Tuyển tập 50 bài toán Oxy hay và khó ( Luyện thi THPT quốc gia môn Toán )

Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thằng AB và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D N   của tam giác ABC biết E D, đều thuộc đường thẳng x 3 0... Chú ý: Yếu tố vuôn

Trang 1

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan

Bài 1 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn và ABBCCA

Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thằng AB và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D

N  

của tam giác ABC biết E D, đều thuộc đường thẳng x 3 0

Giải: Ta có MDđi qua 1; 0

N  

  nên có phương trình: 4x5y 2 0

Khi đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

Suy ra CA là đường trung trực của EDCAED

4

N  

đường thẳng ED x:  3 0 nên phương trìnhCA y:  1

Suy ra C c( ; 1) , khi đó B(1c;1) (vì M là trung điểm của BC )

1

A y

2

1 1

N

M

C B

A

Trang 2

Bài 2 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 2;0) Đường thẳng  có phương trình 3x y 0 đi qua C và chỉ có một điểm chung C với hình bình hành, cắt đường kéo

BD tại điểm M( 2;6) Gọi 2 6; ,

Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD và A I', ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A I, lên 

Khi đó II' là đường trung bình trong cả hình thang BHKD và tam giác AA C '

M( 2;6) Δ: 3x + y = 0

H 2

5;

6 5

Trang 3

Bài 3 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A (ABAC) Trên

cạnh AB lấy điểm I sao cho AI AC Đường tròn đường kính IB cắt BC tại 60 15;

1 1

4 3 2 1

Trang 4

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAỊVN facebook.com/ ThayTungToan

Do A N, khác phía với MI nên phương trìnhMI :5x3y15 0 BC: 3x5y150

Do A M, khác phía so với NC nên NC có phương trình: x  y 3 0

Khi đó AB đi qua A(0;0) vuông góc với AC nên có phương trình: y0

Chú ý: Trong hình vẽ bài toán này, ta có thể khai thác thêm tính chất EDAN để sáng tạo ra các đề bài mới,

Bài 4 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Đường thẳng đi qua B

vuông góc với AC tại H có phương trình y1 Gọi 2;3 , 3; 1

N

1 1

B(?)

H

N M

Ẳ)

Trang 5

1

x

H y

Khi đó DC đi qua N song song với AB nên có phương trình: x  y 2 0

Do ABCD là hình chữ nhật nên CD BA ( 2; 2)D(0; 2) Vậy A(2;3), (4;1), (2;0)B C , (0;2)D

Chú ý: Yếu tố vuông góc trong bài toán, cụ thể BM MN sẽ luôn được giữ nguyên nếu đề bài đảm bảo được

BE có phương trình: x 1, khi đó AC đi qua E( 1; 2)

vuông góc với BE nên AC có phương trình: y2

Lúc này ta sẽ chỉ ra M cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp

tam giác DEN hay ta sẽ chứng minh MEND là tứ giác

nội tiếp đường tròn Thật vậy:

Trang 6

NAEEDM BDE (cùng bù với BDE ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : MNE= EDM , suy ra MEND nội tiếp đường tròn

Bài 6 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )T Biết

Ta có EM là trung tuyến của tam giác vuông AEB

I E

Trang 7

Bài 7 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường

tròn ( )T và C(1;0) Biết tiếp tuyến của đường tròn ( )T tại B cắt AC tại E Gọi 1; 2

  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Giải:

Gọi M là giao điểm của CF và đường tròn ( )T

Lúc này ta sẽ chứng minh M cũng thuộc đường

tròn ngoại tiếp tam giác AEF hay ta sẽ đi chứng minh

AEFM nội tiếp đường tròn tâm J Thật vậy:

Ta có phương trình trung trực d của 1 DC là : x  y 2 0

phương trình trung trực d của 2 MC là: 3x4y 1 0

Khi đó tọa độ tâm I của đường tròn ( )T ngoại tiếp tam giác ABC (hay ngoại tiếp tam giác MBC )

2

1

D

M F

E

J

I

C B

A

Trang 8

Do ABC vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC , do đó B(1; 2)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ngoại tiếp tam giác AEF lần lượt có phương trình:

x y x y

x y

của đoạn BC và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình x3y 5 0 Gọi E F, lần lượt là chân

đường cao kẻ từ đỉnh B C, của tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng đi qua hai điểm E F, có phương trình 2x  y 2 0

I 

 NEA và MCE lần lượt cân tại N và M

N

E

F

C B

Ẳ)

M

4 1

1

Trang 9

Bài 9 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm

(2;1)

J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình 2x y 100 và D(2; 4) là

giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x  y 7 0

 Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Mặt khác:

1212

Từ (1) và (2) suy ra:  EBDDJB

hay tam giác DBJ cân tại D, suy ra DBDJ (*) Lại có  

Từ (*) & (2*) suy ra: DBDJ DC hay D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC

 Suy ra B C, nằm trên đường tròn tâm D(2; 4) bán kính DJ 5 có phương trình :

x y

B B

 



 



Do B có hoành độ âm nên ta được B( 3; 4) 

Khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ :

x y

Trang 10

Bài 10 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của AB Đường thẳng CM có phương trình 5x7y200 và 11; 7

K  

2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết A và C có tọa độ nguyên

Giải:

Gọi G , I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Gọi N là trung điểm của MA, khi đó :

2

74

A m

I G M

C(?) B(?)

