CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: NÂNG CAO MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Cơ học là một phân môn rất quan trọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật lí cho học sinh. Trong đó, chuyên đề về Cơ học vật rắn là một chuyên đề khó, đa dạng và phức tạp, các bài toán rất phong phú và mang nhiều tính thực tiễn. Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia hầu như năm nào cũng có các bài toán cơ học vật rắn và chiếm tỉ trọng điểm khá lớn. Trong khi đó, học sinh chủ yếu quen với cách giải các bài toán cơ chất điểm, khi gặp các bài toán vật rắn tỏ ra lúng túng.Các bài toán cơ học vật rắn thực sự phức tạp, đa dạng, đặc biệt các bài toán trong đề thi HSG QG rất khó. Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức nền tảng. Người học cần nắm vững các kĩ thuật tính toán đặc trưng trong cơ học vật rắn như cách xác định tâm quay tức thời, cách chọn hệ quy chiếu sao cho thích hợp và đặc biệt là phối hợp nhuần nhuyễn giữa phương pháp các định luật bảo toàn và phương pháp động lực học.Các kĩ thuật tính toán và phương pháp giải toán cần được rèn luyện thông qua các bài tập cụ thể. Qua quá trình rèn luyện mới hình thành nên kĩ năng giải quyết các bài toán ở học sinh. Vì các bài toán hết sức đa dạng và tính toán chi tiết phức tạp đòi hỏi học sinh phải chăm chỉ luyện tập từ các bài toán cơ bản, các bài toán tương tự sau đó mở rộng sang các bài toán nâng cao, các cơ hệ phức tạp.

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN Giáo viên: Trần Quốc Hiền – trường THPT Phạm Văn Đồng A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Cơ học phân mơn quan trọng, mang tính tảng để hình thành tư Vật lí cho học sinh Trong đó, chuyên đề Cơ học vật rắn chuyên đề khó, đa dạng phức tạp, toán phong phú mang nhiều tính thực tiễn Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm có toán học vật rắn chiếm tỉ trọng điểm lớn Trong đó, học sinh chủ yếu quen với cách giải toán chất điểm, gặp toán vật rắn tỏ lúng túng Các toán học vật rắn thực phức tạp, đa dạng, đặc biệt toán đề thi HSG QG khó Muốn tìm lời giải đòi hỏi người học cần vận dụng linh hoạt kiến thức tảng Người học cần nắm vững kĩ thuật tính tốn đặc trưng học vật rắn cách xác định tâm quay tức thời, cách chọn hệ quy chiếu cho thích hợp đặc biệt phối hợp nhuần nhuyễn phương pháp định luật bảo toàn phương pháp động lực học Các kĩ thuật tính tốn phương pháp giải tốn cần rèn luyện thơng qua tập cụ thể Qua trình rèn luyện hình thành nên kĩ giải toán học sinh Vì tốn đa dạng tính tốn chi tiết phức tạp đòi hỏi học sinh phải chăm luyện tập từ toán bản, tốn tương tự sau mở rộng sang toán nâng cao, hệ phức tạp B MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Hệ thống hóa kiến thức chuyên sâu phần học vật rắn Trình bày phương pháp đặc trưng giải toán học vật rắn chương trình bồi dưỡng HSG Hướng dẫn HS giải tốn học vật rắn thơng qua hệ thống tập ví dụ tập tự giải C PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Tổng hợp kiến thức từ tài liệu bồi dưỡng HSG, đề thi HSG cấp tỉnh, HSG QG, kinh nghiệm giảng dạy thân đồng nghiệp D NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I BỔ TRỢ KIẾN THỨC TOÁN Tích có hướng hai vectơ: r r r c = b véc tơ có r r - Phương vng góc với mặt phẳng chứa ( a,b) r r - Chiều tuân theo quy tắc đinh ốc: quay đinh ốc theo chiều từ a đến b chiều r tiến đinh ốc chiều c r - Độ lớn c = a.b.sinα = diện tích hình bình hành OADB r r r r - Nếu a // b c = Mômen véc tơ r Mômen V điểm O tích có hướng bán r r kính r với véc tơ V : r r r r ký hiệu : M O (V) = r × V - Có chiều xác định theo quy tắc đinh ốc - Có độ lớn M = r.V.sinα = V.d với d = OH (d: cánh r r r r H r V r c tay đòn V ) r r r Pα O r r - Có phương ⊥ mặt phẳng chứa r V Tính chất: uu r M r + Nếu V // r M O (V) = r rb r r r r r r r + M O (V1 + V2 ) = M O (V1 ) + M O (V2 ) r r r r + M O (λV) = λM O (V2 ) λ số r r r r r r r + Nếu V1 + V2 = ⇒ M O (V1 + V2 ) = a A B D II CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ VẬT RẮN KHÁI NIỆM VẬT RẮN - Vật rắn tuyệt đối vật mà khoảng cách hai điểm khơng đởi - Vật rắn xem hệ chất điểm Vật rắn tuyệt đối thường xem hệ chất điểm liên kết chặt chẽ với - Khái niệm vật rắn