MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI

Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia và quốc tế những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến phần quang hình có chiết suất môi trường biến đổi. Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp. Nhằm giúp các em giải quyết những bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI”. Vậy hướng giải quyết những bài toán này như thế nào?

Chuyên đề:

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN

ĐỔI Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia và quốc tếnhững năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến phần quang hình có chiết suất môitrường biến đổi Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nóđòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp Nhằm giúp các em giải quyếtnhững bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CHIẾTSUẤT BIẾN ĐỔI” Vậy hướng giải quyết những bài toán này như thế nào?

B1: Chia khối trong suốt thành các lớp mỏng trong suốt sao cho chiết suất trong nhữnglớp ấy gần như không đổi

B2: Dùng các định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng vàhiện tượng phản xạ toàn phần áp dụng cho các lớp mỏng trong suốt

B3: Kết hợp kiến thức toán học: tích phân, các phép tính gần đúng… để tính toán.Chuyên đề được chia làm hai phần:

Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về các định luật truyền thẳng ánh sáng, định

luật phản xạ ánh sáng, định luật khúc xạ ánh sáng và hiện tượng phản xạ toàn phần

Phần 2: Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận dụng.

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

 Định luật truyền thẳng của ánh sáng: Trong một môitrường trong suốt đồng tính và đẳng hướng các tia sáng truyền theođường thẳng

Tia phản xạ và pháp tuyến lập một góc tới i’

Định luật phản xạ ánh sáng: Tia phản xạ nằm trong mặtphẳng chứa tia tới và pháp tuyến, góc phản xạ bằng góc tối

Trong đó n1 và n2 là các hằng số, gọi là chiết xuất của

môi trường 1 và 2 Tỉ số

1 12 2

n n

n  gọi là chiết suất tỉ đối của hai môitrường

Hiện tượng phản xạ toàn phần

Trên thực tế rất khó có một môi trường trong suốt đồngnhất và có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà luôn tồn lại môitrường có chiết suất thay đổi theo từng vị trí khác nhau

Ví dụ

 Chiết suất của các bản mỏng

 Chiết suất của lớp không khí thay đổi theo độ cao

 Chiết suất của lớp không khí trên khí quyển trái đất

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

DẠNG 1: Biết phương trình đường truyền tìm chiết suất n.

Giả sử chiết suất môi trường n = n(y) Biết đường truyềntia sáng y = y(X) Tia sáng bay vào môi trường nói trên tại điểm x0

với góc tới i0 biết chiết suất môi trường ngoài là n0 Hãy tìm qui luậtbiến đổi chiết suất

x

1 Đường truyền có phương trình: y = ax2

3 Đường truyền là cung tròn : x a 2y b 2 R2

y b 2 R2 x a 2 lấy đạo hàm hai vế

Bài 1: Trong một môi trường trong suốt có chiết suất biến đổi theo

biến số y Một tia sáng đơn sắc được chiếu vuông góc với mặt phẳng giớihạn môi trường tại điểm y=0 Chiết suất của môi trường tại đó có giá trị

n0 Xác định biểu thức của chiết suất để ánh sáng truyền trong môi trườngtheo một parabol

Xét hai điểm trên phương truyền của ánh sáng ứng với các tọa độA(0,0) và B(x,y)

Ta có n A.siniA n B.sini B

Nhưng nA=n0, iA=900

0 0sin

o n

DẠNG 2: Biết qui luật biến đổi n tìm phương trình biểu diễn đường truyền

x

Bài 1: Một bản song song có chiết suất biến đổi theo quy luật

-Xác định góc lệch của tia sang so với phương ban đầu

-Xác định phương trình đường cong tia sang truyền trong bản

k

K

i

n n

+ Xác định đường cong tia sáng trong bản.

Xét điểm thuộc đường truyền trong bản song song M(x,y)

0 0 (Y)

( )

1sin sin M sin M (1)

 hay

2

4

x y b



Bài 2: Chiết suất của không khí tại một sân bay phụ thuộc vào độ

cao y theo công thức n n 0(1ay) trong đó hằng số a1,5.106m1 , n0 làchiết suất không khí tại mặt đất Một người đứng trên đường bang, độ caomặt của anh ta so với mặt đất là 1,7 m TÍnh độ dài d mà anh ta nhìn rõtrên đường bang?