Ẳ)

K

Trang 11

Bài 11 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;0) và trực

tâm H Biết B C, thuộc đường thẳng 2x  y 4 0 và 1 1;

3 3

K 

của tam giác ABC

Giải:

Cách 1:

Ta có AH đi qua K vuông góc với BC nên có phương trình: x2y 1 0

Gọi M m( ; 4 2 ) m là trung điểm của BC và A a(2 1; )a AH, suy ra (2 2 ; )

Trang 12

+) Ngoài cách tìm điểm B C, như trên ta có thể tìm điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

hệ thức quen thuộc  AK IM (hay AH2IM) Từ đây ta sử dụng dữ kiện IBIA (hoặc tìm giao của đường

thẳng BC với đường tròn ( ,I IA)) để tìm ra điểm B và C

Khi đó IM là đường trung bình của tam giác AHJ , suy ra / /

Khi đó IM đi qua N vuông góc với BC nên có phương trình: x2y 2 0

A

Trang 13

Chú ý: Có thể tìm tọa độ B C, bằng cách viết phương trình đường tròn ( ,I IA) và tìm giao với BC

Bài 12.1 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh 11 1;

x y

D D

C

B

D(?)

A

Trang 14

Bài 12.2 (HSG Phú Thọ – 2016) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 5; 2) ,

( 1; 2)

biết tanDAM2

Bài 13.1 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

tâm I Điểm M(2; 1) là trung điểm cạnh BC và điểm E là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng

AI Gọi D là giao điểm của ME và AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có phương trình

Suy raABED nội tiếp đường tròn tâm J là trung điểm của AB

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có phương trình

( ) :T x2y24y 6 0J(0; 2) và B( )T

D E

C(?) B(?)

M( 1; 2)

A( 5;2)

tan DAM=2

Trang 15

AI Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng AC có phương trình 3x2y130

Khi đó AE đi qua E và vuông góc với BE nên có phương trình: 11x3y260

Trang 16

Ta có AI vuông góc với BT tại E E là trung điểm của BT tam giác ABT cân tại AABAT

Suy ra BCA TCA hay AC là phân giác của góc  BCT (đpcm)

Do ME là đường trung bình của tam giác BTCCN/ /ME

Suy ra CN đi qua N và song song ME nên CN có phương trình:

  C(5; 1) B( 1; 1)  (do M là trung điểm của BC )

AE đi qua E và vuông góc với BE nên có phương trình: 11x3y260

Bài 14 (THPT Liên Hà – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 5

Gọi M N, lần lượt là các điểm trên cạnh AD AB, sao cho AM  AN, điểm 12 70;

13 13

H 

góc của A trên đường thẳng BM Điểm C( 8; 2) và điểm N thuộc đường thẳng x2y0 Tìm tọa độ các

đỉnh còn lại của hình vuông ABCD

Giải:

(Trước tiên ta sẽ gắn kết điểm N thuộc đường thẳng x2y0

Từ (1) và (2), suy ra B N H E C, , , , cùng nằm trên một đường tròn

I

E

C(?) B(?)

Trang 17

A

x

x y y

(

03

3

; 2

B

B B B

x

x AB

y AN

Trang 18

Bài 15 (THPT Phù Cừ_Hưng Yên) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi G

là trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho GDGC Biết điểm G thuộc đường

thẳng d: 2x3y130 và tam giác BDG nội tiếp đường tròn   2 2

Tam giác ABC vuông cân tại A có G là trọng tâm nên GBGC

Mà GDGCGBGCGD, suy ra tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G , suy ra:



Đường tròn ( )C tâm I(1;6) bán kính R 10 ngoại tiếp tam giác BDG nên I là trung điểm của BD

;

G t

Trang 19

Gọi M là trung điểm của BC ta có MAMBMC và AM BC (do ABC vuông cân tại A)

Trường hợp 1: Với a b   0 n  1;1 nên phương trình BC x:   y 3 0

Trường hợp 2: Với 7a b   0 n  1;7 nên phương trình BC x: 7y330

Do D G, cùng phía đối với đường thẳng BC nên phương trình BC thoả mãn là x  y 3 0

Vậy B( 2;5) ,D(4;7) và BC:x  y 3 0

Bài 16 (Sở GD&ĐT Quảng Ngãi_2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

(1;1)

A và diện tích bằng 8 Đường thẳng qua B và vuông góc với AC cắt đường thẳng CD tại M Gọi E là

trung điểm của CM Biết phương trình đường thẳng BE x:  y 0 và điểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ

các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

B(?)