tương đối LỢI ÍCH CỦA KHÁI NIỆM VẬT RẮN - Để nghiên cứu hệ chất đấy, ta phải đặc trưng chuyển động điểm hệ, điều khiến ta phải đụng chạm đến số nhiều thông số dẫn đến phép tính rắc rối khó gỡ - Nếu hệ xem vật rắn, số thơng số phải tính đến trở nên vừa phải: Nhiều thông số đủ xác định chuyển động vật rắn hệ quy chiếu gắn với vật rắn - Trong nhiều tốn coi vận rắn chất điểm CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN - Chuyển động tịnh tiến - Chuyển động quay xung quanh trục cố định - Chuyển động song phẳng CÁC VẤN ĐỀ CẦN CHÚ Ý TRONG KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN: 4.1 Các ý động học động lực học vật rắn: - Các đại lượng ϕ, ϕ0, ω, γ đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay vật rắn Trong hệ quy chiếu, ω có giá trị với trục quay song song với    - Các đại lượng at ; a n ; a; v đặc trưng cho điểm vật rắn - Giữa chuyển động quay vật rắn chuyển động tịnh tiến có đại lượng vật lí tương đương nhau: [1] - Các đại lượng liên quan đến chuyển động chất điểm (hay chuyển động tịnh tiến vật rắn) gọi đại lượng dài - Các đại lượng liên quan đến chuyển động quay vật rắn quanh trục gọi đại lượng góc Các đại lượng dài: Các đại lượng góc: - Gia tốc - Gia tốc góc - Vận tốc - Vận tốc góc - Lực - Momen lực - Động lượng - Momen động lượng Nếu đại lượng dài đại lượng vectơ đại lượng góc tương ứng đại lượng vectơ - Định lý phân bố vận tốc: Xét vật rắn P dịch chuyển hệ quy chiếu (HQC) O Xét hai điểm vật rắn A B Gọi ω vận tốc góc quay vật rắn hệ quy chiếu O Hệ thức quan trọng vận tốc A B vật rắn thời    điểm cho trước là: v B = v A + ω ∧ AB (1) 4.2 Đặc điểm lực tác dụng lên vật rắn - Lực tác dụng lên vật rắn điểm đặt tùy ý giá → → → - Hệ lực tác dụng lên vật rắn ( F , F , F ) tìm hợp lực khơng tìm hợp lực Cần phân biệt hợp lực tổng véc tơ lực Lý thuyết thực nghiệm cho thấy, xảy ba trường hợp (TH) đây: TH1: Vật chuyển động tịnh tiến giống chất điểm Trong trường hợp hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm tổng lực hợp lực TH2: Vật quay quanh trục qua khối tâm Trong trường hợp hệ lực tương đương với ngẫu lực mà ta biết khơng thể tìm hợp lực Vì hệ lực khơng có hợp lực nên ta phải nói tởng lực tác dụng vào vật 0, tởng momen lực trục qua khối tâm khác khơng vật quay quanh khối tâm đứng yên (nếu lúc đầu vật đứng yên) TH3: Vật vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh khối tâm Trong trường hợp này, hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm ngẫu lực Do đó, lực tương đương đặt khối tâm hợp lực mà tổng lực Cách xác định tổng lực: Sử dụng phương pháp: - phương pháp hình học Giả sử vật rắn chịu ba lực đồng thời → → → tác dụng F , F F (H.4.2a) Lấy điểm P → → → khơng gian làm điểm đặt lực, ta vẽ lực F'1 , F' F' → → → song song, chiều độ lớn với lực F , F F (H.4.2b) Dùng quy tắc → → → hình bình hành ta tìm hợp lực hệ lực đồng quy F'1 , F' F' Hợp lực → → → tổng lực hệ lực F , F F - Phương pháp đại số: Chọn hệ trục toạ độ Đề-các (Ox, Oy) nằm mặt → → → phẳng vật chiếu lực F , F , F lên trục toạ độ Tổng lực → → lực F , có hình chiếu lên trục toạ độ tổng đại số hình chiếu lực F , → → F F lên trục đó: Fx = F1x + F2x + F3x = ∑Fix Fy = F1y + F2y + F3y = ∑Fiy Tóm lại, tổng lực lực tương đương với hệ lực tác dụng gây chuyển động tịnh tiến cho vật rắn mà 4.3 Biểu thức véctơ mômen lực trục quay [1] Biểu thức momen lực trục quay ∆ viết dạng vectơ sau: → → → → → M = r ∧ F t , đó, F t thành phần tiếp tuyến lực F với quỹ đạo chuyển động → → điểm đặt M vectơ lực, r = OM vectơ bán kính điểm đặt M (H.4.3) Theo tính chất tích có hướng hai vectơ → → → ba vectơ r , F t M tạo thành tam diện thuận Theo → đó, vectơ momen M có phương vng góc với mặt → → phẳng chứa r F t , tức có phương trục quay ∆ Vì momen lực đại lượng góc biểu diễn vectơ nằm dọc theo trục quay (vectơ trục) Nếu chọn chiều dương cho trục quay (phù hợp với chiều dương chuyển động quay) momen lực đại Hình 4.3 → lượng đại số Momen lực có giá trị dương vectơ M chiều với chiều dương trục quay ngược lại SGK trình bày momen lực đại lượng đại số giống trình bày vận tốc góc gia tốc góc 4.4 Ðịnh lý Steiner Mơmen qn tính chuyển trục quay Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆G qua khối tâm G vật rắn, chúng cách khoảng d Khối lượng vật rắn M, mô men quán tính vật rắn trục quay ∆ I xác định qua mô men quán tính IG trục quay ∆G I = IG + Md2 (4.4) (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)) 4.5 Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến chuyển động quay 4.5.1 Trong trường hợp tổng quát, chịu lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm → → Để tìm gia tốc a chuyển động tịnh tiến (cũng gia tốc a khối tâm), ta áp → dụng phương trình: ∑ → F = ma , hay:∑Fx = max ∑Fy = may (1.b) (1) Để tìm gia tốc góc chuyển động quay quanh trục qua khối tâm, ta áp dụng phương trình: → → ∑ M = IG γ , (2) hay:∑M = IGγ (dạng đại số) 4.5.2 Điều kiện cân tổng quát trường hợp riêng hai phương trình (1) → → → → (2) a = γ = Nếu ban đầu vật đứng yên vật tiếp tục đứng yên Ta có trạng thái cân tĩnh → Cần ý là, vật trạng thái cân tĩnh ∑ M = khơng trục qua khối tâm, mà trục 4.5.3 Đối với vật rắn quay quanh trục cố định chuyển động tịnh tiến vật bị khử phản lực trục quay 4.6 Năng lượng vật rắn 4.6.1 Thế vật rắn: Xét với vật rắn tuyệt đối, trọng trường có gia tốc g, Z độ cao khối tâm G tính từ mốc đó, vật rắn khối tâm mang tổng khối lượng vật rắn: U = MgZ (4.5.1) 4.6.2 Động vật rắn: - Khi vật rắn quay xung quanh trục quay cố định ∆: K = I∆.ω2 (4.5.2) Chú ý: Nếu trục quay ∆ không qua khối tâm G, cần xác định I∆ qua IG định lý Stenơ (4.4) - Trường hợp tởng qt: K = IG.ω2 + M.VG2 "Ðộng tồn phần vật rắn tổng động tịnh tiến khối tâm mang khối lượng vật động quay xung quanh trục qua khối tâm" 4.6.3 Định luật bảo toàn năng: Khi lực tác dụng lên vật rắn lực thế, E hệ vật rắn bảo tồn: K + U = const Nếu q trình biến đổi hệ từ trạng thái sang trạng thái 2, có lực ma sát, lực cản tác dụng mà ta tính cơng A lực áp dụng định luật bảo tồn lượng dạng: E2 - E1 = A 4.7 Bài tồn chuyển động lăn khơng trượt Xét bánh xe có bán kính R có tâm C y dịch chuyển mặt đất nằm ngang cố định M hệ quy chiếu O, tất luôn nằm mặt phẳng thẳng đứng C Gọi điểm A điểm tiếp xúc bánh xe với mặt đất thời điểm t x Có thể phân biết ba điểm nơi tiếp xúc: O A = As = AR - Điểm AS đất cố định HQC O - Điểm AR bánh xe, bánh xe quay thời điểm sau điểm không tiếp xúc với đất - Điểm hình học A xác định chỗ tiếp xúc Rõ ràng thời điểm t, ba điểm có vận tốc khác HQC O - Vận tốc điểm AS đất rõ ràng khơng - Vận tốc điểm hình học A vận tốc tâm C bánh xe C A ln đường thẳng đứng    - Vận tốc điểm AR bánh xe thỏa mãn: v A = vC + ω ∧ CA R  Vận tốc v A gọi vận tốc trượt bánh xe mặt đất (chú ý mặt đất cố định) R  Bánh xe gọi lăn không trượt v A = R Điểm AR bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc thời điểm tiếp xúc Trong điều kiện việc xảy hai thời điểm gần t t + dt bánh xe quay quanh trục qua A vng góc với mặt phẳng xOy, trục gọi trục quay tức thời bánh xe A gọi tâm quay tức thời Khi lăn khơng trượt, có hệ thức liên hệ: v G = ωR; quãng đường dịch chuyển tâm C mặt đất cung cong ARA’R chu vi bánh xe III HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Bài Khảo sát chuyển động vành tròn mặt phẳng Một vành tròn mảnh bán kính R khối lượng M phân bố Trên vành mặt có gắn vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ) Kéo cho vành lăn khơng trượt mặt ngang cho tâm vành có vận tốc v0 Hỏi v0 phải thoả mãn điều kiện gìđể vành không nảy lên? Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc không đổi (như giả thiết) khơng có thành phần thẳng đứng? Bài giải + Khi m vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P F lực Q mà vành tác dụng vào m Có thể phân tích lực F thành hai phần: N có phương trùng với bán kính vành tròn, chiều hướng tâm, Q có phương tiếp tuyến với vòng (hình vẽ) Định luật II: ma = P + Q + N P N (1) Q = P sin α  Chiếu (1) theo Q theo N  mv02  P cos α + N = R  +Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: F y = Qsinα - N cosα (3) Từ (2) (3) ta có:  mv02  mv02   Fy = P sin α −  − P cos α  − cos α = P − cos α R  R  (Fy)max α = vật vị trí cao nhất, Fy hướng xuống với (Fy)max = P - mv02 R Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với F y, (Fy’ hướng xuống): (Fy)’max = - (Fy)max = ( Fy' ) max ≤ Mg ⇔ mv02 -P Vành không nẩy lên khi: R mv02 m  − P ≤ Mg ⇒ v0 ≤ 1 +  gR R  M Bài Khảo sát chuyển động khối trụ tương