BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM MỤC LỤC PHẦN MỘT LÍ THUYẾT CHUNG 2 I ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 2 1 Các hệ tọa độ 2 2 Hệ quy chiếu (HQC) Đổi hệ quy chiếu 3 II ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 5 1 Các lực thường gặp 5 2 Các đị.
BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM MỤC LỤC PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG I ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Các hệ tọa độ .2 Hệ quy chiếu (HQC) Đổi hệ quy chiếu II ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Các lực thường gặp Các định luật Newton Các định luật bảo toàn .7 Va chạm .8 PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU 11 I BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG CĨ ĐIỀU KIỆN .11 Điều kiện vật rời mặt sàn 11 Điều kiện vật đạt qua vị trí xác định .14 Điều kiện vật gặp 17 II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG TẠI MỘT THỜI ĐIỂM 19 Bài toán chuyển động tương đối vật .19 Hệ chất điểm liên kết với dây không dãn 21 Chất điểm gắn với khuyên tự 28 Hệ chất điểm chuyển động mặt phẳng thẳng đứng 34 Hệ chất điểm chuyển động mặt phẳng ngang .36 III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẶC ĐIỂM CỦA QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG 38 Chất điểm chuyển động quỹ đạo xoắn ốc 38 Chất điểm chuyển động lòng bán cầu .41 IV BÀI TOÁN VA CHẠM .42 Va chạm chất điểm với mặt phẳng 42 Va chạm hệ chất điểm .46 V BÀI TOÁN CÁC BỀ MẶT TRƯỢT TRÊN NHAU 48 Các vật tự trượt 48 Các vật trượt tác dụng ngoại lực F 54 PHẦN BA: BÀI TẬP TỰ GIẢI 56 PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG I ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Các hệ tọa độ 1.Tọa độ Đềcác a) Vị trí chất điểm rr r Chọn trục vng góc Oxyz làm mốc i, j, k vectơ đơn vị trục Điểm M uuuu r r uuuu r OM r OM xác định bán kính vectơ hình chiếu x, y, z gọi tọa độ Đềcác chất điểm M uuuu r r r r OM xi y j zk b) Vectơ vận tốc r Vectơ vận tốc v chất điểm M đạo hàm thời gian t bán kính vectơ uuuu r r OM r : r r dr r r r & y&j zk & v xi dt Vectơ vận tốc có hình chiếu đạo hàm tọa độ c) Vectơ gia tốc Vectơ gia tốc đạo hàm thời gian vectơ vận tốc, đạo hàm bậc hai bán kính vectơ r r r dv d2r r r r & & & a & xi y&j & zk dt dt 1.2 Hệ tọa độ cực a) Tọa độ chất điểm Giả sử M chuyển động mặt phẳng xOy Vị trí M xác định : độ lớn r > bán uuuu r uuuu r OM OM kính vectơ góc θ mà làm với trục Ox (Hình 1) b) Vectơ vận tốc r uuuu r Gọi I vectơ đơn vị bán kính vectơ OM ur r J vectơ đơn vị thu quay I 900 theo chiều r r dương (chiều tăng θ) Ta viết r r I Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian ta có r r ur dr r v r&I r&J dt r v Ta thấy vectơ vận tốc có hai thành phần uu r r &I v r r - Vận tốc xuyên tâm hướng vào tâm O r giảm, hướng xa r tăng uu r ur uuuu r uuuu r &J v r OM OM - Vận tốc phương vị vuống góc với có chiều quay 2 & 1/2 Modun vận tốc v (r& r ) c) Vectơ gia tốc Tiếp tục lấy đạo hàm vận tốc thời gian ta có: r r ur ur ur r &J r&2 I &I r& a r& &J r& &J r& Gia tốc có hai thành phần là: uu r r &2 ) I & & a ( r r - Gia tốc xuyên tâm r uu r ur & r& & & a (2 r ) J - Gia tốc phương vị Hệ quy chiếu (HQC) Đổi hệ quy chiếu 2.1 Hệ quy chiếu qn tính Là hệ quy chiếu định luật Niutơn nghiệm - HQC Copernic: có gốc tâm Mặt Trời ba trục hướng ngơi cố định HQC qn tính - HQC Galille: HQC chuyển động thẳng với HQC Copernic, HQC quán tính - HQC địa tâm: có gốc tâm