Tích phân hai vế ta được

Bài 3: Một tia sáng SI đi từ không khí vào một bản mặt song song có

bề dày h với chiết suất thay đổi theo độ sâu x với quy luật

n2

n3 ⇒

sin α n sin α n−1=

n n−1

n n

Nhân các biểu thức với nhau, ta nhận được

sin α n sin α0=

1

Nghĩa là có thể viết đối với một điểm bất kỳ của quỹ đạo:

Từ hệ tọa độ đã cho, ta chỉ lấy nghiệm: f (x )=− √ 0,64− ( x+0,1 )2+ C

với hằng số C được xác định từ điều kiện đầu:

Khi x = 0 thì: f (x )=− √ 0,63=− √ 0,64− ( 0+0,1 )2+ C ⇒C=0

Vậy phương trình của tia sáng có dạng f (x )=− √ 0,64− ( x+0,1 )2

(6)

Quỹ đạo của tia sáng có dạng đường tròn bán kính r = 0,8 m.

b Dựa vào hình vẽ ta có x = r -0,1 = 0,8 – 0,1 = 0,7 > 0,3 m

Chứng tỏ tia sáng đi sang mặt kia của bản mặt

Độ lệch của tia sáng so với điểm tới khi ra khỏi bản là

Δyy= √ 0,82−0,12− √ 0,82−0,42≈0,1009m

Bài 4: Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm bằng

vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên

đều đặn từ giá trị n n  1 trên trục đến n n  2

ngoài sợi quang là không khí, chiết suất n 0 1 Gọi Ox là trục của sợi

quang học, O là tâm của một đầu sợi quang Một tia sáng đơn sắc đượcchiếu vào sợi quang học tại điểm O dưới góc 0 trong mặt phẳng xOy

1 Viết phương trình quỹ đạo cho đường đi của tia sáng trong sợiquang và xác định biểu thức tọa độ x của giao điểm đường đi tia sáng vớitrục Ox

2 Tìm góc tới cực đại max, dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyềnbên trong lõi của sợi quang

Hướng dẫn:

- Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyềntheo đường cong Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song mặtphẳng Ox Gọi  là góc phụ với góc tới của tia sáng tại M(x,y)

Theo định luật khúc xạ:  sin ons 1sin 1

n n an

Bài 5: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán đối xứng của

nó trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất của chất liệu làm sợiquang kính R, hai đầu phẳng và vuông góc với trục sợi quang, đặt trong

không khí sao cho trục thay đổi theo quy luật:

2

1 23

, trong đó r làkhoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, có đơn vị là cm Một tia sángchiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dưới góc  xấp xỉ bằng 900

(sinα ≈ 1) như hình 3

1 Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền của tia sángtrong sợi quang

2 Tìm điều kiện của R để tia sáng truyền trong sợi quang mà không

bị ló ra ngoài thành sợi quang

+ Tại O: sin= n0sinβ (với n0 = 2/ 3) => β = 600 => i0 = 300

+ Xét điểm M có tọa độ (x, y) (y > 0) ở lớp có chiết suất n n 0 1 2 y

Ta có: n0.sini0 = n.sini =>

0.sin 0 1sin

  2

11sin

y





Nguyên hàm hai vế ta được: 4x 3 8 y C

Điều kiện ban đầu: khi x = 0 thì y = 0 => C = 3

 phương trình quĩ đạo của tia sáng:y2x2 3.x

 Vậy quĩ đạo của tia sáng là đường parabol

2 C1 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra

ngoài thành sợi quang là tọa độ y của đỉnh parabol

phải nhỏ hơn R =>

30,3758

C2 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra ngoài thành sợi quang lớpchiết suất diễn ra phản xạ toàn phần của tia sáng phải cách trục ox một

khoảng nhỏ hơn R =>

30,3758

Bài 6 : Xác định sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt

đất dưới góc 450 áp suất khỉ quyển tại sát mặt đất là n=1,00003

vì sự khúc xạ tia sáng trong khí quyển

Để giải quyết bài toán này, ta cần phải chia khí quyển thành các lớp

vô cùng mỏng, và coi rằng trong các lớp đấy, môi trường là đồng nhất(chiết suất không đổi) và ánh sáng đi theo đường thẳng

