Sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học: Cực trị của các đa thức đối xứng ba biến
Cực trị của các đa thức đối xứng ba biếnMọi đa thức đối xứng ba biến F(x, y, z) đều biểu thị đợc qua các đa thức đối xứng cơ bản s1=x+y+z, s2=xy+yz+zx, s3=xyz. Vấn đề đặt ra: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đa thức đối xứng p1=F(x, y, z) khi biết giá trị của hai trong ba đa thức đối xứng cơ bản: s1, s2, s3. Vậy có ba bài toán cơ bản sau:Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức đối xứng p =F(x,y,z) khi biết:(I)x y z axy yz zx b+ + =+ + = với a, b cho trớc thỏa mãn 23 0a b Vì s1=a, s2=b đã biết nên p1=F(x, y, z)=f(s3)Phơng pháp giải: Từ hệ (I) ta tìm tập giá trị của s3. Giả sử tập giá trị là D. Ta khảo sát hàm số p1= f(s3), s3D để tìm tập giá trị của p rồi suy ra kết quả.Cách tìm tập giá trị của s3 theo các bớc sau:B ớc 1 : Hệ (I) viết 2( )y z a xyz b x a x x ax b+ = = = +Ta phải có điều kiện 24s p( )224( )a x x ax b +2 23 2 4 0x ax b a + 2 22 3 2 3;3 3a a b a a bx + 2 3 23 3( ) ( )s xyz x x ax b s g x x ax bx= = + = = +B ớc 2 :Khảo sát hàm số 3( )s g x= với 2 22 3 2 3;3 3a a b a a bx + sẽ tìm đợc tập giá trị của D của s3. Cuối cùng khảo sát hàm số p1= f(s3) với s3D.Với các biến x, y, z không âm thì bài toán sẽ còn phong phú hơnVí dụ minh họa:Ví dụ 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 3(I)1x y zxy yz zx+ + =+ + =. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P1= x4+y4+z4Ta có 4 2 21 1 1 2 2 1 34 2 4P s s s s s s= + +. Vì 1 23, 1,s s= = nên 1 3 3( ) 47 12P f s s= = +,3 23[1 ( )] 3s xyz x x y z x x x= = + = +Vì 23(I)3 1y z xyz x x+ = = +, điều kiện ( )223 4( 3 1)x x x +23 6 5 0x x kết hợp 0x ta đợc [3 240;3x+ 1 Khảo sát hàm số 3 23( ) 3s g x x x x= = + với [3 240;3x+Thật vậy 23 6'( ) 3 6 1 03g x x x x= + = =x 03 63 3 63+ 3 243+'( )g x+ 0 _ 0 +3( )s g x=4 6 994 6 9904 6 99 Từ bảng biến thiên kết hợp 30s ta có 34 6 909s Chú ý: Có thể rút ra kết quả về tập giá trị của s3 nh sau: s3 là giá trị của biểu thức xyz khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thực3310 , , 3x y zxy yz zxxyz sx y z+ + =+ + == phơng trình 3 233 0t t t s + = có ba nghiệm thực (có thể trùng nhau)Đồ thị (C): 3 23y t t t= +, ]0;3t và đờng thẳng 3y s= cắt nhau tại ba điểm (không yêu cầu phân biệt)Ta có 2' 3 6 1y t t= +t 03 63 3 63+3'( )g t+ 0 _ 0 +y4 6 99304 6 99 2 Kết quả 34 6 909s 1 3 3( ) 47 12P f s s= = +,34 6 90;9s14 6 9 105 16 647 47 12.9 3P + + =Kết quả Min P1= 47 chẳng hạn tại x=0, 3 5 3 5,2 2y z += =Max P1=105 16 63+ chẳng hạn tại 3 24 6 24,3 6x y z+ = = =Ví dụ 2: Cho x,y,z là các số thực không âm 0x y z+ + > thỏa mãn 2 2 27( )x y z xy yz zx+ + = + +. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 4 4 44( )x y zQx y z+ +=+ +Ta có1 1( , , ) ( , , ), 0Q F x y z F ax ay az a= = . Tính thuần nhất của 1F cho phép ta thêm giả thiết 3x y z+ + =. Khi đó 2 2 27( )x y z xy yz zx+ + = + +1xy yz zx + + =Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 4 4 443x y zQ+ += biết 310, 0, 0x y zxy yz zxx y z+ + =+ + = Theo kết quả của ví dụ 1 ta có Min 41 47.473 81Q = =4 51 105 16 6 105 16 6( )3 3 3MaQ+ += =Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ( nếu có) của đa thức đối xứng 1( , , )P F x y z= biết x y z axyz