Trái Đất trục song song với trục Copernic coi HQC qn tính mức xác cao HQC có gốc trục gắn với Trái Đất chuyển động tự quay Trái Đất nên khơng phải HQC qn tính, với thí nghiệm khơng kéo dài gần HQC quán tính 2.2 Đổi hệ quy chiếu (cộng vận tốc) (O1) HQC mà ta coi cố định (O) HQC lưu động Đối với (O) chất điểm M vạch quỹ đạo C0 gọi quỹ đạo tương đối khoảng thời gian t, t + ∆t điểm M có dịch chuyển tương đối MM’ Vì (O) chuyển động (O1), C0 cũng chuyển động, điểm K trùng với M thời điểm t gắn chặt với (O) có dịch chuyển MM’’ gọi dịch chuyển kéo theo Tổng hợp hai chuyển động (O1) điểm M có dịch chuyển MM1 gọi dịch chuyển tuyệt đối, vạch quỹ đạo tuyệt đối C1 (Hình 2) Khi ∆t → MM’’M1 biến thành tam giác ta có: uuuuur uuuuur uuuuuuur MM MM '' M '' M lim lim lim t t t uuuuur MM ur lim t : vận tốc M (O 1), gọi vận tốc tuyệt đối v1 uuuuur MM '' uu r lim t vận tốc kéo theo vk uuuuuuur M '' M ur lim v t vận tốc M (O), gọi vận tốc tương đối t Vậy ta có cơng thức cộng vận tốc ur uu r ur v1 vk vt 2.3 Đổi hệ quy chiếu (tổng hợp gia tốc) a) HQC (O) chuyển động tịnh tiến (thẳng cong) Gia tốc tuyệt đối tổng vectơ gia tốc tương đối kéo theo ur uu r ur a1 ak at b) HQC (O) quay với vận tốc ω Xét Ox quay quanh điểm cố định O với vận tốc góc khơng đổi ω Trên Ox có chất điểm M xOy HQC lưu động, quay HQC cố định x1Oy1(Hình 3) Nếu M đứng yên Ox vt = , at = Điểm kéo theo K trùng với M Gia tốc tuyệt đối trùng với gia tốc kéo theo gia tốc hướng tâm a = ak = -ω2OM = const Giả sử M chuyển động Ox với vận tốc tương đối v t Vận tốc kéo theo vk vng góc với Ox, K chuyển động trịn Nếu vt biến đổi có gia tốc tương đối at Gia tốc kéo theo ak gia tốc hướng tâm, có mơđun biến đối, OM biển đổi Mặt khác v t biến đổi phương mơđun Vì gia tốc tuyệt đối (đối với x1Oy1 ) không bao gồm ak at mà cịn có số hạng thứ 3, uu r a gọi gia tốc Côriôlit c , xuất biến đổi môđun ak biến đổi phương vt Người ta chứng minh rằng: uu r ur ur ac 2 vt Vậy gia tốc tuyệt đối gồm số hạng ur uu r ur uu r a1 ak at ac ur ur v t Gia tốc Côriôlit ac triệt tiêu vt = song song với II ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Các lực thường gặp 1.1 Lực căng Lực căng tên gọi chung có lực xuất bên sợi dây, thanh, v.v… bị kéo Mỗi đoạn sợi dây chịu tác dụng lực căng theo hai hướng, trừ hai điểm cuối Trong số trường hợp lực căng dây thay đổi dọc theo dây Ví dụ sợi dây có khối lượng vắt qua rịng rọc có ma sát 1.2 Phản lực Đây lực vng góc với mặt phẳng mặt phẳng tác dụng lên vật Thông thường hợp lực mặt phẳng tác dụng lên vật tổng phản lực lực ma sát Nhưng với mặt không ma sát mặt trơn nhẵn có phản lực tồn Sự xuất phản lực thực mặt phẳng bị nén xuống ứng xử giống lò xo cứng Bề mặt bị nén xuống lực đàn hồi đủ lớn để làm cho khơng bị nén thêm 1.3 Lực ma sát Lực ma sát lực có phương song song với bề mặt tác động lên vật Một số bề mặt ví dụ giấy nhám, có lực ma sát lớn Cịn bề mặt trơn khơng có lực ma sát Có hai loại lực ma sát, gọi ma sát “động” ma sát “tĩnh” Lực ma sát động xuất có hai vật chuyển động tương Một xấp xỉ tốt lực ma sát động hai vật tỉ lệ với phản lực chúng Hệ số tỉ lệ gọi µ k (hệ số ma sát động), giá trị µk phụ thuộc vào hai bề mặt xét Vì F k N N phản lực Hướng lực ma sát ngược với chiều chuyển động Lực ma sát tĩnh liên quan đến hai vật trạng thái chuyển động tương Trong trường hợp tốn tĩnh, ta có F s N µs hệ số mà sát tính 1.4 Trọng lực Xét hai chất điểm có khối lượng M m, cách khoảng R Thì chúng có lực hấp