tác với hai mặt phẳng Một hình trụ có khối M bó trí thành hệ hình vẽ, hệ số ma sát hình trụ với mặt phẳng ngang µ1, với mặt phẳng ngang µ2 mặt phẳng ngang chuyển động phía trái, cần phải tác động vào mặt phẳng ngang lực F nhỏ để xảy điều Lời giải: Hình trụ có hai khả quay hay không quay Giả sử trụ quay: Khi mặt phẳng ngang chuyển động trụ quay gia tốc khối trụ khơng Ta có: + Tổng Moment lực trục quay qua khối tâm 0: F1 = F2 = F + Theo phương ngang: Nsinα - F2 cosα -F1 = (1) + Theo phương thẳng đứng: N1 – Mg – N2cosα - F2sin α = (2) sin α  F = N + cos α (3) Rút gọn biểu thức ta thu được:   N1 = Mg + N Nhận xét F, N1, N2 phụ thuộc vào µ1, µ2, α có hai trường hợp cú th xy ra: Trng hp à1 N1>à2 N2, hình trụ quay, F = µ2N2 Khi dó từ (3): N sin α = µ2 N + cos α 1.a/ sin α >µ2 => N2 = 0, F = với điều kiện µ1N1>µ2N2 với giá trị µ1, µ2 + cos α 1.b/ sin α µ2N2 xảy với µ1 >µ2 + cos Trng hp à1 N1µ2N2 µ1µ1 ( N2 + Mg) Đánh giá: Biểu diễn kết qua đồ thị, đồ thị biểu diễn mặt phẳng µ1, µ2 chia làm miền - Miền 1: ứng với trường hợp (1.a) - Miền 2: ứng với trường hợp (1.b ) (2.a) hình trụ bị kẹt nên F = ∞ - Miền 3: ứng với trường hợp (2.b), µ1Mg F = − µ + cos α sin α Bài 3.Vật rắn có liên kết ròng rọc Có hai ròng rọc hai đĩa tròn gắn đồng trục Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R1 = 10cm Ròng rọc nhỏ cókhối lượng m’ = 100g, bán kính R2 = 5cm Trên rãnh hai ròng rọc có hai dây quấn ngược chiều để m 1đi xuống m2đi lên ngược lại Đầu dây ròng rọc lớn mang khối lượng m = 300g, đầu dây ròng rọc nhỏ mang khối lượng m2 = 250g Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s2 a Tính gia tốc vật m1 m2 b Tính lực căng dây treo Lời giải P1 = m1g > P2 = m2g, nên m1đi xuống, m2đi lên Phương trình chuyển động m1 m2: P + T = m a ; P + T = m a (1) 1 1 2 2 Chiếu (1) theo chiều (+) chiều chuyển động m1 g − T1 = m1 a1 ( 2) T2 − m2 g = m2 a m1 m2:  Với ròng rọc T1R1 - T2R2 = Iγ I= (3) a a 1 mR12 + mR22 ; γ = = ; a1 = 2a 2 R1 R2 10 Từ T2 = T1ekπ Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) giải ta có ( m − me ) g a' = kπ kπ m2 + me T1 = m1 ( a'+ g) T2 = m1 ( a'+ g) ekπ Vận tốc vật xác định v = v0 + a/ t , v0 vận tốc thời điểm dây bắt đầu trượt Ta có v0 = 4πR ( m2 − m1 ) g M m1 + m2 + Từ vận tốc vật ( ) kπ 4πR ( m2 − m1 ) g m2 − me v= + gt kπ M m + me m1 + m2 + Bài (HSG QG 2010) Một cứng AB đồng chất, tiết diện α0 thêm vật nhỏ khối lượng m=M/4 đầu mút B Thanh treo nằm ngang hai sợi dây nhẹ, không giãn O1A O2B (hình vẽ) O2 O1 đều, khối lượng M, chiều dài AB=L có gắn M A Góc hợp dây O1A phương thẳng đứng B α0 a Tính lưc căng T0 dây O1A b Căt dây O2B, tính lực căng T dây O1A gia tốc góc sau cắt Giải Hệ vật nặng có khối tâm G với vị trí xác định cách A khoảng AG: AG = 3L Momen quán tính hệ với trục quay qua G (áp dụng định lí Say nơ- Huyghen): 43 m 8mL2 IG = 15 a Khi cân bằng, xét với trục quay qua điểm B vng góc với mặt phẳng hình vẽ Từ phương trình momen, có: P.BG − T0 L cos α = ⇒ T0 = 2L = 2mg L cos α cos α ( M + m) g (1) b Tại thời điểm t = dây O2B vừa bị cắt, chưa di chuyển, điểm A có vận tốc Điểm A có gia tốc theo phương vng góc với dây O1A r r r Xét điểm G, có gia tốc: a G = a A + a G / A Trong hệ quy chiếu đất, với trục quay qua khối tâm G, trình chuyển động quay sau cắt dây, có phương trình momen, thời điểm ban đầu: T.AG.cosα = I G γ G T.AG.cosα ⇒ γG = γ A = γ = (2) IG r r r r Phương trình ĐLII Newton: P + T = ( M + m ) ( a A + a G / A ) r Chiếu lên phương dây O1A, với a G / A hướng hình vẽ, ta được: ( M + m ) g cos α − T = ( M + m ) γ.AG.cosα Thay (2) vào (3) tính được: T= ( M + m ) g cos α M + m ) AG cos 2α ( 1+ (3) (4) IG Thay giá trị AG IG tính vào (4) tính được: T.AG.cosα 45gcos 2α 40mg cos α = T= γ = IG + 27 cos α ( 8+27cos 2α0 ) L Bài (HSG QG vòng 2, 2011) Một lắc vật lí có khối lượng M, khối tâm G quay quanh trục nằm ngang qua điểm O nằm lắc Momen quán tính lắc trục quay I Biết khoảng cách OG = d Con lắc thả từ vị trí có OG hợp với phương 44 thẳng đứng góc α0 = 600 (G phía O) Bỏ qua ma sát trục quay lực cản mơi trường Tính độ lớn phản lực trục quay lên lắc OG hợp với phương thẳng đứng góc α Tính gia tốc tồn phần lớn khối tâm lắc trình dao động Khi lắc vị trí cân chịu tác dụng xung lượng x lực