MỘT số bài tập cơ bản về CHIẾT SUẤT BIẾN đổi

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốcgia và quốc tế những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đ

Chuyên đề:

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN

ĐỔI Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốcgia và quốc tế những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đếnphần quang hình có chiết suất môi trường biến đổi Những bài toán này làthường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khảnăng phân tích và kiến thức tổng hợp Nhằm giúp các em giải quyếtnhững bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠBẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI” Vậy hướng giải quyết những bài toán nàynhư thế nào?

B1: Chia khối trong suốt thành các lớp mỏng trong suốt sao cho chiếtsuất trong những lớp ấy gần như không đổi

B2: Dùng các định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luậtkhúc xạ ánh sáng và hiện tượng phản xạ toàn phần áp dụng cho các lớpmỏng trong suốt

B3: Kết hợp kiến thức toán học: tích phân, các phép tính gần đúng…

để tính toán

Chuyên đề được chia làm hai phần:

Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về các định luật truyền thẳng

ánh sáng, định luật phản xạ ánh sáng, định luật khúc xạ ánh sáng và hiệntượng phản xạ toàn phần

Phần 2:Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận

dụng

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Ba định luật cơ bản của quang hình học

 Định luật truyền thẳng của ánh sáng: Trong một môitrường trong suốt đồng tính và đẳng hướng các tia sáng truyền theođường thẳng

•Tia phản xạ và pháp tuyến lập một góc tới i’

•Định luật phản xạ ánh sáng: Tia phản xạ nằm trong mặt phẳngchứa tia tới và pháp tuyến, góc phản xạ bằng góc tối

•Trong đó n1 và n2 là các hằng số, gọi là chiết xuất của môi

trường 1 và 2 Tỉ số gọi là chiết suất tỉ đối của hai môitrường

•Hiện tượng phản xạ toàn phần

2. Môi trường có chiết suất thay đổi

M dy i

y

•Trên thực tế rất khó có một môi trường trong suốt đồng nhất

và có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà luôn tồn lại môi trường

có chiết suất thay đổi theo từng vị trí khác nhau

•Ví dụ

 Chiết suất của các bản mỏng

 Chiết suất của lớp không khí thay đổi theo độ cao

 Chiết suất của lớp không khí trên khí quyển trái đất

DẠNG 1:Biết phương trình đường truyền tìm chiết suất n.

Giả sử chiết suất môi trường n = n(y) Biết đường truyền tiasáng y = y(X) Tia sáng bay vào môi trường nói trên tại điểm x0 vớigóc tới i0 biết chiết suất môi trường ngoài là n0 Hãy tìm qui luậtbiến đổi chiết suất

Hướng dẫn:

Chia môi trường thành những lớp mỏng sao cho n không đổí xet tạiđiểm M tia sáng với góc tới i

Mặc khác

Các trường hợp riêng

1 Đường truyền có phương trình: y = ax2

2 Đường truyền là một đoạn phương trình : y = AsinBx

3 Đường truyền là cung tròn :

lấy đạo hàm hai vế

Bài 1: Trong một môi trường trong suốt có chiết suất biến đổi theo

biến số y Một tia sáng đơn sắc được chiếu vuông góc với mặt phẳng giớihạn môi trường tại điểm y=0 Chiết suất của môi trường tại đó có giá trị

n0 Xác định biểu thức của chiết suất để ánh sáng truyền trong môi trườngtheo một parabol

Hướng dẫn:

Chia môi trường thành những lớp vô cùng mỏng sao cho trong mỗi lớpchiết suất coi như không đổi

M dy i

Bài 1: Một bản song song có chiết suất biến đổi theo quy luật

bề dày của bản là b=1m Một tia sang chiếu tớitrên mặt AB dưới một góc 

a. Xác định điều kiện để tia sang không xuyên qua bản mỏng đó.