dẫn xuất có độ lớn F GMm / R G = 6.67 ×10-11m3/(kg s2) Một vật bề mặt Trái Đất chịu ảnh hưởng lực hấp dẫn GM F m R mg M khối lượng Trái Đất, R bán kính Trái Đất Đây phương trình định nghĩa g thu g 9.8 m/s2 Mỗi vật bề mặt Trái Đất chịu tác dụng lực F=mg hướng xuống 1.5 Lực lò xo Khi lị xo bị biến dạng xuất lực đàn hồi làm vật trở lại trạng thái không biến dạng Nếu độ biến dạng khơng q nhiều độ lớn lực đàn hồi tuân theo định luật Húc F k l k độ cứng lò xo ∆l độ biến dạng lò xo Các định luật Newton 2.1 Định luật thứ nhất:Nếu vật không chịu tác dụng lực chịu tác dụng lực có hợp lực 0, giữ ngun trạng thái đứng yên chuyển động thẳng Từ ta có điều kiện để vật cân chuyển động thẳng tổng hợp lực tác dụng lên vật không Một điều mà định luật đưa hệ quy chiếu qn tính, mà định nghĩa cách đơn giản hệ quy chiếu mà định luật thứ Định luật không hệ quy chiếu Ví dụ khơng hệ quy chiếu quay 2.2 Định luật thứ hai:Vectơ gia tốc vật hướng với lực tác dụng lên vật Độ lớn vectơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn vectơ lực tác dụng lên vật tỉ lệ nghích với khối lượng vật ur r F ur r a m F ma Và hệ tọa độ Đềcác, ta có phương trình Fx ma x ; Fy ma y ; Fz ma z 2.3 Định luật thứ ba:Khi vật A tác dụng lên vật B lực vật B tác dụng trở lại A lực Hai lực hai lực trực đối uur uur FA FB Một điều mà định luật nói có hai chất điểm cô lập tương tác với lực gia tốc chúng có chiều ngược Theo nghĩa tương đương, định luật thứ ba nói tổng động lượng hệ lập bảo toàn Các định luật bảo toàn 3.1 Định luật bảo tồn động lượng Xét hệ lập gồm N hạt có khối lượng m 1, m2,…, mN chuyển động với vận tốc v1, v2, …, vN ur r Ta có động lượng định nghĩa biểu thức p mv Động lượng hệ ur ur P mi vi uuur uu r mi vi G vG uuur uu r mi vi G mi vG uuur uu r d ri G mi mi vG dt uuur d mi ri G uu r M vG dt uu r M vG uu r v G M tổng khối lượng hạt, vận tốc khối tâm Hệ cô lập, theo định luật thứ hai Newton, ta có: uu r F i 0 ur ur ur d vi dP mi 0 P const dt dt Từ ur uu r P P ' Động lượng bảo tồn Hay nói cách khác Trong hệ tọa độ Đềcác Ta có: Px Px ' ; Py Py ' ; Pz Pz' Trong trường hợp ngoại lực tác dụng lên hệ khác khơng, xung lượng ngoại lực tác dụng biến thiên động lượng hệ uu r ur F dt m d v i i i ur uur hay Fdt M dv Trong hệ tọa độ Đềcác ta phương trình Fx dt Mdvx Fy dt Mdv y Fz dt Mdvz 3.2 Định luật bảo toàn lượng ur ur Xét hệ khối lượng m chịu tác dụng hợp lực F F (r ) , công lực r uu r r dv r Fr d r m dt d r r dr r m d v dt r r mv.dv E mv 2 uuur r V( r ) F( r ) d r r Nếu định nghĩa r0 viết mv V( r ) E Hay nói cách, tổng động số V( r ) mgz Thế trọng trường Thế đàn hồi V( r ) m l Va chạm Có hai loại va chạm chất điểm, gọi va chạm đàn hổi (trong động bảo tồn) va chạm khơng đàn hổi (trong phần động bị đi) Trong va chạm nào, tổng lượng bảo tồn, va chạm khơng đàn hồi phần lượng chuyển thành nhiệt thay dạng lượng chuyển động tịnh tiến chất điểm 4.1 Vật va chạm với mặt phẳng Chúng ta chia trình va chạm thành hai giai đoạn Giai đoạn một: tính từ bắt đầu va chạm, vật bị biến dạng Động chuyển thành đàn hồi đến vật bị biến dạng cực đại vận tốc khối tâm theo phương pháp tuyến với mặt phẳng không Giai đoạn hai: vật bị biến dạng cực đại sinh lực hồi phục Thế đàn hồi chuyển thành động Giả sử khơng có lực ma sát dọc theo mặt phẳng suốt trình va chạm nên hợp lực tác dụng lên vật có thành phần theo phương pháp tuyến với mặt phẳng Trong trình va chạm diễn nhanh nên bỏ qua ảnh hưởng trọng lực (hình 4) a Giai đoạn