PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

Bài toán cân bằng của vật rắn là một trong những bài toán lớn cơ bản của chương trình cơ học. Có nhiều phương pháp để giải bài toán dạng này. Trong một số trường hợp, chọn phương pháp hình học sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán ngắn gọn, thuận tiện hơn. Bài này nhằm đề cập một trong các phương pháp giải quyết bài toán cân bằng vật rắn – phương pháp hình học.

BÀI THAM LUẬN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN Gv: Nguyễn Văn Phường Trường THPT Phan Bội Châu A MỞ ĐẦU: Bài toán cân vật rắn toán lớn chương trình học Có nhiều phương pháp để giải toán dạng Trong số trường hợp, chọn phương pháp hình học giúp cho việc giải toán ngắn gọn, thuận tiện Bài nhằm đề cập phương pháp giải toán cân vật rắn – phương pháp hình học I CƠ SỞ LÍ THUYẾT Một vật chịu tác dụng lực trạng thái cân Fms ≤ kN (1) N R α F Fms r r r Hợp lực R = Fms + N gọi phản lực liên kết tựa Từ hình vẽ biểu thức hợp lực: tan α = Fms ⇔ Fms = N tan α N (2) Thay (2) vào (1) ta có: tan α ≤ k (3) Đặt: k = tan ϕ (4) Từ (3) (4) ta có: tan α ≤ tan ϕ ⇔ α ≤ ϕ (5) ˆ =2ϕ với ϕ = arctgk gọi góc nón ma sát Tại M vẽ góc zMz' Khi (5) phát biểu: Vật trạng thái cân phản lực toàn phần liên kết tựa có ma sát trượt nằm nón ma sát II PHƯƠNG PHÁP Vẽ nón ma sát ϕ : k = tan ϕ ( k: hệ số ma sát) r r Vẽ hợp lực lực hoạt động ( lực tác dụng lên vật trừ Fms N ): ĐKCB là: r r r r r r R + Q = ⇔ Q = − R ⇒ Q ↑↓ R Trường hợp nón ma sát: r Tìm ĐK để Q nằm nón ma sát Trường hợp hai nón ma sát: Xác định phần giao hai nón ma sát r Tìm ĐK để hợp lực Q nằm phần giao hai nón ma sát III MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Vật B có trọng lượng P nằm mặt khơng nhẳn có dạng ¼ cung tròn, Vật giữ cân nhờ lực kéo T đặt vào dây BAD Cho hệ số ma sát trượt k=tan ϕ Tìm sức căng dây T Bài giải: T x A O Y γ T2 δ T1 B δ Q2 T2 C T1 P Phương pháp nón ma sát Phương pháp giải tích: Vẽ góc nón ma sát B: Các lực tác dụng lên vật: P, T , N , Fms ˆ : k=tan ϕ : xBy r r r r ˆ = yBO ˆ =ϕ xBO r r Lực hoạt động tác dụng lên vật: P; T r r r Q = P +T Khi vật trạng thái cân giới hạn r r r r P + T + N + Fms = (1) Xét hai trường hợp: r Vật cân Q nằm nón ma ˆ nên hai vị trí gới hạn Q sát xBy r r Q1 , Q2 ( thuộc hai mép nón ma sát hình • Vật có xu hướng trượt xuống: Chiếu (1) lên hai phương Ox Oy vẽ); Tương ứng hai giá trị giới hạn r r r Ox: P.sin α − KN − T sin γ = (1) T T1 , T2 điều kiện để vật cân là: Oy: − P.cos α + N + T cos γ = (2) T1 ≤ T ≤ T2 (1) Thực phép biến đổi : r r r Q1 = P + T1 + Tính T1: (*) ˆ ) ˆ = γ = (π − AOB ∆OAB : ABO π  π = 2γ + ( − α ) ⇒ γ =  P.sin α − KN − T sin γ =   − P.cos α + N + T cos γ = π + 2α ˆ = β = α −ϕ Q1 BP (2) (4)  P.sin α − KN − T sin γ =  − KP.cos α + KN + KT cos γ =   ˆ PQˆ1 B = Q1 BA ˆ = sin ABx ˆ ⇒ sin PQˆ1 B = sin Q1BA ⇔ sin PQˆ1 B = sin(γ − ϕ ) ∆BQ1 P (*) : (3) P T = sin PQˆ1 B sin β1  T=P Từ (3), (4), (2) => T1 = P.sin(α − ϕ ) π + 2α sin( −ϕ)  P(sin α − k cos α ) − T (sin γ − k cos γ ) = (5) (sin α − k cos α ) (sin γ − k cos γ ) + Tính T2: ∆KOB : r r r Q2 = P + T2 (**) Với k=tan ϕ thì: δ = α +ϕ ˆ = [ π − (γ + ϕ )] Q2 BT ∆Q2 BT2 (**) : (6) sin ϕ cos α − sin ϕ cos α sin(α − ϕ ) =P sin ϕ cos γ − sin ϕ cos γ sin(γ − ϕ ) T = P P T2 = ˆ ˆ T sinQ BT2 sinBQ 2 π Với π = 2γ + ( − α ) ⇒ γ = Từ (6) (2) ta có: P T2 = π + 2α sin( + ϕ ) sin(α + ϕ ) P.sin(α + ϕ ) ⇔ T2 =  π + 2α  sin  +ϕ ÷   Vậy: T1 = P (7) Thay (7), (5) vào (1) ta có: P.sin(α − ϕ ) P.sin(α + ϕ ) ≤ T ≤⇔ π + 2α  π + 2α  sin( −ϕ) sin  +ϕ ÷   π + 2α sin(α + ϕ ) π + 2α sin( +ϕ) Vật có xu hướng hướng lên: Giải tương tự ta có: ⇔ T2 = P.sin(α + ϕ )  π + 2α  sin  +ϕ ÷   NX: Phương pháp nón ma sát trường hợp thời gian tìm góc γ , phương pháp giải tích thực phép biến đổi nhiều tính tốn nhiều A Ví dụ 2: Một tranh cao BC=d treo vào tường thẳng đứng nờ dây AC =l, hợp với tường góc β Mép B tựa vào tường Xác định hệ số ma sát tranh tường để tranh cân α B Bài giải: C Phương pháp giải tích: Điều kiện cân tranh A β H J r r r r P + T + Fms + N = T I α r r M ( P ) = M (T ) C P  N − T sin β =   − P + T cos β + Fms = O K Vẽ góc nón ma sát B: Với: (1) r r r Lực hoạt động tác dụng lên vật: Q = P + T r Vật cân Q nằm nón ma sát ˆ xBy Hay: α ≤ ϕ ⇒ tan α ≤ tan ϕ ∆BKI ta có: tan α = HI= AJ = l.cos β BJ = d − l sin β l ⇒ p sin β = T (l.cos β + d − l sin β ) sin β (4) ˆ = yBO ˆ =ϕ với xBO Xét: CJ = T AB.sin β l ⇒ p sin β = T ( BJ + JA)sin β y k = tan ϕ (3) Phương trình moomen (2): P ˆ : xBy (2) Chiếu (1) lên hai trục Ox Oy ta có: ϕ R B Mơ men qn tính điểm B: x Q (1) KI HB = BK HI l.sin β BH=HJ+JB=AH+JB (2) Từ (3) (4) suy ra: N= Pl sin β 2(l cos β + d − l sin β ) (5) Từ (3) (5) ta có: Fms = P − T cos β = P − N cot anβ Lực ma sát nghỉ nên: Fms ≤ k N (7) Từ (5), (6), (7) ta có: k≥ l.cos β + d − l sin β l sin β (6) l.cos β   AH =   JB = d + CJ = d − (l.sin β )  2 BH= l.cos β + d − l sin β l.cos β + d − l sin β Vậy: tan α = l sin β (3) Để vật cân từ (1), (2), (3) ta có: l.cos β + d − l sin β k≥ l sin β Ví dụ 3: Thanh đồng chất AB=2l, Trọng lượng P hai đầu tựa tường không nhẳn hệ số ma sát k xác định góc nghiên α để thang cân bằng? B α A Bài giải: Chọn hệ Oxy hình vẽ Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt ; phần giao hai nón ma sát IJMK: k=tan ϕ (*) r Lực hoạt động tác dụng lên AB P r Điều kiện AB cân giá P phải qua tứ giác IJMK, Nghĩa là: xG ≥ xK Ta có: AK ⊥ Bz Tam giác vng BOA: (1) xG = AB l sin α = sin α 2 (2) Tam giác vuông BKA xK = BK cos ϕ = AB.sin(α − ϕ ).cos ϕ ⇒ xk = l.sin(α − ϕ ).cos ϕ (3) Thay (3), (2), vào (1) ta có: sin α ≥ 2sin(α − ϕ ).cos ϕ (4) M ( α < 90 , cos α > 0) => tan α ≥ cos ϕ sin α cos ϕ − cos α sin ϕ cos α Y B α ⇒ tan α ≥ tan α cos ϕ − cos ϕ sin ϕ ⇒ tan α (1 − cos ϕ ) ≥ −2 cos ϕ sin ϕ ⇒ tan α ≤ K sin 2ϕ = tan 2ϕ cos 2ϕ ϕ I J G ⇒ α ≤ 2ϕ ϕϕ Vậy điều kiện để AB cân là: α ≤ 2ϕ ; k = tan ϕ B KẾT LUẬN: A Phương pháp nón ma sát hay phương pháp hình họccó tác dụng giải nhanh đơn giản số loại tập cân vật rắn có ma sát Tuy nhiên phương pháp củng có số hạn chế làm lu mờ chất vật lí tốn cân vật rắn, hướng dẫn học sinh ta cần dùng nhiều phương pháp khác để bổ trợ lẩn Cư jut ngày 18/10/2014 GV: nguyễn Văn Phường ... học sinh ta cần dùng nhiều phương pháp khác để bổ trợ lẩn Cư jut ngày 18/10/2014 GV: nguyễn Văn Phường