Theo tính chất tiếp tuyến: KA = KM KO phân giác  AKM ⇒ KO ⊥ AM I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác vng AOK ta có OI OK = OA = R2 =  Có OK // BM (cùng ⊥ AM ) ⇒ KOA EBO   Mà OA = OB = R; KAO = EOB = 90o ⇒ ∆AKO = ∆OEB (c.g c)  = 90o ⇒ AK = OE , mà AK // OE , KAO ⇒ AKEO hình chữ nhật H trực tâm ∆KMA ⇒ AH ⊥ KM , MH ⊥ KA ⇒ AH // OM , MH // OA Do AOMH hình bình hành ⇒ AH = OM = R Vậy H thuộc đường tròn ( A; R) Câu 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB = R Gọi C trung điểm OA Dây MN ⊥ AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB Chứng minh ∆BMN tam giác Tìm vị trí điểm K để tổng KM + KN + KB lớn Giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 75 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com o   90  + HKB = = Có BKA = ; MCB 90o ⇒ HCB 180o nên tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp M K H A C O B E N AC AH = ⇒ AH AK = AB AC = R AK AB = CN ⇒ ∆BMN cân B Vì OC ⊥ MN ⇒ CM ∆ACH # ∆AKB( g g ) ⇒ ∆MAB vuông M ⇒ AM = AC AB= R MA = = =⇒ MAB 30o ⇒ AM = R Do sin MBA MB  = NCB  (tính chất tam giác cân) ⇒ MNB = 60o Mà MCB Do ∆MNB tam giác Trên KN lấy E cho KE = KM   = 60o ⇒ MKN = 60o ⇒ ∆KME Vì tam giác BMN nên MBN  = 60o Do ME = MK KME  = 60o )  = EMN  (cùng cộng với BME Lại có: MB = MN KMB ⇒ ∆KMB = ∆EMN (c.g c) ⇒ KB = EN Từ KM + KB = KN ⇒ S = KM + KN + KB = KN S lớn ⇔ KN lớn ⇔ K , O, N thẳng hàng Câu 45 Cho đường tròn ( O; R ) điểm A ngồi đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC ( IB < IC ) Kẻ đường thẳng d ⊥ OI I Đường thẳng d cắt AB, AC E F Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Liên hệ tài liệu word môn tốn zalo: 039.373.2038 76 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Chứng minh I trung điểm EF K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC M N Tính chu vi ∆AMN OA = R Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P Q Tìm vị trí A để S APQ nhỏ E P Giải : B Có OB ⊥ AB, OC ⊥ AC (tính chất tiếp tuyến)  =OBE  =90o ⇒ OIBE nội tiếp ⇒ OIE  + OCF  =180o ⇒ OIFC OIF M I O A nội tiếp Tứ giác OIBE nội tiếp =  Tương tự OBI ⇒ OEI  = OCI  Mà OB = OC = R OFI  = OCI  ⇒ OEI  = OFI  ⇒ OBI K F N C d Q IF (Đpcm) ⇒ ∆OEF cân O Mà OI ⊥ EF ⇒ IE = Có = MK MB = , NK NC Suy chu vi ∆AMN = AC + AB = AC = AO − OC = 3R = R , PQ ⊥ AO ⇒ ∆APQ cân A ⇒ S Có AO phân giác PAQ S AOQ APQ = S APQ = AQ.OC mà OC = R không đổi, S APQ nhỏ ⇔ AQ nhỏ OC = R2 ∆OAQ vuông O ⇒ AC.CQ = Mà AQ = AC + CQ ≥ AC.CQ = R, dấu '' = '' xảy AC = CQ A = 45o ⇔ OA = R = CQ ⇔ ∆OQA vuông cân O ⇔  S APQ ⇔ AC Câu 46 Cho đường tròn ( O ) ( O ') cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt ( O ) ; ( O ') điểm thứ hai C , D Đường thẳng O ' A cắt ( O ) ; ( O ') điểm thứ hai E , F Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 77 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp I đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung ( O ) ( O ') ( P ∈ ( O ) , Q ∈ ( O ') ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ E Giải: D ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa Ta có:  đường tròn)  ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường A O O' tròn) Nên B, C, F thẳng hàng B C F Có AB; CE DF đường cao ∆ACF nên chúng đồng quy   = IBF = 90o suy BEIF nội tiếp Do IEF P H Q đường tròn Gọi H giao điểm AB PQ Ta chứng minh ∆AHP # ∆PHB ⇒ HP HA = ⇒ HP = HA.HB HB HP Tương tự, HQ = HA.HB Vậy HP = HQ hay H trung điểm PQ Câu 47 Cho hai đường tròn ( O; R ) ( O '; R ') với R > R ' cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D ∈ ( O ) E ∈ ( O ') cho B gần tiếp tuyến so với A  = BDE  Chứng minh DAB Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với AB Giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 78 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com D M B B P Q O O' A  = sđ DB  (góc nội tiếp) Ta có DAB  = sđ DB  (góc tiếp tuyến dây cung) BDE  = BDE  Suy DAB Xét ∆DMB ∆AMD có:  chung, DMA  = BDM  DAM Nên ∆DMB # ∆AMD (g.g) MD MA = ⇒ hay MD = MA.MB MB MD ME MA = hay ME = MA.MB MB ME Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE  = BDM  , EAB   = BEM Ta có DAB Tương tự ta có: ∆EMB # ∆AME ⇒  + PBQ  = DAB  + EAB  + PBQ  = BDM  + BEM  + DBE  = 180o ⇒ PAQ  = PAB  ⇒ Tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ PQB  = BDM   = BDM  suy PQB Kết hợp với PAB Hai góc vị trí so le nên PQ song song