Lực nén cực đại F Ta có vật ur uu r Fdt mdv y b Giai đoạn hai Lực hồi phục uur ur F ' k F (k hệ số hồi phục) Ta có uur uur F 'dt mdv y ' Từ suy ra: Theo Oy uuur ur uuuu r uuur uur uu r md v y F dt uur uuuu r dv y ' k dv y v y ' kv y F 'dt mdv y ' uu r uur Fx F ' x vx vx ' Theo Ox Vậy thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến thay đổi, thành phần vận tốc theo phương tiếp tuyến giữ nguyên Va chạm coi hoàn toàn đàn hồi hệ số hồi phục k = Lúc vectơ vận tốc trước sau giống tia sáng bị phản xạ 4.2 Va chạm xuyên tâm Xét hệ lập gồm hai vật khối lượng m1 có vận tốc v1 va chạm với vật m2 có vận tốc v2 Chúng ta tiếp tục chia trình va chạm thành hai giai đoạn Giai đoạn một: hai vật bắt đầu va chạm đến biến dạng cực đại Khi vận tốc hai vật Giai đoạn hai: hai vật hồi phục chuyển đàn hồi thành a Giai đoạn Gọi lực tương tác trung bình giai đoạn thứ vật hai đối uu r ur v F với vật kết thúc vật chuyển động với vận tốc Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật ur uu r r m1 v1 m2 v2 (m1 m2 )v Đối với riêng vật ta có Vật 1: uu r ur ur m1 v0 m1 v1 F t Vật 2: uu r uu r ur m2 v0 m2 v2 F t b Giai đoạn hai Gọi lực tương tác trung bình giai đoạn hai vật hai vật uur ur uur F ' k F với k hệ số hồi phục F ' Ta có Áp dụng định luật bảo tồn động lượng cho hệ gồm hai vật uu r uur uur ( m1 m2 )v m1 v1 ' m v2 ' Đối với riêng vật Vật 1: Vật 2: uur uu r uur m1 v1 ' m1 v0 F 't uur uu r uur m2 v2 ' m2 v0 F 't Giải hệ phương trình ta v1 ' m1v1 m2 v2 km2 (v1 v2 ) m1 m2 v2 ' m1v1 m2 v2 km1 (v2 v1 ) m1 m2 10 cos V u cos Vậy vận tốc khối bán cầu sau va chạm là: Trong thời gian va chạm, khối bán cầu chịu tác dụng xung lực: (do vật tác dụng) phản xung (do sàn tác dụng) Định lý biến thiên động lượng cho khối cầu: + = = > hình vẽ sin 2 X p mVtg mu cos từ hình vẽ suy ra: Va chạm hệ chất điểm Bài 1: Có đĩa nhỏ, mỏng khối lượng bán kính ( chất điểm) nằm yên mặt phẳng ngang nhẵn Đĩa B C nối với sợi dây mỏng có chiều dài l Ban đầu dây thẳng không căng BC hợp với AB góc 450 Cung cấp cho A vận tốc đầu v dọc theo hướng AB để A đến va chạm tuyệt đối đàn hồi xuyên tâm với B cách tức thời Hỏi thời điểm kể từ sau va chạm A B, đường thẳng nối B C song song với quỹ đạo ban đầu A Khoảng cách BC lúc bao nhiêu? Lúc B, C cách A bao nhiêu? Hướng dẫn: Có q trình va chạm xãy ra: Giữa A B; B C Ngay sau va chạm A với B, A đứng yên, B có vận tốc A Xét vận tốc B trước va chạm thứ hai theo phương vng góc song song với dây BC: + Thành phần vuông góc: + Thành phần song song: Thành phần vng góc không thay đổi va chạm thứ hai B C Do B C khối lượng nên sau va chạm B C trao đổi vận tốc cho B dừng lại theo phương song song, C chuyển động với vận tốc 45 Gọi x phương vng góc với AB ban đầu, y phương AB Thành phần vận tốc B C theo phương y sau va chạm v/2 chiều Thành phần theo phương x chúng v/2 ngược chiều Vì sợi dây chùng lại, lúc B C chuyển động độc lập Quãng đường B C theo phương x đến BC song song với y: Thời gian cần tìm: Khoảng cách BC lúc khoảng cách ban đầu chúng theo phương y: Khoảng cách từ B C đến A: V BÀI TOÁN CÁC BỀ MẶT TRƯỢT TRÊN NHAU Các vật tự trượt Bài 1:Trên mặt phẳng ngang có hai khối lập phương cạnh H, khối lượng M đặt cạnh Đặt nhẹ nhàng cầu có bán kính R, khối lượng m = M lên vào khe nhỏ hai khối hộp Hai khối hộp cách khoảng R, cầu đứng cân khối hộp sau đặt nhẹ lên khe hở Tìm lực khối hộp tác dụng lên cầu vật đứng cân Biết hệ số ma sát tĩnh hai khối hộp mặt bàn k, tìm điều