Gọi là chiết suất của lớp thứ p

Là góc tới mặt phân cách của lớp thứ p và p+1

Thay vào (2) ta được:  (nh1)tgi h 0, 0003(rad)

Kết luận: Trong những bài toán dạng môi trường có chiết suất thayđổi, ta nên chia môi trường thành những lớp đẳng chiết để áp dụng địnhluật khúc xạ và tính Trong một số trường hợp cụ thể có thể sử dụng một

số công thức gần đúng để thuận lợi cho việc tính toán

Bài 7: Một chùm sáng đơn sắc song song hẹp đến rọi vuông góc lên

mặt của một bản mặt song song bề dày b, chiết suất biến thiên theo độcao theo quy luật n y n0ay Xác định độ nghiêng của tia ló ra khỏi bảnmặt

Nhận xét: Ta có thể chia môi trường thành nhiều lớp đẳng chiết Độnghiêng của tia ló ra khỏi bản mặt có thể được tính bằng phương pháptính phân

Do chiết suất biến đổi nhỏ nên n n 0

Lấy tích phân 2 vế của (1)

0 2

Bài 8: Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 300K cà áp suất 1atm là 1,0003 đối với ánh

sáng ở khoảng giữa của quang phổ nhìn thấy Giả thiết khí quyển đẳng nhiệt ở 300K, hãy tínhxem khí quyển của quả đất cần phải có mật độ lớn hơn bao nhiêu lần để ánh sáng bị cuốn theo mặt cong của quả đất tại mực nước biển? (về nguyên tắc khi bầu trời quang mây có thể ngắm mặt trời lặn cả đêm, tuy rằng ảnh của mặt trời khi đó bị nén mạnh theo phương thẳng đứng) Giả thiết rẳng chiết suất n có tính chất là n-1 tỷ lệ với mật độ (Gợi ý: dùng nguyên lí Fermat) Độ cao 1/e của khí quyển đẳng nhiệt này là 8700m

8700

8700

r R n e

A

B r

 R

Tại mực nước biển, r R 6400.103m Dùng giá trị này kết hợp với (1) và (4) ta được

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Coi khí quyển của trái đất như một lớp trong suốt có chiết suất

giảm theo độ cao theo công thức: n n 0 ah trong đó: n0 là chiết suất tạimặt đất, a là hằng số, ah rất nhỏ so với 1; bán kính trái đất là R

1 Một tia sáng phát ra từ điểm A, ở độ cao h0, chiếu theo phươngnằm ngang, trong một mặt phẳng kinh tuyến Tính h0 để tia sáng truyềnđúng theo một vòng tròn xung quanh trái đất, rồi trở lại điểm A

2 Một tia sáng khác, phát ra từ điểm B ở độ cao h bất kì Tiasáng này nằm trong một mặt phẳng kinh tuyến và làm với đường thẳngđứng tại đó một góc tới i0 Tính i0 để tia sáng đi qua điểm B’ nằm xuyêntâm đối với điểm B, sau khi phản xạ một lần ở tầng trên cao khí quyển

Bài 2: Giữa hai môi trường trong suất chiết suất n0 và n1 (n0 n1  )1

có một bản hai mặt song song bề dày e Bản mặt được đặt dọc theo trục

Ox của hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Chiết suất của bản mặt chỉ thay đổi

theo phương vuông góc với bản mặt theo quy luật

2 Xác định vị trí điểm tia sáng ló ra khỏi bản mặt

Bài 3: Một tia sáng thuộc mặt phẳng yOz đi vào vùng z<0 Tại y=0

và nghiêng một góc  so với trục Oy Biết chiết suất môi trường ở vùng0

y<0 và y>0 kà n( )Y n0(1 | | ) y a với n0 là chiết suất của môi trường tại y=0

a Thiết lập phương trình xác định sự biến đổi của tia sáng trongvùng z>0

b Quỹ đạo của tia sáng bị hạn chế với a=0 Xác định điểm xanhất mà tia sáng tới được so với trục Oz

Bài 4: Chiết suất khí quyển của một hành tinh X giảm theo độ cao h

tính từ mặt đất theo quy luật n n 0 h: với n là chiết suất của khí quyển ở

độ cao h so với mặt đất, n0 là chiết suất khí quyển ở mặt đất, a là hệ sốkhông đổi, n và n0 có trị số lớn hơn 1 một chút còn ah luôn rất nhỏ hơn1,bán kính hành tinh của R