b. Tia sang đơn sắc SI chiếu vuông góc tới mặt giới hạn tại O có chiết suất

n0=1 Sau khi ra khỏi bản mỏng một góc 

- Xác định góc lệch của tia sang so với phương ban đầu

- Xác định phương trình đường cong tia sang truyền trong bản

Hướng dẫn:

a. Điều kiện 

Để tia sáng truyền qua bản thì chỉ có thể phản xạ toàn phần Chiabản thành nhiều lớp đẳng nhiệt song song từ định luật khúc xạ ta có:

+ Xác định đường cong tia sáng trong bản

Xét điểm thuộc đường truyền trong bản song song M(x,y)

Từ (1) và (2) suy ra

Lấy nguyên hàm hai vế

Tại x=0 suy ra y=0 suy ra c = 0

Bài 2: Chiết suất của không khí tại một sân bay phụ thuộc vào độ

cao y theo công thức trong đó hằng số , n0 làchiết suất không khí tại mặt đất Một người đứng trên đường bang, độ caomặt của anh ta so với mặt đất là 1,7 m TÍnh độ dài d mà anh ta nhìn rõtrên đường bang?

Hướng dẫn:

Chia không khi trên sân bay thành các lớp n1, n2, … Song song vớimặt đất

Ta có:

Từ hình vẽ ta có:

Vì a nhỏ, y hữu hạn nên bỏ qua (ay)2 nên hay chuyển sangdạng vi phân ta có:

Tích phân hai vế ta được

Đường đi của tia sáng trên sân bay là một nhánh của parabol khi

Bài 3: Một tia sáng SI đi từ không khí vào một bản mặt song song có

bề dày h với chiết suất thay đổi theo độ sâu x với quy luật (hình3) Cho h = 0,3 m, x0 = 0,1 m

a Xác định quỹ đạo của tia sáng trong bản mặt song song?

b.Tìm điểm ló của tia sáng ra khỏi bản mặt? Cho biết góc tới

α0 = 300, OI = m, chiết suất không khí bằng 1

Nhân các biểu thức với nhau, ta nhận được (2)

Nghĩa là có thể viết đối với một điểm bất kỳ của quỹ đạo:

(→ Xây dựng ra được: )

(4)Thay các giá trị đã cho vào phương trình (4), ta nhận được:

(5)

Từ hệ tọa độ đã cho, ta chỉ lấy nghiệm:

với hằng số C được xác định từ điều kiện đầu:

Chứng tỏ tia sáng đi sang mặt kia của bản mặt

Độ lệch của tia sáng so với điểm tới khi ra khỏi bản là

Bài 4: Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm bằng

vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên đều đặn từ giá trị n n = 1 trên

trục đến n n = 2 (với 1 n n< <2 1) theo công thức

1 1

n n y= =n −γ y , trong đó y là khoảng

cách từ điểm có chiết suất n đến trục lõi, γ là

hằng số dương Lõi được bao bọc bởi một lớp vỏ làm bằng vật liệu có chiếtsuất n2 không đổi Bên ngoài sợi quang là không khí, chiết suất n0≈ 1 Gọi

Ox là trục của sợi quang học, O là tâm của một đầu sợi quang Một tiasáng đơn sắc được chiếu vào sợi quang học tại điểm O dưới góc α0 trong

mặt phẳng xOy

1 Viết phương trình quỹ đạo cho đường đi của tia sáng trong sợiquang và xác định biểu thức tọa độ x của giao điểm đường đi tia sáng vớitrục Ox

2 Tìm góc tới cực đại αmax, dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền

bên trong lõi của sợi quang

Hướng dẫn:

- Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyềntheo đường cong Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song mặtphẳng Ox Gọi α là góc phụ với góc tới của tia sáng tại M(x,y)

Theo định luật khúc xạ: ( )sin ons 1sin 1

= =

- Những điểm cắt của

chùm tia với trục Ox thỏa mãn

điều kiện y = 0

n

απ

Bài 5:Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán đối xứng của

nó trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất của chất liệu làm sợiquang kính R, hai đầu phẳng và vuông góc với trục sợi quang, đặt trong

không khí sao cho trục thay đổi theo quy luật: , trong đó r làkhoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, có đơn vị là cm Một tia sángchiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dưới góc  xấp xỉ bằng 900