kiện k để cầu đứng cân hộp sau đặt lên Bỏ qua ma sát vận tốc ban đầu cầu Tìm vận tốc cầu trước va đập xuống mặt phẳng ngang Hướng dẫn 46 Quả cầu cân khối hộp, AOB tam giác Có thể thấy lực khối tác dụng lên cầu hướng tâm độ lớn, góc lực 60 Các lực cân với trọng lực tác dụng lên cầu Vì vậy: Mg N N Mg Để khối hộp cầu đứng cân sau đặt cầu lên lực tác dụng lên khối hộp theo phương ngang phải không lớn ma sát nghỉ cực đại fms Xét lực tác dụng lên khối hộp gồm: r r F N Trọng lực P = Mg, áp lực cầu F với Phản lực Q bàn với: Q = Mg + Fsin600 N cos 600 f ms N cos 600 k ( Mg N sin 600 ) k N Mg / Mg N Mg Mg 3 - Xét thời điểm cầu rơi xuống khối lập phương, ta cần xác định góc Liên hệ vận tốc: v1 cos v sin v1 tg v2 - Bảo toàn lượng: 1 mv12 mv22 mgR cos 2 v12 1 2 2gR cos tg v12 2gR cos tg 2 tg 2 Trong HQC chuyển động với vận tốc v2 cầu chuyển động trịn quanh điểm tiếp xúc, thời điểm rời HQC trở thành HQC quán tính, lúc thành phần trọng lực đóng vai trị lực hướng tâm: mv mg cos R v1 mv12 v mgcos sin R sin (*) Thay v1 biểu thức vào, phương trình: 47 v12 2gR cos tg 2 gR cos .sin 2 tg cos3 3cos cos 0,596 (Có thể tính theo cách sau: Tìm v2 xác định cực đại v2 2gR cos cos cos v12 v 2gR tg tg 2 cos 2 Lấy đạo hàm theo cos cho đạo hàm ta nhận phương trình: cos3 3cos ) v12 gR cos .sin gR cos cos Thay vào (*): Còn cầu cách mặt đất: - Nếu h H R cos H R cos 0,404R chạm đất góc f thỏa mãn cầu chạm đất trước rời hình lập phương, lúc H R cos cos H R Vận tốc trước chạm đất xác định theo định luật bảo toàn lượng liên hệ vận tốc v12 2gR cos cos cos 2gR cos cos 2R H 2RH v1 2g 2R H H - Nếu H R cos 0, 404R sau rơi, cầu chuyển động rơi tự do: R vf v12 2gH 2gH 1 0, 212 H Bài 2:Một hình trụ có khối lượng m, bán kính R đứng yên Hình trụ tựa vào khối hộp bậc thềm có độ cao hình Khối hộp kéo sang trái với vận tốc v không đổi Lúc đầu, khối hộp sát cạnh bậc thềm Bỏ qua ma sát hình trụ với bậc thềm khối hộp Hãy xác định: a) Dạng quỹ đạo chuyển động tâm hình trụ so với điểm A mép bậc thềm 48 b) Điều kiện vận tốc v để khối hộp tiếp xúc với hình trụ khoảng cách hai điểm A B (ở mép khối hộp) R c) Các lực tác dụng lên thành trụ khoảng cách A B R Hướng dẫn 49 O a) Khi hộp tiếp xúc với khối trụ r uu r uu rrrr u u r u r a NF N uur r rF u u r rv Q T T y uur N a N uvur uu F r u r r u u r gg u u r F N r h T ' T ' mg Q u r / vrT T N ' P N N v T m v u F u r A m1 A u r P uhuur A CA T P1 A O m2 khối trụ tiếp xúc với bậc Suy x tâm khối trụ cáchAmép bậc đoạn G R, hay nói cách khác tâm khối trụO chuyển y động cung trịn tâm A, bán kính R R m1 B V m 2L B Cx A m2 B m2 AAA y B m 2L B y E Rm2 l m A CR 2m3 2T1G IR A OH MX vI mA Bv2Nm30 m2 Fxα L C A m1 O m21 (2) m N 1Mms R x M T2 L b m1 y ỏO M 22 M2 x R M O α A0 O 2 OHình ms x P D B O g m1 y m2 B C Y uur vα0a (3) O HìnhN2 M G (1) v r A Mg B x b) Xét thời điểm bán kính AC hợp với phương ngang góc Tâm C nằm cách khối hộp bậc, ta dễ thấy: xC = xB/2 Suy ra: vCx = vBx/2 = v/2 (1) uu r uu r v v C C Véc tơ vận tốc có phương vng góc với bán kính quỹ đạo AC Suy hợp với A v phương thẳng đứng góc Từ (1) ta có: vC = 2sin (2) Van vC2 v2 R R sin Gia tốc hướng tâm hướng từ C A có độMlớn: (3) Tâm C chuyển động theo phương ngang nên phản lực NA NB Áp dụng phương trình định luật II Newton theo phương CA ta có: B NBcos2 + mgsin - NA = man (4) Từ (3) (4) ta có: NA NB m v2 g sin 2 2sin R sin Khi AB = R = 450 Điều kiện để hộp tiếp xúc với khối trụ thì: NB Suy ra: v gR c) Với v gR AB = R , lực khối hộp bậc tác dụng lên khối trụ là: g v2 N A NB m 2R y y ur ur T T r yO có dạng lăng trụ tam Bài 3:Một cầu khối lượng m đượcxđặt tường nêm m NBCvàRv0 N A α -v2 v0r O m Nêm trượt khơng ma giác có khối lượng M góc nghiêng mặt bàn nằm B A v sát B v0 x ur r ur v ngang Ban đầu sát v n ma r nêm tiếp xúc với cầu vđỉnhvv21y nêm T vu T BỏurMqua v1mọi 2y M A v v )α M C v A v1x 2y 2y v2x O v2 y v2 y v1 y v2 y x v 50 a a) Tìm hệ thức liên hệ M, m để nêm không bị nghiêng trình cầu xuống b) Giả sử thỏa mãn ý a), Hãy xác định tốc độ cầu thời điểm điểm tiếp xúc cầu nêm dịch quãng đường dài L mặt nêm Hướng dẫn: a) Pt chuyển động cầu theo phương thẳng đứng hướng xuống mg Ncos ma1 (1) Pt chuyển động nêm theo phương ngang sang phải N 'sin Ma2 ( N N ') (2) Khi tâm cầu xuống đoạn s1 nêm sang phải đoạn s2 Dễ thấy liên hệ: s1 s2 tan a1 a2 tan Suy liên hệ gia tốc: (3) Thay (2), (3) vào (1) ta pt: mg Ncos m tan N sin M m sin mg N cos Mcos (4) Điều kiện cân theo phương thẳng đứng nêm: N Mg N ' cos (5) Ta cần tìm điều kiện để nêm không bị nghiêng thời điểm ban đầu (vị trí dễ nghiêng trình chuyển động) Ở giới hạn nghiêng phản lực uur N2 mặt đất qua điểm A Xét hệ quy chiếu gắn với nêm lực tác dụng lên nêm là: uur r r uur N ', Mg , Fqt , N Gọi h chiều cao nêm 51 Cách 1: Chọn trọng tâm G nêm làm tâm quay (để khử momen lực r r Mg , Fqt ) điều kiện để nêm M Nr '/ G M Nr / G không bị nghiêng là: 2h h h N ' cos N2 N 'sin tan tan (6) Thay N từ (5) vào (6) biến đổi ta được: N' Mg cos 2sin Thay tiếp N từ (4) vào ta được: mg Mg cos m sin c os 2sin Mcos M tan m Cách 2: Chọn A làm tâm quay điều kiện để nêm khơng nghiêng là: M Mgr / A M Frqt / A M Nr '/ A h tan (Với Fqt Ma2 ) h Mg Ma2 hN 'sin Mg N sin N sin tan Thay tiếp N từ (4) vào ta được: Mg 2mg sin tan m sin c os Mcos M tan m b) Liên hệ vận tốc v1 v2 tan (7) Khi điểm tiếp xúc cầu nêm dịch đoạn đường L nêm tâm cầu xuống quãng đường L sin Áp dụng định luật bảo toàn cho hệ cầu nêm: 52 mv12 Mv22 mgL sin 2 (8) Thay (7) vào (8) ta được: 2mgL sin mv12 Mv12 tan gL sin M 1 m tan v1 Các vật trượt tác dụng ngoại lực F Bài 1:Một nêm A có khối lượng m1 = 5kg , góc nghiêng = 30o, chuyển động tịnh tiến không ma sát mặt sàn nhẵn nằm ngang Một vật B có khối lượng m = 1kg, đặt r nêm kéo sợi dây vắt qua ròng rọc cố định gắn với nêm Lực kéo F phải có độ lớn để vật B chuyển động lên theo mặt nêm? Khi F=10N, gia tốc vật nêm bao nhiêu? Bỏ qua ma sát, khối lượng dây ròng rọc Lấy g=10m/s2 Hướng dẫn: r r a Gọi , a gia tốc nêm A vật B Chọn hệ quy chiếu xOy gắn với mặt sàn Gọi r N2 phản lực nêm lên vật r N1 lực vật tác dụng lên nêm (N1 = N2 = N) Áp dụng định luật II Niu-tơn cho vật nêm: F - Fcos + N1sin = m1a1 (1) Fcos - N2sin = m2a2x (2) Fsin + N2cos - m2g = m2a2y (3) Mặt khác, gọi r a 21 gia tốc vật nêm ( r a 21 song song với mặt nêm có chiều lên), ta có: r r r a = a 21 + a1 hay (5) a2x = a21cos + a1 (6) a2y = a21sin (7) Từ (6) (7), suy ra: a2y = (a2x – a1)tan (8) Từ (1), (2), (3) (8) ta tìm được: 53 a1 = F(1 - cosα) + m2 gsinα.cosα m1 + m 2sinα2 a 2x = a 2y = F(m 2sinα2 + m cosα) -mm 1 gsinα.cosα 2 m (m1 + m 2sinα) Fcosα m + m2 (1-cosα) - m2 g(m1 + m2 )sinα.cosα tanα m (m1 + m 2sinα) Muốn cho vật dịch chuyển lên ta phải có hai điều kiện: a2y> N2> F> m 2g(m1 + m )sinα m1 + m (1 - cosα) F< m1gcosα (1 - cosα)sinα m1gcosα m g(m1 + m2 )sinα >F> m1 + m2 (1 - cosα) Kết hợp lại ta có: (1 - cosα)sinα Thay số ta được: 646N > F > 5,84N F= Nếu m g(m1 + m )sinα