F thời gian ngắn ∆t theo phương qua điểm A trục OG (lực F hợp với OG góc β, xem hình vẽ) a) Xác định xung lượng lực trục quay tác dụng lên lắc thời gian tác dụng ∆t b) Xác định góc β vị trí điểm A để xung lượng lực tác dụng lên trục quay không Giải r r r Chiếu phương trình động lực học Mg + F = Ma lên phương: Ox tiếp tuyến với quỹ đạo khối tâm: Mγd = Ft − Mg sin α (1) Oy trùng với phương GO: Mω2 d = Fn − Mg cos α (2) Phương trình chuyển động quay : Iγ= - Mgdsinα(3) Từ(1) (3) suy ra: Ft = Mg ( − A ) sin α , với A = Md (4) I Định luật bảo toàn lượng: Iω2 = Mgd ( cosα- cosα ) (5) Từ (2) (5) ta có: F = Ft + Fn = Mg { ( − 2A ) cosα+2Acosα } + ( − A ) 2 sin 2α Gia tốc khối tâm: a = a 2n + a 2t = ( ω d ) + ( γd ) 2 = gA − 8cos α.cosα + 3cos α + 4cos α Khi α = 600 có a = gA − 4cos α + 3cos α0 Mgd Hàm cực đại α = , a max = I 45 a Phân tích xung lượng X0của lực trục quay tác dụng lên lắc thành hai thành phần XOy, XOxtheo phương thẳng đứng Oy phương ngang Ox Áp dụng định lý biến thiên động lượng mômen động lượng với vx, vylà thành phần vận tốc khối tâm sau va chạm: Mv Gx = X sin β + X Ox (1) X Oy = X cos β I Từ đó, (2) vGx = lX sin β d độ (3) lớn X0 : XO = X Ox + X Oy  Mld  =X  − ÷ sin 2β + cos 2β  I  Ở l=OA b Để trục quay không chịu tác động xung lực X cần hai điều kiện X Oy = ⇒ β = 900 I X Ox = ⇒ XO = Từ l = OA = Md Bài ( HSG QG vòng 1, 2011) Cho vật mỏng đều, đồng chất, uốn theo dạng lòng máng thành phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R gắn với điểm O cứng, mảnh, nhẹ Vật quay không ma sát quanh trục cố định (trùng với trục ∆) qua điểm O Trên hình vẽ, OA OB cứng độ dài R, OAB nằm mặt phẳng vng góc với trục ∆, chứa khối tâm G vật 1, C giao điểm OG lòng máng Tìm vị trí khối tâm G vật Giữ cho vật ln cố định đặt vật hình trụ rỗng, mỏng, đồng chất, chiều dài với vật 1, bán kính r nằm dọc theo đường sinh vật Kéo vật lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ thả nhẹ a) Tìm chu kì dao động nhỏ vật Biết trình dao động, vật lăn không trượt vật b) Biết hệ số ma sát nghỉ vật vật Tìm giá trị lớn góc để q trình dao động điều hồ, vật khơng bị trượt vật 46 Thay vật vật nhỏ Vật nằm mặt phẳng OAB Kéo cho vật vật lệch khỏi vị trí cân cho G vật nằm hai phía mặt phẳng thẳng đứng chứa ∆, với góc lệch hình vẽ, thả nhẹ Bỏ qua ma sát Tìm khoảng thời gian nhỏ để vật tới C Giải Do tính đối xứng, ta thấy G nằm đường thẳng đứng Oy nên cần tính tọa độyG = OG vật Xét phần tử dài dl, có khối lượng dm = 2m 2m dl = dα πR π Theo cơng thức tính tọa độ khối tâm ta có: yG = m π ∫ R cos α −π 2m 2R dα = π π Xét vật vị trí ứng với góc lệch β Gọi ϕ góc mà vật tự quay quanh Chọn chiều dương tất chuyển động ngược chiều kim đồng hồ Lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực, phản lực, lực ma sát nghỉ Phương trình chuyển động khối tâm vật xét theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo: m a = Fms − m g sin β Vì β nhỏ sin β ≈ β (rad) ⇒ m ( R − r ) β// = Fms − m 2gβ (1) Phương trình chuyển động quay khối trụ nhỏquanh khối tâm: m r ϕ// = Fms r (2) Điều kiện lăn không trượt: ( R − r ) β// = −rϕ// (3) g // Thay (2) (3) vào (1) ta được: β + ( R − r ) β = (4) Nghiệm (4) có dạng dao động điều hòa với chu kì T = 2π Từ (2) ta có Fms = m rϕ// = −m ( R − r ) β// = m 2gβ (5)  Phản lực: N = m2g cos β = m 2g 1 −  β2  (6) ÷  Điều kiện lăn khơng trượt Fms ≤ µN β Từ − β2 ≤ µ với ∀β ∈ ( 0, β0 ) 47 2( R − r) g 1 Hay β0 ≤  + 1 ữ à2 ữ Xét thời điểm khối tâm vật vật có li độgóc tương ứng α, θ Phương trình chuyển động vật theo phương tiếp tuyến với hình trụ m Rθ // = − m3gθ (1) g Nghiệm (1) θ = θ0 cosω0 t với ω0 = R Phương trình chuyển động G quanh O m1R α // = − m1gR 2 α (2) π Nghiệm (2) α = α0 cosω1t với ω1 = 2g πR Góc lệch vật so với phương OG  ω − ω1   ω + ω1  γ = α − θ = 2α cos  t ÷cos  t÷     π Khi vật tới C γ = Từ đó: t = ω + ω 1 Bài (Trích đề HSG QG vòng 2, 2012) Cho vành hình trụ mỏng đều, đồng chất, bán kính R có khối lượng M Trong lòng vành trụ C có gắn cố định A cầu nhỏ (bán kính nhỏ so với R), khối lượng m Biết A nằm mặt phẳng mà mặt phẳng vng góc với trục A α0 hình trụ qua khối tâm C vành hình trụ Người ta đặt vành trụ mặt phẳng nằm ngang Biết gia tốc rơi tự g Giả thiết khơng có ma sát vành trụ mặt phẳng