(sinα ≈ 1) như hình 3

1 Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền của tia sángtrong sợi quang

y

O

β i

2 Tìm điều kiện của R để tia sáng truyền trong sợi quang mà không

bị ló ra ngoài thành sợi quang

+ Xét điểm M có tọa độ (x, y) (y > 0) ở lớp có chiết suất

Ta có: n0.sini0 = n.sini =>

Nguyên hàm hai vế ta được:

Điều kiện ban đầu: khi x = 0 thì y = 0 => C =

 phương trình quĩ đạo của tia sáng:

 Vậy quĩ đạo của tia sáng là đường parabol

2 C1 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra ngoài thành sợi quang làtọa độ y của đỉnh parabol phải nhỏ hơn R =>

C2 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra

ngoài thành sợi quang lớp chiết suất diễn ra phản

xạ toàn phần của tia sáng phải cách trục ox một

khoảng nhỏ hơn R =>

Bài 6 : Xác định sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt

đất dưới góc 450 áp suất khỉ quyển tại sát mặt đất là n=1,00003

vì sự khúc xạ tia sáng trong khí quyển

Để giải quyết bài toán này, ta cần phải chia khí quyển thành các lớp

vô cùng mỏng, và coi rằng trong các lớp đấy, môi trường là đồng nhất(chiết suất không đổi) và ánh sáng đi theo đường thẳng

Gọi là chiết suất của lớp thứ p

Là góc tới mặt phân cách của lớp thứ p và p+1

Áp dụng định luật khúc xạ ta có:

Trong đó:

Vì δ rất nhỏ nên

Thay vào (2) ta được:

Kết luận: Trong những bài toán dạng môi trường có chiết suất thayđổi, ta nên chia môi trường thành những lớp đẳng chiết để áp dụng địnhluật khúc xạ và tính Trong một số trường hợp cụ thể có thể sử dụng một

số công thức gần đúng để thuận lợi cho việc tính toán

Bài 7:Một chùm sáng đơn sắc song song hẹp đến rọi vuông góc lên

mặt của một bản mặt song song bề dày b, chiết suất biến thiên theo độ

cao theo quy luật .Xác định độ nghiêng của tia ló ra khỏi bảnmặt

Nhận xét: Ta có thể chia môi trường thành nhiều lớp đẳng chiết Độnghiêng của tia ló ra khỏi bản mặt có thể được tính bằng phương pháptính phân

Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có:

Bỏ qua số hạng nhỏ:

Lại có

và

Do chiết suất biến đổi nhỏ nên

Lấy tích phân 2 vế của (1)

Sau đó ánh sáng ló ra khỏi không khí n=1

Bài 8: Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 300K cà áp suất 1atm là

1,0003 đối với ánh sáng ở khoảng giữa của quang phổ nhìn thấy Giả thiết khí quyển đẳng nhiệt ở 300K, hãy tính xem khí quyển của quả đất cần phải có mật độ lớn hơn bao nhiêu lần để ánh sáng bị cuốn theo mặt cong của quả đất tại mực nước biển? (về nguyên tắc khi bầu trời quang mây có thể ngắm mặt trời lặn cả đêm, tuy rằng ảnh của mặt trời khi đó bị nén mạnh theo phương thẳng đứng) Giả thiết rẳng chiết suất n có tính chất là n-1 tỷ lệ với mật độ (Gợi ý: dùng nguyên lí Fermat) Độ cao 1/e của khí quyển đẳng nhiệt này là 8700m

Lời giải:

Theo đề bài

Trong đó R m là bán kính quả đất và là mật độ không khí

Khi đó

Cũng theo đề bài không khí có mật độ đủ lớn để làm cho ánh sáng bị cong theo mặt cong của trái đất ở mức nước biển như trên hình vẽ sau:

θ

R

suất chỉ phụ thuộc nhiệt độ và sự phụ thuộc đó có dạng Đối với không khí ở áp suất tiêu chuẩn thì hằng số

Không khí bên trên mặt đường dưới tác dụng của ảnh nắng mặt trời bị nóng lên, và vì thế mặt đường khô mà nhìn như bị “ướt” Giả sử trong một lớp đủ mỏng bên trên mặt đường nhiệt độ cao hơn nhiệt độ trung bình

một lượng Một người quan sát sẽ thấy ở cách mình một khoảng cực tiểu s một “vũng nước” trên đường

- Hãy giải thích sự xuất hiện “vũng nước”

- Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc

Biết rằng mắt người ở cách mặt đường một khoảng h =1,0m

Để mô hình hóa ảo ảnh này, kích thước của phòng thí nghiệm rõ ràng là không đủ, bởi vậy có thể khôn ngoan thay không khí bằng một mẩu thủy tinh hữu cơ, có chiết suất phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Để làm nguồn sáng ta sử dụng một sợi dây mảnh phát sáng S Dưới đây hãy xem xét cáctia:

a) Truyền dưới một góc ngỏ so với trục của quang hệ và các trục đó một khoảng cách nhỏ (gần đúng cận trục)

b) Các tia ở trong mặt phẳng chứa trục của hệ và vuông góc với dây phát sáng

2/ Tại khoảng cách a=40cm từ nguồn đặt một TKHT mỏng có tiêu cự

f=20cm Hỏi phải đặt một màn ảnh cách TK một khoảng cách b bằng bao nhiêu để thu được ảnh rõ nét của nguồn S trên màn?

S

3/ Không thay đổi vị trí của nguồn, đặt sát nguồn một khối thủy tinh hữu

cơ hình hộp chữ nhật có chiều dài l=20cm và chiết suất n0=1,5 Hỏi phảiđặt một màn ảnh các Tk một khoảng b’ bằng bao nhiêu để lại thu đượcảnh rõ nét của nguồn S trên màn?

3/ Nguồn sáng S dường như được kéo lại gần thấu kính hơn một đoạn

Dùng công thức thấu kính ta tìm được b’=50cm

4/ Để tính toán khúc xạ trong trường hợp này ta sử dụng nguyên lí

Huyghen Ở gần bề mặt trên của khối thủy tinh thì sóng ánh sáng đạt đến điểm ngoài cùng sau thời gian

Còn ở gần mặt biên dưới thì sau thời gian

Sau hiệu thời gian đó ở phía sau của mặt sau thì ánh sáng ở điểm thấpnhất đi được một quãng đường Do đó mặt sóng (và các

tia vuông góc với nó) sẽ quay một góc nhỏ vì vậy ảnh trênmàn sẽ dịch lên phía trên một đoạn cm

Bài 10: Giả sử chiết suất n của không khí giảm dần theo độ cao r theo

quy luật đúng trong khoảng R<r<R+20, R là bán kính trái đất, là độ cao khoảng cách từ tâm Trái Đất, đơn vị của r và R là kilomet Khi r-R=20km thì n=1 Biết n0=1.00028, R=6400km Tính thời gian Mặt trời mọc buổi sáng (đơn vị là giờ)

Hướng dẫn :

Từ (3) và (4) suy ra thời gian mặt trời mọc.

Bài 11: Chiết suất của thủy tinh có thể tăng khi lẫn thêm tạp chất

Điều này cho phép chế tạo thấu kính có bề dày không đổi Cho một đĩa tròn bán kinh a độ dày d Hãy tìm sự biến thiên theo bán kính của chiết suất n(r) để tạo ra một thấu kính có tiêu cự f Xem thấu kính là mỏng (