m1 + m (1 - cosα) = 5,84N a = 0: Vật đứng yên so với nêm chuyển động 21 với nêm với gia tốc a1 = 0,975m/s2 Khi F = 10N, a1 = 1,08m/s2; a2x = 4,56m/s2; a2y = 2,03m/s2 từ đó: a2 = 4,99m/s2 Bài 2:Trên mặt bàn nằm ngang khơng nhẵn có vật hình hộp khối lượng M Một ròng rọc gắn vào vật M sợi dây khơng dãn vắt qua rịng rọc Một vật khối lượng m treo vào dây, trạng thái nghỉ vật m tiếp xúc với mặt bên vật M cịn sợi dây có phương thẳng đứng Hệ số ma sát vật M mặt bàn vật M vật m Người ta dùng lực F kéo đầu dây theo phương ngang để vật M trượt mặt bàn có r gia tốc a Xác định độ lớn lực kéo F Hướng dẫn: Xét trường hợp m chuyển động so với M: Xét vật m, theo phương ngang có Xét M có F N Fms1 Ma N2 m a (2); (1) N1 Fms2 P1 F (3) ( lấy dấu (+) m lên ; lấy dấu (-) m xuống ) 54 F N1 Trong Fms2 N (4); ms1 (5) m M a M g 2m a F 1 Giải hệ (1)(2)(3)(4)(5) tính Xét trường hợp m khơng chuyển động so với M: Lực ma sát phương thẳng đứng có phương trình F Fms2 P2 (*) Fms2 lực ma sát nghỉ, theo (6) Dấu ( + ) ứng với m có xu hướng xuống; Dấu ( - ) ứng với m có xu hướng lên Giải hệ (1)(2)(3)(5) F m M a g m M (**) PHẦN BA: BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1:Một vòng khối lượng M bán kính R treo sợi dây nhẹ khơng dãn Người ta lồng vào vịng hai vật nhỏ giống hệt nhau, có khối lượng ban đầu chúng giữ đỉnh A hình vẽ Các vật chuyển động khơng ma sát vòng Từ điểm cao A vòng người ta thả đồng thời hai vật không vận tốc đầu để chúng trượt xuống a) Xác khoảng cách hai vật nhỏ phản lực vòng tác dụng lên chúng đạt giá trị cực tiểu b) Xác định giá trị nhỏ tỉ số vịng khơng bị nhấc lên Bài 2:Có hai vật nhỏ giống nhau, có khối lượng m, nối với sợi dây không dãn, chiều dài 2l đặt đứng yên mặt phẳng nằm ngang hình 1.a Gia tốc trọng trường Sợi dây có khối lượng không đáng kể Đặt hai vật mặt nằm ngang cho sợi dây căng ngang Truyền cho vật (1) vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng lên Giả sử q trình hệ chuyển động, dây ln căng, vật (2) không rời khỏi mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua ma sát Hãy xác định quỹ đạo vật (1) chạm mặt ngang Xét trường hợp sợi dây đồng với mật độ khối lượng đơn vị chiều dài ρ Hệ số ma sát nghỉ vật (2) mặt ngang µ 55 Cho hai vật cách khoảng nhỏ l Nâng chậm vật (1) lên theo phương thẳng đứng Tại thời điểm trước vật (2) dịch chuyển, ta thấy tiếp tuyến sợi dây đầu nối vào vật (2) nằm ngang dây khơng chạm đất, sợi dây có dạng phần đường cong (đường xích) Trong hệ tọa độ Oxy hình 1.b, phương trình đường xích có dạng số dương )/2 a, Tìm phương, chiều độ lớn lực căng sợi dây tác dụng lên vật (1) lúc b, Tìm độ cao h vật (1) so với mặt nằm ngang Biết chiều dài dây tính từ điểm thấp đến điểm tọa độ x s = , )/2 Bài 3:Trên xe lăn khối lượng m đặt sàn nằm ngang có gắn nhẹ thẳng đứng đủ dài Một vật nhỏ có khối lượng m buộc vào đầu dây treo nhẹ, không dãn, chiều dài l (hình 1) Ban đầu xe lăn vật vị trí cân Truyền tức thời cho vật vận tốc ban đầu v có phương nằm ngang mặt phẳng hình vẽ Bỏ qua ma sát a) Tìm v0 nhỏ để vật quay trịn quanh điểm treo b) Với v0 = gl Tìm lực căng dây dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α = 300 vật điểm treo Bài 4:A khúc gỗ có mang cọc thẳng đứng, tổng khối lượng M, đặt mặt đất nằm ngang B cầu nhỏ khối lượng m, treo vào đỉnh cọc sợi dây không giãn Đưa cầu tới vị trí cho sợi dây nằm ngang thả nhẹ để chuyển động từ trạng thái nghỉ Để khúc gỗ A không bị dịch chuyển cầu chạm vào cọc hệ số ma sát nghỉ giữ khúc gỗ mặt đất nhỏ bao nhiêu? Khi cầu chuyển động tới vị trí tạo với phương nằm ngang góc , vận tốc v cầu xác định từ ĐLBT Cơ theo công thức: mgl sin mv 2 Bài 5: Trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn người ta đặt tạ đôi thẳng 56 đứng gồm cứng nhẹ, chiều dài l hai đầu gắn hai vật khối lượng m Người ta dùng cầu nhỏ thứ ba khối lượng m/2 chuyển động mặt phẳng ngang với tốc độ v0 đến va chạm tuyệt đối đàn hồi xuyên tâm với cầu (quả cầu 1) Sau va chạm cầu (1) trượt mà không rời mặt phẳng ngang a, Tìm điều kiện v0 b, Xác định hướng độ lớn lực mà tác dụng lên cầu phía sau va chạm Biện luận trường hợp xảy c, Xác định hướng tốc độ cầu nằm ( cầu 2) trước chạm mặt phẳng ngang Bài 6: Trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang có cầu B C A,B,C,D kích thước nhau, khối lượng 1200 m=150g nằm đỉnh hình thang cân Giữa chúng nối với sợi dây mảnh, không giãn, khối lượng không đáng kể 1,2,3 Ban đầu sợi ) ) B dây thẳng hình vẽ Biết C 120 Dùng 1200 A D m1 I xung lực X=4,2 N.s tác dụng vào cầu A theo phương BA làm cầu chuyển động Tính vận tốc ban đầu cầu C Bài 7:Trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn, người ta cố định mảnh Một viên bi khối lượng m xuyên qua trượt không ma sát dọc theo Người ta buộc sợi không dãn dài L vào viên bi kéo cho đầu tự sợi có độ lớn vận tốc v0 , phương vận tốc trùng với phương sợi chỉ, sợi nằm mặt phẳng thẳng đứng Hỏi phải tác dụng lực vào sợi thời điểm tạo góc α so với phương nằm ngang? Bài 8:Một cứng, mảnh nhẹ có chiều dài l, hai đầu gắn hai cầu nhỏ có khối lượng M m Thanh giữ để đầu M nằm mặt phẳng nằm ngang hợp với phương thẳng đứng góc Thả nhẹ a Hỏi hệ số ma sát M mặt phẳng ngang để trượt mặt phẳng ngang sau thả? b Xác định gia tốc cầu nhỏ sau thả, trường hợp: M=m; hệ số ma sát μ = 0,3; 30 ; g = 10 m/s2 57 Bài 9:Một cứng nhẹ AB chiều dài 2L trượt dọc theo hai định hướng vng góc với nằm mặt phẳng thẳng đứng Đầu B trượt theo Ox nằm ngang, đầu A theo Oy thẳng đứng (hình vẽ) Ở trung điểm C có gắn vật nhỏ khối lượng m Đầu B chuyển động với vận tốc không đổi v từ điểm O Khi AB hợp với trục Ox góc α, tìm a) vận tốc gia tốc m b) vận tốc góc c) lực tác dụng lên vật Bài 10:Dây chiều dài L không dãn nằm mặt bàn nằm ngang Đầu dây bên phải luồn qua lỗ nhỏ bàn buộc vào phía mặt bàn hình bên Phần dây bên mặt bàn vắt qua ròng rọc nhẹ có treo vật nhỏ khối lượng M Kích thước rịng rọc nhỏ so với chiều dài sợi dây Đầu dây bên trái giữ cho lúc đầu ròng rọc sát mặt bàn, sau thả nhẹ Dây trượt bàn vào lỗ Bỏ qua ma sát sức cản khơng khí Bề dày mặt bàn khơng đáng kể Dây treo vật M khơng dãn có khối lượng khơng đáng kể Tìm tốc độ v đầu dây bên trái vào lúc di chuyển đoạn đường x hai trường hợp: a) Bỏ qua khối lượng dây b) Dây đồng chất tiết diện có khối lượng m 58 ... ( M m) l Cuối ta III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẶC ĐIỂM CỦA QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG Chất điểm chuyển động quỹ đạo xoắn ốc Bài 1: Chất điểm khối lượng chuyển động theo mặt trụ trịn bán kính... vận tốc ban đầu chất điểm hợp với phương ngang góc , thời điểm ban đầu chất điểm nằm trục a Xác định áp lực chất điểm lên trụ viết phương trình chuyển động chất điểm b Cũng thời điểm ban đầu,... góc vật chuyển động quay quanh vị trí đặt động (vì ta phân tích chuyển động vật thành hai chuyển động thành phần: chuyển động dọc theo dây chuyển động quay quanh điểm đặt động cơ) - Mặt khác,