1 Hãy xác định độ cao để tia sáng đi vòng quanh hành tinh ở độcao không đổi

2 Một tia sáng khác xuất phát ở điểm B ở độ cao h bất kì Tiasáng này nằm trong một mặt phẳng kinh tuyến và làm với đường thẳngđứng tại đó một góc i0 Tính i0 để tia sáng đi qua điểm B’ nằm xuyên tâmđối với điểm B sau khi phản xạ 1 lần trên tầng cao khí quyển

R i

n





Bài 5: Một quả cầu có bán kính R làm bằng liệu trong suốt chiết suất

biến thiên theo bán kính theo quy luật ( ) ( 0)

Xác định khoảng cách d gần nhất từ tia sáng đến tâm quả cầu

Đáp số:

sin(1 sin )

Ra d

Bài 6: Một sợi quang có chiết suất thay đổi, phần lõi có chiết suất

giảm dần từ n r( 0)n1; phần vỏ có chiết suất n2, a là bán kính phần lõi.Xét với một tia sáng truyền tới sợi tại O và truyền trong mặt phẳng trục ởtrong lõi Cho góc tới 

d  A  trong đó A là hằng số

b) Tìm quỹ đạo của tia sáng và chứng tỏ rằng tia sáng cắt trục

Ox tại những điểm cách đều nhau một đoạn d Tính d

c) Hãy tính độ trễ xung thời gian ánh sáng truyền trong ống Biếtchiều dài của sợi quang là l

Bài 7: Một tia sáng chiếu vuông góc lên một mặt phẳng ngăn cách

môi trường có chiết suất n(y) phụ thuộc vào tọa độ y tại điểm A

Dạng của hàm n(y) phải như thế nào để trong môi trường này, tiasáng truyền theo có dạng hình sin?

Cho: Chiết suất tại A là nA

-Phưởng trình đường truền tia sáng có dạng :

sin(kx )

2

y a 

Đáp số: n Y n A 1k a2( 2 y2)

Bài 8 : Xét một bản mặt song song, trong suốt có chiết suất n biến

thiên theo khoảng cách z tính từ mặt dưới của bản Chứng minh rằng.sin sin

Giả sử bạn đang đứng ở trong một sa mạc rộng và phẳng Bạn thấy ởđằng xa hình như có mặt nước Nhưng khi bạn lại gần thì ‘nước’ lại lùi ra

xa sao cho khoảng cách từ bạn đến nước luôn luôn không đổi Giải thíchảnh ảo đó ?

Ước lượng nhiệt độ của mặt đất (đề cập đến ở phần trên) với giả thiếtmắt của bạn ở độ cao 1,6m so với mặt đất và khoảng cách từ bạn tới

‘nước’ là 250m Chiết xuất của không khí ở nhiệt độ 150C và áp suất khíquyển chuẩn là 1,000276 Ở độ cao lớn hơn 1m so với mặt đắt thì nhiệt độkhông khí được coi là không đổi và bằng 300 Áp suất khí quyển bằng ápsuất tiêu chuẩn Gọi chiết suất không khí bằng n và giả thiết rằng n-1 tỉ lệvới khối lượng riêng của không khí Hãy ước lượng độ chính xác của kếtquả thu được

IV KẾT LUẬN

Bài toán chiết suất thay đổi là phần kiến thức hay, khó và rất đa dạng, đặc biệt là yêu cầu rất nhiều kỹ năng toán học, đòi hỏi học sinh phải được trang bị công cụ toán học đủ mạnh, phải được vận dụng nhiều mới thành thạo Các ví

dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào cho chuyên

đề này Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự bổ ích trong công tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp Tôi xin chân thành cảm ơn.

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 VŨ THANH KHIẾT,LƯU HẢI AN Bài tập điện học quang học vật lý hiện đại

-2 LÊ VĂN TUYỀN - Chuyên đề duyên hải 2009

3 Tuyển tập đề thi 30-4

4 UNG-KUO-LIM – Bài tập và lời giải quang học – Nhà xuất bảngiáo dục

5 DAVID HALLIDAY- ROBERT RESNICK- JEARL WALKER;

(2001),Cơ sở Vật lý- Tập 6- Quang Học; Nhà xuất bản Giáo