b+ + == với a, b cho trớc, 0bTa có s1 =a, s2 =b nên P1= F(x,y,z) = f(s2)B ớc 1 : Tìm tập giá trị D của s2Từ (II) ta có y z a xbyzx+ = = phải có 2( ) 4ba xx . Giải bất phơng trình này để tìm tập nghiệm , giả sử tập nghiệm là A.3y =s33+ 633- 63-4 6 -994 6 -99033 22( ) ( )b bs xy yz zx x y z yz x a x x axx x= + + = + + = + = + +B ớc 2 : Khảo sát hàm số 22( )bs g x x axx= = + + với x A để tìm tập giá trị của nó là D. Cuối cùng khảo sát hàm số P1=f(s2) với 2s D để suy ra kết quảVí dụ minh họa:Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của 4 4 41P x y z= + + biết (II) 420, 0, 0x y zxyzx y z+ + ==> > >Ta có: 4 2 21 1 1 2 2 1 34 2 4P s s s s s s= + +, 1 34, 2s s= = nên 21 2 2 2( ) 2( 32 144)P f s s s= = +Ta có: 222( ) 4s xy yz zx x y z yz x xx= + + = + + = + + 42( )0 4y z xII yzxx+ = =< <Phải có điều kiện 2 3 28(4 ) 8 16 8 0x x x xx + do x > 0 2( 2)( 6 4) 0x x x + . Kết hợp 0 < x < 4 ta đợc 3 5 2x Khảo sát hàm số 222( ) 4s g x x xx= = + + với]3 5 ; 2x ta đợc [25 5 15;2sKhảo sát hàm số 21 2 2 2( ) 2( 32 144)P f s s s= = + với [25 5 15;2sTa có: 2 2 2'( ) 2(2 32) 4( 16)f s s s= = . Trên đoạn [25 5 15;2s thì 2 2'( ) 0 ( )f s f s< nghịch biến trên đoạn này. Suy ra 1 15 5 1(5) 18, ( ) 383 165 52Max P f Min P f= = = = Ví dụ 4: (Bài 5 thi HSG QG 2004)Cho x, y, z là các số thực không âm, x+y+z > 0 thỏa mãn 3( ) 32x y z xyz+ + =. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 4 4 44( )x y zQx y z+ +=+ +ta có: ( , , ) ( , , ), 0Q h x y z h ax ay az a= = nên ta có thể chỉ xét 4x y z+ + =. Bài toán quy về: Tìm Min, Max của 4 4 444x y zQ+ += biết 420, 0, 0x y zxyzx y z+ + ==> > >Theo ví dụ 3 ta có 4 4383 165 5 18 9,4 4 128Min Q Max Q= = =4 Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức đối xứng 1( , , )P F x y z= biết (III)xy yz zx axyz b+ + == với a, b cho trớc, 0bVì s1 =a, s3 =b nên P1= F(x,y,z)=f(s1)Từ (III) ta có 1( )by z ax xbyzx+ = = phải có điều kiện 221( ) 4b bax x x . Giải bất phơng trình này, giả sử tập nghiệm là A. Ta có 121( )b a bs x y z x a xx x x x= + + = + = + Khảo sát hàm số 12( )a bs g x xx x= = + với x A. Gọi D là tập giá trị của s1. Cuối cùng khảo sát hàm số P1=f(s1) với 1s D để suy ra kết quảVí dụ minh họa:Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của 4 4 41P x y z= + + biết 840, 0, 0xy yz zxxyzx y z+ + ==> > >Từ giả thiết ta có 1 4(8 )4, 0y zx xyz xx+ = = >. Ta phải có 2 221 4 16 1 1(8 ) (2 ) 1x x x x x (do 0x >) 3 2 24 4 1 0 ( 1)( 3 1) 0x x x x x x + + . Kết hợp với 0x > ta đợc 3 502x< hoặc 3 512x+ 128 4s x y z xx x= + + = + với [ [3 5 3 50; 1;2 2x + U212 3 3 38 8 ( 2)( 2 4) ( 1 5)( 1 5)( 2)' 1x x x x x xsx x x x + + + + = + = =1' 0 ( 1 5)( 2) 0s x x + do 0x >x 03 5215 123 52+1's+ + 0 - 0 + +1s1 5 52 5 5 12 5 5 125 55 Kết hợp với 10s >suy từ giả thiết ra đợc 15 5 152s 4 2 21 1 1 2 2 1 3 2 34 2 4 , 8, 4P s s s s s s s s= + + = =4 21 1 1 1 1( ) 32 16 128P f s s s s= = + + với [15 5 15;2sTa có: [ ]3 21 1 1 1 1'( ) 4 64 16 4 ( 16) 4f s s s s s= + = +. Với [15 5 15;2s1'( ) 0f s >Do đó 4 211(5) 5 32.5 16.5 128 335 5 1 271 75 5( )2 2Min P fMax P f= = + + = = =Chú ý: 1) Không cần thiết tìm thêm điều kiện của x để 128 40s xx x= + >, cơ sở của nó là: Giả sử hàm số g(x) có TXĐ Dg và 1 2,gX X D, Y1,Y2 là tập giá trị tơng ứng của