Khi f>>r ta thu được

Trong chân không có một quả cầu nhỏ đồng chất bán kính r, chiết suất n như hình vẽ Một chùm sáng hẹp tần số f trong chân không truyền theo đường thẳng BC Đường thẳng BC cách tâm cầu O bằng L (L<r) Chùm sáng đến điểm C trên mặt cầu và khúc xạ trong quả cầu, đến điểm D trên mặt cầu lại khúc xạ vào chân không Giả sử tần số chùm sáng qua 2 lần khúc xạ nói trên không thay đổi Tính độ lớn lực trung bình tác dụng lên một photon trong chùm sáng qua 2 lần khúc xạ

Hướng dẫn

Trong mặt phẳng xác định bởi tâm O của cầu nhỏ B và đường thẳng,

đường đi của tia sáng BCDE khúc xạ 2 lần như hình vẽ Tia tới BC và tia DEkéo dài giao nhau ở điểm G Theo định luật khúc xạ :

Chùm tia qua 2 lần khúc xạ, tần số không đổi, cho nên độ lớn động lượng

của 1 photon trước và sau 2 lần khúc xạ bằng nhau : Vì động lượng photon của chùm sáng tới theo hướng BC, chùm ra theo hướng DE, Góc lệch là

Lấy độ dài GN1 tỷ lệ với động lượng tia tới p, độ dài GN2 tỉ lệ với độ dài tia khúc xạ p’, thì độ dài N1N2 tỷ lệ với độ biến thiên động lượng của photon

Tam giác là tam giác cân, chiều cao thuộc cạnh đáy của nó GH song song với CD, còn hướng của từ G chỉ vào tâm cầu O Thời gian tácdụng của chùm sáng vào quả cầu xem như thời gian truyền của tia sáng

trong quả cầu : trong đó cn0/n là vận tốc của tia sáng trong quả cầu Theo định luật 2 niuton, photon chịu lực tác dụng của quả cầu

là :

Cũng theo định luật 2 niuton photon tác dụng vào quả cầu một lực trung bình F=f, phương của lực hướng từ O ra G từ biểu thức (1,2,4,7) và áp dụng các hệ thức trong tam giác cuối cũng ta tìm được :

III. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1: Coi khí quyển của trái đất như một lớp trong suốt có chiết suất

giảm theo độ cao theo công thức: trong đó: n0 là chiết suất tạimặt đất, a là hằng số, ah rất nhỏ so với 1; bán kính trái đất là R

1. Một tia sáng phát ra từ điểm A, ở độ cao h0, chiếu theo phương nằmngang, trong một mặt phẳng kinh tuyến Tính h0 để tia sáng truyền đúngtheo một vòng tròn xung quanh trái đất, rồi trở lại điểm A

2. Một tia sáng khác, phát ra từ điểm B ở độ cao h bất kì Tia sáng này nằmtrong một mặt phẳng kinh tuyến và làm với đường thẳng đứng tại đó mộtgóc tới i0 Tính i0 để tia sáng đi qua điểm B’ nằm xuyên tâm đối với điểm B,sau khi phản xạ một lần ở tầng trên cao khí quyển

Bài 2: Giữa hai môi trường trong suất chiết suất n0 và n1 ( )

có một bản hai mặt song song bề dày e Bản mặt được đặt dọc theo trục

Ox của hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Chiết suất của bản mặt chỉ thay đổi

theo phương vuông góc với bản mặt theo quy luật

Từ môi trường chiết suất n0 có một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm O trênbản mặt, theo phương hợp với Oy một góc 

1. Lập phương trình xác định đường truyền của tia sáng trong bản mặt

2. Xác định vị trí điểm tia sáng ló ra khỏi bản mặt

Bài 3: Một tia sáng thuộc mặt phẳng yOz đi vào vùng z<0 Tại y=0

và nghiêng một góc so với trục Oy Biết chiết suất môi trường ở vùng

y<0 và y>0 kà với n0 là chiết suất của môi trường tại y=0

a. Thiết lập phương trình xác định sự biến đổi của tia sáng trong vùng z>0

b. Quỹ đạo của tia sáng bị hạn chế với a=0 Xác định điểm xa nhất mà tiasáng tới được so với trục Oz