Đẩy vành trụ cho AC nghiêng góc αo so với phương thẳng đứng buông cho hệ chuyển động với vận tốc ban đầu khơng (Hình 1.a) a) Tính động cực đại hệ b) Viết phương trình quỹ đạo A hệ quy chiếu gắn với mặt đất c) Xác định tốc độ góc bán kính AC AC lệch góc α (α< α o) so với phương thẳng đứng 48 Giải Vì khơng có ma sát, ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương thẳng đứng, nên vị trí theo phương ngang khối tâm G không đổi a Áp dụng định luật bảo toàn năng, động cực đại hệ độ giảm cực đại vật m Wd max = mgR ( − cosα ) b Chọn hệ tọa độ xOy đứng yên với mặt đất có Oy y qua khối tâm G, Ox qua tâm C vành Gọi tọa độ m (x, y) tâm C vành M (X, Y) Khi CA lệch phương thẳng đứng (Oy) góc α x=− M X x + X = R sin α m nên suy x = A C O G x α M R sin α (1) M+m B Và y = R ( − cosα ) (2) Từ (1) (2) thay vào hệ thức sin α + cos α = ta thu phương trình quỹ đạo m hệ qui chiếu gắn với mặt đất x2 y2 + =1  M  R R÷  M+m  (3) Phương trình (3) mơ tả quỹ đạo chuyển động m elip bán trục lớn R dọc theo Oy bán trục nhỏ M R dọc theo Ox M+m c Vì khơng có ma sát, khối tâm G chuyển động theo phương thẳng đứng nên vận tốc điểm G C theo phương thẳng đứng Điểm tiếp xúc B có vận tốc theo phương ngang, từ tâm quay tức thời K A G K thời điểm góc lệch AC phương thẳng đứng α xác định hình vẽ Động hệ Wd = 1 I K ω2 = ( M.R + M.CK + m.KA ) ω2 (1) 2 Trong đó: 49 B CK = mCG.cosα = m R cos α (2) m+M KA = CK + R − 2.R.CK.cosα (3) Áp dụng định luật bảo tồn ta có mgR ( cosα-cosα ) = I K ω2 (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) thu biểu thức tốc độ góc bán kính CA ω= 2mg ( cosα-cosα )   m 2  R ( m + M ) 1 −  cos α  ÷   M + m   Bài 6.(Đề thi HSGQG năm 95-96) Một khối trụ T, gồm hai nửa, nửa có tiết diện nửa hình tròn, bán kính R, chiều cao h, có khối lượng riêng D1 D2 với D1r),va chạm đàn hồi Xác định vận tốc đĩa sau va chạm 51 Bài Ống thành mỏng khối lượng m quay xung quanh trục bên cạnh có ống ban đầu đứng yên nằm ngang(hvẽ).Hệ số ma sát tất bềmặt tiếp giáp μ = Tính gia tốc chuyển động ống ban đầu quay? Bài Một hình trục quấn quanh sợi dây cố định đầu, đầu mặt phẳng nghiêng, nghiêng góc α với phương ngang (hvẽ) thời điểm, dây thẳng đứng vận tốc góc hình trụ ω Tính thời điểm đó: a/ Vận tốc trục hình trụ b/ Vận tốc điểm hình trụ tiếp điểm với phương ngang Bán kính hình trụ R Bài Với giá trị góc α khối lập phương giống nằm cân hình vẽ Hệ số ma sát khối giá trị μ , khối với coi nhỏ Bài 6.Một AB đồng chiều dài 2b, đầu tựa mặt đất nằm ngang, đầu tựa vào tường thẳng đứng Vị trí xác định theo góc α=(OX,OG) Bỏ qua ma sát Ở thời điểm ban đầu α=α0, đứng yên.Tính phản lực NB tường lên từ suy góc nghiêng α1 mà rời khỏi tường Bài Một hình trụ rỗng khối lượng m lăn xuống theo mặt phẳng nghiêng(với góc α = 45 o ) (lăn khơng trượt) Ở bề mặt phía hình trụ tuyệt đối nhẵn có vật nhỏ khối lượng m = M/2 Hỏi góc β hình trụ lăn Bài Một không khối lượng nối với nặng đầu bắt đầu rơi từ vị trí thẳng đứng khơng vận tốc đầu Đầu bị chặn phía hình vẽ Hỏi góc véc tơ vận tốc phương thẳng đứng thời điểm chạm mặt phẳng ngang? Bài Một hình trụ đặc khối lượng m bán kính r lăn khơng trượt theo mặt hình trụ rỗng khối lượng M, bán kính R Hình trụ lớn quay xung quanh trục theo phương ngang Các trục hình trụ song song với Bỏ qua ma sát Ban đầu hình trụ đặc vị trí ỏ 52 mà đường nối tâm hai hình trụ lệch góc ỏ nhỏ so với phương thẳng đứng Thả cho hình trụ dao động Viết phương trình dao động hình trụ Bài 10 Vật rắn có khối lượng M quay quanh trục cố định nằm ngang di qua điểm O nằm vật, mơ men qn tính vật với trục quay I điểm A cách O đoạn d ta nối vật m AB không khối lượng có chiều dài l quay quanh A mặt phẳng quay vật rắn Tìm chu kì dao động nhỏ vật Bài 11 Vật A có khối lượng M nối với vật B khối lượng m AB có khối lượng khơng đáng kể Vật A nằm mặt phẳng ngang nhẵn buộc với đầu lò xo có độ cứng k, đầu lại lò xo chột cố định O mặt phẳng ngang Khi vật B dao động mặt phẳng thẳng đứng kéo vật A dao động theo đường thẳng ox nằm ngang Viết phương trình dao động vật biết thời điểm ban đầu, vật B vị trí có góc lệch α0 so với phương thẳng đứng Oy vận tốc v hướng vng góc với AB vị trí cân Bài 12 Một vành xe bán kính R lăn không trượt mặt bàn nằm ngang, vận tốc khối