hàm số y=g(x) trên tập X1, X2 và 1 2A X X= thì 1 2( )x A g x Y Y 2) Nếu tìm min, max của 3 3 3Q x y z= + + với giả thiết: 840, 0, 0xy yz zxxyzx y z+ + ==> > >thì 31 1 2 3 2 33 3 8 4Q s s s s s s= + = =31 124 12Q s s = + [15 5 15;2s2 21 1 1 1' 3 24 3( 8) 3( 8)( 8)Q s s s s= = = +do đó trong khoảng [15 5 15;2s thì ' 0Q >(5) 17Min Q Q= =, 5 5 1 80 5 92( )2 4Max Q Q = =3) Nếu bài toán tìm giá trị lớn mhất, nhỏ nhất của đa thức đối xứng khi biết một giá trị của một đa thức đối xứng cơ bản thì phơng pháp giải không theo quy trình trên mà phải phối hợp nhiều cách. Sau đây là một số ví dụBài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của 2Q xy yz zx xyz= + + biết 0, 0, 0x y z thỏa mãn1x y z+ + =Do vai trò bình đẳng của x, y, z ta có thể giả sử x y z . Từ giả thiết suy ra 103x . 2(1 2 ) ( ) ( ) (1 2 ) (1 )2y zQ yz x x y z x x x+ = + + + 3 21 1( 2 1) ( ), 0;4 3Q x x f x x + + = 6 Khảo sát hàm số 3 21 1( ) ( 2 1), 0;4 3f x x x x= + + ta đợc 1 7( ) ( )3 27Max f x f= = 10;3xVậy 727Q 7 127 3Max Q x y z = = = =Mặt khác 31 3x y z xyz= + + từ đó suy ra 0 1xyz < (*)và 2 33 33 ( ) 3 ( ) 3xy yz zx xyz xyz xyz+ + = do (*)2 0 0Q xy yz zx xyz xyz Min Q = + + =. Chẳng hạn 0, 1x y z= = =Bài 2: Tìm Min, Max của 4 4 4Q x y z= + +biết x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 3x y z+ + =.Ta có 4 4 4 2 2 2 22 2 2 21( )331( ) 33Q x y z x y zQx y z x y z= + + + + + + + + =3 1Q x y z= = = =Mặt khác 22 2 381 36 2 12Q s s s= + +. Vì 13s =Ta có 2 2 2 20 ( ) 2( )xy yz zx x y z x y z xy yz zx + + + + = + + + +0 3xy yz zx + + Vậy ]20;3s33 3 0 1x y z xyz xyz= + + 232 33 ( ) 3 3s xy yz zx xyz xyz s= + + =. Do đó3 212 4s s22 22 32 81Q s s + với ]20;3sXét hàm số 22 2 2( ) 2 32 81f s s s= +,]20;3s2 2 2'( ) 4 32 0 8f s s s= = = . Trong khoảng ]0;3 hàm số 2( )Q f s=nghịch biến nên (0) 81Max Q f= =. Chẳng hạn 0, 3x y z= = =Bài 3: Cho các số thực x, y, z. Chứng minh: 32 2 2 2 2 226( )( ) 27 10( )x y z x y z xyz x y z+ + + + + + +Đặt tham số mới 2 2 2 29x y z k+ + =, 0k>bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2 32( ) 10x y z k xyz k+ + +2 2 3(2 ) 2 ( ) 10Q k yz x k y z k = + + ta có: 2 2 2 2 2 4( ) (2 ) 4Q x y z k yz k + + + (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)2 2 2 2 4(9 2 ) (2 ) 4Q k yz k yz k + + Đặt yz t=2 2 2 2 4( ) (9 2 ) (2 ) 4Q f t k t k t k = + + 7 Không mất tính tổng quát giả sử x y z Kết hợp 2 2 2 29x y z k+ + =2 23x k Ta có 2 2 2 22932 2y z k xt yz k+ = = 2 23 3k t k Khảo sát hàm số ( )y f t=, 2 23 ;3t k k ta có 6( ) 100Max f t k=, 2 23 ;3t k k Vậy 2 6 3100 10Q k Q k đpcmCác bài tập tự luyện:Bài 1: Tìm Min, max của 3 3 3Q x y z= + +biết 0, 0, 0x y z trong các trờng hợp sau:a)6x y z+ + =b)816x y zxyz+ + ==Bài 2: Tìm Min, Max của 4 4 4Q x y z= + +biết2 2 221x y zxy yz zx+ + =+ + =Bài 3: Cho 0, 0, 0x y z thõa mãn 1x y z+ + =Chứng minh: 7( ) 9 2xy yz zx xyz+ + +Bài 4: Cho 0, 0, 0x y z , 1x y z+ + = Tìm Min, Max của 3 3 32006Q x y z= + +8 . Cực trị của các đa thức đối xứng ba biếnMọi đa thức đối xứng ba biến F(x, y, z) đều biểu thị đợc qua các đa thức đối xứng cơ bản s1=x+y+z,. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đa thức đối xứng p1=F(x, y, z) khi biết giá trị của hai trong ba đa thức đối xứng cơ bản: s1, s2, s3. Vậy có ba bài