với AB Câu 48 Cho đường ( O; R ) đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB ; Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 79 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Chứng minh điểm M , D, O, H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC , MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Giải: P M C B I H A d O D Q  = 90o Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB hay OHM  = 90o Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD ⊥ DM hay ODM Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân M  ⇒ MI đường phân giác CMD  = sđ DI  = MCI  = sđ CI  nên DCI  Mặt khác I điểm cung nhỏ CD 2  Vậy I tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD ⇒ CI phân giác MCD Ta có ∆MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính: QM R( MD + DQ) = S 2= SOQM .OD= Từ S nhỏ ⇔ MD + DQ nhỏ Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM = DQ OD = R2 không đổi nên MD + DQ nhỏ ⇔ DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 80 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Câu 49 Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) Ba đường cao AD; BE ; CF cắt H Gọi I trung điểm BC , vẽ đường kính AK Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng Chứng minh DA.DH = DB.DC  60 Cho = BAC = ; S ABC 20cm Tính S ABC Cho BC cố định; A chuyển động cung lớn BC cho ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh điểm H ln thuộc đường tròn cố định Giải: Vì B C thuộc đường tròn đường kính ABK ACK =  = 90o AK:  Do A BH / / CK CH / / BK ⇒ BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HK O Suy H; I; K thẳng hàng  = DAC  (cùng phụ với  ACB ) Ta có HBD F nên ∆DBH # ∆DAC ( g g ) DB HD DA.DH = ⇒ DB.DC = DA DC Vì  AEB =  AFC = 90o ⇒ ∆AEB # ∆AFC ( g g ) Suy H I B C D AE AB  = ; BAC chung AF AC ⇒ ∆AEF # ∆ABC ( c.g c ) K Suy S  AE  Do AEF =   S ABC  AF  AE  cos 60o = cosBAC = = Mà AB S Suy AEF =⇒ S ABC = S AEF = 80cm S ABC 4 Lấy O’ đối xứng với O qua I suy O’ cố định Ta có IH = IK ; OK = OA = R nên OI đường trung bình ∆KHA Do OI / / AH OI = AH Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 E O' 81 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com Suy OO '/ / AH , OO ' = AH nên OO ' HA hình bình hành H OA = R (khơng đổi) Do O '= Vậy H thuộc đường tròn (O’;R) cố định Câu 50 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ⊥ AB H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nối AE cắt đường tròn (O;R) F Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích ∆CEF Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định E Giải: C Do F thuộc đường tròn đường kính AB nên  AFB = 90o  = Suy BFE  Có ECA = K F Nên A EC EA = ⇒ EC.EB = EA.EF EF EB Từ chứng minh suy AC, BF, EH ∆ECA# ∆EFB ( g g ) ⇒ đường cao ∆EAB nên chúng cắt I EC EA = Do  AEB chung nên ∆ECF # ∆EAB EF EB (cạnh – góc – cạnh) S ECF  EC  =  S EAB  EA  (1) = = OC = R nên ∆OBC vng cân O ⇒ OBC 45o Vì OB 3R Do ∆HBE vng cân H ⇒ EH =HB = ⋅ Mà AH = I  BHE = 90o ⇒ BHFE tứ giác nội tiếp  EFB = 90o ;  AEC chung R R R 10 R R 10 2 nên AE = AH + HE = + = ⇒ AE = 4 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 B H O D 82 Các tập hình học Website: tailieumontoan.com 9R2 3R ⇒ BE = 2 EC HO R Lại có: OC / / EH (cùng ⊥ AB ) nên = = ⇒ EC = EB = EB HB Tương tự BE = HB + HE = 1 3R  EC  ⇒ = ⇒ S = S = ⋅ ⋅ EH ⋅ AB = ECF EAB  5 10  EA  ;   Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên  AEB = CHB AEB =  AHF ⇒  AHF = CHB  AHF = DHB Suy   Có HO ⊥ OC , OC = AHF = DHB OD nên ∆HCD cân H nên   mà   =180o ⇒ DHB  + FHB  =180o AHF = DHB AHF + FHB Do  Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 ... Các tập hình học Website: tailieumontoan.com 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN GV: CƠ MAI QUỲNH TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH Hệ thức tam giác vuông Một tam giác ABC vuông A, đường cao AH (hình. .. tâm vng góc với dây B Hình B • Tiếp tuyến đường tròn (hình 3) - AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B C O A C Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Hình Các tập hình học Website: tailieumontoan.com... tròn Hình vẽ Cơng thức tính d Độ dài đường tròn C = 2π R hay C = π d R O A Độ dài cung tròn O no l B Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 l= π Rn 180 Các tập hình học Diện tích hình