tâm G V0 Gọi I điểm vành, ban đầu I tiếp xúc với bàn Xác định phương trình chuyển động, vận tốc gia tốc I Bài 13 Một cầu bán kính R lăn không trượt mặt A phẳng nghiêng vơi gia tốc không đổi a Ở thời điểm t vị B trí điểm hình vẽ Hãy xác định vận tốc gia tốc O A,B O Bài 14 Một cầu bán kính R lăn khơng trượt máng hình chữ V với góc mở α Vận tốc khối tâm O v0 Hãy xác định vận tốc góc cầu Bài 15 Một hình nón tròn xoay có nửa góc đỉnh ỏ, bán kính đáy r, lăn không trượt mặt phẳng ngang hình vẽ: Đỉnh nón khớp vào điểm O có độ cao với tâm C đáy Vận tốc C v Hãy xác định vận tốc góc gia tốc góc hình nón Bài 16 Trên mặt phẳng ngang có vành đai đứng yên bán kính R Một vành đai khác giống hệt chuyển động với vận tốc v Tìm phụ thuộc vận tốc u giao điểm vành đai vào khoảng cách d hai tâm Các vành đai mảnh chạm trình chuyển động Bài 17 Người ta xâu vòng O,O’ vào hai trục song song A’ cách khoảng d Một sợi dây buộc cố định A’ O luồn qua vòng Vòng O’ xuống với vận tốc v khơng đởi Tìm O’ gia tốc vòng O dây tạo với AB góc α 53 d Bài 18 Hai thép có chiều dài OA= L1, BO= L2 liên kết khớp nối O Người ta kéo hai đầu A,B hai theo phương ngang hai phía ngược chiều với vận tốc khơng đởi v 1,v2 Xác định gia tốc khớp nối O lúc hai vng góc nhau, biết hai ln nằm mặt phẳng Bài 19 Một cầu đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R lăn không trượt mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc α Tìm: a Giá trị hệ số ma sát để trượt không xảy b Động cầu sau t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động Bài 20 Một đĩa đồng chất có bán kính R, quay chỗ với vận tốc góc ban đầu ự Hệ số ma sát đĩa mặt phẳng ngang k Tìm số vòng mà đĩa quay thêm dừng lại M m1 Bài 21 Cho hệ hình vẽ Hệ số ma sát m1 bàn k Ròng rọc coi đĩa tròn đặc khối lượng M bán kính R quay không ma m2 sát quanh trục Vật m2 ban đầu cách mặt đất khoảng h Thả cho hệ chuyển động từ nghỉ h Tìm gia tốc vật tỷ số hai lực căng dây trước m1 chạm đất Sau m1 chạm đất vật m2 chuyển động nào? Bài 22 Một hình trụ đặc đồng chất bán kính R, khối lượng M quay tự quanh trục nằm ngang qua tâm Trên trụ có sợi dây mảnh có độ dài l khối lượng m Tìm gia tốc góc hình trụ phụ thuộc vào chiều dài đoạn dây bỏ thõng xuống x Giả thiết trọng tâm phần dây nằm trục trụ Bài 23 Một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng m, bán kính R làm quay xung quanh trục với vận tốc góc ω0 Hình trụ đặt lên mặt phẳng ngang Hệ số ma sát hình trụ mặt phẳng ngang k Tìm: a Thời gian chuyển động hình trụ có trượt b Cơng tồn phần lực ma sát tác dụng lên hình trụ Bài 24 Một hình trụ đồng khối lượng m, bán kính R đặt khơng vận tốc đầu mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc α, hệ số ma sát k Xác định gia tốc hình trụ CMR: có trượt hay khơng tùy vào giá trị góc α so với giá trị α0 cần tìm Tìm tởng lượng hình trụ thời điểm t=0 t Xét hai trường hợp: αα0 54 Bài 25 Một hình lập phương khối lượng M hình trụ đặc m bán kính R Sợi dây không dãn không khối lượng đâu buộc vào M, đầu vào hình trụ Hình lập phương chuyển động không ma sát mặt phẳng nghiêng nghiêng góc α Ròng rọc khơng khối lượng quay không ma sát quanh trục Hệ thả tự không vận tốc đầu, α dây không bị trùng mà khơng bị căng, phần dây bên hình trụ thẳng đứng, phần buộc vào M song song với mặt phẳng nghiêng Xác định gia tốc vật, biện luận theo giá trị α Bài 26 Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R=15cm nằm mặt phẳng ngang mặt phẳng nghiêng tạo góc α=300 với mặt phẳng ngang Tìm vận tốc cực đại v hình trụ để khơng bi nảy lên Giả thiết khơng có trượt Bài 27 Một đồ chơi hình trụ đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R ban đầu nằm cạnh giá (cạnh song song với đường sinh hình trụ) Dưới ảnh hưởng vận tốc ban đầu không đáng kể, đồ chơi rơi xuống Hệ số ma sát trượt đồ chơi giá k độ nghiêng α0 đồ chơi bắt đầu rời khỏi giá Áp dụng: k=0,2 Bài 28 Một hình trụ đồng chất, khối lượng m, bán kính a, khối tâm G thời điểm ban đầu hình trụ quay với vận tốc góc ự0 khối tâm G đứng n mặt bàn nằm ngang Hệ số ma sát trượt trụ bàn k Xác định thời điểm t: vận tốc G vận tốc góc ω Ở thời điểm t1 hết trượt? Xác định v1, ω1 quãng đường S1 mà Tính cơng lực tiếp xúc Sau hình trụ chuyển động nào? Biện luận vẽ đường