A

Trang 20

Xét tam giác vuông BCE ta có:

Bài 17 (Lương Thế Vinh_Hà Nội) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A(2;3)

và M là trung điểm cạnh AB Gọi K(4;9) là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh BC , đường thẳng KM

cắt đường thẳng AC tại E Tìm tọa độ điểm B C, biết KE2CK và điểm M có hoành độ lớn hơn 2

Khi đó AC đi qua A(2;3) vuông góc với AB nên có phương trình:3x4y180

Trang 21

Gọi M(2t14; )t với t8, suy ra B t(4 30; 2t3) (do M là trung điểm của AB)

Do BBC2(4t30) 2  t 3 17  0 t 8 (loại)

Vậy B(8;11) , C( 2; 6)

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )T Từ điểm M thuộc cạnh AB

( M A M, B), kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt các đường thẳng AC BC, lần lượt tại D(9; 2) và E

Đường tròn đi qua 3 điểm D E C, , cắt đường tròn ( )T tại điểm F(2; 3) khác C Tìm tọa độ đỉnh A, biết A

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến BM

Đường tròn ( )T đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B cắt cạnh AC tại điểm

thứ hai là E Đường thẳng BE có phương trình 3x4y 6 0 và H( 2; 3)  Tìm tọa độ các đỉnh của tam

giác ABC , biết A thuộc đường thẳng d x:   y 1 0

Giải:

Gọi AHBE  D , ta sẽ chứng minh D

là trung điểm của AH Thật vậy:

BM là trung tuyến của CBA (2)

Từ (1) và (2), suy ra BD cũng là trung tuyến

trong tam giác ABH hay D là trung điểm của AH

Ẳ)

Trang 22

Khi đó BC đi qua H và vuông góc AH nên BC có phương trình: y 3

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A với B( 2;1), (2; 1) C  , gọi P là điểm trên

cạnh BC Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB tại D, đường thẳng qua P song song với AB cắt

Giải:

Do ABC cân tại A nên A thuộc đường trung trực d của BC Khi đó d đi qua trung điểm O(0;0) của BC

và vuông góc với BC với BC(4; 2) 2(2; 1) nên d có phương trình: 2x y 0

1

O

H E D

P

Q( 2; 1)

C(2; 1) B( 2;1)

Ẳ)

Trang 23

Từ (1) và (2), suy ra AEDQ và ADEQ ADQ QEA (c – c – c)

  , suy ra ADEQ nội tiếp đường tròn hay DAQQEH (*) (vì cùng bù với DEQ )

Vậy ABCQ nội tiếp đường tròn có phương trình (phương trình đi qua 3 điểm B C Q, , ) là: x2y2 5

Kiểm tra điều kiện A Q, nằm cùng phía với đường thẳng BC cho ta đáp số A( 1; 2) 

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Trang 24

Bài 21 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A Gọi ( )T là đường tròn tiếp xúc với AB AC, lần lượt tại B và C Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn ( )T tại

D Biết E(3;14) là giao điểm của AC và BD Đường thẳng BC có phương trình x  y 1 0 Tìm tọa độ các

C C , khi đó CB là đường phân giác của góc ACD

;7

03

2

H

D N

Trang 25

+) Với ab, chọn a b 1 khi đó phương trình BD x:  y 170 song song với BC (loại)

+) Với a 7b, chọn a7,b 1 khi đó phương trình BD: 7x  y 7 0

Ta có AB đi qua B(1;0) và song song với CD nên có phương trình: x3y 1 0

21

Bài 22 (Trường Hà Huy Giáp – Cần Thơ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

diện tích tích bằng 15 Đường thẳng AB có phương trình x2y0 Trọng tâm tam giác BCD là 16 13;

Trang 26

Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên AB, khi đó

  và vuông góc với AB x: 2y 0 nên phương trình GH: 2x y 150

x

y y

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A có I là trung điểm của BC Biết

M là trung điểm của BI và nằm trên đường thẳng  có phương trình 2x  y 7 0 Gọi N là điểm thuộc đoạn IC sao cho NC2NI và AN có phương trình x  y 2 0 Tìm tọa độ điểm M biết 15

2

AM  Giải:

Do tam giác ABC vuông cân nên ta có AI BC và IAIBIC,

2

IM IM A

IA IB

3

IN IN A

I

15 2

Trang 27

M 

 

 

Bài 24 (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )T

với A(0;1) và ABAC Phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt ( )T tại điểm E khác A Gọi M là

trung điểm của AD và BM cắt ( )T tại điểm N khác B Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN có tâm

 , điểm C thuộc đường thẳng d x: 4y 7 0 và AE đi qua điểm K( 1;1) Tìm tọa độ đỉnh B C,

biết điểm C có tung độ lớn hơn 2

Giải

Gọi P là giao điểm của AC và EN

Ta sẽ chứng minh ANPM là tứ giác nội tiếp Thật vậy:

12

P N  sđ AM

1 1

trong tam giác ADC , suy ra P là trung điểm của AC

1

53;

1 1

1 2 2

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	2,97 MB