cong biểu diễn biến thiên v ω theo thời gian Bài 29 Một vành đai mỏng rắn có bán kính R đặt thẳng đứng sàn gần điểm tiếp xúc với sàn người ta gắn vào vành đai vật nhỏ A có khối lượng khối lượng vành đai Sau người ta truyền cho trục vành đai vận tốc nằm ngang v0 Với giá trị v0 vành đai không nhảy lên, lăn xảy không trượt Bài 30.Một vật rắn khối lượng m, khối tâm G nằm mặt đất nằm ngang A,B Tiếp xúc B khơng có ma sát, tiếp xúc A có ma sát với hệ số k thời điểm đầu người ta đẩy 55 A B vật rắn với vận tốc đầu v0 nằm ngang Xác định khoảng cách d mà vật dừng lại Bài 31 Một người xe đạp khởi động đường G• nằm ngang Người xe đạp xem vật rắn liên h kết với xe đạp (bỏ qua khối lượng đôi chân chuyển động b a người) Gọi m khối lượng người + xe đạp, hai bánh xe giống có bán kính R khối lượng không đáng kể Khối tâm G hệ chuyển động xác định chiều dài a,b,h Gọi n tỷ số đĩa líp bánh sau, k hệ số ma sát trượt bánh xe đường Hỏi mô men ngẫu lực M người phải tác dụng lên đĩa để bánh xe không trượt mặt đường Bài 33 Một vòng dây xích kín A có khối lượng m=0,36kg, nối qua dây vào đầu trục thẳng đứng máy quay li tâm quay với vận tốc góc khơng đởi ω=35rad/s Sợi dây làm gócα =450 với đường thẳng đứng Xác định khoảng cách từ khối tâm vòng dây xích đến trục quay sức căng dây xích Bài 34 Một hình nón tròn xoay A khối lượng m=3,2kg có nửa góc đỉnh α=100, lăn khơng trượt mặt nón B cho bất động Khối tâm hình nón A độ cao với đỉnh O, cách đỉnh khoảng L =17cm chuyển động theo đường tròn với vận tốc góc ω Hãy xác định: a Lực ma sát tĩnh tác dụng vào hình nón A ω=1rad/s b Giá trị ự chuyển động hình nón A tiến hành khơng trượt, hệ số ma sát mặt k=0,25 O Bài 36 Một AB đồng chất khối tâm G, khối lượng m, chiều dài l Thanh treo vào điểm O hai dây không dãn, không khối lượng chiều dài l Hệ cân tính lực căng T0 dây A B Cắt dây OB tính giá trị T vừa cắt Tính tỷ số T/T0 Bài 37 Một AB đồng chất chiều dài 2b khối tâm G đặt thẳng đứng mặt đất Nhẹ nhàng làm thăng khiến bị đổ Giả thiết đầu A trượt khơng ma sát sàn Tìm vận tốc v0 G chạm đất Bài 38 Một dây xích AB đồng có chiều dài l khối lượng m, đặt mép bàn nằm ngang, đầu B xích cách mép bàn khoảng h Dây thả tự không vận tốc ban đầu Bỏ qua ma sát Xác định phương trình vi phân toạ độ x B theo thời gian 56 A O B x y Xác định thời điểm t phản lực R mà bàn tác dụng lên dây xích Bài 39 Một sợi dây xích đồng chất, không đàn hồi, khối lượng m, chiều dài l vắt qua ròng rọc khối lượng M, bán kính R Ròng rọc quay khơng ma sát quanh trục thời điểm ban đầu, hệ đứng yên, hai đầu mút dây chênh lệch đoạn h Xác định chuyển động hệ sau (giả thiết dây khơng trượt ròng rọc) Bài 40 Một đĩa nặng quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω Đồng xu khối lượng m, bán kính r thả xuống đĩa trục thẳng đứng (hình vẽ) Khoảng cách hai trục d (d>r) Hệ số ma sát đĩa đồng xu k Tìm vận tốc góc ởn định đồng xu? Giá trị mơmen lực đặt vào trục đĩa lớn để giữ cho vận tốc khơng đởi? Khơng có ma sát trục Bài 41 Một cuộn dây không đàn hồi, khối lượng khơng đáng kể quấn qua hình trụ bán kính R nằm ngang đứng yên (vắt qua nửa vòng hình trụ) Tính giá trị cực tiểu F0 F cần phải tác dụng đầu mút A dây để ngăn không cho tải trọng rơi xuống Giả thiết hệ số ma sát trượt dây f trọng lượng dây không đáng kể Bài 42 Một xe ôtô ban đầu đứng yên, khởi động có α gia tốc a đường nằm ngang Một cánh cửa xe vẫn mở tạo nên góc α0 = 900 Tính thời gian cần thiết để cánh cửa tự a đóng lại Bỏ qua ma sát, gọi J mômen quán tính cửa so với trục lề (giả thiết thẳng đứng), b khoảng cách từ khối tâm G cửa đến trục lề m khối lượng cửa 57 ... O (V2 ) λ số r r r r r r r + Nếu V1 + V2 = ⇒ M O (V1 + V2 ) = a A B D II CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ VẬT RẮN KHÁI NIỆM VẬT RẮN - Vật rắn tuyệt đối vật mà khoảng cách hai điểm khơng đởi - Vật rắn xem hệ... số nhiều thơng số dẫn đến phép tính rắc rối khó gỡ - Nếu hệ xem vật rắn, số thơng số phải tính đến trở nên vừa phải: Nhiều thông số đủ xác định chuyển động vật rắn hệ quy chiếu gắn với vật rắn. .. với vật rắn quay quanh trục cố định chuyển động tịnh tiến vật bị khử phản lực trục quay 4.6 Năng lượng vật rắn 4.6.1 Thế vật rắn: Xét với vật rắn tuyệt đối, trọng trường có gia tốc g, Z độ cao